Hướng dẫn tự học Giải tích hàm Lớp Toán 2006 AB Nguyễn Văn Dũng Khoa Toán học Đại học Đồng Tháp Email:
[email protected] Ngày 09 tháng 09 năm 2009
Tóm tắt nội dung Tài liệu này được biên soạn cho sinh viên tự học và tự nghiên cứu môn học Giải tích hàm theo cuốn sách Giải tích hàm của tác giả Đậu Thế Cấp, NXB Giáo dục 2008, Thư viện Khoa Toán học và Thư viện Trường Đại học Đồng Tháp.
Mục lục Đề cương môn học
3
0 Kiến thức chuẩn bị 0.1 Đại số tuyến tính . . Hướng dẫn tự học . . . . . 0.2 Không gian mêtric và Hướng dẫn tự học . . . . . 0.3 Bài tập . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
7 7 7 7 7 7
1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Không gian Lp (X) . . . . . . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Không gian con và không gian thương . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Không gian chiều và không gian khả li . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 11 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2 Các định lí cơ bản của giải tích hàm 2.1 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Định lí ánh xạ mở và định lí đồ thị đóng Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . 2.4 Không gian các hàm . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
12 12 12 12 12 13 13 13 13
3 Không gian Hilbert 3.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hệ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . 3.3 Tổng Hilbert của các không gian Hilbert Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
14 14 14 15 15 15 15
1
3.4
Hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Lí thuyết toán tử 4.1 Không gian liên hợp . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . 4.2 Toán tử compắc . . . . . . . Hướng dẫn tự học . . . . . . 4.3 Toán tử bị chặn trong không Hướng dẫn tự học . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gian Hilbert . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
15 15 17 17 17 17 17 17 17
Đề cương KHOA TOÁN HỌC
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
BỘ MÔN GIẢI TÍCH
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN NĂM HỌC 2009 - 2010 1. Tên học phần Giải tích hàm 2. Số đơn vị học trình 6 đơn vị học trình = 90 tiết 3. Trình độ Đại học Sư phạm Toán học Lớp Toán 2006AB 4. Phân bố thời gian - Lý thuyết: 60 tiết - Thực hành (bài tập, kiểm tra, thảo luận, xêmina, . . . ): 30 tiết 5. Điều kiện tiên quyết Độ đo-Tích phân 6. Mục tiêu của học phần - Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, một số định lí cơ bản của giải tích hàm, không gian Hilbert, không gian các hàm liên tục và kĩ năng cơ bản trong việc giải quyết các bài tập liên quan - Làm rõ được mối liên hệ giữa các học phần giải tích toán học, qua đó giúp cho sinh viên hiểu được sự phát triển và vai trò của các học phần giải tích toán 7. Mô tả vắn tắt nội dung của học phần - Không gian định chuẩn - Một số định lí cơ bản của giải tích hàm 3
- Không gian Hilbert - Không gian các hàm liên tục 8. Nhiệm vụ của sinh viên - Tham dự đầy đủ các buổi lên lớp của giảng viên - Làm bài tập và tham dự đầy đủ các kì thi, kiểm tra, các buổi thảo luận, ... 9. Tài liệu học tập - Tài liệu tham khảo chính [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002 - Tài liệu tham khảo khác [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2001. [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết hàm và Giải tích hàm, Tập 2, NXB Giáo dục, 2001. 10. Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên - Kiểm tra thường xuyên: 2 bài - Thi kết thúc học phần: 1 bài (120 phút) 11. Thang điểm - Kiểm tra thường xuyên: 30% - Thi kết thúc học phần: 70% 12. Nội dung chi tiết học phần Chương 1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH (20 tiết lí thuyết + 10 tiết thực hành) 1. Các khái niệm cơ bản - Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn - Các ví dụ - Tập lồi và tập bị chặn 2. Chuỗi trong không gian định chuẩn - Chuỗi và sự hội tụ - Chuỗi hội tụ tuyệt đối 3. Không gian Lp (X) và lp - Định nghĩa - Tính chất 4. Ánh xạ tuyến tính liên tục - Ánh xạ tuyến tính liên tục - Không gian L(E, F )
4
5. Không gian con và không gian thương - Không gian con - Không gian thương 6. Không gian hữu hạn chiều, không gian khả li - Không gian hữu hạn chiều - Không gian khả li Chương 2 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM (10 tiết lí thuyết + 10 tiết thực hành) 1. Định lí Hahn-Banach - Sơ chuẩn, nửa chuẩn và bổ đề Zorn - Định lí Hahn-Banach - Hệ quả của định lí Hahn-Banach 2. Định lí ánh xạ mở - Định lí Baire về phạm trù - Định lí ánh xạ mở - Hệ quả của định lí ánh xạ mở 3. Định lí đồ thị đóng - Đồ thị của ánh xạ - Đồ thị đóng 4. Nguyên lí bị chặn đều - Nửa chuẩn liên tục - Nguyên lí bị chặn đều Chương 3 KHÔNG GIAN HILBERT (15 tiết lí thuyết + 10 tiết thực hành) 1. Các khái niệm cơ bản - Tích vô hướng và không gian Hilbert - Đẳng thức bình hành 2. Hệ trực giao - Hệ trực giao - Phép chiếu trực giao - Phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hilbert 3. Tổng Hilbert của các không gian Hilbert - Tổng Hilbert của các không gian Hilbert - Tổng Hilbert của các không gian con đóng 4. Hệ trực chuẩn - Hệ trực chuẩn - Khai triển trực chuẩn Chương 4 KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC (10 tiết lí thuyết + 5 tiết thực hành) 1. Không gian các hàm - Không gian các hàm bị chặn - Không gian các hàm liên tục - Các loại hội tụ trong không gian hàm 2. Định lí Stone - Weierstrass - Đại số các hàm - Định lí Stone - Weierstrass 5
3. Định lí Ascoli - Tập đồng liên tục - Định lí Ascoli 13. Hướng dẫn sinh viên tự học Nội dung tự học: - Chương 1: Các minh hoạ cho các khái niệm chuẩn, không gian định chuẩn và một số không gian định chuẩn cụ thể: C[a, b], Lp (X), lp - Chương 2: Các ví dụ minh hoạ cho các định lí cơ bản của giải tích hàm - Chương 3: Các minh hoạ cho các khái niệm dạng Hermite, tích vô hướng, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Hình thức tự học: - Giảng viên trình bày sơ lược nội dung - Lớp chia nhóm tự học, viết bài thu hoạch và thảo luận
Trưởng Khoa
Trưởng Bộ môn
Người lập
Nguyễn Dương Hoàng
Nguyễn Văn Dũng
Nguyễn Văn Dũng
6
Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 0.1
Đại số tuyến tính
Hướng dẫn tự học 1. Không gian vectơ. 2. Không gian vectơ con. 3. Cơ sở và chiều. 4. Ánh xạ tuyến tính. 5. Không gian thương.
0.2
Không gian mêtric và không gian tôpô
Hướng dẫn tự học 1. Không gian mêtric. 2. Không gian tôpô. 3. Lân cận. 4. Tập đóng. 5. Tính liên tục. 6. Không gian tôpô con. 7. Tôpô tích. 8. Không gian mêtric đầy đủ. 9. Không gian compắc.
0.3
Bài tập
Chuẩn bị các bài tập trang 15-17.
7
Chương 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 1.1
Không gian định chuẩn và không gian Banach
Hướng dẫn tự học 1. Khái niệm chuẩn, không gian định chuẩn, không gian Banach và ví dụ minh hoạ. 2. Chuẩn là sự suy rộng của khái niệm nào? 3. Mối quan hệ giữa chuẩn và mêtric? 4. Tính liên tục của ánh xạ chuẩn và các phép toán trên không gian định chuẩn. 5. Không gian Eclide. 6. Không gian C[a, b] với chuẩn hội tụ đều và chuẩn tích phân. 7. Khái niệm tập lồi, tập bị chặn, đoạn, khoảng trong không gian véctơ và ví dụ minh hoạ. 8. Tính chất của cơ sở lồi và bị chặn của không gian định chuẩn. 9. Bài tập 1, 2, 3.
1.2
Chuỗi trong không gian định chuẩn
Hướng dẫn tự học 1. Nhắc lại khái niệm chuỗi số trong R và các tính chất cơ bản của chuỗi số. 2. Khái niệm chuỗi trong không gian định chuẩn, tổng riêng của chuỗi, chuỗi hội tụ, chuỗi phân kì trong không gian định chuẩn và ví dụ minh hoạ. 3. Chuỗi là sự suy rộng của khái niệm nào? 4. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn. 5. Tổng của hai chuỗi và tích của một chuỗi với một số. 6. Khái niệm chuỗi hội tụ tuyệt đối trong không gian định chuẩn và ví dụ minh hoạ. 8
7. Mối quan hệ giữa chuỗi hội tụ và hội tụ tuyệt đối trong R và trong không gian định chuẩn. 8. Điều kiện cần và đủ của không gian Banach. 9. Bài tập 5, 6.
1.3
Không gian Lp(X)
Hướng dẫn tự học 1. Bất đẳng thức Holder. 2. Bất đẳng thức Mincowski. 3. Định nghĩa không gian Lp (X) và L1 (X), L2 (X). 4. Chuẩn trong không gian Lp (X). 5. Không gian Lp (X) có là không gian Banach không? 6. Định nghĩa không gian lp và l1 , l2 . 7. Chuẩn trong không gian lp . 8. Không gian lp có là không gian Banach không? 9. Mối quan hệ giữa không gian Lp (X) và không gian lp .
1.4
Ánh xạ tuyến tính liên tục
Hướng dẫn tự học 1. Nhắc lại khái niệm ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính giữa hai không gian vectơ. 2. Mối quan hệ giữa tính liên tục đều, tính liên tục và tính bị chặn của ánh xạ tuyến tính liên tục. 3. Nhắc lại khái niệm ánh xạ đẳng cấu giữa hai không gian vectơ (đẳng cấu đại số). 4. Nhắc lại khái niệm ánh xạ đồng phôi giữa hai không gian tôpô. 5. Khái niệm ánh xạ đẳng cấu giữa hai không gian định chuẩn. 6. Hai không gian như thế nào thì được gọi là đẳng cấu với nhau? 7. Điều kiện cần và đủ để một đẳng cấu đại số là đẳng cấu. 8. Hai chuẩn như thế nào được gọi là tương đương với nhau? Điều kiện cần và đủ để hai chuẩn là tương đương với nhau. 9. Tính Banach của không gian định chuẩn có thay đổi không khi thay chuẩn xuất phát bởi chuẩn tương đương? 10. Các kí hiệu L(E, F ), L(E, F ), E # , E ∗ . 9
11. Với f ∈ L(E, F ) thì kí hiệu kf k được hiểu như thế nào? 12. Các công thức tính của kf k? 13. L(E, F ) có là không gian vectơ không? 14. L(E, F ) có là không gian định chuẩn không? 15. Trình bày ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục trên Kn và tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính đó? 16. Trình bày ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục trên C[a, b] và tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính đó? 17. Điều kiện đủ để L(E, F ) là không gian Banach? 18. Hợp thành của hai ánh xạ tuyến tính liên tục có là ánh xạ tuyến tính liên tục hay không? 19. Không gian định chuẩn F được nhúng vào không gian L(K, F ) như thế nào? 20. Không gian liên hợp E ∗ có Banach không? 21. Bài tập 7, 8, 9, 10, 12.
1.5
Không gian con và không gian thương
Hướng dẫn tự học 1. Nhắc lại khái niệm không gian vectơ con và tiêu chuẩn để kiểm tra không gian vectơ con. 2. Nhắc lại mối quan hệ giữa tính đóng và tính đầy đủ của không gian mêtric. 3. Mối quan hệ giữa tính đóng và tính Banach của không gian định chuẩn. 4. Nếu F là không gian vectơ con thì F có là không gian vectơ con hay không? 5. Nhắc lại khái niệm tổng trực tiếp của hai không gian vectơ và tiêu chuẩn để kiểm tra tổng trực tiếp. 6. Các phép chiếu p1 , p2 được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 7. Tính chất của phép chiếu. 8. Tổng trực tiếp tôpô được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 9. Tính chất của tổng trực tiếp tôpô. 10. Khái niệm phần bù tôpô. Cho ví dụ minh hoạ. 11. Nhắc lại khái niệm tích Descarte của hai không gian vectơ. 12. Tích Descarte của hai không gian vectơ có thể là không gian định chuẩn với chuẩn như thế nào? 13. Cho ví dụ về không gian định chuẩn tích. 10
14. Mối quan hệ giữa tổng trực tiếp và tích của hai không gian định chuẩn. 15. Khái niệm siêu phẳng trong không gian vectơ (không gian định chuẩn). Cho ví dụ minh hoạ. 16. Tính chất đóng và trù mật của siêu phẳng trong không gian định chuẩn. 17. Mối quan hệ giữa siêu phẳng và phiếm hàm tuyến tính. 18. Khái niệm phương trình của siêu phẳng được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 19. Mối quan hệ giữa siêu phẳng đóng và phiếm hàm tuyến tính liên tục. 20. Nhắc lại khái niệm tập thương. 21. Tập thương E/F của không gian định chuẩn E với F là không gian con đóng của E được hiểu như thế nào? 22. E/F là không gian định chuẩn với chuẩn như thế nào? 23. Khái niệm không gian định chuẩn thương và ví dụ minh hoạ. 24. Tính Banach của không gian định chuẩn thương.
1.6
Không gian chiều và không gian khả li
Hướng dẫn tự học 1. Đặc trưng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều. 2. Không gian hữu hạn chiều có Banach không? Các chuẩn trên không gian hữu hạn chiều có tương đương với nhau không? 3. Tính chất đóng của không gian con của không gian định chuẩn hữu hạn chiều. 4. Tính chất của phiếm hàm tuyến tính và ánh xạ tuyến tính xác định trên không gian hữu hạn chiều. 5. Tính chất của tổng không gian vectơ con đóng và không gian con hữu hạn chiều. 6. Khái niệm không gian compắc địa phương. 7. Định lí Riesz. 8. Khái niệm tập toàn vẹn, dãy toàn vẹn trong không gian định chuẩn và ví dụ minh hoạ. 9. Đặc trưng của ánh xạ tuyến tính liên tục trên tập toàn vẹn. 10. Đặc trưng của ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian con trù mật. 11. Nhắc lại khái niệm không gian khả li và ví dụ minh hoạ. 12. Điều kiện cần và đủ để không gian định chuẩn là không gian khả li. 13. Bài tập 14, 16.
11
Chương 2 Các định lí cơ bản của giải tích hàm 2.1
Định lí Hahn-Banach
Hướng dẫn tự học 1. Nhắc lại khái niệm quan hệ thứ tự, quan hệ thứ tự sắp tuyến tính, biên trên và phần tử cực đại. 2. Nhắc lại Bổ đề Zorn. 3. Khái niệm sơ chuẩn và ví dụ minh hoạ. 4. Khái niệm nửa chuẩn và ví dụ minh hoạ. 5. Mối quan hệ giữa sơ chuẩn và nửa chuẩn. 6. Tính chất của nửa chuẩn. 7. Định lí Hahn-Banach cho không gian vectơ thực. 8. Khái niệm phiếm hàm tuyến tính thực và ví dụ minh hoạ. 9. Mối quan hệ giữa phiếm hàm tuyến tính thực và phiếm hàm tuyến tính phức. 10. Định lí Hahn-Banach cho không gian vectơ phức. 11. Một số hệ quả của Định lí Hahn-Banach. 12. Bài tập 1, 2.
2.2
Định lí ánh xạ mở và định lí đồ thị đóng
Hướng dẫn tự học 1. Nhắc lại khái niệm không đâu trù mật, không gian thuộc phạm trù thứ nhất, không gian thuộc phạm trù thứ hai. 2. Nhắc lại Định lí Baire về phạm trù. 3. Giả sử f : E −→ F là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach E lên không gian Banach F . Khi đó ảnh của hình cầu đơn vị mở trong E có tính chất gì? 4. Định lí ánh xạ mở. 12
5. Điều kiện đủ để cho song ánh tuyến tính liên tục là đồng phôi. 6. Đặc trưng của các chuẩn làm cho không gian là Banach. 7. Khái niệm đồ thị của ánh xạ. 8. Đặc trưng đồ thị của ánh xạ liên tục. 9. Định lí đồ thị đóng. 10. Bài tập 4, 5, 6, 7.
2.3
Nguyên lí bị chặn đều
Hướng dẫn tự học 1. Tính liên tục đều, liên tục và bị chặn của nửa chuẩn liên tục. 2. Tính chất của họ nửa chuẩn liên tục trên không gian Banach E. 3. Nguyên lí bị chặn đều. 4. Định lí Banach-Steinhaus.
2.4
Không gian các hàm
Hướng dẫn tự học 1. Kí hiệu BF (A). 2. BF (A) là không gian vectơ với hai phép toán như thế nào? 3. BF (A) là không gian định chuẩn với chuẩn như thế nào? 4. Điều kiện đủ để BF (A) là không gian Banach. 5. Các kí hiệu CF∞ (X), CF (X) và mối quan hệ giữa chúng. 6. Hội tụ theo chuẩn và hội tụ theo điểm trong BK (A) được hiểu như thế nào và mối quan hệ giữa chúng là gì? 7. Các thuật ngữ chuẩn hội tụ đều, bao đóng đều, . . . trong BK (A). 8. Tính liên tục của giới hạn của dãy hàm hội tụ. 9. Định lí Dini. 10. Bài tập 7.
13
Chương 3 Không gian Hilbert 3.1
Tích vô hướng
Hướng dẫn tự học 1. Dạng Hermite là gì? Cho ví dụ minh hoạ? 2. Dạng Hermite là sự suy rộng của khái niệm nào? 3. Nếu ϕ là dạng Hermite trên E và x, y là tổ hợp tuyến tính các vectơ thì ϕ(x, y) được biểu diễn như thế nào? 4. Dạng Hermite trên không gian hữu hạn chiều được hoàn toàn xác định bởi các giá trị nào? 5. Dạng Hermite dương là gì? Cho ví dụ minh hoạ? 6. Phát biểu bất đẳng thức Cauchy-Schwartz và đặc biệt hoá vào trong R và R2 . 7. Phát biểu bất đẳng thức Mincowski và đặc biệt hoá vào trong R và R2 . 8. Tích vô hướng là gì? Cho ví dụ minh hoạ. 9. Tính liên tục của tích vô hướng. 10. Điều kiện cần và đủ để một dạng Hermite dương là tích vô hướng. 11. Không gian tiền Hilbert là gì? Tích vô hướng là gì? Chuẩn sinh bởi tích vô hướng là gì? Cho ví dụ minh hoạ? 12. Khái niệm hai vectơ trực giao và ví dụ minh hoạ. 13. Định lí Pythagore trong không gian tiền Hilbert. 14. Ánh xạ đẳng cấu giữa hai không gian tiền Hilbert và ví dụ minh hoạ. Mối quan hệ giữa đẳng cấu tiền Hilbert và đẳng cấu định chuẩn. 15. Khái niệm không gian tiền Hilbert con và khái niệm không gian Hilbert. Cho ví dụ minh hoạ. 16. Đẳng thức bình hành trong không gian tiền Hilbert. 17. Không gian Euclide. 14
18. Không gian `2 . 19. Không gian L2 (X).
3.2
Hệ trực giao
Hướng dẫn tự học 1. Khái niệm hệ trực giao và ví dụ minh hoạ. 2. Mối quan hệ giữa hệ trực giao và hệ độc lập tuyến tính. 3. Phép trực giao hoá Gram-Schmidt và cho ví dụ minh hoạ. 4. Khái niệm vectơ trực giao với tập hợp và hai tập hợp trực giao với nhau. Cho ví dụ minh hoạ. 5. Khái niệm phần bù trực giao và ví dụ minh hoạ. 6. Tính chất đóng của phần bù trực giao. 7. Khái niệm hình chiếu trực giao và cho ví dụ minh hoạ. 8. Tính chất của phần bù trực giao của không gian con Hilbert trong không gian tiền Hilbert. 9. Đặc trưng của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian tiền Hilbert. Cho ví dụ minh hoạ. 10. Điều kiện cần và đủ cho hệ trực giao là toàn vẹn.
3.3
Tổng Hilbert của các không gian Hilbert
Hướng dẫn tự học 1. Tổng Hilbert của dãy các không gian Hilbert {En }n được hiểu như thế nào. Cho ví dụ minh hoạ. 2. Tổng Hilbert các không gian Hilbert có là không gian Hilbert hay không?
3.4
Hệ trực chuẩn
Hướng dẫn tự học 1. Hệ trực chuẩn được hiểu như thế nào. Cho ví dụ minh hoạ. 2. Trực chuẩn hoá của hệ trực giao được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 3. Một số tính chất đơn giản của hệ trực chuẩn. 4. Đặc trưng của không gian Hilbert hữu hạn chiều. Liên hệ với đặc trưng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều . 5. Đặc trưng của dãy trực chuẩn {ei }i trong không gian Hilbert. 15
6. Biểu diễn chuỗi Fourier và đẳng thức Parsenal trong không gian Hilbert. 7. Các điều kiện cần và đủ cho dãy trực chuẩn {ei }i là toàn vẹn trong không gian Hilbert. 8. Đặc trưng khả li của không gian Hilbert vô hạn chiều. Bài tập 1, 2, 3, 4, 8.
16
Chương 4 Lí thuyết toán tử 4.1
Không gian liên hợp
Hướng dẫn tự học 1. Không gian liên hợp và không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn E. 2. Ánh xạ xạ nhúng chính tắc được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 3. Không gian định chuẩn E được nhúng đẳng cự vào E ∗∗ như thế nào? 4. Tôpô yếu được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 5. Đặc trưng của cơ sở của tôpô yếu. 6. Hội tụ yếu được hiểu như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ. 7. Đặc trưng của hội tụ yếu trong không gian định chuẩn. 8. Khái niệm tôpô
4.2
∗
yếu trên E ∗ . Cho ví dụ minh hoạ.
Toán tử compắc
Hướng dẫn tự học 1. Khái niệm toán tử compắc và ví dụ minh hoạ. 2. Các điều kiện tương đương của toán tử compắc. 3. Tính compắc của ánh xạ hợp thành. 4. Họ tất cả các toán tử compắc có là không gian vectơ không? 5. Giới hạn của một dãy các toán tử compắc có compắc không?
4.3
Toán tử bị chặn trong không gian Hilbert
Hướng dẫn tự học 1. Kí hiệu L(E) được hiểu như thế nào? 2. Khái niệm toán tử liên hợp, kí hiệu và ví dụ minh hoạ. 17
3. Đặc trưng của toán tử liên hợp. 4. Một số tính chất đơn giản của toán tử liên hợp. 5. Khái niệm toán tử tự liên hợp và ví dụ minh hoạ. 6. Điều kiện cần và đủ cho toán tử là tự liên hợp. 7. Khái niệm toán tử dương và ví dụ minh hoạ. 8. Mối quan hệ giữa toán tử dương và toán tử liên hợp. 9. Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz tổng quát. Liên hệ với bất đẳng thức Cauchy-Schwartz đã học.
18
Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002. [2] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết hàm và giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002.
19