Hukum Gauss

Hukum Gauss Fluks listrik Fluks berkaitan dengan besaran medan yang “menembus” dalam arah yang tegak lurus suatu permukaan tertentu. Fluks listrik menyatakan medan listrik yang menembus dalam arah tegak lurus suatu permukaan. Ilustrasinya akan lebih mudah dengan menggunakan deskripsi visual untuk medan listrik (yaitu penggambaran medan listrik sebagai garisgaris). Dengan penggambaran medan seperti itu (garis), maka fluks listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya “garis” medan yang menembus suatu permukaan. n

Fluks listrik yang dihasilkan oleh medan E pada permukaan yang luasnya dA adalah

θ dA

dφ = E • dA

φ = ∫ dφ =

∫ E • dA seluruh permukaan

=

∫ E • ndA seluruh permukaan

=

∫ E cos θdA seluruh permukaan

E

Arah elemen luas dA ditentukan dari arah normal permukaan tersebut. Hukum Gauss Fluks listrik disebabkan adanya medan listrik, berarti adanya muatan menimbulkan fluks listrik. Tinjau suatu muatan titik q yang berada di titik pusat suatu permukaan yang berbentuk kulit bola E

Di setiap bagian pada permukaan bola E arahnya tegak lurus permukaan dan besarnya sama.

dA

Fluks total pada permukaan kulit bola tersebut adalah

∫ E • ndA =

φtotal =

seluruh permukaan

∫ EdA = seluruh permukaan

∫ seluruh permukaan

kq kq dA = r2 r2

q 4πr 2 2 4πε o r 1

seluruh permukaan

Karena E konstan

Karena E sejajar n

φtotal =

∫ dA

φtotal =

q εo

Secara umum dapat diperluas bahwa untuk sembarang permukaan hasil yang didapat adalah sama (tidak bergantung pada permukaan yang dipilih).

Dengan demikian berarti fluks total pada suatu permukaan sebanding dengan muatan total yang dilingkupi oleh permukaan itu. → hukum Gauss qdalam adalah muatan

Dapat dinyatakan kembali

∫ E • dA = permukaan tertutup

yang berada di dalam permukaan gauss yang dibuat

qdalam εo

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan listrik dari sistem yang mempunyai kesimetrian yang tinggi (misalnya simetri bola, silinder, atau kotak). Untuk menggunakan hukum gauss perlu dipilih suatu permukaan khayal yang tertutup (permukaan gauss). Bentuk permukaan tertutup tersebut dapat sembarang. Konduktor dan isolator Konduktor dicirikan sebagai bahan yang mempunyai muatan bebas. Bila suatu penghantar (konduktor) diberi medan listrik maka muatan bebasnya akan mengatur diri mengikuti medan listrik eksternal tersebut hingga tercapai keadaan setimbang. Eeks Eeks −− −− −−

Eint

++ ++ ++

Etotal dalam bahan = Eeks + Eint = 0

Dengan demikian, pada keadaan setimbang (statik) kuat medan listrik di dalam konduktor adalah sama dengan nol.

Elektron-elektron pada bahan isolator terikat kuat pada atomnya sehingga tidak dapat bergerak bebas, artinya muatan-muatan pada bahan isolator tersebar di seluruh bagian benda. Beberapa contoh
Dengan menggunakan hukum Gauss, tentukan kuat medan listrik di dekat permukaan bermuatan yang rapat muatannya σ. Jika permukaan cukup besar dan yang ditinjau adalah medan di dekat permukaan maka E dapat dianggap homogen dengan arah tegak lurus permukaan.

Permukaan gauss yang berbentuk kulit silinder

Gunakan hukum Gauss

∫ E • ndA =

qdalam

∫ E • ndA + ∫ E • ndA = ε selubung tutup o silinder

silinder

0 (karena pada selubung E tegak lurus terhadap n)

Ada dua permukaan yang merupakan tutup silinder

2 2 ∫ E • ndA = E ∫ dA = E 2πr sedangkan qdalam = σA = σ (πr ) tutup silinder

tutup silinder

Jadi

E =

σ , 2ε o

E=

dalam bentuk vektor

σ n 2ε o


Dengan menggunkan hukum gauss, tentukan medan listrik pada jarak l dari sebuah kawat panjang yang mempunyai rapat muatan λ.

Kawat panjang mempunyai bentuk simetri silinder. Pilih permukaan gauss berupa kulit silinder yang jarijarinya l dan berpusat pada kawat. Karena kawat panjang, maka efek pinggirnya dapat diabaikan dan medan listrik mempunyai arah radial.

l

L

Hukum gauss

∫ E • ndA = seluruh permukaan

∫ E • ndA + dinding silinder

∫ E • ndA + dinding kanan

∫ E • ndA = E ∫ dA = E (2πlL) dinding silinder

Jadi

dinding silinder

E (2πlL) =

λL εo

⇒

∫ E • ndA = dinding kiri

qdalam εo

0 (karena pada kedua permukaan E tegak lurus terhadap n)

E =

λ ⇒ 2πε o l

E=

λ r 2πε o l


Sebuah bola isolator yang bermuatan dengan rapat muatan yang merupakan fungsi dari jarak terhadap pusat bola, yaitu ρ (r ) = 2r . Tentukan medan listrik di dalam dan di luar bola

Permukaan gauss

Misalkan jari-jari bola adalah a. Untuk menentukan medan listrik di dalam bola, buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r

Pada permukaan gauss tersebut arah medan listrik sejajar dengan arah normal permukaan , sehingga 2 ∫ E • ndA = E ∫ dA = E ( 4πr ) permukaan gauss

permukaan gauss

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah r

qdalam = ∫ ρ (r )dV = ∫ 2r ( 4πr 2 )dr = 2πr 4 V

0

Sehingga 2

E ( 4πr ) =

2πr 4

εo

r2 → E= r 2ε o

(di dalam bola, r < a)

Untuk menentukan medan listrik di luar bola, buat permukaan gauss berbentuk kulit bola yang jari-jarinya r > a.

∫ E • ndA = E permukaan gauss

∫ dA = E ( 4πr

2

)

permukaan gauss

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah a

qdalam = ∫ ρ (r )dV = ∫ 2r ( 4πr 2 )dr = 2πa 4 V

0

Sehingga 2

E ( 4πr ) =

2πa 4

εo

a4 → E= r 2ε or 2

(di luar bola, r > a)


Bola konduktor yang jari-jarinya a diberi muatan sebesar −Q. Tentukan medan listrik di dalam dan di luar bola.

Untuk menentukan medan listrik di dalam bola, buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di dalam bola

∫ E • ndA = E permukaan gauss

∫ dA = E ( 4πr

Permukaan gauss

2

)

permukaan gauss

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah sama dengan nol (karena pada konduktor muatan hanya berada di permukaannya saja). E=0 Sehingga (di dalam bola) Untuk menentukan medan listrik di luar bola, buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di luar bola

∫ E • ndA = E permukaan gauss

∫ dA = E ( 4πr

2

)

permukaan gauss

sedangkan muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauss tersebut adalah qdalam = −Q

sehingga

E ( 4πr 2 ) = −Q

atau

E=−

Q r 4πr 2

(di luar bola)


Dua buah kulit bola konduktor yang tersusun sepusat masing-masing dengan jari-jari a dan b (a < b). Kulit bola yang berjari-jari a mempunyai muatan +2q sementara kulit bola yang berjari-jari b mempunyai muatan −q. Tentukan medan listrik di dalam dan di luar kulit-kulit bola tersebut.

Untuk r < a Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di dalam kulit bola berjari-jari a a

r

q E ( 4πr ) = dalam = 0 (karena qdalam = 0) εo sehingga E = 0 (untuk r < a) 2

Untuk a < r < b Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r di antara kedua kulit bola

q 2q E ( 4πr ) = dalam = εo εo 2

(karena qdalam = 2q)

sehingga

q E = (untuk a < r < b) 2πε or 2

a

b

r

Untuk r > b Buat permukaan gauss berupa kulit bola yang jari-jarinya r dengan r > b

E ( 4πr 2 ) =

qdalam 2q − q q = = εo εo εo (karena qdalam = q)

sehingga

E =

q (untuk r > b) 4πε or 2

a

r

b