Hochschule f¨ ur Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) Fakult¨ at Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Prof.Dr.H.Rudolph, Dr.G.Hofmann 1.Beleg Analysis 09AMB
Thema: Mengen und Abbildungen
Abgabe: 43.KW
1. Gegeben sind die folgenden Punktmengen in der Ebene: A = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0} ,
B = {(x, y) : x + y ≤ 1} ,
C = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 3}
a) Skizzieren Sie die Mengen A , B , und C . b) Bestimmen und skizzieren Sie die Mengen D = A ∩ B , E = (A ∪ C)\B , F = (B\A) ∩ C . 2. Es seien X = {3, 4, 5, 6, 7, 8} , Y = {2, 3, 4} gegebene Mengen . F : X −→ Y
sei wie folgt erkl¨art: (x, y) ∈ F ⇔ y|x
(y ist Teiler von x)
a) Geben Sie F als Teilmenge des Kreuzproduktes X × Y an. b) Welche Eigenschaften besitzt die Relation F ? 3. Es seien X = Y = R , f : X− > Y die Abbildung mit der Abbildungsvorschrift √ y = f (x) = ln x + 2 . a) Geben Sie Df und Wf an! b) Untersuchen Sie die Eigenschaften von f (Eindeutigkeit, Eineindeutigkeit) und ermitteln Sie ggf. die Umkehrabbildung f −1 ! 4. Es seien X die Menge aller HTWK - Studierenden und Y die Menge, bestehend aus allen Lehrgeb¨ auden der HTWK, der Mensa, der Bibliothek und der Sporthalle. R : X −→ Y sei folgende Relation: (x, y) ∈ R
⇔
x ist AMB - Studierende(r) und nutzt y.
a) Unter welchen Bedingungen ist R eine Abbildung ? b) Unter welchen Bedingungen gilt R(X) = Y ? c) Beschreiben Sie verbal die Menge R−1 (LN W ) . 5. Zeigen Sie : Die Menge der ganzzahligen Gitterpunkte des 1.Quadranten G = {(m, n) : n, m ∈ N} ist abz¨ ahlbar unendlich . Geben Sie die entsprechende Numerierungsvorschrift an .