Hp12c

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HP-12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA

RENATO BECKER

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HP-12C – USO E APLICAÇÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA OBJETIVO Capacitar o participante a utilizar, de modo eficaz, a CALCULADORA HP-12C pelo uso das funções existentes e a suas aplicações em Finanças, Matemática, etc.. Transmitir ao participante as formas de evolução do dinheiro com o tempo nas aplicações e empréstimos e instrumentos para análise de alternativas de investimentos, enfatizar também aspectos teóricos para desenvolver a capacidade de resolução de novos problemas.

Renato Becker

3 PROGRAMA I - HP-12C

II- MATEMÁTICA FINANCEIRA

OPERAÇÕES BÁSICAS FUNDAMENTOS Liga/Desliga Apresentação de valores Mantissa Uso do teclado Pilha operacional

Conceituação Simbologia Saldo médio

INTRODUÇÃO DE VALORES Limpar registradores (memórias) Inversão de sinal Fixar decimais CÁLCULOS ARITMÉTICOS

JUROS COMPOSTOS Caracterização Registradores financeiros Fórmulas e exemplos .Capitalização para períodos fracionários

Operações aritméticas Registradores (memórias) de armazenamento PRESTAÇÕES CÁLCULOS MATEMÁTICOS Inverso Potenciação Raiz "enézima" Logaritmo

Caracterização Prestações iguais Taxa de juros Prestação antecipada Prestação com carência (diferida) .Saldo devedor

ALTERAÇÃO DE VALORES Arredondamento Números inteiros Números fracionários

FLUXO DE CAIXA Valor presente líquido Taxa interna de juros

PORCENTAGEM Cálculo de percentagem Variação percentual Participação percentual CALENDÁRIO Modos de apresentação (notação) Número de dias entre datas Determinação de datas e dia da semana

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Conceituação Fórmulas e exemplos Exercícios PROGRAMAÇÃO BÁSICA COM A HP-12C

Renato Becker

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HP-12C - USO E APLICAÇÕES OPERAÇÕES BÁSICAS

LIGA/DESLIGA Tecla

ON -

LIGA quando está desligada DESLIGA quando está ligada

Desliga automaticamente entre 8 e 17 minutos após uso

APRESENTAÇÃO DOS VALORES Notação Americana/Inglesa - Ponto para decimais Vírgula para milhares Notação Européia

- Vírgula para decimais Ponto para milhares

Tecla . (ponto) e ON

1,000.00

1.000,00

muda a notação

USO DO TECLADO

As teclas da HP-12C podem possuir até 3 funções. - PRIMÁRIA

- Face superior da tecla, identificada na cor BRANCA.

- 1a. SECUNDÁRIA - Acima da tecla, na cor AMARELA. - 2a. SECUNDÁRIA - Face oblíqua da tecla, na cor AZUL. - PRIMÁRIA (branca) - pressionar a tecla. - 1a. SECUNDÁRIA (amarela) - pressionar a tecla desejada. - 2a. SECUNDÁRIA (azul) - pressionar a tecla

e após pressionar a tecla da função

e após pressionar a tecla da função desejada.

Renato Becker

5 PILHA OPERACIONAL São 4 registradores especiais usados para armazenar números durante os cálculos. Para melhor entendimento e visualização usa-se a notação de empilhamento. T Z Y X (visor) Cálculos com 1 número - registrador X Cálculos com 2 números - registradores X e Y. Z e T ===> Armazenam resultados intermediários.

TECLA ENTER Ao digitarmos um número na calculadora, este é apresentado no visor, ou seja, no registrador X. Pressionando a TECLA ENTER este número é transferido para o registrador Y, permitindo que novo valor seja digitado. A cada ENTER são movimentados para um nível acima na pilha de registradores, ou seja, X --> Y --> Z --> T. Exemplo T Z Y X

123

TECLA

123

123

234

123

123

234

234

345

123

123

234

234

345

345

456

123

234

234

345

345

456

456

(Roll down = Girar para baixo)

Permite verificar e recuperar o conteúdo da Pilha Operacional. X --> T --> Z --> Y --> X Exemplo 123 T 234 Z 345 Y 456 X

R↓

456

345

234

123

456

345

234 345

R↓

123 234

R↓

456 123

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TECLA Inverte o conteúdo dos registradores X e Y. Exemplo T Z Y X

123

123

123

234

234

234

345

X>
456

456

X>
345

TECLA

345

X>
456

(Last X = Último X)

Recupera o valor do último número que constava no visor antes da última operação. Exemplo T Z Y X

123

123

123

234

123

234

345

234

801

456

+

801

g Lst X

456

Também pode ser usado como constante Exemplo - Qual a receita produzida por um produto se vendermos 800 unidades a UM$ 50,00, UM$ 75,00 e UM$ 95,00. 50 E 800 x 75 g Lst X x 95 g Lst X x

(40000) (60000) (76000)

INTRODUÇÃO DE VALORES

LIMPAR REGISTRADORES CL X f CLEAR ∑ f CLEAR PRGM f CLEAR FIN f CLEAR REG f CLEAR PREFIX -

(MEMÓRIAS)

Registrador X (Visor) Registradores Estatísticos (1 a 6) Programa (só funciona no programação) Registradores Financeiros (n i PV PMT FV) Todos Registradores (todas as memórias, Registradores Financeiros e Pilha) Anula tecla de prefixo (f,g)

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INVERSAO DE SINAL

(CHange Sign = Trocar sinal)

Positivo ===> Negativo Negativo ===> Positivo Exemplo -32

32 CHS E

(-27) x 8

27 CHS E 8 x

(-216)

41 E 3 CHS :

(-13,67)

41 : (-3)

FIXAR DECIMAIS

n

Para fixar o número de casas decimais a serem apresentadas no visor (registrador X) da calculadora, teclar f e em seguida o número de decimais desejadas. Exemplo 0 decimais

f0

3 decimais

f3

9 decimais

f9

Obs.:- Apesar do visor apresentar o número de casas decimais desejadas, internamente a HP-12C continua efetuando os cálculos com até 16 casas decimais.

MANTISSA Mostra no visor o conteúdo dos 10 dígitos do visor. Manter a tecla ENTER pressionada. Exemplo f 2

1,23456789

ENTER

f ENTER

(123456789)

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8 CÁLCULOS ARITMÉTICOS

OPERAÇÕES ARITMÉTICAS As operações aritméticas são cálculos que necessitam de dois números e para efetuar esta operação a calculadora HP-12C utiliza o sistema de notação polonesa inversa (RPN). Neste caso será necessário introduzir na calculadora os dois números (armazenados em X e Y) e então efetuar a operação a ser executada. Exemplo 12 + 5 12 E 5 + (17)

14 x 8

29 - 12

36 ÷ 4

14 E 8 x (112)

29 E 12 (17)

36 E 4 : (9)

Com o auxílio da pilha operacional podemos executar cálculos encadeados. Exemplo - Calcular (4 + 8) ÷ (7 - 3) 4E8+7E3-: (3)

9 x (3 + 5) (98 - 90) x (5 + 6) 9 E 3 E 5 + x 98 E 90 – 5 E 6 + x (72) (88)

REGISTRADORES (MEMÓRIAS) DE ARMAZENAMENTO A HP-12C pode possuir até 20 registradores ou memórias para armazenar resultados de operações aritméticas. 0 --> 9

e

.0 --> .9

A função g MEM informa a quantidade de memórias disponíveis ARMAZENAR NÚMEROS STO n

(STOre = Armazenar)

(n = número da memória)

Exemplo 2

no registrador 9

2 Sto 9

35 + 7 no registrador 6

35 E 7 + Sto 6

4 x 9 no registrador 3

4 E 9 x Sto 3

45 ÷ 3 no registrador .2

45 E 3 : Sto .2

Renato Becker

9 Os registradores de 0 a 4 permitem que a operação de armazenamento seja acompanhada de operações aritméticas, possibilitando o seu uso como acumuladores. Exemplo Somar 5 no registrador 3

5 Sto + 3

Diminuir 2 do registrador 3

2 Sto - 3

Multiplicar por 9 o registrador 3

9 Sto x 3

Dividir por 3 o registrador 3

3 Sto : 3

45 Sto + 7

Error 4 – Esta memória não aceita cálculo

RECUPERAR NÚMEROS ARMAZENADOS RCL n

(ReCalL = Recuperar)

(n = número da memória)

Exemplo - Verificar o conteúdo dos registradores 0

Rcl 0

(0)

3

Rcl 3

(117)

6

Rcl 6

(42)

9

Rcl 9

(2)

.2

Rcl .2

(15)

2500 x Memória 9

2500 E Rcl 9 x

(5000)

Para zerar uma memória – 0 Sto .2 A função Sto substitui o conteúdo da memória informada

CÁLCULOS MATEMÁTICOS INVERSO Obtém o inverso do valor contido no visor. Esta operação representa o mesmo que dividir 1 pelo conteúdo do visor (registrador X) Exemplo Determinar o inverso dos seguintes números:5 0,25 0,5 5 1/X .25 1/X .5 1/X (0,2) (4) (2) 36 : 4 4 E 36 : 1/X

(9)

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POTENCIAÇÃO

Esta é uma operação de dois números (registrador X e Y). Y Recebe a base X Recebe o expoente Exemplo Calcule as seguintes potências:45

9-2,5

4 E 5 Yx (1024)

3,8720 ÷ 58

9 E 2.5 CHS Yx (0,00412)

3.87 E 20 E 58 : Yx (1,5946)

 0,03 × (1 + 0,03 ) 12   R = 5000 ×  12  ( ) 1 + 0 , 03 − 1   .03 E 1 E .03 + 12 Yx x (0,04277)

1 E .03 + 12 Yx 1 - : 5000 x (0,42576) (0,10046) (502,31)

.03 E 1 E .03 + 12 Yx x

g Lst X 1 - : 5000 x

x

RAIZ ENÉZIMA

Y

A HP12C dispõe somente da função raiz quadrada, porém usando um artifício matemático, é possível extrair qualquer raiz, ou seja, se utilizarmos a potência inversa (elevar à potência 1/X) obteremos o resultado desejado. x

Y

=

Y 1÷X

ou

Y1/x

Exemplo Determinar as seguintes raizes:3

12 8 254 8 E 3 1/X Yx 254 E 12 1/X Yx (2) (1,58636)

−5

425 425 E 5 CHS 1/X Yx (0,29807)

Determinar a taxa mensal equivalente 45% ao ano.

(

n

)

1 + i − 1 ×100

(

12

)

1 + 0,45 − 1 ×100

1 E .45 + 12 1/X Yx 1 – 100 x

(3,15% a.m.)

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LOGARITMO ln = Logaritmo natural ou Neperiano Exemplo Calcular o logaritmo neperiano de:100 100 g LN (4,605)

123 123 g LN (4,812)

2 2 g LN (0,693)

2,7182818 2.7182818 g LN (1)

Obs.:- Para obter o logaritmo comum (base 10) de um número (log, base 10), calcular o ln do número desejado, em seguida o ln de 10 e dividindo-se os valores. Calcular o logaritmo comum (log) de:100 123 2 100 g LN 10 g LN : (2) 123 g LN 10 g LN : (2,0899) 2 g LN 10 g LN : (0,30103) 2,7182818 g LN 10 g LN : (0,43429)

2,7182818

ANTILOG Decimal (log) - 10 elevado ao log – 10 E .30103 Yx = 2 Neperiano (LN) – logaritmo e a função eX 4.812 g eX = 123 ALTERAÇÃO DE VALORES

ARREDONDAMENTO

(RouND = Arredondar)

Arredonda o número do visor (registrador X) e internamente para a quantidade de decimais constantes no visor g Lst X -- Recupera o valor com todas as decimais. Exemplo Arredondar para:3 decimais 1,2345678

1.2345678 E f 3 f RND

(1,235)

5 decimais 234,5678901

234.5678901 E f 5 f RND

(234,56789)

Obs.:- O critério de arredondamento usado, é o convencionado internacionalmente. 0 a 4 -- abandona 5 a 9 -- aumenta.

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PARTE INTEIRA

(INTeGer = Nº Inteiro)

Altera o número do visor (registrador X) para a parte inteira do número nele contido, abandonando as decimais. g Lst X -- Recupera o valor original. Exemplo Obter o número inteiro de:1,2345678

1,2345678 E g INTG

(1,00)

345,678901

345.678901 E g INTG

(345,00)

0,598723

.598723 E g INTG

(0,00)

PARTE FRACIONÁRIA

(FRACtional = Fracionário)

Altera o número do visor (registrador X) para a parte fracionária, a parte inteira é substituída por zero. g Lst X -- Recupera o valor original. Exemplo Manter as decimais dos seguintes números:457,987

457.987 E g FRAC

(0,987)

754

754 E g FRAC

(0,000)

9,876578

9.876578 E g FRAC

(0,876578)

PORCENTAGEM Segundo o dicionário - Porcentagem ou percentagem - “Quantia que se paga ou recebe na proporção de um tanto por cento”. Porcento – “Importância recebida proporcional à venda; taxa ou quantidade que determina essa importância”. Cento – (s. m.) Número de cem; Uma coleção de cem unidades.

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PERCENTUAL Operação de dois números. Informar em primeiramente o valor base (de quem se quer obter o percentual) e em seguida o valor do porcentual que se deseja calcular. Exemplo Calcular 35% de 120.000. 120000 E 35 %

(42000)

Obs.:- O valor base permanece no registrador Y, permitindo com isso operações aritméticas entre ele e o resultado Exemplo Um objeto custa UM$ 520,00 e teve um aumento de 15%. Qual o seu novo preço? 520 E 15 % +

(598)

Uma loja oferece 12% de desconto para a compra à vista de um objeto que custa UM$ 420,00. Qual o valor a pagar? 420 E 12 % -

(369,60)

VARIAÇÃO PERCENTUAL Determina a diferença percentual entre um número base (registrador Y) e o número indicado no visor (registrador X). Exemplo O preço de um objeto aumentou de UM$ 240,00 para UM$ 324,00. Qual foi o aumento verificado? 240 E 324 D%

(35%)

Um objeto alterou seu preço de UM$ 675,00 para UM$ 540,00. Qual a redução ocorrida? 675 E 540 D%

(-20%)

PARTICIPAÇÃO PERCENTUAL

(Percentual de um Total)

Determina quantos porcentos representa o valor contido no visor (registrador X) em relação a um valor base (registrador Y).

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Exemplo Qual a participação percentual de 220 em um total de 880? 880 E 220 %T

(25%)

O faturamento de uma empresa foi:UM$ 1200,00 Mercado Nacional 2500,00 Europa 4500,00 E U A 500,00 África Qual a participação de cada um sobre o total? 1200 E 2500 + 4500 + 500 +

(8700)

1200 %T CLX 2500 %T CLX 4500 %T CLX 500 %T

(13,79%) (28,74%) (51,72%) (5,75%)

Para determinar o valor base onde 220 é 25% de um valor 25 E 220 %T

(880)

CALENDÁRIO A HP-12C está preparada para manipular datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046.

FORMATO DA DATA A data pode ser manipulada de duas maneiras:-

Americano/Inglês

- Mês Dia Ano

Europeu

- Dia Mês Ano

Um desativa o outro. Quando D.MY estiver ativado, esta informação permanece indicada no visor. As datas devem ser informadas da seguinte maneira.M.DY ==> 15/08/1998

8.151998

D.MY ==> 15/08/1998

15.081998

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NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS

(DaYS = Dias)

Determina a quantidade de dias entre duas datas informadas. Registrador X ==> Ano Civil (365 dias) Y ==> Ano Comercial (360 dias) Exemplo – Determinar o número de dias decorridos entre 15 de outubro de 2006 e 27 de julho de 2007. 15.102006 E 27.072007 g DDYS

(Civil = 285 dias X<>Y = Comercial = 282)

Determine o número de dias decorridos entre o dia do seu nascimento e a data de hoje. Data mais recente 09/05/2009 e a data mais antiga 25/02/2009 9.052009 E 25.022009 g DDYS

(-73 X<>Y -74)

CÁLCULO DE DATA E DIA DA SEMANA

(DATE = Data)

Determina a data e o dia da semana a partir de uma data base, decorrido um certo número de dias (passado ==> nº de dias negativo). O resultado tem o seguinte formato:dd.mm.aaaa

S ==> D.MY

mm.dd.aaaa

S ==> M.DY

S ==> Dia da semana, 1 - Segunda, 2 - Terça,....., 6 - Sábado, 7 - Domingo. Utiliza o calendário civil. Exemplo Determinar a data e dia da semana em que ocorrerá o vencimento de uma duplicata emitida no dia 20 de agosto de 2006 com prazo de 45 dias. 20.082006 E 45 g DATE

(4.10.2006

3)

Obs.: se o número de dias informado for negativo o cálculo será feito retroativamente. 09/05/2009 -63

9.052009 E 63 CHS g DATE

(7.03.2009

6)

Determinar o dia da semana do seu nascimento. 8215 dias => 9.052009 E 8215 CHS g DATE 11.111986 E 0 g DATE

(11.11.1986 2) (11.11.1986 2)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO A Matemática Financeira é utilizada em função de valores emprestados ou aplicados e no mundo dos negócios o processo de aquisição de bens e serviços pode produzir duas transações, a comercial e a financeira. A primeira é o ato de compra e venda e a segunda é gerada quando a compra/venda não é quitada integralmente e existe a necessidade da intervenção de um agente financeiro (formal ou não), quando é produzida a transação financeira e neste caso a mercadoria envolvida é o dinheiro. GERAÇÃO DE UMA TRANSAÇÃO FINANCEIRA Todo produto ou serviço possui um valor de referência, que quando vamos a uma loja poderíamos comparar com o preço da ETIQUETA; Normalmente este primeiro valor é alvo de uma negociação, que pode ser reduzido através de um desconto, resultando no que chamamos de preço À VISTA; Quando o preço à vista não é pago integralmente, chamamos este valor parcial de ENTRADA, resultando um plano de pagamentos acordado entre as partes para a diferença; O plano de pagamentos é que gera a TRANSAÇÃO FINANCEIRA onde juros e montante serão calculados a partir da quantia financiada (P). Em resumo: Transação Comercial Valor de referência ou etiqueta Valor de referência - Desconto = Valor à Vista Valor À Vista - Entrada = Valor Financiado (P) Transação Financeira Valor Financiado + Juros - Pagamentos = Pagamento da dívida.

JUROS CONCEITUAÇÃO A fim de produzir os bens de que necessita, o homem combina os fatores produtivos - recursos naturais, trabalho e capital. Assim organizando a produção temos a geração de bens e serviços. A sua venda gera a renda que é distribuída na forma de salários, alugueis, lucros e juros, este último destinado aos proprietários do capital. No cálculo financeiro JURO é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por um determinado tempo, a uma taxa previamente combinada. Dinheiro que se paga pelo uso de dinheiro emprestado

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SIMBOLOGIA Período de capitalização = Intervalo de tempo entre o cálculos dos juros. P (PV) = Principal, valor do capital no início do investimento, ou seja, é a valor transacionado, também chamado de valor atual, valor presente, capital, etc.. i (i) = Taxa unitária de juros por período de capitalização (%÷100). n = Número de unidades de tempo do investimento, ou seja, é a duração do investimento, (representa a quantidade de capitalizações). j = Valor dos juros produzidos (recebidos/pagos) durante um investimento. S (FV) = Montante, valor do capital no final do investimento acrescido de juros, também conhecido como valor nominal, valor futuro, valor final, etc.. d = Desconto obtido numa operação de antecipação de pagamento de um título. R (PMT) = Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga de forma parcelada.

Diagrama de Fluxo de Caixa

$ $ | | receitas 0 1 2 3 4| n-1| n +---+---+---+---+ .............---+---+---+---> período | | | | | | | | despesas $ $ $ $ Cuidados • A taxa de juros deve sempre ser transformada para o seu período de capitalização. • A taxa de juros e o número de períodos de um investimento devem sempre ser expressos na mesma unidade de tempo (de preferência na unidade de tempo da taxa de juros). REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES – Juros constantes, pois, são calculados sobre um único valor (Principal) de tempos em tempos. • Cheque Especial; • Boletos Bancários; COMPOSTOS – Juros variáveis, pois, são calculados sobre o principal e também sobre os juros, de tempos em tempos. • Aplicações Financeiras; • Financiamentos; CONTÍNUOS – Juros variáveis, pois, são calculados sobre o principal e também sobre os juros, constantemente (não existe intervalo de tempo entre o cálculo dos juros). • Sem aplicação prática; Renato Becker

18 SALDO MÉDIO O cálculo do saldo médio de um saldo bancário é o resultado da soma dos saldos diários dividido pelo número de dias de observação.

s ald o_ m éd io =

$1 + $2 + $3 +  + $n n

$1 × n1 + $2 × n2 + $3 × n3 +  + $n × nn s a _l md oé = d i o n1 + n2 + n3 +  + nn Exemplo

Saldo D/C

Dias de Saldo

600,00 C

5

600 E 5 x

3000

710,00 C

4

710 E 4 x +

2840

280,00 C

12

280 E 12 x +

3360

110,00 C

9

110 E 9 x +

990

Total

5 E 4 + 12 + 9 +

= 30

10190

:

339,67

Saldo Médio

JUROS SIMPLES Taxa de juros sempre por ano = > 10% a.m. 10 E 12 = 120% a.a. Prazo sempre em dias => 3 meses = 3 E 30 x = 90 Cálculo Principal = PV Taxa = i Prazo = n Cálculo = f INT PV = 1000 i = 120% n = 90 d 1000 PV 120 i 90 n f INT ( X = -300 Juros Comercial, Y X<>Y = -1000 capital a pagar, R! R! Z = -295,89 Juros ano de 365 dias) FORMAS DE PAGAMENTO POR JUROS COMPOSTOS - Pagamento Simples (único)

Possui fórmulas e teclas para cálculo

- Série Uniforme de Pagamentos (prestações) Possui fórmulas e teclas para cálculo - Mistos

Combinação de fórmulas e teclas cálculo

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20 REGISTRADORES FINANCEIROS Através das funções financeiras podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, quaisquer problemas financeiros que impliquem num só pagamento ou em uma série de pagamentos iguais. Os valores dos pagamentos ou recebimentos introduzidos na calculadora devem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecida para fluxos de caixa, ou seja, sinal + para entradas e sinal - para as saídas. A HP-12C possui 5 registradores especiais para armazenamento e cálculo de valores na resolução de problemas que envolvam finanças.

- Número de períodos de um investimento - Taxa de juros por período de capitalização em % - Valor Presente ou Principal - Valor da prestação de uma Série Uniforme - Valor Futuro ou Montante Para armazenar valores nestes registradores basta digitar o valor e pressionar a tecla correspondente. Para recuperar o valor armazenado em um registrador financeiro, basta pressionar tecla do registrador correspondente.

seguida da

- É importante limpar os registradores financeiros antes de qualquer cálculo.

Para planos de pagamentos mistos (fluxos de caixas) podem ser utilizadas as teclas de fluxo de caixa:-

- Valor no período zero do fluxo de caixa - Valor nos demais períodos do fluxo de caixa - Número de vezes que o valor se repete - Valor atual líquido do fluxo de caixa - Taxa interna de retorno do fluxo de caixa Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa. Cada conjunto de valores, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento mais o FV.

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21 PAGAMENTO SIMPLES No sistema de pagamento simples sempre estão envolvidos um principal e um montante, além de evidentemente da taxa de juros e do tempo do investimento. Para P sempre atribui-se o tempo (período) zero e para S o período n. 0 1 2 3 4 . . . . . . n +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | P = PV S = FV

FÓRMULAS

S = P ( 1+ i)

n

S = P x FAC'(r,n) FAC' = fator de acumulação de capital

P=

S

(1 + i) n

P = S x FVA'(r,n) FVA' = fator de valor atual

Exemplos 1. Um investimento paga 5% a.m. de juros, quanto é possível resgatar após 6 meses, se aplicarmos UM$ 35.000,00? 0 1 2 3 4 .5. 6 +---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | PV= 35000 FV = ? i = 5%

f FIN 35000 CHS PV 5 i 6 n FV

(46903,35)

2. Qual o principal, que aplicado a juros de 11% a.a. produz um montante de US$ 35.000,00 após 12 anos? i = 11% FV = 35000 n = 12 PV = ? f FIN 11 i 35000 FV 12 n PV

(-10004,43)

Renato Becker

22 3. Um investimento de UM$ 25.000,00 produz UM$ 36.600,00 ao final de 4 meses. Qual a taxa de juros?  S  −1 i = n  P   

PV = 25000 FV = 36600 n = 4 i = ? f FIN 25000 PV 36600 FV 4 n i sinal trocado

Error 5 => PV e FV estão com o mesmo sinal, devem estar com

f FIN 25000 CHS PV 36600 FV 4 n i

(10%)

4. Durante quanto tempo um capital de UM$ 100.000,00 deve ser aplicado a juros de 3% ao mês para produzir juros de UM$ 54.000,00?

S  log   P  n= log (1 + i)

S  ln  P  n= ln(1 + i)

PV = 100000 i = 3% FV = 100000 + 54000 n = ? f FIN 100000 CHS PV 3 i 100000 E 54000 + FV n

(15 meses)

 10000 + 54000  ln  100000   100000 E 54000 + 100000 : g LN 1 E .03 + g LN : (14,61 meses) n= ln(1 + 0,03 ) A HP sempre arredonda o resultado para o próximo inteiro será necessário recalcular PV ou FV, bastando pressionar a tecla desejada FV = 155796,74 5. Um banco remunera as aplicações com juros de 3% a.m.. Se aplicarmos hoje UM$ 8.500,00 e UM$ 10.000,00 daqui a 3 meses qual será o resgate daqui a 7 meses? 0 1 2 3 4 .5. 6 7 +---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | 8500 10000 FV = ? |__________FV + = PV__________FV | |_______________FV |___________________________FV +

Opção 1 f FIN 8500 CHS PV 3 i 3 n FV (9288,18) 10000 + CHS PV 4 n FV

(21709,02)

Opção 2 f FIN 8500 CHS PV 3 i 7 n FV (10453,93) 10000 CHS PV 4 n FV (11255,09) + (21709,02)

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23 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS É FRACIONÁRIO Para investimentos em regime de capitalização composta por um período de tempo não inteiro, é necessário convencionar de que forma será calculado o valor do montante. São utilizadas várias convenções, conforme exposto a seguir para o exemplo de uma aplicação de UM$ 100.000,00 durante 3,5 meses com uma taxa de 18% a.m. Três critérios:a) EXCLUSÃO – Período Inteiro – Juros Compostos Período Fracionário – Não remunerado Poupança – FGTS PV = 100000 i = 18% n = 3 FV = ? f FIN 100000 CHS PV 18 i 3 n FV

(164303,20)

f FIN 100000 CHS PV 3.5 n 164303.2 FV I

(15,24% a.m.)

b) LINEAR – Período Inteiro – Juros Compostos Período Fracionário – Juros Simples Cheque especial – Boletos bancários Não pode ter o c no visor Sto EEX elimina o c PV = 100000 i = 18% n = 3,5 FV = ? f FIN 100000 CHS PV 18 i 3.5 n FV

(179090,49)

f FIN 100000 CHS PV 3.5 n 179090.49 FV i

(18,12% a.m.)

c) EXPONENCIAL – Período Inteiro – Juros Compostos Período Fracionário – Juros Compostos Aplicações financeiras Obrigatório c no visor

Sto EEX cola o c

PV = 100000 i = 18% n = 3,5 FV = ? f FIN 100000 CHS PV 18 i 3.5 n FV

(178478,96)

f FIN 100000 CHS PV 3.5 n 178478.96 FV i

(18% a.m.)

Para saber a taxa exata de cada critério, recalcular i pelo critério exponencial (c no visor), com o prazo total (neste caso 3,5)

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24 PRESTAÇÕES (ou Rendas) Os sistemas de prestações são casos particulares de juros compostos e devido a sua freqüência e características foram desenvolvidas fórmulas para a determinação dos valores. O principio do sistema de prestações é o de que cada parcela é composta por dois valores, amortização e juros. Os principais sistemas são:- Prestações Iguais - Prestações Antecipadas - Prestações com carência ou diferidas - Prestações com pagamentos adicionais (balão)

PRESTAÇÕES IGUAIS OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS Não pode aparecer a palavra BEGIN no visor g END apaga É o caso mais comum de sistema de prestações e serve como base para a maioria dos demais sistemas. 0 1 2 3 4 . . . . . . n +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R R R = PMT | | P = PV S = FV

R - parcela de pagamento ou prestação (PMT)

Antes de usarmos qualquer fórmula ou a calculadora HP12C para cálculos que envolvam um sistema de prestações iguais é necessário que sejam observadas as suas características. Características 1- O primeiro pagamento de um sistema de prestações iguais ocorre um período após o inicio do investimento, ou seja, o período 0 é o início do investimento e a ele fica designado o principal. 2- O valor da parcela (R) é constante durante todo o investimento. 3- Não existem interrupções de pagamentos durante o investimento. 4- O número de períodos a ser considerado como n é igual a quantidade de prestações. 5- A taxa de juros e o intervalo de tempo entre pagamentos de parcelas, devem ser expressos na unidade tempo da taxa de juros. 6- O montante (S) é obtido junto com o pagamento da última prestação. Isto significa dizer que o investimento termina com o pagamento da última parcela.

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25 FÓRMULAS  (1 + i) n  −1 S = R× i  

    

ou

S = R x FAC(r,n)

FAC = Fator de acumulação de capital  i R = S×  (1 + i ) n − 1 

   

ou

R = S x FFC(r,n)

FFC = Fator de formação de capital

 (1 + i) n − 1 P = R×  i × ( 1 + i) n 

   

ou P = R x FVA(r,n) FVA = Fator de valor atual

 i × (1 + i) n   R = P×  ( 1 + i) n − 1   

ou

R = P x FRC(r,n)

FRC = Fator de recuperação de capital

Exemplos 1. Se depositarmos mensalmente UM$ 2.000,00 em uma conta que rende 5% a.m. de juros, quanto teremos ao final de 8 depósitos? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R R R = PMT = 2000 | | P S

PMT = 2000 n = 8 i = 5% FV = ? f FIN 2000 CHS PMT 8 n 5 i FV

(19098,22)

2. Posso pagar mensalmente de UM$ 1500,00 durante os próximos 10 meses. Que quantia é possível financiar se considerarmos uma taxa de juros de 6% a.m.? PMT = 1500 n = 10 i = 6% PV = ? f FIN 1500 CHS PMT 10 n 6 i PV

(11040,13)

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26 3. Uma compra de UM$ 72.000,00 será paga em 7 prestações mensais e iguais. Qual o valor da prestação, se a taxa de juros é de 11% a.m.? PV = 72000 n = 7 i = 11% PMT = ? f FIN 72000 PV 7 n 11 i PMT

(-15279,50)

4. A loja “Vende Fácil” diariamente distribui aos seus vendedores os coeficientes para determinar o valor das prestações no caso de vendas a prazo. Hoje ela determinou que a taxa de juros a ser praticada é de 4,2% ao mês. Ajude o gerente determinar os coeficientes para os planos de 4, 7 e 12 meses. PV = 1 i = 4,2% n = 4 7 12 PMT f FIN 1 CHS PV 4.2 i 4 n PMT 7 n PMT 12 n PMT

(0,27679) (0,16784) (0,10779)

TAXA DE JUROS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS A taxa de juros de um sistema de prestações iguais normalmente é determinada por meio de calculadoras financeiras ou então por aproximações sucessivas com o uso de interpolação linear.

Exemplo Um financiamento de UM$ 40.000,00 será pago em 24 prestações mensais de UM$ 2.360,00 cada. Qual a taxa de juros usada no financiamento? PV = 40000 n = 24 PMT = 2360 i = ?

(PV e PMT com sinais opostos)

f FIN 40000 PV 24 n 2360 CHS PMT i

(3% a.m.)

Podemos obter a taxa de juros, de forma aproximada, através da formula de Karppin

H=

n ×R −1 P

r=

200 × H × ( 3 + H) n × ( 3 + 2 × H) + 3

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27 DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE PARCELAS DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS O número de parcelas de um financiamento a partir do valor financiado e do valor da prestação é determinado por:-

 R  ln   R − Pxi  n= ln(1 + i)

 R  log    R − Pxi  n= log (1 + i) Exemplo

Um financiamento de UM$ 20.000,00 será pago em prestações mensais de UM$ 2.300,00 cada. A juros de 5% a.m qual a duração do financiamento? PV = 20000 PMT = 2300 i = 5% n =? f FIN 20000 PV 2300 CHS PMT 5 i n Recalcular o valor do PMT

(12)

Basta pressionar PMT (-2256,51)

PRESTAÇÕES ANTECIPADAS Necessário BEGIN no visor

planos 1 + X g BEG prepara a calculadora para este modo

Neste caso a primeira prestação é paga no dia da tomada do empréstimo, podemos dizer que estamos pagando uma entrada de valor igual ao da prestação. Este tipo de plano de pagamentos é muito usado no comércio. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | R R R R R R R R | | | P S

FÓRMULA

 i × (1 + i) n − 1 R = P×  ( 1 + i) n − 1 

   

Exemplo Foram financiados UM$ 5.000,00, em 10 (1 + 9) prestações iguais, onde o primeiro pagamento ocorre no ato do financiamento. Qual o valor das prestações se a taxa aplicada é de 8% a.m.? PV = 5000 n = 10 i = 8% PMT

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28 f FIN 5000 PV 10 n 8 i g BEG PMT

(-689,95)

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29 PRESTAÇÕES COM CARÊNCIA OU DIFERIDAS Este tipo de plano de pagamentos prevê que o pagamento da primeira prestação ocorre certo número de períodos após a contratação do empréstimo, ou seja existe uma carência. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | R R R R R | P

Aqui devemos considerar dois períodos distintos q - número de períodos sem pagamentos (3) n - número de prestações (5) FÓRMULA

 i × ( 1 + i) n + q R = P×  (1 + 1) n − 1 

   

Exemplo Para fazer uma promoção de venda, será necessário elaborar um plano de 6 prestações iguais, onde a primeira prestação vence 4 meses após a venda. Determinar o valor das prestações de uma venda de UM$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5,4% a.m.? 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R = PMT | <=FV P PV=>

Passo 1 – Capitalizar o período sem pgtos (neste caso= 3) PV = 5000 n = 3 i = 5,4% FV = ? f FIN 5000 PV 3 n 5.4 i FV

(-5854,53)

Passo 2 – Transformar o FV em PV e calcular a parcela PV = 5854,53 n = 6 i = 5,4% PMT = ? CHS PV 6 n 0 FV PMT

(-1108,39)

F FIN 5000 PV 3 n 5.4 i FV CHS PV 6 n 0 FV PMT

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30 PRESTAÇÕES COM PARCELAS ADICIONAIS São planos de pagamentos onde um ou mais pagamentos são maiores ou menores que a prestação a ser paga normalmente. q 0 1 2 3 4 . . . . . . n +---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | R R R R R R R R | | P ± Adic.

Podem ocorrer duas situações: - é conhecido o valor do adicional - é conhecido o valor da prestação com o adicional

PRESTAÇÕES ONDE É CONHECIDO O VALOR DO ADICIONAL Neste caso calcula-se primeiramente o valor atual (P) do adicional S P1 = (1 + i) n Em seguida calcula-se a diferença entre o valor atual da dívida e o valor atual do adicional, obtendo-se o saldo. SALDO = P - P1 Finalmente calcula-se o valor da prestação tomando-se o SALDO por principal.

 i × (1 + i) n   R = P×  ( 1 + i) n − 1   

P = SALDO

Exemplos Uma compra de UM$ 9.000,00 será paga em 7 prestações, todas iguais, menos a quarta prestação que será UM$ 1.000,00 maior que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 10% a.m.. - valor atual do adicional (1000) FV = 1000 n = 4 i 10 % PV = ? f FIN 1000 CHS FV 4 n 10 i PV

(683,01)

- valor do saldo 9000 – 683,01 9000 X<>Y –

(8316,99)

- valor da prestação PV = 8316,99 n = 7 i = 10 PMT = ? PV 7 n 0 FV PMT

(-1553,05)

Parcela 4 = -2553,05 Renato Becker

31 Uma compra de UM$ 40.000,00 será paga em 9 prestações, todas iguais, menos a quinta prestação que será UM$ 1.200,00 menor que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 6% a.m.. Adicional = -1200 f FIN 1200 FV 5 n 6 i PV

(-896,71)

Saldo 40000 X<>Y –

(40896,71)

Parcela PV 9 n 0 FV PMT

(-5672,38)

Parcela 5 = -4472,38

SALDO DEVEDOR DE UM SISTEMA DE PRESTAÇÕES Consiste em determinar a parcela do principal, ainda não paga em determinada ocasião. PV= 20000 PMT = 2934 i = 10% a.m. Demonstrar a evolução do saldo devedor até o quinto mês. Mês Juros Saldo Devedor Pagamento Saldo Devedor antes do pgto após pgto 0

Amortização

20.000,00

1

2000,00

22000,00

2.934,00

19066,00

934,00

2

1906,60

20972,60

2.934,00

18038,60

1027,40

3

1803,86

19842,46

2.934,00

16908,46

1130,14

4

1690,85

18599,31

2.934,00

15665,31

1243,15

5

1566,53

17231,84

2.934,00

14297,84

1367,47

No vencto A amortização aumenta na razão da taxa de juros A função f AMORT determina o valor dos juros, amortização e o saldo devedor após o pagamento 10 i 20000 PV 2934 CHS PMT 1 f AMORT = 19066 – Saldo dev. Após pgto)

(X= -2000 – juros Y X<>Y = -934 – Amortização Rcl PV

Para amortizar mais de uma parcela basta informar quantas. Para amortizar 5 parcelas 10 i 20000 PV 2934 CHS PMT 5 f AMORT (X = total dos juros = -8967,84 X<>Y = total de amortizações = -5702,16 Rcl PV = 14297,84 = Saldo devedor após 5 pgtos) Exemplo

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32

Uma compra esta sendo paga através de 17 prestações de UM$ 5.000,00. Considerando uma taxa de 6% a.m., qual o saldo devedor antes e após o pagamento da sétima prestação? PMT = 5000 n = 17 i = 6% PV = ? f FIN 5000 CHS PMT 17 n 6 i PV

(52386,30)

7 f AMORT Rcl PV

(após pgto = 36800,44)

5000 +

(antes pgto = 41800,44)

Uma compra esta sendo paga através de 20 prestações de UM$ 8.000,00. Considerando uma taxa de 14% a.m., determinar: a- Qual o valor à vista da compra? b- Qual o saldo devedor antes e após o pagamento da nona prestação? c- Qual o valor dos juros e da amortização da 12ª parcela? À vista PMT = 8000 n = 20 i = 14% PV = ? f FIN 8000 CHS PMT 20 n 14 i PV

(52985,04)

Juros/Amortização parcela 12 1 – Amortizar 11 parcelas (mês imediatamente anterior) 11 f AMORT 2 – Amortizar a parcela 12 1 f AMORT

(juros = - 5539,94, X<>Y = amortização = -2460,06)

FLUXO DE CAIXA

Quando um plano de pagamentos não é um Pagamento Simples nem uma Série Uniforme de Pagamentos, dizemos que se trata de um Sistema Misto e para encontrar o Principal ou a Taxa de Juros a HP12C possui um recurso denominado Fluxo de Caixa representado pelas teclas:

- Valor no período zero do fluxo de caixa (Principal) - Valor nos demais períodos do fluxo de caixa - Número de vezes que o valor se repete (limite = 99) Primeiramente informar o Principal e em seguida os demais valores. Obs. Podem ser armazenados até 20 conjuntos de valores por fluxo de caixa. Cada conjunto de valores, ocupa uma das 20 memórias de armazenamento mais o FV. Antes de inserir o fluxo de caixa limpar as memórias da calculadora (f CLEAR REG)

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33 Quando um ou mais períodos não possuírem valor, para eles deve-se informar para o mesmo o valor zero e o número de períodos que ele se repete. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 | P

VALOR PRESENTE LÍQUIDO Determina o principal de um fluxo de caixa. Exemplo Determinar o valor atual (principal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 | P =?

f REG 100 g CFj 200 g CFj 300 g CFj 4 g Nj 400 g CFj 0 g CFj 3 g Nj 500 g CFj 5 i f NPV (1818,14)

TAXA INTERNA DE JUROS Determina a taxa interna de juros do fluxo de caixa. Obs. – Receitas e despesas devem ser informadas com sinal contrário. Exemplo Determinar a taxa interna de juros do plano de pagamentos abaixo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> | | | | | | | | | | 100 200 300 300 300 300 400 500 | 1500

f REG 1500 CHS g CF0 100 g CFj 200 g CFj 300 g CFj 4 g Nj 400 g CFj 0 g CFj 3 g Nj 500 g CFj f IRR (8,87% a.m.)

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Qual a taxa de Juros do plano de pagamentos abaixo. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+-> | | | | | | | | R R R R R R = 1168,00 | P = 5000

F REG 5000 CHS g CF0 0 g CFj 3 g Nj 1168 g CFj 6 g Nj f IRR

(5,4% a.m.)

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Para alterar a unidade de tempo da taxa de juros, podemos efetuar esta transformação de duas formas: − Nominal; − Efetiva. Taxa Nominal –Também chamada de taxa proporcional; Mantém o período de capitalização; Usada como referência; Não é usada para cálculo; Para cálculo necessita de conversão. Exemplo: – 18% ao ano com capitalização mensal Taxa Efetiva – Também chamada de taxa equivalente; Altera o período de capitalização; Taxa real; Usada para cálculo; Para cálculo não necessita de conversão. Exemplo: – 18% ao ano FÓRMULAS TAXA NOMINAL

in = n × i

n = número de capitalizações a acumular

TAXA EFETIVA

i e = (1 + i) − 1 n

Exemplos 1. Quais as taxas nominal e efetiva anual equivalente a 11% ao bimestre? 1 ano = 6 bimestres = n in = n × i in = 6 ×11 6 E 11 x 66% a.a. c/ cap. Bimestral

i e = (1 + i) − 1 n

ie = (1 + 0,11) − 1 1 E .11 + 6 Yx 1 – 100 x 6

87,04% a.a.

2. Para 10% a.m. calcular a taxa efetiva equivalente a:-

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35

ie = (1 + 0,1) − 1

1 E .1 + 3 Yx 1 – 100 x

33,1% a. trim.

1 ano

n = 12

1 E .1 + 12 Yx 1 – 100 x

213,84% a.a.

2 anos

n = 24

1 E .1 + 24 Yx 1 – 100 x

884,97% a.a.

3

1 trimestre 1 semestre

5 anos 3. Sendo a taxa anual de 32,7% ao ano, qual a taxa mensal equivalente? ie = 32,7% ao ano n = 12 meses

(

i = n 1 + ie

)−1

i=

(

12

)

1 + 0,327 − 1 1 E .327 + 12 1/X Yx 1 – 100 x

2,39% a.m.

4. Qual a taxa mensal equivalente a 12% para 57 dias.

i=

(

57 ÷30

)

1 + 0,12 − 1

1 E ,12 + 57 E 30 : 1/X Yx 1 – 100 x

6.15% a.m.

5. Qual a taxa mensal equivalente 4% para 24 dias.

ie = (1 + 0,04 )

30 ÷ 24

−1

1 E .04 + 30 E 24 : Yx 1 – 100 x

5,02% a.m.

PROGRAMAÇÃO BÁSICA COM A HP-12C Um programa nada mais é do que uma seqüência de teclas que é armazenada na calculadora. Sempre que, por várias vezes, for necessário realizar cálculos com a mesma seqüência de teclas, poderá ser economizado tempo, compondo um programa com estas teclas. Feito isso, em vez de pressionar todas as teclas cada vez, simplesmente será pressionada uma tecla para ativar o programa. A calculadora fará o resto automaticamente. TECLAS DE PROGRAMAÇÃO

- Programação / Execução - Mapa de disponibilidade de memória para programação e registradores de armazenamento. - Apaga todos os programas contidos na memória de programação. - Desvia de uma linha para outra linha de programação. - Executar / Parar um programa que esteja em execução. - Mostra o número e o conteúdo da próxima linha de programação.

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36

- Pausa, interrompe a execução do programa por cerca de um segundo. - Mostra o número e o conteúdo da linha anterior de programação. - Compara o conteúdo do registrador X com zero - Compara o conteúdo do registrador X com o do registrador Y. CRIANDO UM PROGRAMA Para criar um programa primeiro é necessário escrevê-lo para então armazená-lo. 1 - Escrever a seqüência de teclas que seriam usadas para calcular o que se deseja. 2 - Pressionar a tecla f P/R para colocar a calculadora no modo de programação. O indicador PRGM ficará acesso no visor, indicando que tal modo está ativo. 3 - Pressionar a tecla f CLEAR PRGM para apagar qualquer programa anteriormente armazenado. 4 - Introduzir a seqüência de teclas que foram escritas no passo 1. 5 - Pressionar g GTO 00 após a última instrução. 6 - Pressionar f P/R para retornar a calculadora para o modo execução. Durante a confecção do programa ou na sua conferência, percebemos que códigos aparecem no visor da calculadora. Os dígitos que aparecem no lado esquerdo do visor representam o número de ordem da linha (passo) do programa utilizado (um programa pode ter até 99 passos). Os dígitos que aparecem no lado direito indicam as teclas digitadas (sua posição no teclado). Podemos comparar o teclado com uma matriz composta por linhas e colunas. Dessa forma quando se introduz, por exemplo, a instrução RCL 3 na memória de programação, a calculadora apresentará no visor "01- 45 3": isto indica que esta é a primeira linha do programa e que estão sendo usadas as teclas RCL (4a. linha e 5a. coluna) o dígito 3 (nº 3 bem a direita). Exemplos 1- Uma empresa deseja remarcar o preço de seus produtos em +5%. Criar um programa que auxilie este cálculo. 100 E 5 % + 1–5 2-% 3-+ 4 – g GTO 00

01 02 03 04

5 25 40 43 33 00

Execução - 100 R/S 2- Uma empresa deseja calcular os fatores para um plano de pagamentos diferidos, que serão especificados em meses, bem como a taxa de juros. Criar um programa que auxilie a empresa a calcular os fatores de multiplicação.

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37 BIBLIOGRAFIA . ENGENHARIA ECONÔMICA - Geraldo Hess, José L. Marques, Luiz C. R. Paes, Abelardo Puccini . MATEMÁTICA FINANCEIRA - Frank Ayres jr. . MATEMÁTICA FINANCEIRA - Samuel Hazzan, José N. Pompeo . MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA - Rogério G. de Farias . MATEMÁTICA FINANCEIRA - Walter de Francisco . APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA - Renato Becker . HP-12C - MANUAL DO PROPRIETÁRIO - Hewlett Packard . SOLUÇÕES FINANCEIRAS COM A HP-12C - Suporte Consultoria e Treinamento

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