Homework 6

1

Assignment 6 — Solutions 3/4/04 Problem 4.1 (a)

dHq£ - p ê 2L rHx” £ L = q dHr£ - aL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r

dHf£ - pL dHf£ - p ê 2L dHf£ - 3 p ê 2L y ij dHf£ L j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz r sin q r sin q r sin q k r sin q { ”£L * Hq£ , f£ L r£l rHx qlm = ‡ 3 x£ Ylm É ÄÅ p p p ÅÅ * p ij p 3 p yzÑÑÑÑ * * * l Å = q a ÅÅYlm J ÅÅÅÅÅ , 0N - Ylm J ÅÅÅÅÅ , pN + Ylm J ÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅ N - Ylm j ÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zÑÑ ÅÇ k 2 2 {ÑÖ 2 2 2 2

From the math handbook:

l l+m o 2 l + 1 Hl + m - 1L!! Hl - m - 1L!! 1 o ÅÅÅÅ o 2 ‰Â m f $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% o ÅÅÅÅÅ H-1L ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ%ÅÅÅÅ%%%%ÅÅ% , l + m even Ylm = m p Hl + mL!! Hl - mL!! 2 o o o o , otherwise n0

Everything factors out front except the f dependence: ‰-Â m p = H-1Lm

‰- m pê2 = I‰Â pê2 M

-m

= Â-m = H-ÂLm

‰-3  m pê2 = I‰Â pê2 M-3 m = Â-3 m = H-ÂLm

l , m =2k o0 ‰0 - ‰-Â m p + ‰-Â m pê2 - ‰-3 Â m pê2 = 1 - H-1Lm + H-ÂLm - Âm = m o 2 - 2 Â H-1Lk , m = 2 k + 1 n * 's to be nonzero) unless l is also odd. ThereWe see that l + m will be odd (since m must be odd for the sum of Ylm fore the only nonzero qlm are l+m m-1 2 l + 1 Hl + m - 1L!! Hl - m - 1L!! 2 ÅÅÅÅ J1 - Â H-1L ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2ÅÅÅÅÅ N $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% %ÅÅÅÅ%%%%ÅÅ% q al , l and m both odd ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qlm = H-1L ÅÅÅÅÅÅÅÅ p Hl + mL!! Hl - mL!!

In particular up to l = 3 the nonzero ones are 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ q a q1,≤1 = HÂ ¡ 1L $%%%%%%%%% 2p

21 35 q3,≤1 = -HÂ ¡ 1L $%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ%Å%%Å% q a3 , q3,≤3 = -HÂ ≤ 1L $%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ%Å%%Å% q a3 16 p 16 p

2

(b)

dHq£ L dHf£ L dHq£ - pL dHf£ L dHq£ L dHf£ L y i rHx” £ L = q jjdHr£ - aL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + dHr£ - aL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 2 dHr£ L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz r r sin q r r sin q r r sin q { k ” £ L = q al @Y * H0, 0L + Y * Hp, 0L - 2 d Y * H0, 0LD * Hq£ , f£ L r£l rHx qlm = ‡ 3 x£ Ylm l0 0m lm lm

l o 2l+1 2l+1 o o %%%%%%% %%%%%%% o $%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Pl H1L = $%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ , m = 0 Ylm H0, fL = m 4 p 4 p o o o o , otherwise n0

Ylm Hp, fL = H-1Ll Ylm H0, fL

* H0, 0L = Y * Hp, 0L. Thus the only nonzero q are Note that the dl0 term in qlm kills everything l = 0 since Y0m lm 0m

l o

2l+1 o o 2l+1 %%%%%%% o q al $%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ l l $%%%%%%%% % %%%%%% ql0 = q a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A1 + H-1L E = m p o o 4p

o o n0

, l even and l > 0 , otherwise

5 3 4 ÅÅÅÅÅ a2 q , q40 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ a q q20 = $%%%%%% è!!! p p (c)

qlm Ylm Hq, fL 1 FHx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ e0 l,m 2 l + 1 rl+1

al q Yl0 Hq, fL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ „ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!! !!!!!ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ rl+1 e0 p 2l+1

FHr, q=pê2L+H1êr5 L

l >0,even ¶ a2 l

q = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ „ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 l Hcos qL 2 p e0 r2 l+1

q i 1 y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 Hcos qL + jj ÅÅÅÅÅÅÅÅ zz k r5 { 2 p e0 r3 l=1 a2

q a2 i 1 y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ I3 cos2 q - 1M + jj ÅÅÅÅÅÅÅÅ zz k r5 { 2 p e0 r3

(d)

a

q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2pea

With r the radial distance from the origin in the x-y plane:

r

3

1 1 2y ij jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ zzz è!!!!!!!! ! !!!!! ! è!!!!!!!! ! !!!!! ! r{ r2 + a2 k r2 + a2 q i 1y 1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ!ÅÅ - ÅÅÅÅÅ zzz è!!!!!!!! ! !!!!! 2 p e0 k r2 + a2 r{

q FHx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 p e0

+q -2q +q

r 2 + a2

r r 2 + a2

FHr, q=pê2L a

r

è!!! I 2 - 2M q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4pea Of course they look the same to the eye...

Problem 4.5

(a) The quantities with superscript (0) belong to the external field. The force on the charge distribution r Hx” L due to the external electric field is ÷” ÷ ”H0L F = ‡ 3 x rHx” L E Hx” L

Choose coordinate systems so that the chages are localized near the origin. Since the potential and thus the electric ÷” ÷ ”H0L field vary slowly over the distribution, we can Taylor expand E about x” = 0 (using summation notation): ÄÅ÷ ” ÷” ÉÑ 1 ÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” Å H0L Ñ F = ‡ 3 x rHx” L ÅÅÅÅE H0 L + xi ∑i E H0L + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xi x j ∑i ∑ j E H0 L + …ÑÑÑÑ ÅÇ ÑÖ 2! 1 ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” = J‡ 3 x rHx” LN E H0 L + J‡ 3 x xi rHx”LN ∑i E H0 L + ÅÅÅÅÅ J‡ 3 x 3 xi x j rHx” LN ∑i ∑ j E H0L + … 6

We recognize the first integral as the total charge q and the second as the ith component of the dipole moment ÷p” . ÷ ” ÷ ”H0L ÷ ”H0L Using the 6th vector formula on the front cover of Jackson, “ ä E = 0, and the fact that E is an external field: ÷ ” ÷ ” ÷” ÷ ” ÷ ” ÷” ÷ ” i rext y ÷” ÷” ÷” 0 = “ äI“ ä EM = “ I“ ÿ EM - “2 E = “ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz - ∑i ∑i E = -∑i ∑i E = 0 k e0 {

÷ ”H0L ÷ ”H0L thus we can gratuitously add r2 di j ∑i ∑ j E ∂ ∑i ∑i E = 0 to the third integral:

4

1 ÷ ” ÷ ”H0L ÷” ÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” F = q E H0L + ÷p” ÿ “ E H0L + ÅÅÅÅÅ J‡ 3 x A3 xi x j rHx” L - r2 di j EN ∑i ∑ j E H0L + … 6 Now the remaining integral looks like the traceless quadrupole moment tensor Qi j . Using the 9th vector formula, ÷ ” ÷ ”H0L “ ä E = 0, and the fact that ÷p” is a constant: ÷” ÷ ”H0L ÷ ” ÷” ÷” ÷ ” ÷” ÷” ÷ ” ÷” ÷” ÷” “ I÷p” ÿ E M = ÷p” ÿ “ E H0L + EH0L ÿ “ ÷p” + ÷p” äI“ ä E H0L M + EH0L äI“ ä ÷p”M = ÷p” ÿ “ EH0L 1 ÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ” ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” F = q E H0 L + “ A÷p” ÿ E H0 LE + ÅÅÅÅÅ Qi j ∑i ∑ j E H0 L + … 6

÷” One more to go. Define the vectors ÷a”i and bi (here the i's are to be thought of as labels) to have components ÷” H0L ÷” L ª Q and ÷b” ª ∑ ÷E”H0L ñ Hb th Ha i j ji i i i L j ª ∑i E j respectively. Now use the 9 vector formula again, together with ÷ ” ÷ ”H0L ÷ ” ÷” ÷ ” ÷ ” ÷ ”H0L ÷ ”H0L “ ä E = 0 [so “ ä bi = “ äI∑i E M = ∑i I“ ä E M = 0] and the fact that Qi j is constant (thus so is ÷a”i ): ÷” ÷” ÷ ” ÷” ÷” ÷ ” ÷” ÷” ÷ ” ÷” ÷ ” ÷” ÷” H0L ÷” ÷ ” ÷” “ IQi j ∑ j Ei M = “ Ia j ÿ b j M = Ia j ÿ “M b j + Ib j ÿ “M a j + a j ä I“ ä b j M + b j ä I“ ä a j M ÷ ” ÷” ÷ ”H0L ÷” ÿ “ = Ia j M b j = HQi j ∑i L ∑ j E

÷” We recognize the last as the third term of F (up to a 1 ê 6). So

÷” i 1 ÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ” ÷ ”H0L ÷” H0L ÷” y F = q E H0L + “ A÷p” ÿ E H0 LE + “ jj ÅÅÅÅÅ Qi j ∑ j Ei H0 Lzz + … k6 {

÷” which is precisely what Jackson has. As for the relation to 4.24, you can't take the gradient and equate it to F ÷” because as Jackson says W is a constant. However you can use the definition W = Ÿ¶0 F ÿ x” with the same method ÷ ”H0L ÷ ” of expanding E in F and get the same result. (b)

÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” ÷÷” N = ‡ 3 x x” äArHx” L E E = ‡ 3 x x” äArHx” L IE H0 L + xi ∑i E H0 L + …ME ÷” ÷ ”H0L ÷” = J‡ 3 x x” rHx” LNä E H0 L + ‡ 3 x rHx” L x` j e jkl xk xi ∑i ElH0L H0 L + …

1 ÷” ÷ ”H0L ÷” = ÷p” ä E H0L + ÅÅÅÅÅ J‡ 3 x A3 xk xi rHx” L - r2 dki EN x` j e jkl ∑i ElH0L H0 L + … 3

÷ ” ÷ ”H0L The r2 piece we've added is the integral of x` j e jkl ∑k ElH0L = “ ä E = 0, so we're good. Also from the vanishings ÷ ” ÷ ”H0L of the components of “ ä E = x` i ei jk ∑ j Ek = x` i ei jk H∑ j Ek - ∑k E j L ê 2 = 0 we see that ∑ j Ek = ∑k E j . Thus 1 1 ÷÷” ÷ ”H0L ÷” ÷ ”H0L ÷” H0L ÷” H0L ÷” N = ÷p” ä E H0L + ÅÅÅÅÅ x` j e jkl Qki ∑i El H0 L + … = ÷p” ä E H0L + ÅÅÅÅÅ x` j e jkl ∑l AQki Ei H0 LE + … 3 3

You can easily compute, say, N1 and see that the same as given by Jackson.

5

Problem 4.6 Q ª Qzz ê e , Qxx = Q yy = -Qzz ê 2 , Qi j = 0 otherwise (a)

÷” Choose a coordinate system so that the nucleus is centered at the origin. Since E is an external field:

÷ ” ÷” 0 = I“ ÿ EM0 = H∑x Ex + ∑ y E y + ∑z Ez L0 ï H∑x Ex + ∑ y E y L0 = -H∑z Ez L0

1 1 W = - ÅÅÅÅÅ Qi j H∑i E j L0 = - ÅÅÅÅÅ HQxx ∑x Ex + Q yy ∑ y E y + Qzz ∑z Ez L0 6 6 1 i Qzz 1 y i 1 y = - ÅÅÅÅÅ jj- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H∑x Ex + ∑ y E y L + Qzz ∑z Ez zz = - ÅÅÅÅÅ Qzz jj- ÅÅÅÅÅ H-∑z Ez L + ∑z Ez zz k 2 {0 {0 6 k 2 6 e = - ÅÅÅÅÅ Q H∑z Ez L0 4 (b)

ij 4 W 4 p e0 a30 yz e 4W H∑z Ez L0 = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = jjj- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 Qe e k Qe { 4 p e0 a0 3 4 H107 ê sL 4 p H8.85ä10-12 C 2 ê N ÿ m2 L H0.529ä10-10 mL zyz e ji ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ º jjjj- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 -28 m2 L H1.60ä10-19 CL2 k H2ä10 { 4 p e0 a0 e º -0.0853 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 p e0 a30

(c) For a nucleus of total charge Z e and constant charge density r = Z e ê V where V is the volume of the spheroid:

V = ‡

0

2p

v f ‡

a

z ‡

-a b2 i

b

è!!!!!!!!!2!!!!!!!! ! 1-z êa2

v

i z ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjjj1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz = 2 p b2 jjjja - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz 2 k a2 { 3 a2 { 0 k

= 4p‡

a

z2 yz

z a3 yz

0

ϖ = b 1− z2 / a2

z ϖ

4 = ÅÅÅÅÅ p a b2 3

ϖ 2 z2 + =1 b2 a 2

Qzz = ‡ 3 x I3 z2 - r2 M r = r ‡

2p

v f ‡

a

z ‡

b

è!!!!!!!!!2!!!!!!!! ! 1-z êa2

2 !!!!! 2! ÄÅ É b è!!!!!!!! a a ÅÅ 2 2 v4 ÑÑÑ ÅÅÅÅaÅ a -z = 4 p r ‡ z ÅÅÅz v - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÑÑÑ = 4 p r ‡ z Å Ñ ÅÅÇ 4 ÑÑÖ0 0 0

0

-a

0

ij 2 jjz j k

v A3 z2 - Iz2 + v2 ME

b2 1 b4 2y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ia2 - z2 M - ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ia2 - z2 M zzzz a2 4 a4 {

6

ÄÅ É ÅÅ ij b4 yz 2 b4 ÑÑÑÑ b2 yz 4 ij b4 2 Å z z j j = 4 p r ‡ z ÅÅÅ- jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz z + jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + b zz z - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÑÑÑ 2 ÅÅÇ k 4 a4 a2 { 4 ÑÑÖ 0 { k 2a Ä ÉÑa ÑÑ p b2 r ÅÅÅÅ z5 z3 2 2 4 2 2 4 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ-I4 a + b M ÅÅÅÅÅÅÅÅ + I4 a + 2 a b M ÅÅÅÅÅÅÅÅ - a b zÑÑÑÑ ÑÑÖ0 a4 ÅÅÇ 5 3 a

y p b2 r p b2 r i 4 a7 a5 b2 4 a7 2 a5 b2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjjj- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - a4 b2 azzzz = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a4 k a4 5 5 3 3 { 8p = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r a b2 Ia2 - b2 M 15

8 a7 8 a5 b2 zy jij ÅÅÅÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz 15 { k 15

8p 2 Ze Q = Qzz ê e = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a b2 Ia2 - b2 M ë e = ÅÅÅÅÅ Z Ia2 - b2 M 2 5 15 4 p a b ê 3

With R = Ha + bL ê 2:

2 4 Q = ÅÅÅÅÅ Z Ha + bL Ha - bL = ÅÅÅÅÅ Z R Ha - bL 5 5 a-b 5 H2.5ä10-28 m2 L 5Q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ º ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ º 0.101 R 4 Z R2 4 H63L H7ä10-15 mL2

Problem 4.7 (a) 1 rHr”L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r2 ‰-r sin2 q 64 p

”L = * Hq, fL rl rHx qlm = ‡ 3 x Ylm ‡

¶

r ‡ r q ‡ p

2p

1 2 -r 2 * Hq, fL rl ÅÅÅÅÅÅÅÅ r sin q f Ylm ÅÅÅÅÅÅ r ‰ sin q 64 p

¶ 2p 1 2 l + 1 Hl - mL! 1 %%%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ %ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‡ r rl+4 ‰-r ‡ = $%%%%%%%%%%%%%%%% f ‰-Â m f ‡ u I1 - u2 M Pl HuL 4 p Hl + mL! 64 p 0 0 -1 0

0

0

1 2l+1 1y 2 dm0 i %%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Hl + 4L! ‡ u jj1 - ÅÅÅÅÅ P2 HuL - ÅÅÅÅÅ zz Pl HuL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ $%%%%%%%% k 4p 64 3{ 3 -1 1 2l+1 dm0 %%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Hl + 4L! ‡ u @P0 HuL - P2 HuLD Pl HuL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ $%%%%%%%% 96 4p -1

1 dm0 2l+1 2 y i %%%%%%% = ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ $%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Hl + 4L! jj2 dl0 - ÅÅÅÅÅ dl2 zz { k 4 4! 4p 5

The only nonzero moments are 5 1 ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , q20 = -3 $%%%%%% q00 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! p 2 p

7

At large distances: qlm 1 F> Hx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r-l-1 Ylm Hq, fL e0 l,m 2 l + 1

1 1 5 jij 1 zy jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P0 Hcos qL - 3 è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ $%%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 Hcos qLzzzz j 2 r è!!!!!!! 5 r3 4p 4p k { 1 i1 6 y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅ P0 Hcos qL - ÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 Hcos qLzz { 4 p e0 k r r3 1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p e0

(b) 1 1 FHx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ „ ‡ 3 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ e0 2l+1 l,m

rl< * Hq£ , f£ L Y Hq, fL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ rHx” £ L Ylm lm l+1 r>

The angular integrals are the same as in (a). The radial integral now splits into two: Rl HrL ª ‡

r ¶ rl r£l+4 £ £ £ r£ ÅÅÅÅÅÅÅÅ<ÅÅÅÅÅ r£4 ‰-r = ‡ r£ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‰-r + ‡ r£ rl r£3-l ‰-r rl+1 0 0 r rl+1 > É ÉÑr ÄÅ ÄÅ r Ñ l+4 3-l ÑÑ ÑÑ ÅÅ ÅÅÅ £l+4-k £3-l-k Ñ ÑÑ Å Hl + 4L! r H3 - lL! r 1 ÅÅ -r£ ÑÑ ÅÅ -r£ l Ñ Å Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅ-‰ „ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÑÑ + r ÅÅ-‰ „ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÑÑÑÑ ÅÅ Hl + 4 - kL! ÑÑÑ H3 - l - kL! ÑÑÑ rl+1 ÅÅÅ ÅÅÅ ÑÑÖ0 k=0 k=0 ÖÑÑ0 ÇÅÅ Ç l+4 y ij 3-l jj H3 - lL! r3-k Hl + 4L! r3-k zzzz Hl + 4L! -r j = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ‰ jjj„ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - „ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz j H3 - l - kL! Hl + 4 - kL! z rl+1 k=0 { k k=0 ¶

which holds for l § 3 as will be the case since all other qlm 's vanish:

yz 5 5 P2 Hcos qL Rl HrL qlm Ylm Hq, fL 1 ij R0 HrL P0 Hcos qL 1 z $%%%%%% $%%%%%%%%% ÅÅÅÅ Å ÅÅÅÅ Å ÅÅÅ Å Å ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ jjjj ÅÅÅÅÅÅÅÅ Åè!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅ Å ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅ Å R 3 HrL FHx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 zzz ! p 4 p e0 k 2 p 24 è!!!!!! 720 e0 l,m H2 l + 1L Hl + 4L! 4p { 1 1 i y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjP0 Hcos qL R0 HrL - ÅÅÅÅÅ P2 Hcos qL R2 HrLzz { 5 96 p e0 k

24 24 i y R0 HrL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ‰-r jj-18 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 6 r - r2 zz k { r r 720 720 720 360 i y R2 HrL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ‰-r jj-120 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 30 r - 5 r2 zz k { r3 r3 r2 r É Ä Å 1 144 72 Å 144 i 24 i 24 y i 144 yÑÑy FHx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ‰-r jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 18 + 6 r + r2 zz - P2 Hcos qL ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ‰-r jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 24 + 6 r + r2 zzÑÑÑÑ ÅÇ r3 k r { k r3 {ÑÖ{ 96 p e0 k r r2 r

Expanding in powers of r for r Ø 0, using ‰-r = 1 - r + r2 ê 2 - r3 ê 6 + r4 ê 24 - r5 ê 120 +  Hr7 L:

8

i 24 i 24 1 y i 24 y FHx” L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjjj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 18 + 6 r + r2 zz + r jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 18 + 6 rzz k r { k r { 96 p e0 k r

r2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2

ÄÅ Å 144 24 r3 24 jij ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 18zyz + ÅÅÅÅÅÅÅÅ ijj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zyz - P2 Hcos qL ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅ r3 k r { 6 k r { ÅÇ

144 72 144 72 y i 144 i 144 y - jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 24 + 6 r + r2 zz + r jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 24 + 6 rzz 3 2 3 2 { k r k r { r r r r

144 ij 144 j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k r3 r2 É 3 r5 i 144 yÑÑÑy 72 144 72 y r4 i 144 144 y y r i 144 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 24zz + ÅÅÅÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzÑÑÑÑzzzz + Ir3 M { 6 k r3 r r2 r { 24 k r3 r2 { 120 k r3 {ÑÑÖ{ i y y r2 r2 1 1 i1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjjj6 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 Hcos qL zzzz + Ir3 M = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ jjjj ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 Hcos qL zzzz + Ir3 M 96 p e0 k 5 4 p e0 k 4 120 { {

(c)

r2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2

y 1 ÷” i 1 r2 ÷” ÷” ” EHxL = -“ F Hx” L = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ “ jjjj ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P2 Hcos qL zzzz + Ir3 M 4 p e0 k 4 120 { 1 1 ÷” ÷” = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ “ A3 z2 - Ix2 + y2 + z2 ME + Ir3 M = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ “ I2 z2 - x2 - y2 M + Ir3 M 960 p e0 960 p e0 1 ÷” = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ “ H-x x` - y y` + 2 z z` L + Ir3 M 480 p e0 1 1 i 1 y ∑x Ex = ∑ y E y = - ÅÅÅÅÅ ∑z Ez = - ÅÅÅÅÅ jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz , all other ∑i E j = 0 2 2 k 240 p e0 { 1 i 1 1 1 y ‚ Qi j H∑i E j L0 = - ÅÅÅÅÅ jj- ÅÅÅÅÅ Qzz ∑x Ex - ÅÅÅÅÅ Qzz ∑ y E y + Qzz ∑z Ez zz W = - ÅÅÅÅÅ {0 6 k 2 2 6 i, j

e 1 H1.60ä 10-19 CL H10-28 m2 L H1.60ä10-19 CL = - ÅÅÅÅÅ Q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 240 p e0 960 p H8.85ä 10-12 C 2 ê N ÿ m2 L H0.529ä10-10 mL3 h †W § º 6.49ä10-28 J ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ º I9.80ä105 HzM h -34 6.63ä10 J ÿs

Problem 4.10 (a) It behooves us to choose a coordinate system with the azimuthal symmetry manifest, e.g. the dielectric in the z > 0 plane. Working in spherical coordinates, we can expand in Legendre polynomials: ¶ l p o ”L = l + B r-Hl+1L M P Hcos qL , 0 < q < ÅÅÅÅ o o F Hx IA r Å ‚ o > l l l o o 2 o o l=0 FHx” L = m o ¶ o o p o o F< Hx” L = ‚ ICl rl + Dl r-Hl+1L M Pl Hcos qL , ÅÅÅÅÅ < q < p o o o 2 l=0 n

z Φ>

ε ε0

+Q

Φ<

-Q

ϖ

9

Boundary conditions:

∑F> ƒƒ ∑F< ƒƒ e ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ § = e0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ §ƒ ï l = 0 (derivatives must vanish to be satisfied for all r) ∑q ƒƒq=pê2 ∑q ƒq=pê2 ∑F> ƒƒ ∑F< ƒƒ B0 D ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ §ƒ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ §ƒ ï - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ0ÅÅ ï B0 = D0 2 ∑r ƒq=pê2 ∑r ƒq=pê2 r r2 F> §q=pê2 = F< §q=pê2 ï A0 = C0

We see that the solution is actually trivial: B FHx” L = A + ÅÅÅÅÅÅ r We can take A = 0 since we're only interested in the field. The electric displacement in the two regions are ÷” ÷÷” D> = -e “ F

B = -e ÅÅÅÅÅÅÅÅ r` r2 B ÷” ÷÷” D< = -e0 “ F = -e0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ r` r2 We can use Gauss' law to fix the constant:

B ÷÷” ` 2 Q = ® D ÿ n a = 2 p a J-e ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ - e0 a Q ÷” ÷÷” ` E = -“ F = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ r 2 p He + e0 L r

(b)

B Q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N = -2 B p He + e0 L ï B = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 a 2 p He + e0 L

÷÷” s> = -e D> ÿ H-r` L•r=a

B eQ = -e ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 a 2 p He + e0 L a2 B e0 Q ÷÷” s< = -e0 D< ÿ H-r` L•r=a = -e0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 2 p He + e0 L a2 a

(c)

Using Jackson 4.46:

Q He - e0 L Q He0 - eL ÷” ÷” ÷” P§r=a = He - e0 L E •r=a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r` ï spol = -IP - 0M ÿ r` •r=a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 2 p He + e0 L a 2 p He + e0 L a2