Hojaejercicios Fourier Dfb No10

E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL A NÁLISIS DE F OURIER Y E CUACIONES EN D ERIVADAS PARCIALES • H OJA DE E JERCICIOS NO . 10 Semestre 2018-B

Departamento de Formación Básica

Ejercicios clase CP: 1, 5, (8) 1. Resuelva el siguiente problema de Dirichlet en el rectángulo:   0 < x < L1 ,  u xx + uyy = 0, ( P) u( x, 0) = f 1 ( x ), u( x, L2 ) = f 2 ( x ), 0 ≤ x ≤ L1 ,   u(0, y) = g (y), u( L , y) = g (y), 0 ≤ y ≤ L . 2 2 1 1

0 < y < L2

para esto, resuelva dicho problema para: a) f 1 ( x ) = f 2 ( x ) = g2 (y) = 0, b) f 1 ( x ) = f 2 ( x ) = g1 (y) = 0, c) f 2 ( x ) = g1 (y) = g2 (y) = 0, d) f 1 ( x ) = g1 (y) = g2 (y) = 0. e) Construya a solución general del problema (P) como la superposición de las soluciones obtenidas en los literales anteriores. Es decir, si u1 es la solución del literal a), u2 es la solución del literal b), u3 es la solución del literal c), u4 es la solución del literal d), la solución del problema (P), está dado por: u( x, y) = u1 ( x, y) + u2 ( x, y) + u3 ( x, y) + u4 ( x, y) 2. Resuelva la siguiente ecuación:    u xx + uyy = 0, u( x, 0) = 0,   u(0, y) = 0,

0 < x < 3, u( x, 2) = 0,

0 ≤ x ≤ 3,

u(3, y) = f (y),

0 ≤ y ≤ 2.

con:

( f (y) =

y,

0≤y≤1

2 − y,

1 ≤ y ≤ 2.

0
Respuesta: ∞

u( x, y) =

∑ cn sinh(

n =1

nπx nπy ) sen( ) 2 2

cn =

8 sen(nπ/2) n2 π 2 sinh(3nπ/2)

3. Encuentre el potencial en el rectángulo 0 ≤ x ≤ 20, 0 ≤ y ≤ 40 en cuyo lado superior se aplica un potencial de 110V y cuyos otros lados están conectados a tierra. Respuesta: u( x, y) =

440 ∞ 1 (2n − 1)πx (2n − 1)πy sen( ) sinh( ) π n∑ ( 2n − 1 ) sinh ( 2 ( 2n − 1 ) π ) 20 20 =1

4. Encuentre el potencial en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 en cuyo lado superior se aplica un potencial de 1000 sen( πx 2 ) y cuyos otros lados están conectados a tierra. Respuesta: u( x, y) =

1000 (sen(πx/2) sen(πy/2)) sinh(π ) Página 1 de 3

5. Una membrana rectangular de base a y altura b tiene sus bordes inferior y laterales fijos, mientras su borde superior tiene un movimiento (en el eje z), descrito por la función π  u0 sen x , a donde u0 es una constante. Halle y resuelva el problema de valores de frontera que describe el comportamiento estacionario de la membrana. 6. Encuentre la fórmula para la temperatura de estado estable de una lámina rectangular π × π cuyas caras están aisladas, con las siguientes condiciones: u x (0, y) = u x (π, y) = u( x, π ) = 0,

u( x, 0) = f ( x ).

∞ a0 sen(n(π − y)) cos(nx ) 2 Respuesta: u( x, y) = (π − y) + ∑ an , con an = 2π sinh(nπ ) π n =1

ˆ

π

f ( x ) cos(nx ) dx. 0

7. Encuentre la fórmula para la temperatura acotada de estado estable de la lámina infinita R =]0, L[×]0, +∞[, tal que los bordes verticales se mantienen a una temperatura de 0 grados y el borde horizontal a una temperatura de 100 grados.   (2m + 1)πx 400 ∞ 1 − (2m+L1)πy sen Respuesta: u( x, y) = e . π m∑ L =0 2m + 1 8. Resuelva la ecuación de Laplace en tres dimensiones ∂2 u ∂2 u ∂2 u + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z en el cubo 0 < x < π, 0 < y < π, 0 < z < π, sujeta a las condiciones u( x, y, 0) = f ( x, y)

para 0 < x, y < π

y tal que u tome el valor 0 en las caras restantes del cubo. Respuesta: ∞

u( x, y) =

∞

∑ ∑

Amn (tanh(π

p

m2 + n2 ) cosh(

p

m2 + n2 z) − sinh(

p

m2 + n2 z)) sen(mx ) sen(ny),

m =1 m =1

donde Amn

4 √ = 2 π tanh(π m2 + n2 )

ˆ

π

ˆ

π

f ( x, y) sen(mx ) sen(ny) dxdy. 0

0

9. Ecuación de Laplace en el disco. El objetivo de este ejercicio es el de resolver el problema ( ∆u = 0, x2 + y2 < 1, u( x, y) = f (θ ),

x2 + y2 = 1,

x = cos(θ ) y y = sen(θ ). Para ello, seguimos el siguiente procedimiento: a) Utilizando la regla de la cadena y el cambio de variable x = r cos θ, y = r sen θ, demostrar que ∆u =

1 ∂2 u ∂2 u 1 ∂u + + . ∂r2 r ∂r r2 ∂θ 2

b) Aplicando el método de separación de variables, suponer que u(r, θ ) = R(r )Θ(θ ) y deducir que existe λ ∈ R tal que r2 R00 + rR0 − λR = 0 y Θ00 + λΘ = 0 con condiciones Θ(0) = Θ(2π ). c) Demostrar que Θn (θ ) = An cos(nθ ) + Bn sen(nθ ), Página 2 de 3

n = 0, 1, 2, . . .

y que además λ = λn = n2 son las soluciones del problema ( Θ00 + λΘ = 0, Θ(0) = Θ(2π ) = 0. d) Resolver la EDO r2 R00 + rR0 − n2 R = 0 y, vía un argumento de continuidad, deducir que R n (r ) = r n ,

n = 0, 1, 2, . . .

son las soluciones posibles para esta EDO. e) Demostrar que un (r, θ ) = donde An =

1 π

ˆ

∞ A0 + ∑ [ An r n cos(nθ ) + Bn r n sen(nθ )], 2 n =1

π

f (s) cos(ns) ds

y

−π

f ) Demostrar que 1 u(r, θ ) = π

ˆ

π

−π

Bn =

1 π

ˆ

π

f (s) sen(ns) ds −π

∞ 1 f (s) + ∑ cos(s(n − θ )) 2 n =1

"

# ds.

g) Considere z = r cos(s − θ ) + ir sen(s − θ ). Use la fórmula de De Moivre y estudie la suma de la serie geométrica ∞ 1 + ∑ zn 2 n =1 para demostrar que

∞ 1 1 − r2 + ∑ cos(s(n − θ )) = . 2 n =1 2(1 − 2r cos(s − θ ) + r2 )

h) Concluya que 1 − r2 u(r, θ ) = 2π

ˆ

π

−π

f (s) ds (1 − 2r cos(s − θ ) + r2

es la solución al problema.

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