UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ´ MATEMATICAS PARA LA ECONOM´IA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )
CURSO 2008–2009
HOJA 2: L´ımites y continuidad de funciones en Rn . 2-1. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R2 siguientes. Dibuja su frontera y su interior. Estudia si son abiertos, cerrados, acotados o convexos. (a) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < k(x, y) − (1, 3)k < 2}. (b) B = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x3 }. (c) C = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2}. (d) D = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| < 1}. (e) E = {(x, y) ∈ R2 : y < x2 , y < 1/x, x > 0}. (f) F = {(x, y) ∈ R2 : xy ≤ y + 1}. (g) G = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 ≤ 1, x ≤ 1}. Soluci´ on: (a) El conjunto representa al disco de centro C = (1, 3) y radio 2, al que se le quitado el centro. y
A
x
La funci´ on f : R2 → R definida por f (x, y) = k(x, y) − (1, 3)k =
p
(x − 1)2 + (y − 3)2
es continua y el conjunto A se puede escribir como A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < f (x, y) < 2} = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) ∈ (0, 2)} Como el intervalo (0, 2) ⊂ R es abierto, el conjunto A es abierto. Es acotado, ya que est´a contenido en el disco {(x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (1, 3)k < 2}. Adem´ as, no es convexo ya que los puntos P = (1, 4) y Q = (1, 2) pertenecen a A pero la combinaci´ on convexa 1 1 (1, 4) + (1, 2) = (1, 3) 2 2 no pertenece al conjunto A. El interior, la frontera y la clausura de A est´an representados en el gr´afico siguiente
Interior
Frontera
Clausura
Observemos que ∂A ∩ A = ∅. Esto proporciona otra forma de demostrar que el conjunto A es abierto. (b) La funci´ on f : R2 → R definida por f (x, y) = x3 − y es continua y el conjunto B se puede escribir como B = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) ≥ 0} = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) ∈ [0, ∞)} Como el intervalo [0, ∞) ⊂ R es cerrado, el conjunto B es cerrado. 1
2
y=x3
y
x
B
El conjunto B no es acotado ya que, por ejemplo, los puntos
(1, 0), (2, 0), . . . , (n, 0), . . .
est´ an en B pero
lim k(n, 0)k = +∞
n→∞
Adem´ as, no es convexo ya que los puntos P = (0, 0) y Q = (1, 1) pertenecen a B pero la combinaci´ on convexa
1 1 C= P + Q= 2 2
y
1 1 , 2 2
Q
1.0
y=x3
0.8
0.6
C 0.4
0.2
P
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
3
x
no pertenece al conjunto B, ya que no verifica la ecuaci´on y ≤ x . El interior de B es el conjunto {(x, y) ∈ R2 : y < x3 }. La frontera de B es el conjunto ∂(B) = {(x, y) ∈ ¯ = B ∪ ∂(B) = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x3 }. Como B ¯ = B, R2 : y = x3 }. Y La clausura de B es el conjunto B el conjunto es cerrado. (c) La representaci´ on gr´ afica del conjunto C es y y=2
x=-1
x=1
y=-2
Los puntos P y Q del gr´ afico
x
3
y Q
y=2 P
x=-1
x
x=1
y=-2
est´ an en la frontera de C. Como P ∈ / C, vemos que C no es cerrado y como Q ∈ C, vemos que C no es abierto. Gr´ aficamente, vemos que el conjunto C es convexo. Otra forma de demostrar esto es que el conjunto C est´ a determinado por las desigualdades lineales x > −1,
y ≥ −2,
x < 1,
y≤2
El interior, la frontera y la clausura de A est´an representados en el gr´afico siguiente
Interior
Clausura
Frontera
Vemos que ∂(C) ∩ C 6= ∅, por lo que el conjunto no es abierto. Adem´as, C 6= C¯ por lo que el conjunto no es cerrado. (d) Las funciones siguientes est´ an definidas de R2 en R y son continuas. f1 (x, y)
= y−x−1
f2 (x, y)
= y−1+x
f3 (x, y)
= y+x+1
f4 (x, y)
= y−x+1
El conjunto D y
y=1-x
y=x+1 D
x y=-x-1
y=x-1
est´ a definido por D = {(x, y) ∈ R2 : f1 (x, y) < 0,
f2 (x, y) < 0,
f3 (x, y) > 0,
f4 (x, y) > 0}
por lo que es abierto y convexo. El conjunto D es acotado porque est´a contenido en la bola de centro (0, 0) y radio 1. El interior, la frontera y la clausura de A est´an representados en el gr´afico siguiente
4
Frontera
Interior
Clausura
Como ∂(D) ∩ D = ∅, el conjunto es abierto. (e) La representaci´ on gr´ afica del conjunto E es y y = x2
y = 1/x
E
x
X=0
Las funciones f1 (x, y)
=
y − x2
f2 (x, y)
=
y − 1/x
f3 (x, y)
=
x
est´ an definidas de R2 en R y son continuas. El conjunto E est´a definido por E = {(x, y) ∈ R2 : f1 (x, y) < 0, f2 (x, y) < 0, f3 (x, y) > 0} por lo que es abierto. El conjunto E no es acotado porque los puntos de la forma (n, 0)
n = 1, 2, . . .
est´ an en E y lim k (n, 0) k = lim n = +∞
n→∞
n→∞
Adem´ as, no es convexo ya que los puntos P = (00 2, 0) y Q = (1, 00 8) pertenecen a E pero la combinaci´ on convexa R=
1 1 P + Q = (00 6, 00 4) 2 2
5
Q R P
E
no pertenece a E porque no satisface la desigualdad y < x2 . El interior, la frontera y la clausura de E est´ an representados en el gr´ afico siguiente
Interior
Clausura
Frontera
Como ∂(E) ∩ E = ∅, el conjunto es abierto. (f) La representaci´ on gr´ afica del conjunto F es y y=
1 x-1
x 1 y= x-1
La funci´ on f (x, y) = xy − y definida de R2 en R es continua. El conjunto F es F = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) ≤ 1} por lo que es cerrado. El conjunto F no es acotado porque los puntos de la forma (n, 0)
n = 1, 2, . . .
est´ an en E y lim k (n, 0) k = lim n = +∞
n→∞
El diagrama
n→∞
6
y
P
R Q
x
ilustra por qu´e F no es convexo. El interior, la frontera y la clausura de F est´an representados en el gr´ afico siguiente y=
y=
1 x-1
1 x-1
y=
Interior
y=
y=
1 x-1
Clausura y=
1 x-1
Como ∂(F ) ⊂ F , el conjunto F es cerrado. (g) La representaci´ on gr´ afica del conjunto G es
1 x-1
Frontera
1 x-1
7
y
x
x=1
Las funciones f (x, y) = (x − 1)2 + y 2 y g(x, y) = x definidas de R2 en R son continuas. El conjunto G es G = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) ≤ 1, g(x, y) ≤ 1} por lo que es cerrado. El conjunto G es acotado porque coincide con el disco de centro (1, 0) y radio 1. Adem´as, el conjunto G es convexo. El interior, la frontera y la clausura de G est´ an representados en el gr´afico siguiente
Interior
Frontera
Clausura
Como ∂(G) ⊂ G, el conjunto G es cerrado. 2-2. Sea A un subconjunto de R2 . Discute la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. (a) Int(A) = A − Fr(A). (b) Fr(A) = Fr(R2 − A) = Fr(AC ). (c) Fr(A) est´ a acotada. (d) A es cerrado ⇐⇒ AC es abierto. (e) A es acotado ⇐⇒ AC no es acotado. (f) A es cerrado ⇐⇒ Fr(A) ⊂ A. (g) A es abierto ⇐⇒ Fr(A) ∩ A = ∅. Soluci´ on: (a) Si, porque: x ∈ Int(A)⇐⇒ ∃ ε > 0 : B(x, ε) ⊂ A⇐⇒ ∃ ε > 0 : B(x, ε) ∩ (Rn \ A) = ∅⇐⇒ x ∈ A y x 6∈ Fr(A). (b) Si, porque: Fr(Rn \ A) = Rn \ A ∩ Rn \ (Rn \ A) = Rn \ A ∩ A = Fr(A). (c) No. Ejemplo: A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0}. (d) Si. Por definici´ on. (e) No. Ejemplo: A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0}. (f) Si, porque: A es cerrado ⇐⇒ Rn \A es abierto ⇐⇒ Rn \A = Int(Rn \A). Pero, por (a) y (c), Int(Rn \A) = (Rn \ A) \ Fr(Rn \ A) = (Rn \ A) \ Fr(A). Por lo que A es cerrado ⇐⇒ Rn \ A = (Rn \ A) \ Fr(A) ⇐⇒ Fr(A) ⊂ A. (g) Si, porque: A es abierto ⇐⇒ A = Int(A) ⇐⇒ A = A \ Fr(A) ⇐⇒ A ∩ Fr(A) = ∅. 2-3. Halla el dominio de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = (x2 + y 2 − 1)1/2 . 1 (b) f (x, y) = . xy x (c) f (x, y) = e − ey . (d) f (x, y) = exy . (e) f (x, y) = ln(x + y).
8 2 2 (f) f (x, y) = ln(x q + y ). 2
(g) f (x, y, z) = x yz+1 . √ (h) f (x, y) = x − 2y + 1. Soluci´ on: (a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1}. (b) {(x, y) ∈ R2 : xy 6= 0}. (R2 menos los ejes). (c) R2 . (d) R2 . (e) {(x, y) ∈ R2 : x + y > 0}. (f) R2 \ {(0, 0)}. (g) {(x, y, z) ∈ R3 : yz > 0}. (h) {(x, y) ∈ R2 : x − 2y ≥ −1}.
2-4. Dibuja las curvas de nivel de las siguientes funciones para los valores de c propuestos: (a) f (x, y) = xy, c = 1, −1, 3. (b) f (x, y) = exy , c = 1, −1, 3. (c) f (x, y) = log(xy), c = 1, −1, 3. (d) f (x, y) = (x + y)/(x − y), c = 0, 2, −2. (e) f (x, y) = x2 − y, c = 0, 1, −1. (f) f (x, y) = yex , c = 0, 1, −1. Soluci´ on: (a) Las curvas de nivel est´ an determinadas por la ecuaci´on xy = c. Para c 6= 0, las curvas de nivel vienen dadas por la gr´ afica de
y=
c x
por lo que las curvas de nivel son 4
c=3
2
c=1 0
c = -1 -2
-4
-4
-2
0
2
4
(b) Las curvas de nivel est´ an determinadas por la ecuaci´on exy = c. Por lo tanto cuando la curva de nivel correspondiente a c ≤ 0 es el conjunto vac´ıo. En particular, no hay curva de nivel correspondiente a c = −1. Para c > 0, la curva de nivel verifica la ecuaci´on exy = c, por lo que xy = ln c. Para c = 1, la curva de nivel son los puntos (x, y) ∈ R2 tales que xy = 0. Para c = 3, la curva de nivel son los puntos (x, y) ∈ R2 tales que
y=
Gr´ aficamente,
ln 3 x
9
4
c=3
2
0
c=1
-2
-4
-4
-2
0
2
4
(c) Las curvas de nivel est´ an determinadas por la ecuaci´on log(xy) = c que es la misma que xy = ec . Gr´ aficamente,
5
c=1 -10
-5
5
10
c = -1 -5
c=3
(d) Las curvas de nivel est´ an determinadas por la ecuaci´on x + y = c(x − y), que es la misma que (1 + c)y = (c − 1)x. Gr´ aficamente,
c=2
4
2
c = -2
0
c=0
-2
-4
-4
-2
0
2
2
4
(e) Las curvas de nivel verifican la ecuaci´on y = x − c. Gr´aficamente,
10
10
8
c = -1 6
4
2
c=0 0
c=1 -2 -4
-2
0
−x
(f) Las curvas de nivel verifican la ecuaci´on y = ce
2
4
. Gr´aficamente,
4
c=1 2
0
c=0 -2
c = -1 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
2-5. Sea f (x, y) = Cxα y 1−α (con 0 < α < 1 y C > 0) la funci´ on de Cobb-Douglas donde x e y representan las unidades de trabajo y capital respectivamente y f las unidades producidas. (a) Halla, representa e interpreta distintas curvas de nivel de f . (b) Demuestra que si se duplican las unidades de trabajo y las de capital, entonces se duplica el nivel de producci´ on. Soluci´ on: (a) Las curvas de nivel son, 10
10
10
8
8
8
6
6
6
4
4
4
2
2
2
0
0
0 0
2
4
6
8
10
0
2
4
α < 1/2
6
α
1−α
(c) (d)
0
= 2Cxα y 1−α = 2f (x, y).
2-6. Estudia la existencia y el valor de los siguientes l´ımites. x (a) lim(x,y)→(0,0) x2 +y 2. xy 2 x2 +y 2 . 2 y lim(x,y)→(0,0) x3x 4 +y 2 . 2 −y 2 lim(x,y)→(0,0) xx2 +2y 2.
10
α = 1/2
(b) f (x, y) = Cxα y 1−α , f (2x, 2y) = C (2x) (2y)
(b) lim(x,y)→(0,0)
8
2
4
α > 1/2
6
8
10
11 xy x2 +y 2 . 2 y lim(x,y)→(0,0) x2x+y 2. xy 3 lim(x,y)→(0,0) x2 +y2 .
(e) lim(x,y)→(0,0) (f) (g)
Soluci´ on: i h x (a) ( x2 +y2 )
=
y=kx
x x2 +k2 x2
=
1 x(1+k2 )
y limx→0
1 x(1+k2 )
no existe. El l´ımite no existe.
(b) Vamos a probar que lim
f (x, y) = 0.
(x,y)→(0,0)
p Sea ε > 0. Tomamos δ = ε y supongamos que 0 < k(x, y) − (0, 0)k = x2 + y 2 < δ. Entonces, p √ xy 2 |x|(x2 + y 2 ) ≤ = |x| = x2 ≤ x2 + y 2 = δ = ε. |f (x, y) − 0| = 2 2 2 2 x +y x +y (c) Por una parte, k k 3x2 y ) = 3x3 4 = 3x 2 ( 4 x + y 2 y=kx x + k 2 x2 x + k2 por lo que 3x2 y lim ( 4 ) =0 x→0 x + y 2 y=kx Por otro lado, 3x2 y 3 ( 4 ) = x + y 2 y=x2 2 Por existe. h 2tanto, i el l´ımite no x −y 2 x2 −k2 x2 1−k2 (d) ( x2 +2y2 ) = x2 +2k2 x2 = 1+2k ımite no existe. 2 , depende de k. Por tanto, el l´ y=kx h i k k (e) ( x2xy = x2 x2 +k 2 x2 = 1+k 2 , depende de k +y 2 ) y=kx
(f) Vamos a probar que lim
f (x, y) = 0.
(x,y)→(0,0)
p Sea ε > 0. Tomamos δ = ε y supongamos que 0 < k(x, y) − (0, 0)k = x2 + y 2 < δ. Entonces, p p x2 y (x2 + y 2 )|y| ≤ |f (x, y) − 0| = 2 = |y| = y 2 ≤ x2 + y 2 = δ = ε. 2 2 2 x +y x +y √ (g) Vamos a probar que lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0. Sea ε > 0. Tomamos δ = ε y supongamos que p 0 < k(x, y) − (0, 0)k = x2 + y 2 < δ. Entonces, √ p xy 3 y 2 x2 + y 2 ≤ x2 y 2 |f (x, y) − 0| = 2 = xy |xy| = |xy| = |x||y| = x + y2 x2 + y 2 x2 + y 2 p p ≤ x2 + y 2 x2 + y 2 = x2 + y 2 = δ 2 = ε Y el l´ımite es 0 2-7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ( x2 y si (x, y) 6= (0, 0) x3 +y 3 (a) f (x, y) = . 0 si (x, y) = (0, 0) xy+1 2 si y 6= 0 y x (b) f (x, y) = . 0 si y = 0 ( x4 y si y 6= −x2 x6 +y 3 (c) f (x, y) = . 0 si y = −x2 ( xy 3 si (x, y) 6= (0, 0) 2 +y 2 x (d) f (x, y) = . 0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on:
12
(a) La funci´ on
x2 y x3 +y 3
es discontinua en los puntos {(x, y) : x = −y}. (El l´ımite x2 y + y3
lim
(x,y)→(0,0) x3
no existe. Se puede hacer probando con curvas de la forma y = kx.) 2 (b) La funci´ on xy+1 y x , (i) es continua en los puntos (x, y) para los que y 6= 0. (ii) no es continua en los puntos de la forma (x0 , 0) con x0 6= 0. Ya que el l´ımite lim (f (x0 , y)) = lim x30 +
y→0
y→0
x20 y
no existe si x0 6= 0. (iii) Tampoco es continua en (0, 0) porque 1 1 3 lim f (x, kx ) = lim x + = x→0 x→0 k k 2
que depende de k. (c) La funci´ on x4 y x6 + y 3 es continua en los puntos (x, y) tales que y 6= −x2 . En cambio, en los puntos de la forma (a, −a2 ) no es continua porque, (i) Si a 6= 0, tenemos que lim 2 f (a, y) y→−a
no existe porque el numerador tiende a −a6 6= 0 y el denominador tiende a 0. (ii) El l´ımite lim f (x, y) (x,y)→(0,0)
no existe porque lim f (t, t2 ) = lim
t→0 t6
t→0
1 t6 = 6 +t 2
mientras que los l´ımites iterados valen 0. 3 olo se anula cuando (x, y) = (0, 0). (d) La funci´ on x2xy +y 2 es un cociente de polinomios y el denominador s´ Por tanto, la funci´ on es continua en todos los puntos (x, y) 6= (0, 0). En el punto (0, 0) tambi´en es continua porque hemos probado en un problema anterior que xy 3 =0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim
Concluimos que la funci´ on es continua en todo R2 . 2-8. Sea el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} y la funci´ on f : A −→ R2 definida mediante x+1 y+1 , f (x, y) = y+2 x+2 ˆ Comprueba que se verifican las hip´ otesis del Teorema de Brouwer A¿Es posible determinar el (o los) punto(s) fijo(s)? Soluci´ on: Teorema de Brouwer: Sea A un subconjunto compacto, convexo y no vac´ıo de Rn y f : A → A una funci´ on continua. Entonces, f tiene un punto fijo. (Es decir, un punto a ∈ A, tal que f (a) = a). El conjunto A es compacto y convexo. La funci´on f es continua si y 6= −2 y x 6= −2. Por tanto, f es continua en A y se verifica el Teorema de Brouwer. Si (x, y) es un punto fijo de f , entonces x
=
y
=
x+1 y+2 y+1 x+2
13
es decir, xy
=
1−x
xy
=
1−y
por tanto x = y y se verifica la ecuaci´ on x2 + x − 1 = 0 cuyas soluciones son √ −1 ± 5 x= 2 √
La u ´nica soluci´ on en el conjunto A es ( −1+2
√ 5 −1+ 5 , 2 ).
2-9. Considera la funci´ on f (x, y) = 3y − x2 definida en el conjunto D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x < 1/2, y ≥ 0}. Dibuja el conjunto D y las curvas de nivel de f . Alcanza f un m´ aximo y un m´ınimo sobre D? Soluci´ on: El conjunto D es x2 + y2 = 1 (0,1)
x=1/2
Observemos que D no es compacto (ya que no es cerrado). No contiene al punto (1/2, 0). Por otro lado, las curvas de nivel de f son de la forma x2 3 Gr´ aficamente, (la flecha roja apunta en la direcci´on de crecimiento) y=C+
y = C + x2 / 3 (0,1)
max
x=1/2
Vemos que f alcanza un m´ aximo en el punto (0, 1), pero no alcanza ning´ un m´ınimo sobre A. 2-10. Sean los conjuntos A = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} y B = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1} y sea la funci´ on (x + 1) y + 15 f (x, y) = 1 y+ 2 ¿Qu´e se puede afirmar de los extremos absolutos de f sobre A y B? Soluci´ on: La funci´ on
(x + 1) y + 51 f (x, y) = y + 21 es continua si y 6= −1/2 y, en particular, es continua en el conjunto A, que es compacto. Por el Teorema de Weierstrass, f alcanza un m´ aximo y un m´ınimo en A. Pero, por ejemplo, el punto (0, −1/2) ∈ IntB y lim y→( −1 2 )
+
f (0, y) = −∞,
lim
−
y→( −1 2 )
f (0, y) = +∞
14
por lo que f no alcanza ni m´ aximo ni m´ınimo en B. 2-11. Sea el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ ln x, 1 ≤ x ≤ 2}. (a) Dibujar el conjunto A, su frontera y su interior, y discute si A es un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y/o convexo, razonando tus respuestas. (b) Demuestra que la funci´ on f (x, y) = y 2 + (x − 1)2 tiene un m´ aximo y un m´ınimo en A. (c) Utilizando las curvas de nivel de f (x, y), hallar el m´ aximo y el m´ınimo de f en A. y
Soluci´ on: (a) El conjunto A es
y = Ln x Ln 2
A x 1
2
La frontera e interior son ∂A
º A
Como ∂A ⊂ A, el conjunto A es cerrado. No es abierto porque ∂A ∩ A 6= ∅. Otra manera de probar esto ser´ıa considerar los conjuntos cerrados A1 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y}, A2 = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2}. El conjunto A3 = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ log(x)} es tambi´en cerrado al ser continua la funci´on g(x, y) = log(x)−y. Entonces A = A1 ∩ A2 ∩ A3 es un conjunto cerrado. El conjunto A es acotado porque A ⊆ B(0, r) con r > 0 suficientemente grande. Como es cerrado y acotado el conjunto A es compacto. El conjunto A es convexo porque es el hip´ografo de la funci´ on f (x) = ln x en el intervalo [1, 2] y la funci´on ln x es c´oncava. (b) La funci´ on f es continua en todo R2 , porque es un polinomio. En particular, la funci´on es continua en el conjunto A. Adem´ as, el conjunto A es compacto ya que es una circunferencia. Por el teorema de Weierstrass, la funci´ on alcanza un m´aximo y un m´ınimo. (c) Las curvas de nivel de f tienen por ecuaci´on f (x, y) = y 2 + (x − 1)2 = C. Son c´ırculos centrados en el punto (1, 0). y
Ln 2
A x 1
2
2
Gr´ aficamente, vemos que el m´ aximo es f (2, ln 2) = 1 + (ln 2) y se alcanza en el punto (2, ln 2) y que el m´ınimo es f (1, 0) = 0 y se alcanza en el punto en el punto (1, 0). 2-12. Sea el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0; ln(xy) ≥ 0}. (a) Dibujar el conjunto A, su frontera y su interior, y discute si A es un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y/o convexo, razonando tus respuestas.
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ˆ (b) Considerar la funci´ on f (x, y) = x + 2y. A¿Se puede utilizar el teorema de Weierstrass para determinar si esta funci´ on alcanza un m´ aximo y/o un m´ınimo en el conjunto A? Dibujar las curvas de nivel de f , indicando la direcci´ on de crecimiento de la funci´ on. (c) Utilizando las curvas de nivel de f (x, y), determinar gr´ aficamente (sin utilizar, por tanto, las condiciones de primer orden) los extremos absolutos de la funci´ on f en el conjunto A. Soluci´ on: (a) La ecuaci´ on ln(xy) ≥ 0 es equivalente a xy ≥ 1. Como x, y > 0, el conjunto es A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 1/x, x > 0}. Gr´ aficamente, y
y=
1 x
y=
y
1 x
y=
1 x
A
º A
∂A x
x
La frontera es el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : y = 1/x, x > 0}. El interior es el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : y > 1/x, x > 0}. Como ∂A ∩ A 6= ∅, el conjunto A no es abierto. Adem´as ∂A ⊂ A por lo que el conjunto A es cerrado. Gr´ aficamente, vemos que A no es acotado. El conjunto A no es compacto (ya que no est´a acotado). Consideremos ahora la funci´ on g(x, y) = ln(xy) = ln x + lny, definida enel conjunto convexo D = − x12 0 {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0}. El Hessiano de esta funci´on es H g = , que es definido negativo. 0 − y12 De aqu´ı deducimos que la funci´ on g es c´oncava en D. Como A = {(x, y) ∈ D : g(x, y) ≥ 0}, el conjunto A es convexo. (b) No se puede aplicar el Teorema de Weierstrass porque el conjunto A no es compacto. Las curvas de nivel de f (x, y) = x + 2y son los conjuntos de la forma {(x, y) ∈ R2 : y = C − x/2} que son l´ıneas rectas. Gr´ aficamente (el vector indica la direcci´on de crecimiento) y y
x x
(c) Teniendo en cuenta las curvas de nivel de f , la funci´on no alcanza ning´ un m´aximo (absoluto o relativo) en A . El m´ınimo absoluto se alcanza en el punto de tangencia de la recta y = C − x/2 con la gr´ afica de y = 1/x, En este punto se verifica que 1 1 − =− 2 2 x √ √ √ es decir x = ± 2. Y como x > 0, el m´ınimo se alcanza el el punto 2, 1/ 2 ,