HM Tobias M. B¨olz
1 Allgemeines
3 Ableitungen
• Bernoullische Ungleichung: (1 + x)n ≥ 1 + nx (x ≥ 1) n! • nk = k!(n−k)!
3.1 Differentiationsregeln • Produktregel:
• log(x ·y) = log(x) + log(y) log xy = log(x) − log(y) (x, y > 0)
(u · v)0 (uvw)0
• Quotientenregel:
u 0 v
= = =
u0 · v + u · v 0 u0 vw + uv 0 w + uvw0
u0 v−uv 0 v2
• Kettenregel: (u(v(x)))0 = u0 (v(x)) · v 0 (x)
2 Grenzwerte 3.2 Wichtige Ableitungen f¨ ur n → ∞: √ • na→1 √ • nn→1 √ • n n! → ∞ n • 1 + nx → ex n • 1 − nx → e−x √ • n1 n n! → 1e •
an n!
→0
•
nn n!
→∞
a
•
n
•
an nk
f xn
f0 nxn−1
1
−n xn+1 1 √ 2 x 1 √ n n xn−1 x
n
x √ x √ n x ex ln x ax loga x sin x cos x tan x
1 cos2 x
1 cosh2 x −1 cosh2 x √1 x+ 1 √ 1 ,x > x2 −1 1 , |x| < 1−x2
−1 sin2 x
arcothx
1 1−x2 , |x|
e
1 x
ax ln a 1 1 ln a x
cos x − sin x = 1 + tan2 x
cot x
→ 0 (a > −1) n (a>1) → 0∞ (|a|<1)
sinx x
√ 1 1−x2 √ −1 1−x2 1 1+x2 −1 1+x2
cosh x sinh x
4 Integartion • Partielle Integration:
f¨ ur x → 0: •
f0
f arcsin x arccos x arctan x arccotx sinh x cosh x tanh x coth x arsinhx arcoshx artanhx
•
→1
• x log x → 0
R
f0 f
= log f
4.1 Polarkoordinaten x =R r cos ϕ y = r sin ϕ ⇒ f · r dϕdr (ϕ ∈ [0, 2π])
2.1 L’Hospital 0
lim fg = lim fg0 wenn f, g → 0 oder g → ±∞
1
R
u0 v = uv −
R
uv 0
1 1
>1
7 Differenzierbarkeit
4.2 Zylinderkoordiaten x =R r cos ϕ y = r sin ϕ ⇒ f · r dϕdrdz (ϕ ∈ [0, 2π])
f (x0 + a) − f (x0 ) − a · f 0 (x0 ) ! =0 a→0 ||a||
z=z
lim
8 Extremwerte mit Nebenbedingungen 4.3 Kugelkoordinaten
• D beschr¨ankt und abgeschlossen, also kompakt
x =R r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ ⇒ f · r2 cos ϑ dϕdϑdr (ϕ ∈ [0, 2π], ϑ ∈ [− π2 , π2 ])
z = r sin ϑ
• f stetig ⇒ f nimmt auf D Minimum und Maximum an Rang h0 (x0 ) minimal ⇒ Multiplikatorenregel von Larange: F (x) = f (x) + λh(x) F 0 (x) = 0 ⇒ Extremstellen.
5 e, Sinus, Kosinus,... 5.1 in R =
∞ P
=
n=0 ∞ P
cos x
=
n=0 ∞ P
sinh x
=
n=0 ∞ P
cosh x
=
n=0 ∞ P
=
n=0 ∞ P
ea sin x
arctan x
n=0
9 Implizit definierte Funktionen
1 n n! a
• f (x, g(x)) stetig differenzierbar
(−1)n 2n+1 (2n+1)! x
• f (x0 , g(x0 )) = c u uft ¨berpr¨
(−1)n 2n (2n)! x
• det(fy (x0 , y0 )) 6= 0 (bzw. fy (x0 , y0 ) 6= 0)
1 2n+1 (2n+1)! x
=
1 x 2 (e
− e−x )
1 2n (2n)! x
=
1 x 2 (e
+ e−x )
⇒ Laut Satz u ¨ber implizit definierte Funktionen existiert eine Umgebung Uε (x0 ) und ein g : U → R mit g(x0 ) = y0 und f (x0 , g(x0 )) = c und
(−1)n 2n+1 2n+1 x
g 0 (x0 ) = −
5.2 in C: ez sin z cos z sinh z cosh z
=
∞ P
=
n=0 ∞ P
=
n=0 ∞ P
= =
n=0 1 z 2 (e 1 z 2 (e
zn n! 2n+1
z (−1)n (2n+1)! 2n
z (−1)n (2n)!
=
ex (cos y + i sin y)
=
1 iz 2i (e
=
1 iz 2 (e
− e−iz ) + e−iz )
− e−z ) + e−z )
5.3 Additionstheoreme • sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x • cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y • sin2 x + cos2 x = 1 • cosh2 x − sinh2 x = 1
6 Richtungsableitung lim
t→0
f (x0 + ta) − f (x0 ) t
(||a|| = 1)
2
1 fx (x0 , g(x0 )) fy (x0 , g(x0 ))