Historia De Las Ciencias Exactas

Historia de las Ciencias Exactas (http://ar.geocities.com/matematicamente/historia1.htm) Se cuenta que una vez, un filósofo que, había leído y comprendido los teoremas de Gödel, preguntó ¿por qué se hace tanta bulla sobre las engorrosas combinaciones de unas cuantas patitas de araña sobre el papel? Seguramente dicho filósofo había comprendido formalmente los resultados. Pero no había captado la inmensa significación de este resultado para la filosofía del conocimiento, porque, probablemente no se había dado el trabajo de analizar el proceso racional que lo había generado. Pues cuando se medita sobre su significación dentro del ámbito del conocimiento en general se descubre que todo el proceso es a la vez una culminación y un desenlace de algo que se inicia hace casi veinticinco siglos en Grecia. La situación a fines de la civilización griega, era la siguiente: sobre la base de las matemáticas prehelénicas, y de aportes de los matemáticos griegos, se había logrado demostrar una gran cantidad de teoremas y formar así una "colección". La importancia que tenían para los pensadores griegos las matemáticas es muy evidente en Platón y Aristóteles, quien realizó un aporte decisivo al sistematizar las reglas lógicas, es decir, al codificar y ordenar por primera vez los procedimientos que sigue el razonamiento para lograr demostraciones. Estos procedimientos eran antes inciertos y confusos, y la lógica aristotélica logra por primera vez una sistematización de las relaciones y encadenamientos entre proposiciones. Sin embargo este aporte fundamental no había cambiado en el fondo la situación de los conocimientos matemáticos ya logrados, en el sentido que la "colección de teoremas" no constituía un todo organizado. Sin ignorar la gran riqueza de los aportes de las distintas escuelas matemáticas griegas (la jonia, la pitagórica y la ateniense) y el gran avance que representó un ordenamiento sistemático de los pasos lógicos que constituyen una "demostración", es recién en las postrimerías de la civilización griega cuando se produce el verdadero cambio cualitativo, que marca la diferencia entre la etapa anterior y la que nos ocupa. Es en la colonia griega de Alejandría y en su universidad donde Euclides, alrededor del año 300 a. de C., produce ese cambio. Este paso decisivo consiste en el trabajo de interrelacionar todos los teoremas conocidos entre sí, o sea organizar todo el conjunto de teoremas como si fuera un árbol: habrá una cierta cantidad de proposiciones que constituirán las raíces de las cuales, por demostración lógica, se deducirán los teoremas fundamentales, de los cuales, a su vez se deducirán otros que formarán "ramas" principales de teoremas de los

cuales, a su vez, se deducirán ramas secundarias de teoremas derivados. Para ello, Euclides, en sus "Elementos de Geometría", parte de sólo cinco principios evidentes cuya verdad no requiere demostración, que una vez aceptados sirven de base para la deducción de todo el árbol de teoremas. A estas proposiciones fundamentales las llamamos hoy axiomas La geometría fue así la primera rama de las matemáticas que fue ordenada de manera rigurosa, sistemática y progresiva, y llegó así a ser el primer sistema axiomático que construyó el hombre. Este extraordinario resultado habría de tener profundas consecuencias para el pensamiento occidental, a partir de un hecho que resultaba muy impactante: el magno edificio de la geometría euclideana parecía corresponder muy exactamente a la "verdadera" estructura del espacio físico en el cual vivimos. Se había partido de cinco proposiciones sencillas y al parecer innegables, y se había construido todo el sistema utilizando solamente la lógica sin buscar puntos de apoyo en la realidad, y sin embargo el resultado parecía dar cuenta acabadamente del espacio físico de la realidad. A partir de allí parecía abrirse una primera conquista segura, fundamentada, que permitía alcanzar un conocimiento indudable de la realidad por medios exclusivamente racionales. La aparente solidez y contundencia del edificio de la geometría euclideana inmovilizó por muchos siglos el pensamiento filosófico y matemático acerca de la correspondencia al parecer inamovible entre espacio euclidiano y espacio de la realidad. Recién en 1826, veintidós siglos después de Euclides, un matemático ruso, Lobatchewski, comunica el resultado de sus trabajos acerca del quinto axioma de Euclides. Este quinto axioma, llamado "de las paralelas", siempre había desafiado los intentos de los matemáticos que habían buscado sustituirlo por otro más simple, o bien demostrarlo a partir de los primeros cuatro axiomas (lo que hubiera supuesto convertirlo en un teorema más). Todos los esfuerzos que se habían hecho para lograr alguno de estos dos propósitos habían fracasado. El intento inicial de Lobatchewski era probar que el quinto axioma era indispensable para no caer en una geometría que llegase a ser contradictoria consigo misma, para lo cual se propuso partir de un quinto axioma modificado, que negase al quinto axioma euclidiano, construir a partir de ese nuevo quinto axioma (y de los primeros cuatro, que no modificó) una nueva geometría y demostrar que esa nueva geometría caía en contradicciones consigo misma. Como el quinto axioma de Euclides (en una de sus versiones) decía que por un punto exterior de una recta puedo trazar una y sólo una paralela a la misma, Lobatchewski comenzó a trabajar a partir de un axioma que lo negaba al decir que por un punto exterior a una recta puedo trazar

infinitas paralelas a la misma. Pero en lugar de llegar a una geometría contradictoria consigo misma llegó a otra geometría que no tenía contradicciones internas. Veinticinco años más tarde otro matemático, Riemann, intentó seguir un camino similar, a partir de negar de una manera diferente el quinto axioma. Partió así de un quinto axioma que decía "por un punto exterior a una recta, no puedo trazar ninguna paralela a la misma". Y nuevamente, al igual que Lobatchewski, se encontró que la nueva geometría construida sobre esa base tampoco era contradictoria consigo misma. Ahora había tres geometrías (la euclidenana, la lobatchewskiana, y la riemanniana) que resultaban totalmente coherentes consigo mismas. Ninguna de las tres caía en el absurdo, ninguna de las tres perdía su logicidad ¿pero cuál correspondía al espacio de la realidad? La respuesta vino de los mismos matemáticos, que a comienzos del siglo XIX empezaron a alcanzar una comprensión verdadera de la naturaleza del tema. En vez de intentar explicar cómo se sabe que los axiomas de Euclides son verdaderos, los matemáticos trataron el problema reconociendo que no se se sabía que los axiomas fueran verdaderos y que podría ser falsos como afirmaciones físicas. El razonar lógico de la geometría sólo podía garantizar que los teoremas se seguían de los axiomas, y que los axiomas no eran contradictorios entre ellos. La matemática no trata de la verdad de las proposiciones cuyas relaciones estudia, sino sólo de su acuerdo recíproco o coherencia. La verdad o falsedad de un axioma tienen que ser decidida, si llega a serlo, sobre bases no matemáticas: la matemática misma no ofrece una base para formarse una opinión al respecto. Las únicas proposiciones de las cuales la matemática puede afirmar legítimamente la verdad o falsedad son proposiciones lógicas acerca de otras proposiciones. A partir de los descubrimientos matemáticos y la fundación del cálculo en el siglo XVIII, se genera una nueva matemática en el siglo XIX. Esta matemática, a diferencia de la anterior, es mucho más rica en contenidos teóricos y profundamente fértil en sus aplicaciones a la física. Pero también es menos exacta que la matemática clásica. Ante la confusión de sus métodos y la vaguedad de sus términos se produce una reacción que genera diversos proyectos de reformulación y corrección de los fundamentos del análisis y también ensayos de una definición rigurosa de sus nociones básicas: función, número complejo, número real, definición rigurosa que exigía que estas nociones derivaran sus propiedades formalmente de axiomas y leyes lógicas aceptadas. Durante el siglo XIX, matemáticos como Cauchy, Frege, Cantor, ensayaron una fundamentación conjuntista, una fundamentación mediante la teoría de los conjuntos que expresa la tendencia hacia la generalidad de las

matemáticas modernas. ¿Por qué la teoría de los conjuntos? La fundamentación conjuntista de las matemáticas obedeció a que la teoría de los conjuntos no sólo permite eliminar las deficiencia de las matemáticas en lo que se refiere a las definiciones y a la derivación de los teoremas, sino que posee una capacidad privilegiada de reducción dado que todos los conceptos de la matemática clásica pueden ser interpretados como casos particulares de la noción de conjunto. Pero la rigorización de las matemáticas que habían encontrado la paz en el suelo conjuntístico axiomáticamente formalizado por el sistema ZermeloFraenkel, el más usado y aceptado de todos los sistemas intentados para fundamentar la teoría de los conjuntos, se conmociona (podemos decir, casi literalmente que se queda sin piso) al aparecer las paradojas de la teoría de los conjuntos. La teoría de los conjuntos se derrumbaba y su caída arrastraba también a la física. Era como un colapso del conocimiento científico. Dos "aparentes" caminos se abrieron: el de la lógica - llamada logicismo - y el de la metateoría - llamado metamatemática - para intentar salvar a las matemáticas de su incoherencia. Pero entonces llegó Gödel y, con sus teoremas, sobre el cadáver de la evidencia depositó el cadáver de la consistencia. Él demuestra que la matemática, sea por la vía de la lógica, sea por la vía de la metamatemática, está eternamente condenada a no poder cumplir simultáneamente con todas las propiedades exigidas por un sistema lógico-formal. Es imposible probar mediante métodos de valor absoluto el valor absoluto del conocimiento matemático. Toda prueba que desemboque en la demostración de que la matemática es un sistema perfecto (en lenguaje metateórico, consistente) es, o un error, o un círculo vicioso. En consecuencia, ni la matemática, ni la lógica son autosuficientes dentro del proyecto de una absoluta formalización. Los conjuntos (o cualquiera que sea el nombre que les apliquemos) son de una gran utilidad para la descripción de las diversas situaciones de la vida. Los empleamos porque poseemos la capacidad de considerar las diversas entidades separadas como si formaran una entidad nueva de tipo superior. El concepto de conjunto fue adoptado por los matemáticos, que lo utilizaron para organizar y sistematizar los conceptos básicos de su ciencia. A lo largo de este proceso los matemáticos ampliaron e concepto de conjunto hasta llegar a incluir los conjuntos infinitos y utilizaron determinados principios, primero inconscientemente y más tarde con plena conciencia, para la construcción de nuevos conjuntos sobre la base de otros conjuntos dados. El uso libre de los conjuntos en las construcciones matemáticas dio lugar a la creación de nuevas teorías matemáticas más

abstractas y generales que las estudiadas con anterioridad. Estas nuevas teorías permitieron a los matemáticos introducir nuevos conceptos que resultaron ser de gran utilidad no solamente para las matemáticas puras sino también para las aplicadas. Además, las investigaciones en torno de la fundamentación de la teoría de conjuntos intensificaron el desarrollo de la lógica, e hicieron patente la necesidad de una utilización correcta del lenguaje y la de establecer una distinción entre lenguaje y metalenguaje. La aparición de paradojas en la teoría de conjuntos y la imposibilidad aparente de resolver numerosos problemas simples y referentes a los conjuntos con ayuda de los axiomas de las teorías de conjuntos ha despertado la duda de si, a pesar de los considerables éxitos obtenidos por la elaboración conjuntista de las matemáticas, el concepto mismo de conjunto es tan claro y comprensible como generalmente se cree. A pesar de todo, la teoría abstracta de conjuntos no cesa de desarrollarse y los objetos de investigación dentro de la teoría de conjuntos se van haciendo cada día más abstractos. Si como demuestra Gödel, en muchos e importantísimos campos de las matemáticas no hay prueba concluyente por verdad o falsedad recurriendo a los axiomas, entonces, en el camino de la matemática surge la incertidumbre que posterga para la experiencia en el futuro los problemas abiertos. La aritmética no es, como tampoco la geometría, una promoción natural de una razón inmutable. La aritmética no está fundada en la razón. Es la doctrina de la razón la que está fundada en la aritmética elemental. Y las variaciones del razonamiento son ahora numerosas en las ciencias geométricas y físicas: todas ellas son solidarias de una dialéctica de los principios de la razón. La geometría, la física, la aritmética, son ciencias, la doctrina tradicional de la razón absoluta en inmutable no es más que una filosofía y es una filosofía caduca.