Hiperbola-semester-3c1.docx

TENTANG

IRISAN KERUCUT BERBENTUK HIPERBOLA

NAMA KELOMPOK :

ELSA MANORA BR BARUS FOUR MARITO MARBUN ANANDA RIA SINAGA MARIA ELISA SINAGA NOVITA PANJAITAN EISABET TURNIP

BAB II A. LATAR BELAKANG Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah parabola, elips, dan hiperbola. Apollonius dari perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM. Dan pada makalah ini hanya dibahas tentang kurva hiperbola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut, irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus saling berpotongan. Sebuah hiperbola terdegenaerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

BABII

HIPERBOLA A. Pengertian Hiperbola Hiperbola adalah himpunan titik-titik di dalam sebuah bidang yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu pada bidang itu adalah tetap.

B. Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O ( 0,0 ) Perhatikan Gambar, yakni sebuah hiperbola yang ber[usat di O (0,0). Jika kita menentukan dua titik

Y g’

g

tertentu,

yang

dinamakan

fokus, di F1 (-c,0) dan F2

P(x,y)

(c,0)

dan

jika

konstanta

B

tersebut sama dengan 2a,

A’ F1(-c,0)

(-a,0)

A

0 B’

(a,0)

X F2(c,0)

maka sebuah titik P (x,y) terletak pada hiperbola itu jika dan hanya jika :

Karena c > 0, maka c2> a2, sehingga c2 – a2> 0. Misalkan kita tentukan sehingga persamaan menjadi :

Persamaan di atas adalah persamaan hiperbola.

Sifat-sifat hiperbola : 1. Perpotongan antara sumbu koordinat dengan hiperbola disebut puncak. Koordinat-koordinat puncak adalah (-a,0) dan (a,0). 2. Ruas garis yang menghubungkan kedu fokus di sebut sumbu mayor. Pada gambar sumbu mayornya adalah AA’ yang panjangnya 2a. 3. Ruas garis yang melalui titik pusat hiperbola dan memotong tegak lurus sumbu mayor di sebut sumbu minor. Pada gambar sumbu minornya adalah BB’ yang panjangnya 2b. 4. Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y. Sumbu simetri yang melalui F1 dan F2 disebut sumbu utama atau sumbu nyata. Sedangkan sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2 serta tegak lurus sumbu mayor disebut sumbu sekawan atau sumbu imajiner. 5. Persamaan hiperbola di atas mempunyai asimtot : y 

b b x dan y   x a a

Pada hiperbola terdapat dua buah garis yang membatasi kurva sedemikian sehinggakurva tidak memotong garis tersebut. Persamaan garis tersebut dinamakan persamaan asimtot dan dapat diperoleh dari proses berikut ini. b2x2 – a2y2 = a2b2 b2x2 – a2b2 = a2y2

b2 ( x2  a 2 )  y2 a2

b2a 2  a 2  1  2   y 2 2  a  x 

y 2 b2  a 2   1   x 2 a 2  x 2 

 a2  1  2   x 

y b  x a

untuk x  , maka

a2 mendekati 0 sehingga b2

y b b   y x x a a

Perhatikan gambar : Terlihat bahwa garis tersebut membatasi y =

daerah grafik darimasing-masing cabang

Y

b x a

y=

b x a

hiperbola. A’

A

0

6. Panjang latus rectum hiperbola adalah : L=

2b 2 a

Besarnya Eksentrisitashiperbola adalah :

a 2  b2 ,e  1 a

c e  a

Persamaan garis direktriks hiperbola adalah : g’ : x 

a e

g’’ : x  

atau

g’ : x 

a2 c

a2 a atau g’’ : x   e c

Contoh soal : Diketahui persamaan hiperbola 4x2 – 9y2 = 36. Tentukanlah :

X

a. Koordinat pusat

e. Persamaan garis asimtot

b. Koordinat titik puncak

f. Panjang latus rectum

c. Koordinat titik focus

g. eksentrisitas

d. Persamaan garis direktriks

h. sketsa grafiknya

Penyelesaian: 4x2 – 9y2 = 36 

x2 y2  1 9 4

a2 = 9  a  3 b2 = 4  b  2 a. koordinat titik pusatnya adalah ( 0,0 ) b. koordinat titik puncaknya (a,0) dan (-a,0) adalah (3,0) dan (-3,0) c. c  a 2  b 2  9  4  13 koordinat titik fokusnya F1 ( -c,0) dan F2 (c,0) adalah F1 (- 13 ,0) dan F2 (

13 ,0) d. Persamaan garis direktriksnya adalah

x

a2 = c

a2 9 9 9 13 dan x   = 13 = 13 c 13 13

e. persamaan garis asimtotnya adalah y

b 2 x x a 3

b 2 y x x a 3

dan

f. panjang latus rectum : L=

2b 2 2.4 8  = 3 3 a e

g. nilai eksentrisitas :

c 13  a 3

h. sketsa grafiknya adalah :

y

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

Hiperbola dengan pusat di O (0,0) yang lain diperlihatkan di dalam gambar berikut:

y = - (a/b)x

y

y = (a/b)x

F2 (0,c) A(0,a) 0 A’ (0,a)

g1 x g2

F1(0.-c)

Koordinat titik fokusnya F1 (0,-c) dan F2 (0,c). Koordinat titik puncaknya A (0,a) dan A’ (0,-a) Hiperbola ini mempunyai persamaan :

y 2 x2  1 a 2 b2 Sifat-sifat hiperbola ini adalah : 1. Sumbu nyatanya adalah sumbu Y, sedangkan sumbu kawannya adalah sumbu X. 2. Persamaan garis asimtotnya y 

a a x dan y   x b b

3. Persamaan garis direktriksnya adalah x 

a2 a2 dan x   c c

Contoh soal : Diketahui hiperbola dengan persamaan Tentukan: Koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor, dan koordinat fokus. Nilai eksentrisitas,persamaan direktris,persamaan asimtot. Panjang latus rectum dan grafiknya. Penyelesaian :

Koordinat titik puncak Koordinat titik ujung sumbu minor Koordinat fokus Nilai eksentrisitas

Persamaan direktris

Persamaan asimtot

Panjang latus rectum

C. Persamaan Hiperbola yang Berpusat di M ( p,q ) Perhatikan gambar berikut yaitu sebuah hiperbola dengan pusat (p,q).

y

sumbu sekawan g

F2

h

A’

(p,q) A

0

F1

sumbu utama

e

Pada Gambar diperlihatkan hiperbola yang berpusat di M (p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu X,panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b.Dengan menggunakan devinisi hiperbola,dapat ditunjukkan bahwa persamaan hiperbola itu adalah:

( x  p) 2 ( y  q) 2  1 2 2 a b Hiperbola ini mempunyai sifat : a. Koordinat titik puncaknya adalah A(p+a, q) dan A’ (p-a, q),koordinat titik ujung sumbu minor adalah B (p, q-b) dan B’ (p, q+b). c. Koordinat titik fokus di F1 (p-c, q) dan F2 (p+c, q). d. Nilai eksentrisistas e 

c a

e. Persamaan direktriks adalah x  p  f. Persamaan asimtot adalah y 

a a dan x  p  e e

b x  p   q dan y   b x  p   q a a

2b 2 g. Panjang latus rectum : L  a

Hiperbola dengan pusat di (p,q) yang lain diperlihatkan dalam gambar berikut : y

F2 A

A’ F1 0

g

x

Hiperbola ini berpusat di M (p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu Y, panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan definisi hiperbola, dapat ditunjukkan bahwa persamaan hiperbola itu adalah :

( y  q) 2 ( x  p) 2  1 2 2 a b Hiperbola ini mempunyai sifat : a.Persamaan sumbu utama dan sumbu nyata adalah x= p sedangkan persamaan sumbu sekawan atau sumbu imajiner adalah y= q. b. Koordinat titik puncak adalah A(p, q+a) dan A’ (p, q-a),koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1(p-b, q) dan B’ (p, q+c). c. Koordinat titik fokus di F1 (p, q-c) dan F2 (p, q+c). d. Nilai eksentrisistas e 

c a

e.Persamaan direktris adalah y  q  f. Persamaan asimtot adalah y  g. Panjang latus rectum

a a dan y  q  e e

a x  p   q dan y   a x  p   q b b

D. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola Jika bentuk baku dari suatu persamaan hiperbola dijabarkan ,maka kita akan memperoleh bentuk umum persamaan hiperbola. Sebagai contoh:

( x  p) 2 ( y  q) 2  1 a2 b2

 b2( x-p )2 – a2 ( y-q )2 = a2b2  b2( x2 - 2px + p2 ) - a2 (y2 – 2qy + k2 ) = a2b2  b2x2 - 2b2px + b2p2 - a2y2 + 2a2qy - a2q2 - a2q2 - a2b2 = 0  b2x2 - a2y2 - 2b2px + 2a2qy + (b2p2 - a2q2 - a2b2 ) = 0 Dengan menetapkan b2 = A, a2 = B, -2b2p = C, 2a2q = D, dan ( b2p2 – a2q2 - a2b2) = E, maka bentuk persamaan yang terakhir itu dapat dituliskan menjadi : Ax2- By2 + Cx + Dy + E = 0 Dengan A, B, C, D dan E merupakan bilangan-bilangan real (A  0, B  0, A  B).

Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan hiperbola.

Contoh:

( x  2) 2 ( y  1) 2 Diketahui hiperbola dengan persamaan  1 16 9 Tentukanlah : a. Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor, dan koordinat focus. b. Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor, dan panjang sumbu minor. c. Persamaan garis asimtot, nilai eksentrisitas, dan persamaan garis direktris. d. Panjang latus rectum. e. Gambarkansketsa hiperbola tersebut.

Penyelesaian :

( x  2) 2 ( y  1) 2  1 merupakan hiperbola horizontal  16 9 p = 2, q = -1, a2 = 16  a = 4 dan b2 = 9  b=3. c2=a2+b2,didapat: c2=16+9=25  c=5 a. Koordinat titik pusatnya di M( 2, -1 ) Koordinat titik puncak di ( 2  4, -1 )  A (6, -1 ) dan A’ ( -2, -1 ). Koordinat titik ujung sumbu minor ( 2, -1  3 )  B(2, -4 ) dan B’ ( 2, 2 ). Koordinat fokus ( 2  5, -1 )  F1 ( -3, -1 ) dan F2( 7, -1 ) b. Persamaan sumbu utama atau sumbu nyata adalah y = -1 dan persamaan sumbu sekawan atau sumbu imajiner adalah x = 2. Panjang sumbu mayor = 2a = 2 (4) = 8 dan panjang sumbu minor = 2b = 2(3) = 6. c. persamaan asimtotnya : y - q = 

3 b ( x – h )  ( y + 1 ) =  ( x  2) 4 a

3 3 l1  y  1   ( x  2 ) dan l2  y  1  ( x  2) 4 4

 l1  4 y  4  3x  6 dan l2  4 y  4  3x  6  l1  3x  4 y  2  0 dan l2  3x  4 y  10  0 Nilai eksentrisitas e 

c 5 1  1 a 4 4

Persamaan direktriksnya : x = p  x  2

16 6 4 16 46  dan x  2   2  5 5 5 5 5 4

d. Panjang latus rectum  Dengan

a e

2b 2 2(9) 9   a 4 2

menggunakan

( x  2) 2 ( y  1) 2  1 16 9

hasil-hasil

di

atas,

sketsa

hiperbola

Diperlihatkan pada gambar berikut :

-3 -2 -1 F1

0

A’

1 -1

2

3

4

P

5

6 A

7 F2

E. Perpotongan Antara Garis dengan Hiperbola Pandang hiperbola dengan persamaan :

x2 y2  1 a2 b2 dan garis h dengan persamaan y = mx + n Bila persamaan hiperbola tersebut di substitusikan ke dalam persamaan garis, diperoleh :

x 2 (mx  n) 2  1 a2 b2 x 2 (mx  n) 2  1 a2 b2 b2x2 - a2 ( mx + n )2 = a2b2 b2x2 - a2 ( m2x2 + 2mnx + n2 ) - a2b2 = 0 ( b2- a2m ) x2 - 2a2mnx - a2 ( n2 + b2 ) = 0 Persamaan yang terakhir merupakan persamaan kuadrat dalam x. Diskriminan dari persamaan ini adalah : D = (-2a2 mn)2 - 4( b2 - a2m2 ) – (-a2(n2+b2)) D = 4a4m2n2 + 4a2 ( b2n2+ b4- a2m2n2 - a2b2m2 )

D = 4a2b2 ( n2 + b2 - a2m2 ) Kedudukan garis h terhadap hiperbol ditentukan oleh nilai D di atas, sehingga ada tiga kemungkinan hubungan antara garis h dengan hiperbol, seperti diperlihatkan dalam gambar :

Y

y

y

H

0

h

x

0

h

x

0

x

Gambar (a) menunjukkan bahwa garis h tidak memotong maupun menyinggung hiperbol. Hal ini terjadi bila D < 0. Gambar (b) menunjukkan bahwa garis h menyinggung hiperbol. Hal ini terjadi bila D = 0. Gambar (c) menunjukkan bahwa garis h memotong hiperbol di dua titik yang berbeda. Hal ini terjadi bila D > 0.

Contoh: a). Tentukan nilai a, supaya garis 4x + y + a = 0 menyinggung hiperbola

x2 y2   1! 12 48 b). Tentukan pula koordinat titik singgungnya ! Penyelesaian : a) 4x + y + a = 0  y = -4x - a,Subtitusikan y = -4x - a ke persamaan hiperbola,didapat:

x 2 (4 x  a) 2  1 12 48

 4x2 - (16x2 + 8ax + a2 ) = 48  12x2 + 8ax + ( a2 + 48 ) = 0 Nilai diskriminan : D = (8a)2 – 4(12) (a2 + 48 )

 D = 64a2 – 48a2 - 2304  D = 16a2 –2304 Supaya garis menyinggung hiperbola, maka nilai diskriminan D = 0 16a2 - 2304 = 0

 a2 -144 = 0  (a + 12 ) ( a – 12 ) = 0  a = -12 atau a = 12 x2 y2 Jadi,supaya garis 4x + y +a = 0 menyinggung hiperbola   1 untuk 12 48 nilai a = -12 atau a = 12. b) Untuk a = -12, substitusi ke 12x2 + 8ax +(a2+48)=0, didapat 12x2 - 96x + (144 + 48) =0

 x2 – 8x + 16 = 0  (x-4)2 = 0 x=4 Subtitusi a = -12 dan x = 4 ke garis y = -4x – a, didapat y = -4 (4) – ( -12) = 4  titik singgung (4,-4) Untuk a = 12, subtitusi ke 12x2 + 8ax + (a2 + 48 ) = 0, di dapat 12x2 +96x +(144 + 48 ) = 0

 x2 + 8x + 16 = 0  ( x + 4 )2 = 0  x = -4 Subtitusi a = 12 dan x = -4 ke garis y = -4x-4, di dapat y = -4(-4) – 12 = 4  titik singgung (-4, 4 ) Jadi, koordinat titik-titik singgungnya adalah ( 4,-4 ) dan (-4, 4 )

F. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Hiperbola Jika garis h menyinggung hiperbola, maka diskriminan D = 0, sehingga :

4a2b2 ( n2 + b2 – a2m2 ) = 0 n2 + b2 – a2m2 = 0 n2 = a2m2 – b2 n =  a 2 m2  b 2 Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola

x2 y2  1 a2 b2

didefinisikan dengan persamaan y  mx  a 2 m 2  b 2 . Contoh : Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbol

x2 y2   1? 100 64 Penyelesaian :

x2 y2   1 , maka a2 = 100, b2 = 64 100 64 Gradien m = 1 Persamaan garis singgungnya adalah :

y  mx  a 2 m 2  b 2 y  x  100.1  64 y  x  36 y  x6

G. Persamaan Garis Singgung HiperbolaGambar

Melalui

Sebuah Titik pada

di bawah adalah sebuah garis h yang menyinggung hiperbola

x2 y2   1 di titik P (x1, y1 ). a2 b2

y h

0

P(x1,y1)

x

Garis h melalui titik (x1, y1 ) sehingga persamaan garis h adalah ; y – y1 = m ( x – x1 ) Kita mengetahui bahwa m 

dy  dx  ( x1 , y1 )

Diferensialkan persamaan hiperbola sebagai berikut :

 x2 y2  d  2  2   d (1) b  a  x2   y2  d  2   d  2   0 a  b  2x 2y dx  2 dy  0 2 a b

2y 2x dy  2 dx 2 b a

dy 2 x b 2  dx a 2 2 y dy b 2 x  dx a 2 y x2 y2 Sehingga gradien garis singgung pada hiperbol 2  2  1 di titik (x1, y1 ) a b adalah : m 

b 2 x1 a 2 y1

H. Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Hiperbola Persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik P(x1 , y1) di luar hiperbola, dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti persamaan garis singgung yang ditarik di titik P(x1, y1) di luar lingkaran, di luar elips. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Contoh: Titik P(1,4) terletak di luar hiperbola

x2 y2   1 . Tentukan persamaan12 3

persamaan garis singgung yang dapat ditarik melalui titik P(1,4) ke hiperbola

x2 y2  1 ! 12 3 Sebutlah titik-titik singgungnya itu adalah A dan B. tentukanlah koordinat titik A dan B ! Tentukan persamaan garis AB! Jawab: Misalkan garis yang melalui titik P(1,4) mempunyai gradien m, persamaannya adalah y - 4 = m (x – 1)  y = mx – m + 4 Subtitusi y = mx – m + 4 ke persamaan hiperbola

x2 y2   1 , didapat 12 3

x 2 mx  m  4  1 12 3 2





 x 2  4 m 2 x 2  m 2  16  2m 2 x  8mx  8m  12  0













 1  4m 2 x 2  4  2m 2  8m x  4 m 2  8m  19  0 Nilai diskriminan:

 







D   4  2m 2  8m x  4 m 2  8m  19



 D  176m  128m  304 2

Karena garis menyinggung hiperbola haruslah D = 0, didapat:  176m 2  128m  304  0

 11m  19m  1  0 m

19 atau m  1 11

Subtitusi nilai-nilai m ke persamaan y = mx – m + 4 Untuk m = 

19 , didapat 11

untuk m = 1 , didapat

y  x 1 4  y  x3  x y3 0

19 19 x 4 11 11  11y  19 x  63 y

19 x  11y  63  0

Jadi, persamaan-persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik P(1,4) ke hiperbola

x2 y2   1 adalah 19x + 11y – 63 = 0 dan x – y + 3 = 0. Kedua garis 12 3

singgung tersebut diperlihatkan pada gambar berikut: Subtitusi m = 

1  4m x 2

2

19 ke persamaan 11









 4  2m 2  8m x  4 m 2  8m  19  0 ,

didapat:

  19  2    19  2  19   19   19   1  4     4 2    8   x  4    8    19  0   11     11   11   11   11    1444  2  732 152   361 152   1     19   0  x  4   x  4 21    121 121   121 11  9576 17328  1323x 2  x  0 , kedua ruas dikalikan dengan  121 121 121  441x 2  3192 x  5776  0, kedua garis dibagi dengan 3  21x  76  0 2

x

76 21

76 didapat; 21

Untuk x =

y

 1  1444 3323  1  121  1 11  76        19   63    11  21  11  21  21  21   11  21

 76 11  Koordinat titik A ,   21 21 

Suibtitusi m = 1 ke persamaan

1  4m x 2

2

1  41 x 2

2









 4  2m 2  8m x  4 m 2  8m  19  0 maka akan didapat:









 4  21  81 x  4 1  81  19  0 2

2

 3x 2  24 x  48  0  x 2  8 x  16  0  x  4  0 2

 x  4 Untuk x = -4, didapat : y = x + 3 = (-4) + 4 = -1 koordinat titik B(-4,-1).  76 11  Jadi koordinat titik-titik singgungnya adalah A ,  dan B(-4,-1)  21 21   76 11  Dengan menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik A ,  dan  21 21 

B(-4,-1) , persamaan garis AB adalah:

y 1 x4  11 76 1 4 21 21 y 1 x  4   10 16  21  16 y  16  x  4  x  16 y  12  0 Jadi, persamaan garis AB adalah x – 16y – 12 = 0

BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik Yang membentuk kurva dua dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Jika bidang pengiris sejajajar dengan dua generator maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap kedua titik tertentu.

DAFTAR PUSTAKA Id%u=http://en.Wikipedia.org/wiki/hyperbola Leithold,dlk.1993. Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik. Jakarta:Erlangga Purcell,dkk.2004. Kalkulus jilid 2, Jakarta:Erlangga