Hidromehanika Skracena Skripta.pdf

HIDROMEHANIKA PRIPREMNA SKRIPTA ZA TEORIJSKI DIO ISPITA IZ HIDROMEHANIKE NA GRAĐEVINSKOM FAKULTETU U OSIJEKU

1

HIDROMEHANIKA HIDRAULIKA (grĉki hidor+aulon = voda+cijev) je znanost koja prouĉava oblike i zakone mehaniĉkog gibanja i relativnog mirovanja tekućine i bavi se primjenom tih zakona u hidrotehnici. Povijesno je zasnovana na empiriji i kvantitativnom rješavanju problema bez analiza uzroka pojava i problema.

Naziv mehanika tekućina je opći naziv za znanost koja se bavi gibanjem tekućina i općim naĉelima strujanja tekućine. Ako se preteţito izuĉava strujanje kapljevina to je hidromehanika, a u sluĉaju izuĉavanja strujanja plinova imamo aerodinamiku. Ako se preteţno prouĉavaju naĉini rješavanja inţenjerskih problema radi se o hidraulici. HIDROMEHANIKA (MEHANIKA FLUIDA) je grana hidraulike koja prouĉava opće zakone mehaniĉkog gibanja i relaivnog mirovanja tekućine. Dio je mehanike općenito (dio fizike) a razvoj joj je ovisio o razvoju matematiĉkog aparata. Cilj joj je kvalitativna analiza problema. Osnovna podjela u hidromehanici: – prouĉava fluide u mirovanju; sve sile koje djeluju na promatranu tekućinu se nalaze u mehaniĉkoj ravnoteţi a tlak i gravitacijsko ubrzanje su osnovni pojmovi – prouĉava fluide u gibanju, ali ne uzima u obzir uzroke gibanja odnosno sile koje djeluju na tekućinu – pruĉava fluide u gibanju, ali u obzir uzimamo i uzroke nastajanja gibanja→ opća znanost o mehaniĉkom gibanju kapljevine ZNAĈENJE I PRIMJENA  u hidrotehnici – znanstvenoj disciplini koja prouĉava tehniĉke aspekte: a) korištenja voda – zahvaćanje, crpljenje i uporaba površinskih i podzemnih voda za razliĉite namjene, vodoopskrbu, energetske svrhe, navodnjavanje, za uzgoj ribe, plovidbu, sport i rekreaciju b) zaštite od štetnog djelovanja voda – mjere za obranu od poplava, zaštitu od leda, erozija i bujica, melioracijska odvodnja, regulacije vodotoka

2

c) zaštite voda kao prirodnog resursa (kvalitativno i kvantitativno) – mjere zaštite voda od oneĉišćenja u cilju zaštite ţivota i zdravlja ljudi i zaštite okoliša (odvodnja otpadnih voda, ureĊaji za proĉišćavanje, revitalizacija vodotoka)

OSNOVNE FIZIKALNE OSOBINE TEKUCINA →tvar koja neprestano mijenja svoj oblik (teĉe) pri tangencijalnim naprezanjima (komponenti površinske sile/površina). Neprekidna promjena oblika, o kojoj se govori u ovoj definiciji, pojava je koja se zove strujanje tekućine. TEKUĆINE SU TVARI KOJE SE NEPRESTANO DEFORMIRAJU POD DJELOVANJEM POSMIĈNIH SILA.

(npr. voda, ulje, nafta, alkohol...) (npr. zrak, kisik, ugljiĉni dioksid, metan...) OSNOVNA RAZLIKA veliĉina promjene volumena pri promjeni tlaka Kapljevine neznatno mijenjaju volumen promjenom tlaka. Smještene u posudu, koju djelomiĉno ispunjavaju, oblikuju slobodnu površinu na granici s okolišnom atmosferom. Plinovi znatno mijenjaju volumen promjenom tlaka. Smanjenjem tlaka šire se neograniĉeno, pa zatvoreni u posudu ispunjavaju ĉitav njen volumen. Prouĉavanje u hidraulici se vrši na razini (neprekidne sredine) koji zadrţava neprekidnost sredine, iako voda oĉito nije konutinuum → razmak izmeĊu molekula nije beskonaĉno mali; koristimo tu pretpostavku zbog pojednostavljenja matematiĉkog modela). Osnovna karakteristika kontinuuma: u svakoj njegovoj prostornoj i vremenskoj koordinati postoji masa. U hidraulici ne ulazimo u fizikalnu strukturu tekućina, promatramo samo probleme vanjskih manifestacija tekućina pa se s takvog stajališta tekućina promatra kao neprekidna sredina (kontinuum). U prouĉavanjima kontinuuma kao najmanja jedinica se uzima djelić, u našem sluĉaju je to djelić tekućine, kao mala masa tekućine koji je potpuno ispunjen materijom. STLAČIVOST

GUSTOĆA

POVRŠINSKI NAPON

3 TLAK PARA

UNUTARNJE TRENJE

GUSTOĆA GUSTOĆA, r[kg/m3] je fizikalna veliĉina koja pokazuje raspodjelu mase tekućine u volumenu. U sluĉaju da je gustoća tekućine u svim toĉkama njenog volumena tokom vremena ista, rijeĉ je o , u protivnom je ona nehomogena. Gustoća ovisi o tlaku i temperaturi (ipak znaĉajnija uloga tlaka jer kapljevine pri visokim tlakovima ostvaruju vrlo malu promjenu volumena pa se ĉesto tretira kao nestišljiva, što se ne moţe reći za plinove koji uvijek nastoje popuniti cijeli prostor u kojem se nalaze pa se gustoća jako mijenja). Najveća gustoća vode je pri 4°C, r=1000 kg/m3, što se uzima u skoro svim hidrauliĉkim proraĉunima.

Djelovanje sile teţe na odreĊeni volumen tekućine predstavlja TEŽINU toga volumena tekućine [N]. ∫ g = vektor ubrzanja polja sile teţe, uz uvijet homogene tekućine i konstantno ubrzanje polja sile teţe unutar promatranog volumena ≈9,81 m/s2 STLAČIVOST

(STIŠLJIVOST, KOMPRESIBILNOST) je osobina tekućine da pod djelovanjem okomite (normalne) površinske sile mijenja svoj volumen. E=modul elastiĉnosti koji predstavlja ovisnost tlaka i relativne volumenske deformacije.

Pri tlaku od 1 kg/cm2 i temperaturi od 0°C volumen vode smanjuje se za 1/20 000, a pri 100°C za 1/25 000 što znaĉi da se modul elastiĉnosti povećava s porastom temperature. Vidimo da je stlaĉivost vode veoma mala, tako da se većinom u praksi zanemaruje (izuzetak – -nagla i znaĉajna promjena tlaka uslijed promjene brzine vode na jednom kraju cjevovoda, a obiĉno se dešava na nizvodnom kraju cjevovoda uslijed zatvaranja zatvaraĉa). 4

Stlaĉivost kapljevine je znatno manja od stlaĉivosti plinova, ali znatno veća od stlaĉivosti krute tvari! UNUTARNJE TRENJE hjuhnlkjnljlkmjijli

ili viskoznost) je svojstvo tekućine da pruţa otpor promjenama oblika. Pri relativnom pomicanju slojeva tekućine prema susjednima u tekućini nastaju sile trenja. One uvjetuju da sloj tekućine koji se pomiĉe brţe povlaĉi susjedni sloj, koji se pomiĉe sporije, i obrnuto. Pri tome zbog sila trenja dolazi do transformacije mehaniĉke energije tekućine u toplinsku energiju. trenje nastaje izmeĊu ĉestica tekućine, i tekućine i površine preko koje kapljevina struji Idealna tekućina je bezviskozna, kod nje se ne javljaju posmiĉna naprezanja.

Tekućina se nalazi izmeĊu dvije beskonaĉno velike paralelne i vrlo bliske ploĉe, donja miruje a gornja se uslijed djelovanja posmiĉne sile giba horizontalnom brzinom v=v0. Tlak je konstantan u cjelom prostoru ispunjenom tekućinom izmeĊu dvije ploĉe. Brzina ĉestice tekućine uz podlogu je v=0, dok ĉestica tekućine uz ploĉu u kretanju ima brzinu v=v0. Na proizvoljnom poloţaju izmeĊu ploĉe u kretanju ĉestica tekućine ima brzinu . Kako bi takvo kretanje bilo odrţivo oĉigledno je da na podlozi gornje ploĉe djeluje jedna tangencijalna sila u smjeru njenog kretanja, a koja je u ravnoteţi sa silama trenja u tekućini ispod nje. : Tangencijalno naprezanje τ ispod ploĉe proporcionalno je brzini v0 i obrnuto proporcionalno udaljenosti od podloge h, a koeficijent proporcionalnosti μ ovisi o tekućini koja se analizira. Zakljuĉak je vaţeći za cijelo podruĉje izmeĊu ploĉe i podloge. 1) dp/dx=0 →, dp/dx se naziva uzduţni gradijent tlaka, 2) udaljenost l izmeĊu ploĉa nije prevelika 3) kao ni brzina v0 laminarno strujanje (fluid teĉe u paralelnim slojevima, bez mješanja slojeva)

Zbog linearnog profila brzina, gradijent brzine je konstantan u svim toĉkama presjeka, pa će u bilo kojoj ravnini paralelnoj xy ravnini doći do uspostavljanja istog posmiĉnog naprezanja: [N/m2] 5

t= posmiĉno naprezanje μ - koeficijent proporcionalnosti – dinamiĉki koeficijent viskoznosti (sadrţi2 dinamiĉke veliĉine) – on je za newtonske tekućine konstanta (newtonske tekućine su one kod kojih je veza izmeĊu naprezanja i brzine smicanja linearna, a viskoznost dobijemo kao omjer te dvije vrijednosti) dv/dz=gradijent brzine u smjeru okomitom na strujanje koji pokazuje koliko se gornji sloj brzo pomiĉe u odnosu na donji = brzina deformacije t i v su lineralno ovisni (vidimo po formuli)

[ ] (ni) n= kinematiĉki koef.viskoznosti (mijenja se promjenom temperature) – kvocijent izmeĊu dinamiĉkog koeficijenta unutarnjeg trenja i gustoće – sadrţi samo kinematiĉke veliĉine Tekućine koje slijede ovu hipotezu se nazivaju newtonske tekućine. (voda, ulje, zrak...)

je grana mehanike koja se bavi analizom deformacija tijela pod utjecajem vanjskih sila, tj. znanost o teĉenju tvari pod djelovajem posmiĉnih sila.

1. APSOLUTNO ELASTIĈNO TIJELO – nema deformacija ni pod kakvim opterećenjem (dv/dz=0, m = ) 2. REALNO ELASTIĈNO TIJELO – ponaša se po Hookeovom zakonu i ima neke deformacije (H.Z. - deformacija tijela proporcionalna je primijenjenoj sili pod uvjetom da se ne prijeĊe granica elastiĉnosti tijela. Kada se sila ukloni tijelo će se vratiti u svoj prvobitni oblik.) 3. IDEALNO PLASTIĈNO TIJELO – podnosi tangencijalne napone do neke vrijednosti, a potom se linearno deformira 4. NENEWTONSKE TEKUĆINE – deformiraju se nelinearno – tangencijalni naponi nisu proporcionalni tangencijalnim deformacijama 5. NEWTONSKE TEKUĆINE – ponašaju se u skladu s izrazom

→

tangencijalni napon su proporcionalni gradijentu brzine. Nagib pravca ovisi o dinamiĉkom koeficijentu viskoznosti m 6. IDEALNA TEKUĆINA - uslijed djelovanja vanjskih sila ne javljaju se posmiĉna (tangencijalna) naprezanja 6

IDEALNA TEKUĆINA REALNA TEKUĆINA →uslijed djelovanja vanjskih sila se ne javljaju →r= const. sa obzirom na posmiĉna (tangencijalna) naprezanja promjenu temperature i s →apsolutno je nestlaĉiva obzirom na promjenu tlaka →molekule tekućine nisu pod djelovanjem sile →osim tlaĉnih naprezanja kohezije* nego se slobodno kreću nezavisno jedna od postoje i VLAĈNA I druge TANGENCIJALNA naprezanja →nema djelovanja temperature (koef. toplinskog (ne smiju se zanemariti) širenja je 0 →r= const. →postoje tlaĉna naprezanja NE POSTOJI, ALI SE PRETPOSTAVKA O IDEALNOM FLUIDU OPRAVDAVA U NEKIM ANALIZAMA *kohezijske sile – molekularne sile izmeĊu molekula iste tvari (adhezijeske su izmeĊu razliĉitih tvari) Za rješavanje hidrauliĉkih problema podrazumjevamo: a. voda je nestlaĉiva b. volumen ne ovisi o promjeni temperature c. voda ne daje otpor vlaĉnim i tangencijalnm silama d. voda nema površinskog napona e. voda ne stvara pare POVRŠINSKI ili NAPON

Bitan je kod izuĉavanja problema kapilarnosti (uzdizanja – elevacije ili spuštanja – depresije) kapljevine u uskim cjevĉicama (dogaĊa se kod cijevi malog promjera (manji od 12 mm).

Proizlazi iz fizikalnog svojstva tekućine da smanjuje svoju površinu na minimum. Pri dodiru dviju tekućina vlada površinska napetost kao rezultat neuravnoteţenosti sila na razdjelnici. Površinsku napetost odreĊujemo kao naprezanje opne po jedinici duţine. A – stanje ravnoteţe – sve sile u jednoj toĉki se poništavaju B – na površini ostaju sile površinskog napona (zapravo sile unutarnjeg tlaka)

TLAK PARA

Ovisno o tlaku i temperaturi, kapljevine isparavaju radi izmjene kinetiĉke energije molekula, tako da se iznad površine kapljevine formira karakteristiĉan . Ako u odreĊenim uvjetima toka vode tlak u nekoj toĉki padne na tlak vodenih para dolazi do lokalnog isparavanja vode. Mjehurići vodene pare nošeni osnovnim tokom putuju do podruĉja većih tlakova, gdje dolazi do njihovog naglog kondenziranja, uslijed ĉega se javlja nagla promjena gustoće i ekstremno veliki udar tlaka (ĉak do 104 bara). 7

Ta pojava se naziva , a ogleda se u mehaniĉkom oštećenju hidrotehniĉke opreme (npr. crpki, turbina).

HIDROSTATIKA U tekućini koja miruje, volumenske i površinske sile su uravnoteţene. B+N=0 Sila P prezentira odbaĉeni dio elementarnog volumena tekućine tako da se i dalje nalazi u stanju ravnoteţe. Silu P nazivamo i djeluje na površinu dA (sumarni jer prezentira silu koja djeluje po cijeloj površini ABCD). ⁄

– srednji intenzitet tlaka u toĉki

p – hidrostatski tlak u toĉki tekućine koja je u stanju mirovanja

SILA HIDROSTATSKOG TLAKA UVIJEK DJELUJE NORMALNO (OKOMITO) NA PROMATRANU POVRŠINU. a=0 DOKAZ: p=po veliĉini i smjeru je hidrostatski tlak na elementarnu površinu A komponenta u smjeru osi y → py=pcosa mora biti jednaka 0 jer nema kretanja prema dolje →cosy=0, a to vrijedi samo za a=90° što znaĉi da kut izmeĊu tlaka p i stjenke posude mora biti a=90° px=py=pz=p Tlak u toĉki je skalarna veliĉina neovisna o smjeru. 8

HIDROSTATSKI TLAK U NEKOJ TOĈKI DJELUJE U SVIM SMJEROVIMA JEDNAKO. Iz homogene kapljevine u stanju mirovanja izdvojili smo trostranu prizmu neizmjerno malih dimenzija dx, dy, dz. Prema prvom svojstvu, na svaku stijenku djeluje sila hidrostatskog tlaka okomito na nju (px, py, pz) i sila gravitacije

a. projekcije na x os px dy dz – pu cosa du dz=0 px dy dz – pu dy dz=0 px=pu b. projekcije na y os py dx dz – pu sina du dz – ½ r g dx dy dz=0 py dx dz – pu dx dz – ½ r g dx dy dz=0 py – pu – ½ r g dy=0 py=pu zanemarivo mali ĉlan c. sile hidrostatskog tlaka koje djeluju na površine ABC i DEF su jednake po veliĉini i suprotne po predznaku pa se poništavaju, te ostaje px=py=pu p=f(x,y,z,r) Veliĉina hidrostatskog tlaka u nekoj toĉki ovisi o vrsti tekućine (njenoj gustoći) i poloţaju (koordinatama) toĉke na koju djeluje.

Kapljevina se nalazi u otvorenoj posudi, promatramo elementarni djelić volumena u mirovanju visine h i površine popreĉnog presjeka dA SILE koje djeluju: p0 – atmosferski tlak p – tlak u homogenoj kapljevini na nekoj dubini sile gravitacije

9

a. projekcija na os y p0dA – pdA + rhgdA=0 → p=p0 + rgh što predstavlja veliĉinu hidrostatskog tlaka u kapljevini na dubini h, pri ĉemu je uvijek p≥0 b. projekcija na os x Boĉne sile su jednake po veliĉini i suprotne po smjeru HIDROSTATSKI TLAK U NEKOJ TOĈKI TEKUĆINE JEDNAK JE TLAKU NA POVRŠINI + TEŢINA STUPCA TEKUĆINE ĈIJA JE BAZA JEDINICA POVRŠINE, A VISINA JEDNAKA DUBINI NA KOJOJ SE PROMATRANA TOĈKA NALAZI (U ODNOSU NA POVRŠINU). Ako na površini djeluje atmosferski tlak (p0=pa), tada jednadţba glasi p=rgh [N/m2] Grafiĉki prikaz jednadţbe:

pretlak

potlak

za h=0 →p=p0 za h=h1 → p=p0 + rgh1 → TLAK RASTE LINEARNO S DUBINOM KOD SLOBODNE VODNE POVRŠINE za h=0 → p=pa za h=h1 → p=pa + rgh1 → TLAK RASTE LINEARNO S DUBINOM MJERNE JEDINICE ⁄

[ ⁄

] [

]

– što odgovara tlaku vodnog stupca od 10,33 m pri 4°C

10

Grafiĉki prikaz razdiobe hidrostatskog tlaka na neku plohu se zove DIJAGRAM TLAKA i crta se okomito na plohu te raste linearno s dubinom.

APSOLUTNI I RELATIVNI TLAK Hidrostatski tlak, definiran izrazom p=p0 + rgh se naziva apsolutni hidrostatski tlak, za razliku od relativnog hidrostatskog tlaka koji je jednak razlici izmeĊu apsolutnog hidrostatskog tlaka i atmosferskog tlaka: Kada je pr˃pa u kapljevini vlada PRETLAK, a kada je pr˂pa vlada POTLAK (vakuum), pv. Iako je kod vakuuma tlak manji od atmosferskog, njegova je vrijednost uvijek pozitivna i kreće se u granicama 0≤ pv≤ pa.

PIJEZOMETARSKI TLAK p=pa + rgh Visina h daje razliku tlakova u promatranoj toĉki i atmosferskog tlaka, tj. pokazuje za koliko je tlak u nekoj toĉki veći od atmosferskog. → PIJEZOMETARSKA VISINA (PIJEZOMETARSKI TLAK) pr˃pa p=pa + rgh

11

Vanjski tlak mora biti manji od atmosferskog tlaka p˂pa, dobivamo vakuum ĉija je vrijednost razlika izmeĊu atmosferskog i stvarnog tlaka pv = pa – p Pojavljuje se usisni efekt jer je p˂pa Primjer: u toĉki A tlak mora biti jednak i iz cijevi i izvan cijevi, tj.

Visine razliĉitih tekućina u spojenim posudama obrnuto su proporcionalne njihovim specifiĉnim teţinama, pri ĉemu površine posuda nisu vaţne.

Ako su gustoće iste, h1=h2.

PASCALOV ZAKON kaţe: Tlak vanjskih sila na površinu tekućine koja se nalazi u stanju mirovanja ravnomjerno se prenosi na sve toĉke tekućine u posudi. Hidrauliĉka preša radi na osnovu Pascalova zakona. Hidrauliĉka preša omogućuje da se primjenjena sila P1 duţ nekog puta pretvori u veću silu P2 duţ manjeg puta i da se sila poveća onoliko puta koliko je površina gonjenog hidrauliĉkog cilindra veća od površine pogonskog hidrauliĉkog cilindra. h1=h2=h, A1˂A2 Ako se silom P1 djeluje na manji presjek A1 pronosi se tlak p=P1/A1, do klipa većeg presjeka A2, pa je P2=pA2 Sila P2 se povećala onoliko puta koliko je puta presjek 2 veći od presjeka 1. 12

Sila koju hidrostatski tlak stvara na dno spremnika ne ovisi o teţini kapljevine u spremniku, već o visini stupca. To je zanimljivo jer i vrlo mala koliĉina kapljevine moţe prouzroĉiti vrlo velike sile. U primjeru posuda, sila hidrostatskog tlaka na dno posude jednaka je za sve posude i iznosi P=rghA (ako je r=const., A=const., h=const.)

OPĆA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA HIDROSTATIKE

p=f(x,y,z,r) elementarni djelić volumena dimenzija (dx, dy, dz) r= const., hidrostatski tlak u toĉki A iznosi p

UNUTARNJE SILE prirast tlaka izmeĊu površina BCDE i FGHJ

(u smjeru osi x)

zato što se toĉka A nalazi na polovici razmaka površina BCDE i FGHJ analogno vrijedi i za ECHJ i BDGF

13

za površine BFCJ i DEHG

VANJSKE (VOLUMENSKE) SILE -

gravitacija i sile inercije neka je K rezultanta akceleracije vanjskih sila, a njene komponente X, Y, Z K=X+Y+Z projekcija na os x.... (gustoća*akceleracija*volumen=sila) na os y... sila inercije koja djeluje u smjeru osi y na os z... (

)

na ulaznom presjeku

(

)

na izlaznom presjeku

(ako je stanje mirovanja, tekućina nema akceleraciju u smjeru x)

(ako je stanje mirovanja, tekućina nema akceleraciju ni u smjeru y)

(akceleracija postoji)

Ove jednadţbe su Eulerove diferencijalne jednadţbe ravnoteţe tekućih tijela ili opće diferencijalne jednadţbe hidrostatike u nekom smjeru jednak je produktu gustoće i komponente akceleracije vanjskih sila u istom smjeru.

14

djeluje u teţištu P=dp/dA – tlak na jedinicu površine, a na ukupnu ∑ površinu: , - ako se h i A ne mjenjaju, P=const. A1=A2 (elementarni djelići površine) P=rghA1=rghA2

l – udaljenost teţišta od razine vode h – dubina mjerenja vertikalno u odnosu na razinu vode hidrostatski tlak u toĉki A → p=rgh, a na neku elementarnu površinu dA kod h=lsina dP=pdA=rghdA=rglsinadA na cijelu površinu A: ∑

∑

∑

ΣldA – moment elementa površine dA obzirom na os y ΣldA=l0A; l0=udaljenost teţišta površine A od osi y P=rg sinal0A I0sina=h0=vertikalna dubina teţišta

-

-

Veliĉina sumarnog tlaka na ravnu površinu „A“ jednaka je teţini vodnog tijela ĉija je baza površina „A“, a visina jednaka vertikalnoj dubini teţišta (u odnosu na površinu vode). smjer: smjer dP=pdA je kao i tlak normalan na površinu dA, pa je i rezultanta P normalna na površinu A

15

Centrom sume tlaka se naziva toĉka djelovanja sile, odreĊen je teţištem dijagrama tlaka, odnosno teţištem tijela tlaka. Naravno, on je izmišljen zbog pojednostavljenja proraĉuna, dok je stvarno djelovanje sile tlaka rasporeĊeno po plohi kako je prikazano dijagramom tlaka. Promatramo elementarnu površinu dA=dl*b ∑

Statiĉki moment

∑ suma produkta površine i kvadrata udaljenosti od osi y = moment inercije I površine A s obzirom na os y

Centar sume tlaka leţi na osi simetrije ako je površina A ima s obzirom na os y.

lc= hvatište sile sumarnog tlaka leţi ispod teţišta površine A na koju djeluju za veliĉinu It/Al0

Ako veliĉina

izraz

pa je l0=lc što znaĉi da se na nekoj dubini teţište

površine A poklapa s hvatištem sile sumarnog tlaka Ako je površina A horizontalna tada je l0 =0(a=0) jer se površina A s površinom vode sijeĉe u beskonaĉnosti pa je opet l0=lc, odnosno, hvatište sile poklapa se s teţištem površine A ¸

Horizontalna komponenta ukupnog hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu jednaka je sumarnom tlaku na vertikalnu projekciju te površine. Vertikalna komponenta je jednaka teţini vodnog tijela koje omeĊuju površina tekućine i graniĉna površina tijela na koju vertikalna komponenta djeluje. Ako je vodno tijelo realno predznak je pozitivan, a ako je fiktivno, predznak je negativan. 16

= sumarni vertikalni tlak tekućine sa smjerom prema gore ĉija je veliĉina jednaka teţini istisnute tekućine. Hvatište se nalazi u teţištu uronjenog tijela.

Px=rgh0Ax

Px’=rgh0Ay

Ax=Ay

Py=rgV

-Py’’=rGVABCEF↑

+Py’=rGVADCEF↓

Py= -Py’’-(+Py’)=rgVABCEF – rgVADCEF uzgon:

Py=rgVABCD↑

U=rgV

PLIVANJE – više od 1/3 tijela iznad vode -

svako tijlo potpuno ili djelomiĉno uronjeno u tekućinu nalazi se pod djelovanje sile gravitacije (teţina – G) i 1. G – Py ˃ 0 rtg˃rvg – Teţina tijela je veća od uzgona (teţine istisnute tekućine) → TIJELO TONE 2. G – Py ˂ 0 rtg˂rvg – rezultanta prema gore – TIJELO PLIVA NA POVRŠINI 3. G=Py rtg=rvg – stanje ravnoteţe – TIJELO PLUTA (gornja površina tijela vrhuni sa razinom vode)

17

HIDROKINEMATIKA ispituje kretanje geometrijskih oblika ne vodeći raĉuna o uzrocima kretanja niti o materijalnosti tijela.

    

BRZINA I BRZINSKO POLJE UBRZANJE I POLJE UBRZANJA TRAJEKTORIJA (PUTANJA) STRUJNICA STRUJNA CIJEV

Kinematika tekućine se zasniva na ideji o gibanju njenog neizmejrno malog djelića. – u odnosu na kruta tijela djelić tekućine osim poloţaja mijenja i oblik→ GIBANJE KRUTOG TIJELA = GIBANJE KAPLJEVINE =

+ +

+

– brzine svih toĉaka djelića kapljevine su jednake (giba se paralelno samom sebi) – dolazi do promjene poloţaja u odnosu na neku os za veliĉinu kuta uz zadrţavanje prvobitnog oblika i veliĉine(sve toĉke djelića kapljevine imaju razliĉite brzine) – promjena oblika i veliĉine a. LINEARNA DEFORMACIJA – promjena duljine svakog od vektora b. KUTNA DEFORMACIJA – promjena kuta meĊu vektorima c. OBJE ISTOVREMENO 18

– vektor ⃗ ĉije su komponente u smjeru x, y, z koje odreĊuju smjer i veliĉinu vektora brzine 2. – svaki djelić tekućine u gibanju u odreĊenom vremenu ima izvjesnu vrzinu (vektor), Vektori brzina koji predoĉavaju brzine svih djelića tekućine predstavljaju brzinsko polje 3. – ako pratimo kretanje neke ĉestice tekućine i obiljeţavamo put koji je prošla u prostoru dobijemo trajektoriju. Ĉestica ima koordinate x, y, z i svojim pomakom dobiva prirast dx, dy, dz u vremenu dt. U tom pomaku komponente brzine biti će: 1.

JEDNADŢBA PUTANJE – komponente vektora brzine (vx, vy, vz) mijenjaju se s pomakom (dx, dy, dz) u vremenu dt.

4. – ako u nizu ĉestica tekućine u kretanju povuĉemo takvu liniju da je vekvektor brzine u svakoj toĉki te linije tangenta na nju dobijemo strujnicu - kod stacionarnog strujanja: strujna linija = trajektorija (jer se smjer i brzina ĉestica ne mijenjau 5. =snop strujnica; kod stacionarnog strujanja strujna cijev se ne memijenja po obliku

19

VRSTE TECENJA PREMA RAZNIM KRITERIJIMA - prema promjeni polja brzina u vremenu USTALJENO: u promatranoj toĉki prostora nema promjene toka polja u vremenu (brzina, tlaka, gustoće i sl.) v=const., p=const.,

⁄

⁄

POJAVNOST stacionarnog strujanja: - istjecanje tekućine iz rezervoara s konstantnim vodnim licem - strujanje kroz cijev s konstantnim tlakom - pri mirnom strujanju preko preljeva - kod otvorenih korita konstantnog popreĉnog presjeka - podjela prema promjeni polja brzina u prostoru JEDNOLIKO: strujanje kod kojeg nema promjene brzine duţ strujnice (po sukscesivnim popreĉnim presjecima) - strujnice su paralelne, prijenosno ubrzanje=0 POJAVNOST jednolikog strujanja: - cijevi const. promjera i protoka - otvoreni kanali const. pofila, dubine vode i protoka USTALJENO STRUJANJE MOŢE BITI JEDNOLIKO I NEJEDNOLIKO, DOK JE NEUSTALJENO GOTOVO UVIJEK NEJEDNOLIKO.

-

podjela prema naĉinu ponašanja djelića tekućine u njegovom strujanju vrtloţno – kretanje ĉestica i translacijsko i rotacijsko bezvrtloţno – samo translacijsko kretanje (podzemno strujanje)

20

- podjela prema pojavi pulsacije brzine i pojavi miješanja djelića tekućine SLOJEVITO STRUJANJE – nema pulsacije brzina, strujanje u slojevima i pod dominacijom sila viskoznosti NESREĐENO – kaotiĉno, nesreĊeno gibanje djelića tekućine i njihov prijelaz u ostale slojeve profila (samo nestacionarno!) PRIJELAZNO – pod odreĊenim uvjetima strujanje moţe biti slojevito i turbulentno

- max. brzina manja kod kaotiĉnog gibanja - podjela s obzirom na uzrok gibanja GRAVITACIJSKO – nastalo samo pod djelovanjem gravitacije, odnosno mora postojati visinska razlika, tj. razlika energetskog potencijala - kod kanalizacije, u gravitacijskim tunelima, otvorenim vodotocima POTISNO – ako ne postoji energetski potencijal, uvodi se mehaniĉka energija pomoću koje se tekućina potiskuje cjevovodom Ako je strujanje sprijeĉeno mehaniĉka se energija transformira u tlak. Primjenjuje se kod mehaniĉke odvodnje poljoprivrednog zemljišta, vodovoda, navodnjavanja, hidrocentrala. podjela s obzirom na tlak SA SLOBODNOM VODNOM POVRŠINOM – sve površinske toĉke izloţene su istom atmosferskom tlaku, pa I strujanje u cijevima moţe biti strujanje sa slobodnom vodnom površinom pod uvjetom da cijev nije potpuno ispunjena (profil), nego tekućina mora biti u konstantnom kontaktu sa atmosferskim tlakom. POD TLAKOM – javlja se samo u zatvorenim profilima, kada unutar kapljevine postoji razlika tlaka (tlaĉne visine) izmeĊu promatranih presjeka. Ispunjenost profila mora biti potpuna. Potisno je uvijek tlaĉno strujanje, a gravitacijsko moţe biti sa slobodnom vodnom površinom ili tlaĉno! -

podjela s obzirom na odnos gravitacijskih i inercijskih sila u toku – iskljuĉivo dinamiĉka kategorija MIRNO – ako prevladavaju sile gravitacije KRITIĈNO – odnos sila gravitacije i inercije je uvijek jednak SILOVITO – dominiraju sile inercije 21

JEDNADŽBA KONTINUITETA (NEPREKIDNOSTI)

Strujanje je od presjeka 1 do 2 i to stacionarno.Unutar promatrane dionice nema prihranjivanja niti gubitaka, cijev je u potpunosti ispunjena. Tekućina se aproksimira nestlaĉivom → volumen je konstantan. proteĉe: A1v1 (kroz presjek 1) A2v2 (kroz presjek 2) A1v1 = A2v2 A1v1 = A2v2 = const. = Q (m3/s) – nedif. oblik jednadţbe kont. Površine popreĉnih presjeka obrnuto su proporcionalne srednjim profilskim brzinama pri konstantnoj protoci. U vremenu

Srednja brzina je fiktivna, proraĉunska, ne postoji!

IZVOD ZASNOVAN NA ZAKONU ODRŽANJA MASE Promatramo elementarni djelić volumena dx, dy, dz u koji dotječe tekućina paralelno s osi x. za os x: (

)

za os y:

za os z:

SUMA MORA BITI JEDNAKA 0 JER ISTEK MORA BITI JEDNAK DOTOKU! JEDNADŢBA KONTINUITETA (dif. oblik) Kad ovaj izraz nebi bio jednak 0 u tekućoj bi masi bilo praznog prostora pa bi strujnice mogle divergirati i razilaziti se (nemogućnost divergencije je uvjet koji osigurava jednadţba kontinuiteta) divW=0 22

integralni oblik jednadţbe neprekidnosti: ∫⃗

∫

∫

HIDRODINAMIKA prouĉava gibanje tekućina zajedno s uzrocima zbog kojih gibanje nastaje, a to su sile. Ona prouĉava zavisnost sila i kretanja nastalog pod djelovanjem tih sila. Osnovni element → djelić volumena ili elementarna ĉestica infitezimalnih dimenzija nebitnog oblika, a ne molekula koje djeluju na kapljevinu se mogu svrstati u dvije skupine: -

1. VOLUMENSKE (vanjske) sile su rezultat mase na koju djeluju i od koje potjeĉu. Djeluju unutar volumena tijela i to na svaki dio njegove mase radi ĉega ih dobivamo integracijom preko volumena. Javljaju se bez fiziĉkog dodira kao rezultat poloţaja mase u odreĊenom polju sile. 2. POVRŠINSKE (unutarnje) su rezultat kontakta izmeĊu pojedinih materijalnih ĉestica meĊusobno te djelovanja ĉestice i podloge (stijenke). Raĉunamo ih integracijom preko površine. : SILA TEŢINE – pojavljuje se zbog djelovanja sile teţe na neki volumen kapljevine (djelovanja Zemlje) (negativan predznak jer je suprotna orjentacija osi z od vektora ∫ ubrzanja polja sile teţe, g) SILA INERCIJE (TROMOSTI) – akceleracijsko djelovanje sile sadrţano u inercijskoj reakciji tvari na koju sila djeluje

∑

POVRŠINSKE SILE: SILA TLAKA (normalna) – rezultat djelovanja kapljevine na promatrane presjeĉne površine ∫ POSMIĈNA SILA – rezultat trenja kapljevine i stijenke ∫

23

∑ Ako je promatrana kapljevina u stanju dinamiĉke ravnoteţe zbroj vanjskih sila mora biti jednak 0. SILE U SLUĈAJU MIROVANJA? (hidrostatski problem) - sila teţe, sila tlaka (hidrostatskog)

koliĉina gibanja = masa*brzina Svaki djelić volumena ima svoju koliĉinu gibanja. ∫

∫

Prema 2. Newtonovom zakonu je ukupna promjena koliĉine gibanja jednaka impulsu djelujućih sila (zbroju svih sila koje u istom vremenskom intervalu djeluju na tu masu kapljevine) ∫

∫

∑

1. ĉlan = ukupna promjena koliĉine gibanja (lijevo) 2. ĉlan = lokalna promjena, odnosno promjena koliĉine gibanja po volumenu (kod stacionarnog strujanja) 3. ĉlan = konvekcijska promjena, promjena koliĉine gibanja po površini (protok koliĉine gibanja ili flux mase) PRETPOSTAVKE: 1. idealna tekućina 2. stacionarni tok 3. r= const.

1. PROTOK KOLIĈINE GIBANJA (flux mase) 2. SILE – unutarnje i vanjske (volumenske i površinske) 3. P0= sila koja djeluje na plašt kao rezultat djelovanja sila unutar cijevi

24

EULEROVA JEDNADŽBA + SILA INERCIJE (prema d’ Alambertu) r=gustoća (masa jedinice volumena) dxdydz=volumen rdxdydz= masa u, v, w = komponente vektora brzine du/dt, dv/dt, dw/dt = akceleracije produkt mase i akceleracije = sila tromosti (inercije) GRADIJENT (PROMJENA) TLAKA tekućine u nekom smjeru jednak je produktu gustoće i komponente akceleracije vanjskih sila u istom smjeru. (OPĆA DIF. JEDNADŢBA HIDROSTATIKE)

- ako gornje jednadţbe uvrstimo u jednadţbe hidrostatike: za os x:

– implicitni oblik

= const. nema općeg rješenja – 4 nepoznanice, moguće je uz odreĊene pretpostavke 1. STACIONARNO STRUJANJE 2. matematiĉke transformacije (1. jednadţbu pomnoţimo s dx, 2. sa dy, a 3. s dz i sumiramo jednadţbe) (

)

25

uvodimo supstitucije u gornji oblik:

za strujnu cijev na koju djeluje samo gravitacija i u normalnom koordinatnom sustavu: X=0, Y=0, Z=-g

poloţajna+tlaĉna+brzinska visina=const. (ili 0 za stacionarno strujanje) – odnosno izvod Bernoullijeve jednadţbe primjenom Eulerovog integrala

IZVOD BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE (1738) primjenom zakon odrţanja koliĉine gibanja Promatramo fiktivnu strujnu cijev ili konaĉni element neke cijevi sa stacionarnim ili postupno promjenjivim strujanjem.

– sila tlaka na ulazu (uzvodni profil) – sila tlaka na izlazu (nizvodni profil) komponenta ukupne sile tlaka na plašt cijevi u smjeru strujanja F ukupna sila trenja na plašt – koliĉina gibanja na ulazu – koliĉina gibanja na izlazu G(FG) – sila gravitacije

26

– komponenta koja izaziva promjenu koliĉine gibanja (u toku kol. gibanja u smjeru toka)

tok kol.gibanja

sila trenja

Asr – srednja veliĉina p.p.

(

)

gubici

-

oblik jednadţbe za idealnu tekućinu (stacionarno strujanje nestlaĉive kapljevine)

geodetska visina, visina teţišta popreĉnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu (m) pijezometarska ili tlaĉna visina= visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi (m) brzinska visina = visina s koje bi tijelo da pada imalo brzinu v (m) H = HIDRODINAMIĈKI TLAK ILI UKUPNA SPECIFIĈNA ENERGIJA Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi (okomita cijev koja sluţi za mjerenje brzine). Suma tih visina je konstantna = H bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

27

=konstantnost potencijalne energije (

i kinetiĉke energije (

pa Bernoullijeva

jednadţba predstavlja → jedinica mase tekućine ima kod stacionarnog strujanja const. energiju duţ cijele strujne cijevi Kod idealne tekućine linija energije je konstantna.

-

U obzir dolazi stacionarno strujanje nestlaĉive kapljevine (

-

Kod realne tekućine uzimaju se u obzir sile otpora pri kojima se dio energije troši na svladavanje tog otpora. Mehaniĉka energija duţ toka ne ostaje stalna i jedan dio se bespovratno pretvara (disipira) u toplinsku energiju.

-

oblik jednadţbe za realnu tekućinu:

28

CORIOLISOV KOEFICIJENT ILI KOEFICIJENT KINETIĈKE ENERGIJE koji pokazuje odnos stvarne kinetiĉke energije mase fluida koji protjeĉe popreĉnim presjekom u jedinici vremena i kinetiĉke energije odreĊene iz uvjeta da su brzine u svim toĉkama presjeka jednake srednjoj brzini. , a kod strujanja otvorenim vodotocima najĉešće

Kod strujanja u cijevima

∫

dio specifiĉne energije utrošen na svladavanje HIDRODINAMIĈKIH OTPORA strujanju kapljevine

PRAKTIČNA PRIMJENA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE d=const., Q=const, v=const.,

(

)

(

)

gubitak tlaka=razlika pijezometarskih visina u presjecima ako je cijev horizontalna → direktno oĉitavanje pijezometara

Ako je strujanje jednoliko → v=const.

Atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka. U pijezometrima se voda podiţe do razine vode u vodotoku. linija vodnog lica=pijezometarska linija

29

Za mjerenje koliĉine vode (gubici se zanemaruju = idealna tekućina) - cijev je horizontalna h=razlika oĉitanja u pijezometrima Jednadţba kontinuiteta

protok

√(

)

REZIMI KRETANJA REALNE TEKUCINE Tijekom kretanja realne tekućine javljaju se razliĉiti otpori (ovisno o viskoznosti) BOUSSINESQ (1868) – brzina ĉestica uz stijenku cijevi ili korita vodotoka=0 REYNOLDS (1883) – svojstva i veliĉina otpora ovise o reţimu kretanja tekućine PRANDTL (1904) – 2 podruĉja u kojima se javljaju 2 reţima teĉenja: a. GRANIĈNI SLOJ – tanki sloj uz stijenku b. JEZGRA TEĈENJA – dio vodene mase unutar graniĉnog sloja LAMINARNO STRUJANJE – slojevito, u njemu nema izraţene jezgre teĉenja TURBULENTNO STRUJANJE – s jezgrom teĉenja i graniĉnim slojem REYNOLDSOVI POKUSI (1883) 3 parametra: brzina, promjer cijevi, kinematiĉki koeficijent viskoznosti 1. pri malim brzinama ulaz crvene boje neće se miješati sa vodom – strujnica je pravac paralelan sa stijenkom cijevi (LAMINARNO STRUJANJE) 2. povećanjem brzine strujnica (otvaranjem S2) zadrţava kontinuitet, ali gibanje postaje valovito – PRIJELAZNO STRUJANJE

30

3. daljnjim otvaranjem slavine S2 ova pojava će ostati takva do odreĊenog trenutka kada se karakter strujanja mijenja i poĉinje miješanje vode i boje – TURBULENTNO STRUJANJE a) stabilno strujanje kod malih brzina b) poremećaj zbog povećanja brzine – deformacija strujnica c) na suţenim djelovima tlak pada zbog povećanja brzine d) ako su sile viskoznosti veće od sila inercije strujanje će se stabilizirati, ako nisu javljaju se vrtlozi koji se pronose, remete tok i izmjenjuju koliĉinu energije – TURBULENTNO STRUJANJE  laminarni reţim – uvjetovan silama trenja  turbulentni reţim – uvjetovan silama inercije dimenzionalna analiza: *

+

– bezdimenzionalni parametar → kriterij za odreĊivanje vrste strujanja; odnos sila inercije i sila viskoznosti koeficijent kinematiĉke viskoznosti srednja profilska brzina – promjer cijevi Reţim strujanja ovisi o kinematiĉkom koeficijentu viskoznosti, brzini strujanja i profilu cijevi. Re≈2000 (2320) – teĉenje je laminarno Re˃2000 (2320) – teĉenje je turbulentno → pribliţna kritiĉna brzina pri kojoj se dogaĊa prijelaz iz

-

laminarnog u turbulentno teĉenje D=100 mm, vk=0,02 – 0,012 m/s u cijevima je brzina oko 1,0 m/s što znaĉi da je vrlo teško postići laminarno strujanje, u vodotocima je još teţe 1m/s je brzina u vodovodnoj mreţi, laminarno strujanje izvan laboratorija se dogaĊa samo u podzemnim vodama ili kod vrlo viskoznih tekućina kao što je LAMIN

TURBULENTNO TEČENJE -

dolazi do jakog miješanja ĉestica i formiranja 2 podruĉja u GRANIĈNOM SLOJU – brzina raste od 0 do neke vrijednosti na granici graniĉnog sloja i turbulentne jezgre i raste s viskoznošću 31

-

GRANIĈNI SLOJ – podruĉje strujanja tekućine u blizini podloge po Prandlu: – normalna debljina graniĉnog sloja √

-

za cijev

√

za otvoreni vodotok

u turbulentnoj jezgri brzina pulsira, dok je kod laminarnog u nekoj toĉki brzina konstantna → gubitak energije je veći kod turbulentnog teĉenja -

u cijevima

U graniĉnom sloju skok brzine je velik. Graniĉni sloj je manji što je strujanje turbulentnije.

- u otvorenim koritima Laminarno strujanje je nemoguće u otvorenim koritima u jezgri, samo uz graniĉni sloj.

Najjednostavniji sluĉaj pojave graniĉnog sloja moguće je pratiti pri ustaljenom i slobodnom (neograniĉenom) strujanju realne kapljevineuzduţ ĉvrste, glatke, ravne i beskonaĉno duge tanke ploĉe, postavljene paralelno sa smjerom strujanja kapljevine.

32

1. Strujnice su u neograniĉenom toku meĊusobno paralelne, brzina jednaka. 2. Strujnice prestaju biti paralelne, prijelaz od v=0 do brzine neporemećenog sloja se odvija u jako tankom graniĉnom sloju – poĉinje se razvijati laminarni sloj 3. Daljnjim širenjem graniĉnog sloja poĉinje se razvijati turbulencija (povećanjem Re do kritiĉne vrijednosti) i laminarno strujanje postaje nestabilno 4. Zona turbulentnog toka postaje sve šira, a laminarnog sve uţa – pronošenje virova i u podruĉje bliţe podlozi – izravnavanje profila brzina 5. Debljina graniĉnog sloja se ustaljuje, a formira se tanki sloj s velikim unutarnjim trenjem, velikih gradijenata brzina i preteţito laminarnim strujanjem – viskozni podsloj. 6. Vrlo kratko podruĉje prijelaza iz laminarnog u turbulentni tok. - Opisani razvoj graniĉnog sloja uzrokuje pojavu tangencijalnih naprezanja kojeg odreĊuje gradijent brzina ili promjena koliĉine gibanja

– koeficijent otpora trenja (nije konstanta već se mijenja duţ ploĉe ovisno o razvoju graniĉnog sloja) Sila otpora trenja dobije se integriranjem tangencijalnih naprezanja po površini. Izraţava se Darcy – Weisbachovim koeficijentom otpora trenja MeĊutim, realna podloga nikada nije apsolutno glatka nego uvijek ima

.

apsolutna hrapavost – debljina viskoznog sloja - ’ – nema pulsacije brzine i nema mješanja slojeva → oĉito je da, pošto veliĉina hrapavosti ne utjeĉe na reţim strujanja unutar graniĉnog sloja, manji dio kapljevine miruje u izboĉinama koje formiraju hrapavost, dok glavnina toka klizi iznad tako formiranog sloja. Tada je vrijednost koeficijenta otpora trenja jedino funkcija Reynoldsovog broja. → → vrijedi za Re ≤ 2320 Kod okruglih cijevi: 33

– fiziĉka hrapavost moţe dvojako utjecati a.

’ Ako je apsolutna hrapavost manja od debljine viskoznog podsloja koji se se u pogledu miješanja kapljevine praaktiĉki ponaša kao laminarni sloj, kaţemo da se radi o hidrauliĉki glatkoj površini – TURBULENTNO GLATKI REŢIM. ⁄

’ Ako je apsolutna hrapavost površine veća od debljine viskoznog podsloja, veliĉina otpora površine će ovisiti samo o veliĉini njene hrapavosti. Tada govorimo o hidrauliĉki hrapavoj površini -TURBULENTNO HRAPAVI REŢIM. – koef. otpora trenja funkcija samo relativne hrapavosti c. Normalno da izmeĊu dva graniĉna sloja postoji prijelazno podruĉje koje se zove TURBULENTNO PRIJELAZNI REŽIM b.

Nikuradze je radio opseţna eksperimentalna istraţivanja promjene koeficijenta ali samo po pokusima obavljenim sa zrnatom hrapavošću, pa se njegov dijagram nije mogao upotrijebiti za tehniĉke cijevi (koje imaju prirodnu hrapavost).

Rezultati su prikazani grafiĉki logaritmom koeficijenta otpora trenja na bazi logaritma Reynoldsova broja Re, za razliĉite omjere ⁄ , gdje je r=D/2 polumjer cijevi, a visina pješĉane hrapavosti. Zbog lakšeg analiziranja na dijagramu su naznaĉeni pravci I i II. Prvi odgovara laminarnom strujanju, a drugi turbulentnom strujanju u glatkim cijevima.

34

TEČENJE POD TLAKOM U ZATVORENIM PROFILIMA Kod zatvorenih profila teĉenje moţe biti stacionarno i nestacionarno; tlaĉno i sa slobodnom vodnom površinom (vodovodi, tlaĉne cijevi HE, hidrotehniĉki tuneli) Kljuĉni parametri su Q, H i d. Kod realnih tekućina javljaju se HIDRODINAMIĈKI GUBICI. – javljaju se duţ

1. cijevi uslijed hidrauliĉkih otpora Ovise o: - hrapavosti stijenke ( - brzini strujanja (v) - popreĉnom presjeku (D) - duţini cijevi (L) ̅̅̅̅

̅

DARCY -WEISBACHOVA JEDNADŢBA – za

̅

proraĉun pada energetske linije po duljini cjevovoda zbog otpora površine uslijed trenja ZA OKRUGLE CIJEVI: R=D/4 ̅̅̅

̅̅̅

̅ -

ove jednadţbe dolaze u obzir za proraĉun ako je strujanje stacionarno i jednoliko (D=const., Q=const.) strujanje moţe biti laminarno ili turbulentno što ovisi o srednjoj profilskoj brzini (v, D i ) – odnosno o Reynoldsovom broju

Moody je izradio univerzalni dijagram koji se koristi za proraĉun otpora teĉenja uslijed trenja u tehniĉkim cijevima. Sluţi za jednostavno odreĊivanje koeficijenta otpora trenja oĉitanjem. Na njemu je, radi njegove lakše primjene, crtkanom linijom povuĉena granica izmeĊu turbulentno prijelaznog i turbulentno hrapavog reţima.

35

2.

– nastaju uslijed promjene profila cijevi, loma cijevi ili bilo koje druge prepreke teĉenju, odnosno lokalnih pojava koje narušavaju oblik teĉenja Gubici ovise o hidrodinamiĉkom oblikovanju. DogaĊa se kontrakcija mlaza (kod promjene oblika ako cijev nije oblikovana hidrodinamiĉki voda ne ide uz cijev) i pijezometarska linija naglo opada. Pojavljuje se podtlak – moguća kavitacija. Ukoliko ulaz pravilno oblikujemo, gubici će biti znaĉajno manji i neće dolaziti do odvajanja graniĉnog sloja.

36

Naglo proširenje je takoĊer sluĉaj odvajanja graniĉnog sloja.

(

)

(

)

= – koeficijent lokalnog gubitka

- odvajanje graniĉnog sloja i lokalni gubici kako je prikazano na slici – odmah na poĉetku suţenja graniĉni sloj se odvaja, ali je odvajanje razmjerno kratko pa se pojavljuje kontrakcija presjeka Ac. U tom je dijelu strujanje obrzavajuće, pa je gubitak energije zanemariv. Iza najveće kontrakcije dolazi do usporavanja i disipacije energije, pa se pad nergije piše kao:

( (

)

)

Koristili smo jednadţbu kontinuiteta za

- vrijednosti koef. otpora oblika

37

STRUJANJE OTVORENIM VODOTOCIMA OSNOVNE DEFINICIJE: OTVORENI VODOTOK – protoĉni presjek sa slobodnom vodnom površinom koja je u kontaktu s atmosferom TEĈENJE OTVORENIM VODOTOCIMA – podrazumijeva strujanje sa slobodnim vodnim licem, odnosno graniĉnom površinom izloţenom atmosferskom tlaku PRIMJENA – u praksi ju nalazimo u regulacijama rijeĉnih tokova, hidrotehniĉkim melioracijama (odvodnja i navodnjavanje iz otvorenih kanala), kanalizacija, odvodnja s prometnica

– nema promjene toka polja u vremenu (niti u

1. jednoj toĉki prostora)

– dolazi do promjene toka polja u toĉkama

2.

prostora (polja brzine, tlaka, gustoće)  – nema promjena brzina uzduţ strujnice, strujnice su paralelne, prijenosno ubrzanje je jednako 0 (v=const. →A=const.)  – brzina se mijenja duţ strujnica koje zauzimaju konvergirajući ili divergirajući poloţaj (ni v ni A nisu const.)

površine i omoĉenog oboda (m)

-

-

POPREĈNI PRESJEK (A) – protoĉni presjek okomit na smjer strujanja vode (m2) OMOĈENI OBOD (O) – dio opsega popreĉnog profila koji je u kontaktu s vodom (m) HIDRAULIĈKI RADIJUS (R) – odnos pretjecajne R=A/O

oblik strujanja kod kojeg su dubina (h), površina popreĉnog presjeka (A) i brzina (v) u svakom presjeku konstantni, a linija energije, vodno lice i dno vodotoka paralelni, hrapavost je konstantna i ne postoje lokalni otpori (strujanje praktiĉki u pravcu – u prirodi ne mora biti pravac, ali ako su udaljenosti jako velike moţe se zanemariti) Ovakve uvjete moguće je ostvariti u umjetno izvedenim vodotocima, odnosno kanalima i nije primjenjiv u prirodnim vodotocima. kanala mogu biti razliĉiti, ovisno o namjeni i uvjetima. Kanali u prirodnom tlu su trapezni, a suvremeni montaţni kanali mogu biti pravokutni, paraboliĉni i polukruţni 38

Uz stalan protok i stalnu protjecajnu površinu i zadani pad I i brzina je konstantna. Pri tome se ustaljeno strujanje odvija uz stalnu dubinu h0 koja se naziva

Ukupna energija ĉestice vode koja putuje strujnicom izraţena je Bernoullijevom jednadţbom

39

transformira se u toplinsku energiju Gdje je : H= ukupna energija z = poloţajna energija odreĊena visinom promatrane strujnice od neke referentne ravnine – potencijalna energija – kinetiĉka energija – korekcijski faktor kinetiĉke energije koji se uvodi zbog toga što prava kinetiĉka energija popreĉnog presjeka ne mora biti jednaka prostornoj prosjeĉnoj energiji –

H = visina energetske linije – visina tlaĉne ili pijezometarske linije Kod većine uniformnih strujanja otvorenim vodotocima ili onih koji su bliski uniformnim strujanjima (promjene presjeka, brzine i dubine dogaĊaju se vrlo postupno i na drugoj dionici):

40

OGRANIĈENJE: Ako je pad vodotoka I0≥0,18 ili ≥10° u tom sluĉaju distribucija tlaka nije hidrostatska jer se vertikalna dubina razlikuje od dubine mjerene okomito na presjek. PRETPOSTAVKA: nema lokalnih otpora, samo linijski

– lokalni koeficijent otpora trenja, R=A/O hidrauliĉki radijus, (pad energetske linije=pad pijezometarske linije=pad dna) √

√

√

√

za brzinu u otvorenim vodotocima kod jednolikog √ – ustaljeog strujanja (m/s) C=Chezyjev broj - sloţena funkcija (ne const.!) ovisna o hrapavosti površine i Reynoldsovom broju *

⁄

+

R=A/O, kod cijevi R=D/4 1. DARCY – WEISBACHOVA JEDNADŢBA

2. CHEZYJEVA JEDNADŢBA za kruţni p.p.

41

√ DW

za cijevi

za otvorene vodotoke

Re˂2320

Re˂500

Re˃4000

CH

laminarno

Re˃1000 turbulentno – zbog toga u otvorenim vodotocima su najĉešće turbulentna strujanja

Od mnogih empirijski formula najviše se koristi

⁄

⁄

n – Manningov koeficijent hrapavosti korita R – hidrauliĉki radijus – Sticklerov koeficijent hrapavosti (

)

Formula je dovoljno toĉna aproksimacija turbulentno hrapavog strujanja. Ako se izraz na C uvrsti u Chezyjevu jednadţbu ⁄

⁄

⁄

⁄

prema jednadţbi kontinuiteta Q=Av ⁄

⁄

⁄

⁄

42

Iste su površine popreĉnog presjeka, padovi kanala i uvjeti hrapavosti, ali koji se kanalom moţe ostavariti veći protok? →Onim koji ima veći omoĉeni obod!

Mehaniĉka energija vode koja protjeĉe u jedinici vremena kroz protjecajnu površinu vodotoka, reducirana na jedinicu mase i odreĊena s obzirom na horizontalnu referentnu ravninu poloţenu najniţom toĉkom (dnom) popreĉnog presjeka vodotoka, zove se specifiĉna energija presjeka vodotoka i oznaĉuje sa . To vrijedi za male padove kanala I≤0,18, odnosno kod kuteva manjih od 10° u odnosu na horizontalnu ravninu. Energetski oblik Bernoullijeve jednadžbe: Ako se referentna ravnina poloţi na dno vodotoka, a ne uzme se u obzir atmosferski tlak tada je dubina vode u vodotoku, a pijezometarska linija korespondira s razinom vode –

potencijalna kinetiĉka =specifiĉna energija presjeka koja se sastoji od potencijalne i kinetiĉke energije

Jedan Q moţe protjecati razliĉitim brzinama, pa onda i razliĉitim dubinama (jednadţba kontinuiteta)

43

1. Ako h→0, i u tom sluĉaju dolazi do enormnog povećanja brzine jer se presjek smanjio, pa , a ukupna . 2. Ako , i u tom sluĉaju zbog vrlo velikog presjeka dolazi do pojave vrlo male brzine v→0, pa , a ukupna . →KRIVULJA SA DVA KRAKA OD KOJIH OBA IDU U BESKONAĈNOST  Minimum energije se nalazi u toĉki A i dubini koja odgovara minimumu specifiĉne energije presjeka naziva se KRITIĈNA DUBINA, a strujanje pri toj dubini je KRITIĈNO STRUJANJE.  za h˂hkr→SILOVITO STRUJANJE (donji krak) i specifiĉna energija se smanjuje s povećanjem dubine  za h˃hkr→MIRNO STRUJANJE (gornji krak) i specifiĉna energija raste s povećanjem dubine (postoji i grafoanalitiĉki!) IZ UVJETA: Budući da kritiĉnoj dubini odgovara minimum specifiĉne energije presjeka, njeno odreĊivanje je moguće provesti i analitiĉki, postavljajući da je prva derivacija funkcije specifiĉne energije presjeka po dubini jednaka nuli: (

)

(

)

(

)

44

A = površina protoĉnog presjeka (m2); b = širina vodnog lica (m) Q=Av ̅ ̅ Bezdimenzionalna veliĉina s lijeve strane koja pokazuje odnos sila tromosti i sila gravitacije naziva se . o za h=hkr

b = bkr = širina vodnog lica kod koje je h=hkritiĉno √ Q= specifiĉni protok po jedinici širine Kod pravokutnih presjeka kritiĉnu dubinu je moguće izraĉunati direktno zbog jednostavnosti geometrije (A=bhkr)

√ 1. za h=hkr (za kritiĉni reţim strujanja) Fr=1 – odnos sila tromosti i sila gravitacije je jednak →MINIMUM SPECIFIĈNE ENERGIJE PRESJEKA 2. za h˃hkr (za mirni reţim strujanja) Fr˂1 – prevladavaju sile gravitacije → SPECIFIĈNA ENERGIJA RASTE kao posljedica povećanja potencijalne energije uz istovremeno smanjenje kinetiĉke energije Propagacija (širenje) utjecaja se kreće uzvodno. 3. za h˂hkr (za siloviti reţim strujanja) Fr˃1 – prevladavaju sile tromosti → SPECIFIĈNA ENERGIJA RASTE kao posljedica povećanja kinetiĉke energije uz istovremeno smanjenje potencijalne energije Propagacija utjecaja se kreće nizvodno.

1. Ako je poznata Esp nije moguće jednoznaĉno odrediti reţim toka (zbog dva kraka krivulje) 2. Jednoznaĉno se moţe odrediti samo kritiĉni reţim toka Esp=min.

45

PROBLEM PRIJELAZA IZ JEDNOG REZIMA STRUJANJA U DRUGI uzroci: promjena pada, istjecanje ispod zapornice, prelijevanje preko praga 1. PRIJELAZ MIRNOG REŢIMA STRUJANJA U SILOVITI – odvija se mirno, bez vidljive manifestacije

2. PRIJELAZ SILOVITOG REŢIMA STRUJANJA U MIRNI se odvija uz pojavu

Dolazi do prijelaza iz manje dubine h1 koja ima veću specifiĉnu energiju (kinetiĉku energiju), preko hkr, gdje je specifiĉna energija minimalna i voda dolazi na veću dubinu h2, gdje se specifiĉna energija opet povećava. Takva promjena specifiĉne energje vodotoka, koju bi pratio kontinuirani oblik krivulje slobodnog vodnog lica, fiziĉki nije moguća. Moguće je jedino strujanje s disipacijom mehaniĉke energije do minimuma(pad energetske linije). Potez vodotoka gdje se odvija vodni skok nazivamo .

46

Pojava hidrauliĉkog skoka moguća je samo kada su dubine h1 i h2 u odreĊenom odnosu (zavisnosti) i tada se nazivaju SPREGNUTE DUBINE. Za proraĉun nije primjenjiva Bernoullijeva jednadţba jer se zbog sloţenosti procesa ne mogu izraĉunati svi gubici, te se primjenjuje:

a. dno kanala je horizontalno (tako da se gubi horizontalna komponenta teţine vode) – slapište se uvijek radi horizontalno b. na podruĉju hidrauliĉkog skoka gubici na trenju se zanemaruju

Ls – duţina vodnog skoka

Sile koje djeluju na promjenu koliĉine gibanja kroz presjek A su normalne, posmiĉne i gravitacijske (teţina). Mora biti zadovoljena ravnoteža sila koje djeluju na presjeke prije i poslije hidrauliĉkog skoka: – tok koliĉine gibanja mase vode u jedinici vremena kroz promatrane presjeke korita – sile tlaka u promatranim presjecima korita (normalne sile)

FUNKCIJA POTPUNOG SKOKA 47

Derivacija funkcije KARAKTERISTIKE FUNKCIJE SKOKA 1. Ista vrijednost funkcije kod spregnutih dubina h1˂hkr i h2˃hkr ili uvjet da je pokazuje da se spregnute dubine nalaze na istoj vertikali. 2. Kad jedna dubina raste, druga opada. 3. U zadanom koritu moguć je neograniĉen broj parova spregnutih dubina. 4. Kritiĉna dubina nema svoju spregnutu dubinu.

Funkcija skoka ima dimenziju duţine. Ako h→0, tada Ako , tada Funkcija skoka moţe se prikazati i kao jednakost funkcije skoka spregnutih dubina h1 i h2 (uzvodne i nizvodne). SLUĈAJ PRAVOKUTNOG POPREĈNOG PRESJEKA A=hb (m2) q=Q/b - protok po jedinici širine presjeka (m2/s)

(

)

2Fr1

48

√ √ Pomoću izraza za h1 i h2 izraĉunavaju se 1. i 2. spregnuta dubina. UvoĊenjem izraza za kritiĉnu dubinu

(

)

(

√

(

) )

(

√

(

) )

Eksperimentalna istraţivanja su pokazala vrlo dobra slaganja analitiĉkih i mjerenih vrijednosti. Zbog velikog trenja i turbulencije gubici u hidrauliĉkom skoku mogu biti i do 2/3 vrijednosti specifiĉne energije uzvodnog presjeka. = gubitak energije u hidrauliĉkom skoku razlika specifiĉnih energija uzvodnog i nizvodnog presjeka (prije/poslije vodnog skoka) (

)

(

)

Minimum funkcije skoka poklapa se s minimumom specifiĉne energije presjeka i odgovara kritiĉnoj dubini. Spregnute dubine se mogu odrediti grafiĉki. Samo kritiĉna dubina nema svoju spregnutu dubinu. Manjoj dubini u silovitom reţimu odgovara veća spregnuta dubina u mirnom reţimu i obrnuto.

49

 VISINA HIDRAULIĈKOG SKOKA, , definira se kao razlika dviju spregnutih dubina.  DUŢINA HIDRAULIĈKOG SKOKA, , se definira kao horizontalna udaljenost mjerena od ĉela skoka do toĉke na površini neposredno nizvodno od vrtloţnog površinskog valjka u kojoj je dubina praktiĉki jednaka drugoj spregnutoj dubini – ima veliko praktiĉno znaĉenje i je vaţan projektni podatak. Ne moţe se odrediti na osnovi terenskih razmatranja pa se zato u praksi koristi niz empirijskih formula baziranih na rezultatima eksperimentalnih istraţivanja. IZRAZI ZA LS KOD HORIZONTALNOG PRAVOKUTNOG KORITA: a. Smetana (1933) b. Silvester (1964)

a. potpuni skok – skok stalnog presjeka i pada b. valovit skok – izgleda poput niza postupno prigušenih valova c. potpoljen skok – skok s razvijenom površinskom zonom koji na putu rasprostiranja uzvodno upire u vertikalnu pregradu d. površinski skok – skok s razvijenim vrtloţnim (strujnim) valjkom pri dnu na poĉetku skoka

USTALJENO NEJEDNOLIKO STRUJANJE U PRIZMATIČNIM KORITIMA (prizmatiĉno korito – poznatog geometrijskog oblika) Ako se u prizmatiĉnom koritu s ustaljenim jednolikim strujanjem toku vode nešto preprijeĉi – prag, brana ili nastupi nagli pad dna to rezultira NEJEDNOLIKIM STRUJANJEM. Tada se parametri strujanja neće u nekoj toĉki toka mijenjati vremenski, što znaĉi da je strujanje ustaljeno, ali će se uzduţ korita, ovisno o razlogu poremećaja, brzine smanjivai a dubine povećavati, ili obrnuto, što znaĉi da je strujanje nejednoliko. 50

Dolazi do promjene oblika slobodnog vodnog lica – moţemo izdvojiti dva osnovna oblika krivulje sobodne vodne površine 1. KRIVULJA USPORA – nastaje pri postepenom porastu dubina duţ vodotoka – nejednoliko usporeno (npr. Drava → Dunav) 2. KRIVULJA DEPRESIJE – nastaje pri opadanju dubina – nejednoliko ubrzano

Razina vode u jezeru utjeĉe na razinu vode u vodotoku (kanalu).

MIRNI REŽIM ne utjeĉe na razinu vode u kanalu 51

– krivulja depresije jednoliko strujanje vode u kanalu linije uspora asimptotski se pribliţavaju normalnoj dubini

KRITIČNI REŽIM u kanalu teĉenje s minimumom specifiĉne energije ne utjeĉe na razinu vode u kanalu jednoliko strujanje vode u kanalu linija uspora SILOVITI REŽIM U KANALU →pojava vodnog skoka javlja se vodopad i nema poremećaja razine vode u kanalu vodni skok u jezeru vodni skok na samom kraju kanala sa spregnutim dubinama – vodni skok se pomiĉe uzvodno u kanal, a izmeĊu skoka i jezera javlja se mirno teĉenje

Proraĉun i konstrukcija krivulje uspora definirane su diferencijalnom jednadţbom.

kada je dh/dx=0, onda je to ustaljeno strujanje

52

USTALJENO NEJEDNOLIKO STRUJANJE U NEPRIZMATIČNIM KORITIMA Kod neprizmatiĉnih korita popreĉni presjek se mijenja duţ toka. Ovakvo strujanje se dogaĊa samo u koritima ĉije se dimenzije i oblika blago mijenjaju uzduţ toka. U njima je zakrivljenost strujnica veoma mala, a brzine djelića se pretpostavljaju okomito na protjecajnu površinu koja je ravna. Analiza poĉinje Bernoullijevom jednadžbom

Iz Chezyjeve formule za srednju profilsku brzinu, s Manningovim koeficijentom hrapavosti moguće je izraziti pad energetske linije ( Manningova jednadžba): ⁄

⁄ ⁄

⁄

uvode se ̅ – srednja brzina promatrane dionice i ̅ – srednji hidrauliĉki radijus promatrane dionice

53

̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ⁄ ̅ ̅ (

̅ ̅ )

– promjena brzinske visine

Prema tome, problem je moguće riješiti jedino iterativno, poĉevši od i-1 profila s poznatom visinom vodnog lica hi-1, i poznatom protokom Q, pretpostavljajući visinu vodnog lica u uzvodnom profilu hi, i raĉunajući ostale parametre. Dobije li se raĉunom da je proraĉunata visina vodnog lica jednaka pretpostavljenoj, usvaja se kao konaĉna. U protivnom, proraĉun se ponavlja do zahtijevane toĉnosti.

54