Hidrodinamica Mec. Fluidos.docx

3.1.- Conservación de la masa En este tema se presenta la ley de conservación de la masa para un fluido con densidad constante, es decir, el caudal volumétrico se mantiene constante. Esta ley consiste en que el producto de la velocidad por el área de la sección transversal al flujo es una constante a lo largo del tubo de corriente en el cual se desplaza el fluido.

Fundamentos físicos: Inicialmente se tiene la ley de conservación de la masa, la que consiste en que, para un sistema sin pérdidas, la masa no se crea ni se pierde, por lo tanto la masa que entra en un intervalo de tiempo es igual a la que sale en ese mismo intervalo de tiempo, esto se cumple sin importar que tan pequeño sea el intervalo de tiempo.

Esto puede ser expresado en ambos sectores como el producto entre el caudal volumétrico y la masa específica del fluido en cada etapa.

En el caso de una tubería de diámetro conocido en cada sección podemos saber el caudal volumétrico como el producto punto entre la velocidad media del fluido que transita por una sección de la tubería y el vector normal a ella con magnitud equivalente al área de la sección.

Al considerar secciones transversales a la dirección del flujo, el producto punto se simplifica quedando simplemente:

Pero como asumimos un fluido incompresible y por tanto la masa específica constante, entonces:

Esta es una simplificación de la ecuación de continuidad, la cual pone en evidencia que ante una variación en el área de la sección transversal al flujo las magnitudes de las velocidades tendrán que cambiar de manera inversa, esto es, si disminuye el área de una sección de una tubería la rapidez del flujo en esa misma sección será mayor y viceversa.

3.2.- Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control.

EXISTEN 3 LEYES BASICAS: 1) LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA:

“la masa de un sistema permanece constante matemáticamente puede expresarse como:” 𝑑/𝑑𝑡∫sist 𝜌𝑑∀=0

2) PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA:

“LA VELOCIDAD de transferencia de calor a un sistema menos la velocidad con la que el sistema realiza trabajo es igual a la velocidad con la que cambia la energía del sistema. Expresándose de la siguiente forma:

𝑄−Ẇ= 𝑑/𝑑𝑡 ∫sist, 𝑒𝜌∀.

También puede hacerse referencia a esta ecuación como la ecuación de la energía.

NOTA: donde e representa la energía específica, involucrando a la energía cinética, la energía potencial y la energía interna.

*Q=tasa de transferencia de calor.

*Ẇ=tasa de trabajo (potencial)

*𝛥𝐸=𝐸2−𝐸1=𝑄−𝑊=𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎.

② se infla un globo con un suministro de agua de 0.9m³/s. calcule la velocidad de crecimiento del radio en el momento en que F=0.25m

NOTA: recuerde que ρ=cte en el sistema y no cambia.

REGIMEN PERMANENTE.

1) LA MASA SI ENTRA EN EL TUBO INFINITESIMAL ES IGUAL A LA MASA QUE SALE:

𝜌1 𝐶1 𝑑𝐴1 = 𝜌2 𝐶2 𝑑𝐴2 = 𝜌3 𝐶3 𝑑𝐴3 = 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑙.𝑒𝑠𝑝.= 1/𝜌

=

𝜌= 1/𝑣𝑒𝑠𝑝.

𝐶1 𝑑𝐴1 𝑉1 = 𝐶2𝑑 𝐴2 𝑉2 = 𝐶3 𝑑𝐴3 𝑉3 = 𝑐𝑡𝑒. La forma de la ecuación De continuidad para fluido comprensible e incompresible y un hilo de carrete.

Para fluido incompresible: 𝜌 𝑦 𝑣𝑒𝑠𝑝 = 𝑐𝑡𝑒.

Asi, 𝐶1 𝑑𝐴1 = 𝐶2𝑑 𝐴2 = 𝐶3 𝑑𝐴3 = 𝑐𝑡𝑒

Para fluido compresible: Caudal másico=> dG = ρd Q= ρc dA= 𝑐𝑑𝐴/𝑣𝑒𝑠𝑝.

Para un hilo de corriente.

𝑑𝐺= 𝑐𝑑𝐴/𝑣 Segunda forma ec. de continuidad

Para un fluido incompresible:

𝑑𝑄=𝐴 .Ĉ =𝑐𝑡𝑒.

Δ= sección transversal del tubo.

Dónde:

*Q= caudal volumétrico; *Ĉ= velocidad media promedio en la sección.

R. permanente: el fluido no varía el tiempo ρ y v = cte.

R. variable: lo contrario al permanente.

Flujo uniforme: la v es igual en magnitud y dirección

Flujo no uniforme: lo contrario al uniforme

Trayectoria de una partícula: camino que recorre una partícula de fluido

Definición de caudal; o ecuación de continuidad:

𝑄 =𝐴.𝐶𝑛 = 𝐴𝑉 𝑑𝑄=𝐶𝑛𝑑𝐴 𝑄= 𝐶𝑛 ∫𝑑𝐴 = Ĉ.𝐴

Ĉ= 𝐶𝑛 ∫𝑑𝐴/𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝐴= 4𝑄/𝜋𝐷² } 𝑣𝑒𝑙.𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎

③ ENERGÍA: Definición; trabajo, momento, etc. Tipos y clasificación; E.C, E.P, E especifica. Unidades: 𝐸.𝐶=1/2 𝑚𝑣2 𝐸.𝑃 = 𝑚𝑔ℎ 𝐸.𝑒𝑠𝑝.= 𝑒𝑣 = 𝑣²/2

ECUACIÓN DE BERNOULLI La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:   

cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido; potencial o gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea; energía de presión: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. La siguiente ecuación conocida como “ecuación de Bernoulli” (trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde:     

= velocidad del fluido en la sección considerada. = densidad del fluido. = presión a lo largo de la línea de corriente. = aceleración gravitatoria = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:



 

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona ‘no viscosa’ del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde ρ es constante.



La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo laminar. Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

También se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera más sencilla:

donde   

es una constanteIgualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la Cantidad de movimiento. Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

3.4 Ecuación de cantidad de movimiento para un volumen con aceleración rectilínea (Álabes con aceleración) La ecuación de la continuidad es un caso especial de la ley física general de la conservación de la masa. Pude enunciarse con sencillez para un volumen de control: Razón de entrada de masa = Razón de almacenamiento de masa + razón de salida de la masa

La ecuación del impulso-cantidad de movimiento es una aplicación del principio de la conservación de la cantidad de movimiento y se deduce basándose en la segunda ley de Newton; se utiliza para calcular las fuerzas ejercidas sobre una frontera sólida, por una corriente en movimiento. En virtud de que la velocidad, así como la fuerza, tienen magnitud y dirección, son vectores. La ecuación del impulso-cantidad de movimiento puede escribirse para las tres direcciones:

Con frecuencia se aplica la ecuación del impulso-cantidad de movimiento, en conjunción con las ecuaciones de continuidad y de la energía, para resolver problemas de ingeniería. Debido a la amplia variedad de aplicaciones posibles, se dan algunos ejemplos para ilustrar los métodos de tratamiento.

Fuerzas sobre paletas (álabes) y deflectores En la figura 3.3.17, se muestran las fuerzas impuestas sobre un chorro de fluido, cuya velocidad es Vj , por una paleta que se mueve con una velocidad Vb ,alejándose del chorro. Las ecuaciones que se dan a continuación se obtuvieron a partir de la aplicación de la ecuación del impulsocantidad de movimiento, para un chorro abierto (p2 = p1) y para un flujo sin fricción:

Turbina de acción. En una turbina, el total de las fuerzas que actúan simultáneamente sobre cada paleta es igual a la causada por el gasto combinado de masa M, descargado por la tobera, o sea,

Ejemplo Un chorro con una velocidad de 30 m/s golpea un álabe que se mueve a una velocidad de 12 m/s como se muestra en la figura 3-19. Determinar a) la potencia trasmitida al álabe y b) la velocidad absoluta del chorro que abandona el álabe.

a) la potencia trasmitida al álabe es igual al producto de la fuerza en la dirección del movimiento del álabe por la velocidad del álabe. Así,

La fuerza del fluido sobre el álabe puede determinarse de la ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control que se mueve a la misma velocidad que el álabe, como se muestra en la figura 3-20. La ecuación de cantidad de movimiento para el volumen de control es

Fx en este caso es la fuerza ejercida sobre el álabe por la parte externa, La razón de flujo de la masa relativa a la superficie de control es Las velocidades para la dirección x que entran y salen del volumen de control son

La velocidad del fluido que sale del álabe puede hallarse sumando la velocidad del fluido relativa al álabe a la velocidad del álabe. Entonces la velocidad absoluta que sale del álabe en la dirección x es

La velocidad del fluido que sale del álabe en la dirección y es

La velocidad absoluta del fluido que sale del álabe es

La dirección del fluido que abandona el álabe está dada por tan θ=15,5/21 = 0,741 ó θ = 36,6°. El diagrama vectorial de las velocidades para el fluido que abandona el álabe se muestra en la figura 3-21.

Ejemplo tomado del libro Dinámica de Fluidos por William F. Hughes y John A. Brighton de la serie Schaum.

ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo aceleran: F m a r Σ