Hidrocinematica Final - Expo1.docx

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Nº 02

Docente: Ing. LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFO

Curso: MECÁNICA DE FLUIDOS I

Integrantes:  AGUILAR MORANTE, JOSÉ GIANCARLO.  DE LA CRUZ RAMIREZ, PASCUAL  DÍAZ FLORES, INGRIT PAOLA.  GAONA OBLITAS, CESAR JHONATAN.  LIMO DELGADO, JOSE LUIS  PEREZ BARBOZA, JHONN HARLIN

PIMENTEL – PERÚ 2018

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ÍNDICE INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 3 OBJETIVOS ................................................................................................................. 4 CAPÍTULO I: HIDROCINEMÁTICA, CAMPO DE FLUJO Y CARACTERÍSTICAS. ........ 5 1.1.

Definición de Hidrocinemática..................................................................... 6

1.2.

Campo de Flujo. ............................................................................................ 6

1.3.

Campo Vectorial de Velocidades. ................................................................ 7

1.4.

Campo Vectorial de Aceleraciones. .......................................................... 11

1.5.

Campo Rotacional. ..................................................................................... 19

CAPÍTULO II: CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS. ................................................... 23 2.1.

Considerando la Variable Tiempo. ............................................................ 24

2.2.

Si Existen Variaciones en el Espacio. ....................................................... 26

2.3.

De Acuerdo con las Componentes del Vector Velocidad. ....................... 27

2.4.

De Acuerdo al Predominio de las Fuerzas Viscosas y de Inercia. .......... 28

2.5.

Considerando la rotación del flujo. ........................................................... 31

CAPÍTULO III: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO.................................................... 33 3.1.

Método de Euler. ......................................................................................... 34

3.2.

Método de LaGrange. ................................................................................. 35

3.3.

Línea de Corriente, Trayectoria y Tubo de Corriente. .............................. 36

3.4.

Campo Potencial, Solenoidal y Armónico. ............................................... 42

CAPÍTULO IV: EJERCICIOS DE APLICACIÓN ......................................................... 47 4.1.

Ejercicio 01.................................................................................................. 47

4.2.

Ejercicio 02.................................................................................................. 48

4.3.

Ejercicio 03.................................................................................................. 49

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INTRODUCCIÓN El presente informe se refiere al tema “hidrocinemática”, o cinemática de los fluidos que se ocupa del estudio de las partículas que integran el campo de flujo de un fluido. Teniendo en cuenta que este tema es importante, a fin de tener en claro realizando esta investigación por alumnos de la escuela profesional de ingeniería civil de la universidad Señor de Sipan. Para llevar a cabo este informe, hemos comenzado por concurrir a diferentes libros especializados en el tema, además de averiguar habitualmente, es decir en internet buscando selectivamente los términos y conceptos más relevantes, extrayendo información de grupos anteriores que también desarrollaron esta temática y también del libro llamado Mecánica de fluidos I del Ing. Loayza Rivas Carlos Adolfo. Esperamos que este trabajo sirva como fuente de información para próximos grupos de trabajo que tenga el mismo tema que nosotros. Esta investigación está estructurada por cuatro capítulos y son los siguientes: En el Capítulo I: Hidrocinemática, Campo de Flujo y Características. En el Capítulo II Clasificación de Los Flujos. En el Capítulo III Descripción del Movimiento. En el Capítulo IV Ejercicios de Aplicación. Página | 3

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OBJETIVOS

Objetivo principal:  Analizar y demostrar el Campo de Aceleración, Velocidad y Rotacional de un flujo. Estudiar la Hidrocinemática y ver el comportamiento de las partículas de un fluido en esos instantes de movimiento.

Objetivos específicos:  Calcular el campo de aceleración de un flujo y distinguir sus componentes.  Obtener las líneas de corriente a partir de un campo de velocidades.  Calcular el campo de rotación de un flujo e identificar sus consecuencias.  Utilizar las líneas de corriente, de trayectoria y de traza para describir un flujo.

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CAPÍTULO I: HIDROCINEMÁTICA, CAMPO DE FLUJO Y CARACTERÍSTICAS.

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1.1. Definición de Hidrocinemática. Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación. 1.2. Campo de Flujo. Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento, donde sus magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presión, densidad, temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un punto a otro y en un mismo punto de un instante a otro (función de la posición y tiempo). 1.2.1. Características del campo de flujo. Campo

escalar:

Se

define

exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y temperatura.

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Campo Vectorial: En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde esto es tres valores escalares definen la cantidad física; ejemplos: la velocidad, la aceleración y la rotación.

Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento de inercia. 1.3. Campo Vectorial de Velocidades. El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas: a) Por el conocimiento del vector de posición (r⃗), de la partícula, como una función vectorial del tiempo (t). Página | 7

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Si r⃗ es función del

tiempo

sus componentes

son

funciones

tiempo; es decir:

del

entonces también

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo.

En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una función escalar del tiempo; esto es: Página | 8

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s = s (t)

1.3.1. Definición

de

la

Velocidad. El Vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posición.

Donde dr⃗ representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en el tiempo dt.

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La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo.

Donde:

Vx = Vx (x, y, z, t) =

dx dt Vy = Vy (x, y, z, t) =

dy dt

Vz = Vz (x, y, z, t) =

dz dt

Módulo de la velocidad:

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1.4. Campo Vectorial de Aceleraciones. Es un campo vectorial que se deriva del campo de velocidades. Definición de aceleración. El vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:

⃗⃗ 𝑑 2 𝑉 ⃗⃗ 𝑑𝑉 𝑎⃗ = = 2 𝑑𝑡 𝑡 En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria de la partícula; siendo la aceleración también una función de la posición y tiempo.

Resulta:

A

veces

expresar función

es

conveniente

la

aceleración a en

de

sus

componentes normal y tangencial. Página | 11

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Módulo

de

aceleración:

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La aceleración deriva del

campo

de

velocidades,

⃗⃗ = 𝑉 ⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). donde: 𝑉

Tomemos

un

diferencial total de

⃗⃗): velocidad (dV

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Donde la

Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en función del ⃗⃗⃗⃗ V ⃗⃗), denominado divergencia de V ⃗⃗. producto escalar (∇.

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Es

decir

campo

el de

aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva. Desarrollemos ahora

la

componente convectiva, para representarla en término del producto vectorial ⃗⃗ × ⃗V⃗), conocido como rotacional de 𝑉 ⃗⃗ (rot𝑉 ⃗⃗ ). (∇

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1.5. Campo Rotacional. Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial de ⃗∇⃗ por ⃗V⃗.

Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo, por esta razón se le conoce también como campo vorticoso.

Significado físico del vector rotacional: Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede experimentar una rotación, intentemos una representación física del vector rotacional.

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Generalidades para la interpretación física: a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la traslación de la partícula) b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro alrededor de un eje instantáneo, que pasa por el centro de gravedad de la partícula “Po ” (cuya dirección lo da el vector unitario (e⃗⃗), normal al plano formado por dos líneas ortogonales contenidas en la partícula. c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “Po ”, ha tenido una traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo (r⃗ − ⃗⃗⃗⃗) ro = dr⃗⃗ d𝑟⃗ en un instante dt; adquiriendo una velocidad tangencial ⃗V⃗ = . dt

Descripción de la rotación pura: 1. Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las líneas ortogonales, está la tomamos como posición inicial de la rotación pura, (prescindiendo de la traslación de la partícula). 2. En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P’” habiéndose desplazado un dθ, con un radio de giro dr. 3. Al producirse la rotación la velocidad angular "𝜔" vale: 𝜔=

𝑑𝜃 𝑑𝑡

Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad angular será: Página | 20

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⃗⃗: ∇ ⃗⃗ × V ⃗⃗, es decir: Calculamos el rotacional de V

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Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:

La aceleración en un punto está formada por las componentes: 

1 2

⃗⃗(V 2 )= Corresponde al movimiento de traslación pura. ∇

⃗⃗ × 𝑉 ⃗⃗ =  𝑟𝑜𝑡𝑉

Correspondiente

al

movimiento

de

rotación,

llamada

aceleración de “Coriolis”.



𝜕 𝜕𝑡

⃗⃗ = aceleración local. 𝑉

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CAPÍTULO II: CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS.

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Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico, crítico o subcrítico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional, incompresible o compresible, etc. aunque no los únicos, si son los flujos más importantes que clasifica la ingeniería. Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por canal. 2.1. Considerando la Variable Tiempo.  Flujo Permanente: Llamado

también

flujo

estacionario. En

este tipo de flujo

las propiedades físicas de un fluido como la densidad y la viscosidad, y las características del movimiento como presión, velocidad y esfuerzo tangencial, permanecen constantes en el transcurso del tiempo o bien si las variaciones son muy pequeñas con respecto a sus valores medios y estos no varían con el tiempo. Así mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura con el tiempo. Matemáticamente se puede representar:

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 Flujo no permanente: Llamado también flujo no estacionario. En este tipo de flujo, si las propiedades de un fluido y las características hidráulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo no permanente. Matemáticamente se representa:

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2.2. Si Existen Variaciones en el Espacio.  Flujo uniforme: El flujo es uniforme si las variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al espacio, permanecen constantes a lo largo de la trayectoria de movimiento de una partícula de fluido. Matemáticamente se puede representar:

 Flujo no uniforme: Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo si las características hidráulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo no uniforme o variable. Matemáticamente se representa.

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Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubería de diámetro constante y la otra con tubería de diámetro decreciente.

2.3. De Acuerdo con las Componentes del Vector Velocidad.  Flujo Unidimensional: Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la conducción. El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero en otro punto es distinto de cero; sin embargo bajo la consideración de valores medios de las características en cada sección se puede considerar unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en hidráulica, por las simplificaciones que trae consigo. Es el flujo que se presenta en una sola dirección, siendo las trayectorias de las partículas paralelas entre sí, por lo que el vector velocidad se puede representar con una sola componente, siendo esta el mismo vector velocidad. ⃗⃗ 𝑉=𝑉 Página | 27

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 Flujo Bidimensional: Cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos direcciones exclusivamente.

 Flujo Tridimensional: Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus características hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones.

2.4.

De Acuerdo al Predominio de las Fuerzas Viscosas y de Inercia.  Flujo Laminar:

Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias ordenado, rectilíneo y paralelo.  Flujo turbulento: Flujo de

característico trayectoria

errática

de o

pequeñas componentes de

velocidades ordinarias (altas), desordenada. velocidad

en

Existen direcciones

transversales a la del movimiento general, las cuales no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de acuerdo con una ley aleatoria, aun cuando el flujo en general sea permanente.

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Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado intenso de las partículas que consume parte de la energía del movimiento por efecto de la fricción interna y que también en cierto modo, es resultado de los efectos viscosos del fluido.

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Existe un parámetro que es función

𝑉𝐷

(  ),

y cuyo valor permite diferenciar el

flujo, es decir, si es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds.

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2.5. Considerando la rotación del flujo.  Flujo Rotacional e Irrotacional: ⃗⃗ adquiere valores distintos de Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot𝑉 cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del ⃗⃗ es igual a cero para cualquier punto e campo de flujo, el vector rotacional de 𝑉 instante. Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los problemas de la práctica. Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo es Irrotacional. Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribución de velocidades puede ser de forma tal que las líneas medianas o las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no modifican su orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el ⃗⃗ sería normal al plano del papel. vector rot𝑉

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El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.

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CAPÍTULO III: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO.

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Con el fin de obtener la representación completa de un flujo, es necesario determinar la posición de cada partícula en cada instante y después encontrar la velocidad en cada posición, a medida que el tiempo transcurre. El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de conocer:  El cambio de posición de una partícula  La variación de la velocidad en un punto.

Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido: 3.1. Método de Euler. También conocido como local, consiste en elegir un punto y determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin considerar el camino que después siga cada partícula individual (trayectoria). Si se hace lo mismo para todos los puntos del espacio que ocupa el flujo, se tiene una descripción completa del flujo. Una vez elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo a saber:

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3.2. Método de LaGrange. Consiste en elegir una partícula y determinar las variables cinemática de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su posición

inicial

𝑟𝑜 𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜 ), ⃗⃗⃗⃗(𝑥

en

instante 𝑡 =

𝑡0

instante

el en

otro

cualquiera “t”,

la

misma

partícula

se

encuentra en la posición 𝑟⃗ (𝐱, 𝐲, 𝐳). Entonces

la

posición

de

la

partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición 𝑟⃗ se determina como función del tiempo “t” y la posición inicial ⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜 , es decir:

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

Variables dependientes: 𝑥, 𝑦, 𝑧.



Variables independientes:

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑡.

De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más simple. Es el que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos. 3.3. Línea de Corriente, Trayectoria y Tubo de Corriente. Se

supone

que

en

un

instante “t 0 ”

se conoce el

campo

velocidad

de

⃗⃗ 𝑉

de un flujo. 3.3.1. Línea de Corriente: Se define línea de corriente toda línea trazada idealmente en el seno líquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente.

No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común, ⃗⃗ pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores 𝑉 distintos.

Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la configuración de las líneas de corriente es otra. Si el flujo es permanente la configuración de dos líneas de corriente es la misma en cualquier momento.

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Ecuaciones de la línea de corriente:

En la

línea

de

corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está infinitamente ⃗⃗ . próximo a “2”, de manera que se puede considerar que ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑉̅1 = 𝑉̅2 = 𝑉 Como 𝑉̅ y d𝑟⃗ son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego: Página | 37

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Donde 𝑢 ⃗⃗= Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2” Como los vectores son paralelos 𝛼 = 0°, entonces:

⃗⃗ × 𝑑𝑟⃗ 𝑉

Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):

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La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente para un instante “t”. Donde, recordamos que: 𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 𝑦 𝑉𝑧 = ∅ (x, y, z, t) 3.3.2. Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partícula con el transcurrir

del tiempo.

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Comparando (3), (4), (5) y

acomodando:

La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.

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“Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas distintas, pero si el flujo es permanente significa lo mismo”. La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el tiempo.  Toda partícula que pase por “𝑎0 ” sigue la misma trayectoria.  En cada punto 𝑎0 , 𝑎1 ,… 𝑎𝑛 el vector velocidad permanece igual. Todas las partículas que pasen por 𝑎0 → ⃗⃗⃗⃗ 𝑉0 Todas las partículas que pasen por 𝑎1 → ⃗⃗⃗⃗ 𝑉1 Todas las partículas que pasen por 𝑎𝑛 → ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑛 3.3.3. Tubo de flujo: Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las líneas de corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de estas líneas de corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo o tubo de corriente y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena

líquida

o

vena fluida.

Cuando el tubo

de corriente es de

pequeña sección

se le denomina

filete hidráulico.

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3.4.

Campo Potencial,

Solenoidal y Armónico. 3.4.1. Campo Potencial: Es un campo vectorial en el que

existe

escalar

una

función

(denominada

función potencial o potencia), tal que:

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Lo que demuestra que si el campo de 𝐹⃗ es potencial, es Irrotacional; lo cual

justifica

que

se

pueda

decir

indistintamente campo potencial o campo Irrotacional.

Para el caso

particular del

campo

vectorial de

velocidades.

Lo que justifica que el campo potencial de velocidades es un campo Irrotacional.

3.4.2. Campo Solenoidal: Página | 43

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Es un campo vectorial, en el que existe una función vectorial (denominada función solenoidal), tal que:

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“Lo que demuestra que si el campo de 𝐹⃗ es solenoidal, se verificará que su divergencia es nula”. ⃗⃗ es normal a 𝐹⃗ ; para que el producto escalar sea cero Además se cumple que ∇ (𝛼 = 90°). Para el caso particular del campo de velocidades:

3.4.3. Campo Armónico o Laplaceano. Es un campo vectorial, que sucede para flujos incompresibles y que además es Irrotacional.  Por ser incompresible; el campo cumple:

 Por ser Irrotacional;

el campo cumple:

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“En resumen un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace, donde “∅” recibe el nombre de función armónica”.

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CAPÍTULO IV: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

4.1. Ejercicio 01. Se da un campo bidimensional de un flujo constante, incomprensible y estacionario, de velocidades en las siguientes componentes en el plano xy. 𝑉𝑥 =1.1 + 2.8x + 0.65y

𝑉𝑦 = 0.98 – 2.1x – 2.8y

Calcule el campo de aceleraciones, para las componentes 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦, de la aceleración en el punto (x, y) = (2,5) a partir de su definición en coordenadas cartesianas.

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Componentes:

Finalmente calculamos el campo de aceleraciones, para las componentes 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦, en el punto (x, y) = (2,5).

𝑎𝑥 = 3.717 + 6.475 (2) = 16.667

𝑎𝑦 = −5.054 + 6.475 (5) = 27.321 4.2. Ejercicio 02. ⃗⃗ , Hallar ⃗⃗ = 6𝑥 2 𝑦𝑧𝑖⃗ + 8𝑥𝑦 2 𝑧𝑗⃗ + 𝑊𝑘 Se tiene el siguiente campo de velocidades; 𝑉 el componente W, sabiendo que para Z = 0; se tiene W = 0 y que la divergencia de dicho campo es 40 xyz. Solución: Sabemos que para el caso particular del campo de velocidades

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Entonces tenemos que:

⃗⃗. 𝑉 ⃗⃗ = 40𝑥𝑦𝑧 ∇ 𝜕

𝜕

𝜕

⃗⃗ ) . (𝑉𝑥 𝑖⃗ + 𝑉𝑦 𝑗⃗ + (𝜕𝑥 𝑖⃗ + 𝜕𝑦 𝑗⃗ + 𝜕𝑧 𝑘 ⃗⃗ ) 𝑉𝑧 𝑘

4.3. Ejercicio 03. Se tiene el siguiente potencial de velocidad:

Determinar si es una función armónica y encontrar la expresión de los siguientes campos vectoriales. a) Velocidades Página | 49

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b) Aceleraciones Locales c) Aceleraciones Convectivas d) Aceleraciones Totales SOLUCION 1. Determinar si la Función “ø” es Armónica.

Un campo es armónico, cuando cumple la ecuación de Laplace y donde “ø” recibe el nombre de función Armónica.

“ø” Es una función armónica

2. Determinar el campo de Velocidades. ⃗⃗ = −∇ ⃗⃗∅ = 0 𝑉 Condición de Campo potencial, Irrotacional (pues si la función "∅" es armónica, ⃗⃗ es potencial o Irrotacional). entonces el campo 𝑉 𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕∅ ⃗⃗ ) ⃗⃗ = − ( 𝑖⃗ + 𝑉 𝑗⃗ + 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Página | 50

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⃗⃗ ] ⃗⃗ = −[(6𝑥𝑡 − 3)𝑖⃗ + (6𝑦𝑡)𝑗⃗ + (−12𝑧𝑡)𝑘 𝑉 ⃗⃗ ] ⃗⃗ = [(3 − 6𝑥𝑡)𝑖⃗ − 6𝑦𝑡𝑗⃗ + 12𝑧𝑡𝑘 𝑉 𝑎⃗ =

𝑎⃗ =

⃗⃗ 𝜕𝑉 ⃗⃗. 𝑉 ⃗⃗ )𝑉 ⃗⃗ + (∇ 𝜕𝑡

⃗⃗ 𝜕𝑉 ⃗⃗ 1 𝑑𝑉 ⃗⃗ × 𝑉 ⃗⃗ ) × 𝑉 ⃗⃗ = + ⃗∇⃗(𝑉 2 ) + (∇ 𝑑𝑡 𝜕𝑡 2

La aceleración en un punto está formada por tres componentes: ⃗⃗ 𝜕𝑉 𝜕𝑡 1 2

: Aceleración local – función del tiempo.

⃗∇⃗(𝑉 2 ): Aceleración correspondiente al movimiento de traslación pura.

⃗⃗ × 𝑉 ⃗⃗ ) × 𝑉 ⃗⃗ : Aceleración correspondiente al movimiento de rotación, llamado (∇ aceleración de Coriolis. 3. Determinar campo de aceleración local.

⃗⃗ ∂𝑉 𝜕 = [(3 − 6𝑥𝑡)⃗𝑖 − 6𝑦𝑡𝑗⃗ + 12𝑧𝑡𝑘⃗⃗] ∂t 𝜕𝑡 ⃗⃗ ∂𝑉 = −6𝑥𝑖⃗ − 6𝑦𝑗⃗ + 12𝑧𝑘⃗⃗ ∂t

4. Determinar el campo de aceleraciones convectivas. 1 ⃗⃗(𝑉 2 ) + (∇ ⃗⃗ × 𝑉 ⃗⃗ ) × 𝑉 ⃗⃗ ∇ 2

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1 ⃗⃗ ⃗⃗(𝑉 2 ) = −6𝑡(3 − 6𝑥𝑡)𝑖⃗ + 36𝑡 2 𝑦𝑗⃗ + 144𝑡 2 𝑧𝑘 ∇ 2

5. Determinar el campo de aceleraciones totales. ⃗⃗ 𝑎⃗ = −6(x − 6x𝑡 2 + 3𝑡)𝑖⃗ + 6(6𝑡 2 𝑦 − 𝑦)𝑗⃗ + 12(𝑧 + 12𝑡 2 𝑧)𝑘

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4.4. Ejercicio 04. Una tobera está diseñada de manera tal que la velocidad varía en función de la longitud x, o sea 𝑢0 𝑢= 1.0 − 0.5𝑥/𝐿

Donde la velocidad u0 es la de entrada y L es la longitud de la tobera. La velocidad de entrada es 10 m/s y la longitud de 0.5 m. La velocidad es uniforme a través de cada sección. Encuentre la aceleración media a través de la tobera (x/L = 0.5) SOLUCIÓN Hay aceleración, entra a 10 m/s, y sale a 20 m/s. -No hay aceleración local porque el flujo es estable, de manera que la aceleración es debida a la aceleración convectiva. du dx 𝑑𝑢 𝑢0 0.5 1 0.5𝑢0 =− (− ) = 2 0.5𝑥 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 (1.0 − 0.5𝑥)2 (1.0 − 𝐿 ) 𝐿 ax = u

du

u dx = 0.5

u0 2 1 L (1.0−0.5x)3 L

Sustituyendo en x/L = 0.5 m, se obtiene u0 2 102 ax = 1.185 = 1.185 = 237 m/s2 L 0.5 ax Resultó positiva, luego entonces esta tiene dirección positiva. Esto es razonable, ya que la velocidad aumenta en la dirección x positiva.

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4.5. Ejercicio 05. Siendo la velocidad una función de los parámetros “x” e “y” del plano y siendo V la componente de la velocidad en la dirección “y”: Vy = 4x2 + 3xy - 2y.2 Encontrar la componente de la velocidad en el otro eje, para que cumpla con el movimiento solenoidal y la ecuación de continuidad. Solución Datos:

V  f ( x, y ) V  Vx i  Vy j Vx  ?? Incognita Vy  4 x 2  3 xy  2 y 2 Condiciones: 1 Movimiento solenoidal

 V  0.........( I )

Ecuación de Continuidad

 V  0

Vx Vy   0................................(II ) x y  3x 2  Vx     4 yx   C 2 .    Desarrollo de (II):

Vx  (3 x  4 y )  0 x

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Vx  (3x  4 y )x

Vx     (3xx   4 yx)     3x 2  Vx     4 yx   C  2. 

3x 2 Vx    4xy  C 2

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