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INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO ANÁLISIS DE COSTOS Y PRESUPUESTOS HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS TALLER 04-02 OBJETIVOS: INTERES SIMPLE, INTERES COMPUESTO, PERIODO, TASA PERIODICA, VALOR FUTURO DE UNA SUMA PRESENTE, VALOR PRESENTE DE UNA SUMA FUTURA. Funciones financieras de Excel VF y VA. TASA DE INTERES: Es el porcentaje (%) que se paga por el alquiler de dinero: Tasa de interés (%) = Interés acumulado por unidad de tiempo x 100% Suma original PERIODO DE INTERES: La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de Periodo de interés. El periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. TASA DE INTERES Y PERIODOS: Siempre que se trabaje con problemas financieros es necesario tener en cuenta que la tasa de interés debe estar en función del periodo en el cual se trabaja el tiempo de las transacciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual. Si los pagos son trimestrales, la tasa periódica debe ser trimestral. Ejemplo 1. Calcular el interés simple comercial de $500,000 desde el 09 de agosto al 09 de noviembre del mismo año, al 4,5% mensual. Solución a) P = $500,000. Es el valor presente. i = 4.5% Mes. Observe que en este caso la unidad de tiempo de la tasa es mes, por lo tanto el tiempo n debe estar convertido en meses. n = 3 Meses, o simplemente n = 3 periodos I = Pin = 500000*0.045*3 = 67,500 Solución b) P = $500,000. Es el valor presente. i = 4.5% Mes = 4.5%*12 = 54% Anual Observe que en este caso la unidad de tiempo de la tasa es año, por lo tanto el tiempo n debe estar convertido en años. n = 90/360 = 0.25 años, 0.25 es el numero de periodos. I = Pin = 500000*0.54*0.25 = 67,500 Ambas soluciones son equivalentes.

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INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO ANÁLISIS DE COSTOS Y PRESUPUESTOS HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS TALLER 04-02 Ejemplo 2. Se recibe un préstamo de $1,000 por tres años con un interés simple del 5% anual. ¿Cuánto se debe pagar al final de los tres años? Año 0 1 2 3

Préstamo(P) $1,000 $1,000 $1,000 $1,000

Interés(Pi) $50 $50 $50

Deuda

$1,050 $1,100 $1,150 P(1+in)

Suma pagada F =

$0 $0 $1,150 F = 1,000 F = $1,150

*(1+

0,05

*

3)

Para este caso la unidad de tiempo de la tasa es año, y el número de periodos, n = 3. Observe que los intereses no se pagan al final de cada año sino que se pagan al final de la deuda. INTERES COMPUESTO: La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses. La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto está en que en el interés simple los intereses deben ser pagados cada vez que se liquidan, mientras que en el interés compuesto cada vez que se liquidan se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a liquidar intereses. Al proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama Periodo de capitalización. El interés puede ser convertido en capital anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente etc. El número de veces que el interés se convierte en un año se conoce como frecuencia de conversión. El período de tiempo entre dos conversiones sucesivas se conoce como periodo de interés o conversión. En interés compuesto, tres conceptos son importantes: a) el capital original. b) la tasa de interés por periodo y c) el número de periodos de interés (periodos de capitalización o periodos de conversión). En el interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo, ahora se calcula de la siguiente forma: Interés = (Principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés) Ejemplo 3. Un capital de $1,000 se invierte al 10% trimestral durante un año. ¿Cuál es el comportamiento del capital a lo largo del año, primero si hacemos la inversión en interés simple y segundo si hacemos la inversión en interés compuesto.

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INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO ANÁLISIS DE COSTOS Y PRESUPUESTOS HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS TALLER 04-02 Observe que según el enunciado el tiempo es un año y la unidad de tiempo de la tasa es trimestre, por lo tanto el numero de periodos n = 4 trimestres que corresponden a un año. P = 1000, i = 10% Trimestre, n = 4 trimestres.

Solución, del ejemplo 3, Periodo 0 1 2 3 4 Total

para interés simple:

Capital Inicial (P) $1,000 $1,000 $1,000 $1,000 $1,000 $1,000

Interés(Pi) $0 $100 $100 $100 $100 $400

Deuda acumulada $1,000 $1,100 $1,200 $1,300 $1,400 $1,400

Valor a pagar

$1,400

Analice que los intereses no se pagan al final de cada año sino que se pagan al final de la deuda. En general: Periodo 0 1 2 3 4 … N Total

Capital Inicial (P) P P P P P

Interés(Pi) $0 Pi Pi Pi Pi

Deuda acumulada F0 = P F1 = P + Pi = P(1+i) F2 = P(1+i)+Pi = P(1+2i) F3 = P(1+2i) + Pi = P(1+3i) F4 = P(1+3i) + Pi = P(1+4i)

P P

Pi Pin

Fn = P(1+ [n-1]i) = P(1+ni) F = P + pin = P(1 + in)

De donde, F = P(1 + in) F = 1,000(1 + 0.1*4) = $1,400 Interés simple: Recibiendo Interés cada trimestre = $1,000 * 0.1 = $100 Periodo 0 1 2 3 4

Capital Inicial (P) $1,000 $1,000 $1,000 $1,000 $1,000

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Interés(Pi) $100 $100 $100 $100

Capital Final

$100+$1,000

Valor pagado $100 $100 $100 $1,100

INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO ANÁLISIS DE COSTOS Y PRESUPUESTOS HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS TALLER 04-02 I = Pin I = 1,000*0.1*4 I = 400 F = P + I = 1000 + 400 = $1,140

Solución, del ejemplo 3, Periodo 0 1 2 3 4

para interés compuesto:

Capital Inicial (P) $1,000 $1,000 $1,100 $1,210 $1,331

Interés(Pi)

Capital Final

Valor pagado

$100 $110 $121 $133.1

$1,100 $1,210 $1,331 $1,464.1

$1,464.1

Algebraicamente podemos representar el resultado anterior: Per. 1 2 3 4 … n

Capital (P) P P(1+i) P(1+i)^2 P(1+i)^3

Inicial

P(1+i)^(n-1)

Interés)

Capital Final

Pi P(1+i)i (P(1+i)^2)i (P(1+i)^3)i

F1 F2 F3 F4

(P(1+i)^(n1))i

Fn = P(1+i)^n

= = = =

P+Pi = P(1+i) P(1+i)+ P(1+i)i = P(1+i)^2 P(1+i)^2+(P(1+i)^2)i= P(1+i)^3 P(1+i)^3+(P(1+i)^3)i= P(1+i)^4 P(1+i)^(n-1)+

P(1+i)^(n-1)=

De donde podemos concluir que la fórmula del interés compuesto es: F = P(1 + i)n

(1)

La formula F = P(1 + i)n se utiliza para hallar el valor futuro de una cantidad P, al cabo de n períodos con una tasa de interés del i% por período, con interés compuesto. El factor (1 + i)n se denota por (F/P, i%, n) y se conoce con el nombre de factor de acumulación en pago único. Se lee:”F dados P, i% y n”. Resolvamos el ejemplo 3 utilizando la formula (1):

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Para P = 1000, i = 10% Trimestre, n = 4 trimestres: F = 1000*(1+0.1)^4 = $1,464.10 Elaborar en Excel el ejemplo 3. Para interés compuesto utilizando la formula (1) y utilizando la función financiera VF, la cual devuelve el valor futuro. FORMULA VALOR PRESENTE: Valor futuro de una suma presente: F = P(1 + i)n (1) Despejando P de

la formula (1):

Valor presente de una suma futura: P = F / (1 + i)n (2) P = S(1 + i)-n (2) En Excel existe presente.

la

función

financiera

VA,

la

cual

devuelve

el

valor

Ejercicios: 1. Se depositan $100,000 en una corporación que reconoce el 32% anual con capitalización trimestral vencida. ¿Cuál será el valor acumulado al final de dos años? R/$185,093. 2. El señor Pérez, necesita disponer de $300,000 dentro de 6 meses para el pago de la matricula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 36% anual con capitalización bimestral. ¿Cuánto deberá depositar hoy, para lograr su objetivo? R/$251,885.78.

OBSERVACIONES Y ACTIVIDADES:  Elaborar en Excel los ejercicios propuestos, usando las formulas y las funciones VF y VA, respectivas.  Elaborar diagrama económico.

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