Heitor Moura 2008 Escravos Em Pernambuco. Um Modelo Demografico

ESCRAVOS EM PERNAMBUCO, 1560-1872. Ensaio de reconstituição macrodemográfica ∗ Heitor Pinto de MOURA FILHO♣

Palavras-chave: Escravidão; Modelo demográfico; Pernambuco

Resumo Este trabalho apresenta um modelo demográfico para representar a evolução do contingente de escravos africanos e de seus descendentes numa província brasileira – neste caso, em Pernambuco – de 1560 a 1872. A principal conclusão proposta neste estágio da pesquisa é a confirmação de que as conhecidas combinações de parâmetros de mortalidade e fecundidade, dentro dos amplos intervalos divulgados pela historiografia, podem de fato gerar populações nos tamanhos e, principalmente, com as composições etárias e de sexo apontadas pelos primeiros dados censitários disponíveis. Tais combinações também reforçam as análises baseadas na hipótese de que o tráfico foi o grande motor do crescimento da população de escravos e de seus descendentes. A modelagem demográfica é uma vertente metodológica ainda pouco explorada no Brasil, complementar à reunião de dados novos a partir de fontes primárias e à análise crítica de dados agregados. As principais vantagens da modelagem demográfica são a possibilidade de avaliar, em etapas seqüenciais, a compatibilidade das diversas informações que emergem das novas pesquisas com os dados até então conhecidos e a possibilidade de, dentro de certo contexto de informações, gerar dados indisponíveis e indicadores impossíveis de serem calculados unicamente a partir dos dados existentes. Essa capacidade de “ir além” dos dados históricos decorre da lógica da equação demográfica. O modelo descrito apresenta, em formato ainda preliminar, resultados que congregam duas das principais fontes atuais sobre a demografia de Pernambuco até o século XIX: a série histórica de importação de africanos de Silva & Eltis e os dados do Censo de 1872.

Trabalho apresentado no XVI Encontro Nacional de Estudos Populacionais, realizado em Caxambu- MG – Brasil, de 29 de setembro a 03 de outubro de 2008. ∗

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Uniconsult, Rio de Janeiro. Economista e Mestre em História Social (UFRJ). [email protected]

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ESCRAVOS EM PERNAMBUCO, 1560-1872. Ensaio de reconstituição demográfica ∗ Heitor Pinto de MOURA FILHO ♣

Introdução Este trabalho apresenta um modelo demográfico para representar a evolução do contingente de escravos africanos e de seus descendentes numa capitania/província brasileira qualquer, de 1560 a 1872. No presente texto, empregamos dados referentes a Pernambuco. Trata-se de nova etapa na exploração crítica das fontes de dados disponíveis sobre a população desta província, através de modelagem demográfica, abordada em outros trabalhos (MOURA FILHO, 2005; 2006). Servimo-nos de dois conjuntos de dados essenciais para a aferição do modelo: a série histórica de desembarques de escravos africanos, pesquisada e organizada por Daniel Domingues da Silva e David Eltis (2008), como o principal movimento demográfico a influir sobre esta população; e os dados do Censo de 1872, como referencial final, utilizado para ajustar os parâmetros de mortalidade e a fecundidade total do modelo. A principal conclusão proposta neste estágio da pesquisa é a confirmação de que combinações de parâmetros de mortalidade e fecundidade dentro dos amplos intervalos divulgados pela historiografia podem de fato gerar populações nos tamanhos e, principalmente, com as composições etárias e de sexo apontadas pelos dados censitários. Tais combinações também reforçam as análises baseadas na hipótese de que o tráfico foi o grande motor do crescimento da população de escravos e de seus descendentes, sobrepujando, até a década imediatamente anterior ao censo de 1872, a força do crescimento natural desta população. As dificuldades de se reunirem informações suficientes para uma análise demográfica mais precisa do Brasil antes de 1872 são conhecidas2. Em comparação com o estudo de outras províncias brasileiras, o estudo da população de Pernambuco anterior a 1872 se ressente da falta de dados mais completos e confiáveis sobre quase todos os aspectos de interesse demográfico. Os levantamentos provinciais anteriores ao primeiro censo foram notoriamente falhos, na própria apreciação de Jerônimo Figueira de Mello, o maior responsável pela reunião e sobrevivência das poucas informações, certamente incompletas, de que dispomos hoje (MELLO, 1979). Além do mais, ainda não existem para Pernambuco, no volume disponível para outras capitanias e províncias, estudos monográficos sobre fontes paroquiais ou notariais que permitam cotejar os relatórios dos levantamentos populacionais com essas fontes pontuais. Nos últimos anos, alguns estudos examinaram o movimento demográfico de maior repercussão na formação da população de Pernambuco, que foi o tráfico de escravos, seja de importação (FLORENTINO, RIBEIRO et al., 2004; SILVA, 2004; SILVA e ELTIS, 2008), seja interprovincial (BARBOSA, 1995). Daniel B. Domingues da Silva finaliza pesquisa aprofundada sobre o tráfico para Pernambuco como tese de doutoramento na Emory University.

Trabalho apresentado no XVI Encontro Nacional de Estudos Populacionais, realizado em Caxambu- MG – Brasil, de 29 de setembro a 03 de outubro de 2008. ∗

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Uniconsult, Rio de Janeiro.

2

Como exemplos: “Uncertainty as to the size of the Brazilian population at the beginning of the nineteenth century makes it difficult to establish a benchmark for analysis of trends in the period prior to 1872.”(MERRICK e GRAHAM, 1979:26) e “Os dados conhecidos para a demografia do passado colonial brasileiro são, em geral, fragmentários e descontínuos, além de se apresentarem revestidos de pouca credibilidade. Deste modo, não se tem a visão integral das suas estruturas demográficas e muito menos da dinâmica da sua população [nosso grifo].” (BALHANA, 1986:21)

2

Entretanto, mesmo dados falhos e incompletos podem ser úteis, se devidamente analisados e ajustados, como propõe Giorgio Mortara: Em um país que possua estatísticas perfeitas do movimento da população (...) o censo demográfico tem grande importância (...) Num país que não tenha estatísticas aceitáveis do movimento da população, a importância do censo demográfico torna-se ainda maior, porque ele permite conhecer aproximativamente, pelo menos em parte, alguns dados fundamentais desse movimento, uma vez que não se receie o recurso a hipóteses prudentes e plausíveis [nosso grifo]. (MORTARA, 1940)

Em trabalho pioneiro, Mortara (1941) reconheceu a existência de diversos tipos de erros nos censos brasileiros e propôs sua retificação por métodos que sobrepõem aos valores pontuais registrados pelos censos a combinação de tendências gerais e taxas demográficas de longo prazo3. Uma das metodologias que discute para efetuar tais correções é a aplicação de coeficientes de tábuas de sobrevivência aos dados, de modo a se obter distribuições etárias em tamanho semelhante às populações analisadas, mas com distribuções etárias compatíveis com a progressão do fenômeno de mortalidade observado no Brasil. Faremos uso deste mesmo método para corrigir a composição etária da população de descendentes de africanos no censo de 1872, gerando a distribuição etária a ser empregada como “alvo” para nossa população modelada. A reunião de dados a partir de fontes primárias é, sem dúvida, etapa essencial para o aumento de nossos conhecimentos sobre os temas demográficos. A estes novos dados, devemos trazer ainda a análise crítica – e os conseqüentes ajustes – dos dados censitários falhos, conforme advogado por Mortara. Cremos, entretanto, que existe mais uma vertente metodológica, complementar às duas anteriores e pouco explorada no Brasil, que é a modelagem matemática sobre dados demográficos. Vemos como principais vantagens da modelagem demográfica a possibilidade de avaliar, em etapas seqüenciais, a compatibilidade das diversas informações que emergem das novas pesquisas com os dados até então conhecidos, conjugada à possibilidade de, dentro de certo contexto de informações, gerar dados omissos e indicadores impossíveis de serem calculados unicamente a partir dos dados disponíveis. Esse capacidade de “ir além” dos dados históricos decorre da lógica da equação demográfica, guardiã rígida dos limites do possível e fiscal do plausível em questões quantitativas de população. O modelo descrito neste texto segue esta orientação, apresentando em formato ainda preliminar resultados que congregam duas das principais fontes sobre demografia de Pernambuco: a série histórica de importação de africanos de Silva & Eltis e os dados do Censo de 1872.

O modelo proposto Variáveis O modelo proposto, cujas equações estão descritas no anexo, calcula o tamanho da população dividida em grupos por nacionalidade (africanos e brasileiros), por sexo e por 101 faixas etárias, constituindo 404 subpopulações, todas acompanhadas ao longo do período de 1560 a 1872, isto é, por 313 anos, perfazendo, assim, mais de 126.000 tamanhos de população a calcular para cada combinação de parâmetros em estudo. Para chegar a esses totais, o modelo calcula o número anual dos seguintes 1080 eventos demográficos:

3

“Como o exame das distribuições por idade da população do Brasil constantes dos vários censos nos mostrou serem elas afetadas por graves erros (...), logo se evidencia a conveniência de retificar essas distribuições para poder melhor utilizá-las, direta e indiretamente, nas indagações sobre a demografia do Brasil. / Mas a multiplicidade e as interferências recíprocas dos erros que afastam da verdade os dados censitários tornam extremamente difícil toda tentativa de correção que enfrente estes erros separadamente. Além disto, em muitos casos faltam alicerces para essa tentativa. / Achamos, logo, que, para chegar a uma retificação satisfatória das distribuições por idade, é preciso procurar a correção simultânea e integral de todos os vários erros, aplicando um processo sistemático que, embora válido só para a retificação da distribuição por idade dos recenseados naturais do Brasil, nos parece idôneo ao nosso fim.” (MORTARA, 1941:39-40) 3

a)

óbitos ocorridos em cada uma das 404 populações;

b)

imigrações para cada uma das 202 populações de africanos;

c)

nascimentos totais para as mães de cada uma das 70 faixas etárias férteis (de africanas e brasileiras);

d)

emigrações a partir de cada uma das 404 populações.

Parâmetros São parâmetros, informados a priori e que podem ser alterados para analisar resultados alternativos, as seguintes distribuições etárias: a) composição etária dos escravos chegados por tráfico (uma distribuição para homens e outra para mulheres); b) distribuição de taxas específicas de mortalidade para africanos recém-chegados (aplicada no primeiro ano); c) distribuições de taxas específicas de mortalidade para africanos (aplicada em anos posteriores) e para brasileiros; d) distribuição de taxas específicas de fecundidade, durante as idades férteis de 15 a 49 anos, normalizadas para um filho ao longo da vida virtual; e) composição etária dos emigrantes ou seja, uma “propensão a emigrar”, por faixa etária, normalizada para o total de um emigrante/ano. Também são parâmetros as seguintes séries anuais, para cada ano do período de estudo, de 1560 a 1872: a) totais de escravos importados (série Silva & Eltis); b) taxa de fecundidade total; c) percentual de emigração sobre a população total. As razões de masculinidade dos escravos recém-chegados e dos nascimentos em geral complementam as distribuições e séries mencionadas acima. Ajuste do modelo Por sua construção parametrizada, o modelo tem condições de – havendo informações confiáveis – representar a maior parte das características sincrônicas associadas às populações em geral e, especificamente, às populações de escravos e de seus descendentes, tais como curvas de mortalidade diferenciadas e composição de recém-chegados. Além disso, incorpora, em sentido diacrônico, a possibilidade de se ajustar os resultados aos dados cronológicos, procurando reproduzir mais fielmente as flutuações nos fluxos de entrada por tráfico ou na natalidade em função de guerras, revoltas e epidemias. Para qualquer combinação de parâmetros, recalcula-se o modelo de modo que suas populações finais (de homens e mulheres, brasileiros e africanos) correspondam ao totais fixados no censo de 1872 (ou a tamanhos ajustados desses totais). Além disso, buscaram-se distribuições de taxas

4

específicas de mortalidade que aproximem as composições etárias finais do modelo às verificadas em 1872. O ajuste mais trabalhoso foi, sem dúvida, encontrar estas curvas de taxas específicas de mortalidade que fizessem as populações finais terem a mesma composição etária apontada pelo censo. Dadas essas distribuições, os ajustes de tamanho foram realizados alterando-se, subjetivamente, o nível de mortalidade total ou ou nível de fecundidade total, “conduzindo” as ferramentas da planilha eletrônica para uma solução plausível. Estudos mais detalhados deverão examinar os efeitos de variações na série de “propensões a emigrar” e nos demais parâmetros do modelo, bem como estudar a sensibilidade dos resultados a alterações nos parâmetros. A população-alvo do modelo Consideramos como a população a ser modelada aquela constituída pelos escravos africanos trazidos a Pernambuco e seus descendentes. Para permitir que esta população seja modelada em separado do conjunto da população de Pernambuco, consideramos como descendentes dos escravos unicamente os filhos de mães africanas e da descendência feminina dessas mães, excluindo, portanto, toda a descendência de mães de outras origens com pais africanos ou descendentes de africanos, grupo que só pode ser modelado ao trabalharmos sobre o conjunto da população de Pernambuco. Podemos decompor a população de descendentes de africanos, em 1872, nos seguintes grupos: a) escravos africanos que permaneciam em Pernambuco; b) escravos africanos alforriados que permaneciam em Pernambuco; c) descendentes brasileiros de escravos africanos que permaneciam em Pernambuco como escravos; d) descendentes brasileiros de escravos africanos que permaneciam em Pernambuco como alforriados; e) descendentes brasileiros de escravos africanos que nasceram livres e permaneciam em Pernambuco. As categorias empregadas para classificar a população no Censo de 1872, no entanto, fazem outro recorte da população total, com base na condição social (livres e escravos) e na cor/origem étnica (branco, preto, pardo e caboclo), conforme assinalado no quadro abaixo. O cruzamento dessas duas classificações não pode ser realizado de modo unívoco. Vemos, assim, que, embora as categorias censitárias que englobam “escravos” e “pretos livres” podem ser incluídas sem maiores dificuldades na população a ser modelada de “descendentes de escravos africanos”. Ao excluirmos as categorias “brancos livres” e “caboclos” e incluirmos a dos “pardos livres”, incorremos em pequenos erros em conseqüência de estas categorias apresentarem subconjuntos, de maior ou menor relevância, que ficam incorretamente excluídos ou incorretamente incluídos na população sendo modelada. Em termos práticos, construiremos a população-alvo de 1872 a partir das categorias censitárias: “pardos livres”, “pretos livres”, “pretos escravos” e “pardos escravos”, incorretamente deixando de fora os seguintes subconjuntos: a) brasileiros libertos e livres descendentes de africanos que tiverem sido classificados como “caboclos” no censo; b) brasileiros libertos e livres descendentes de africanos que tiverem sido classificados como “brancos” no censo.

5

Figura 1 – Possíveis combinações da classificação censitária e da classificação do modelo, quanto à inclusão na população modelada CATEGORIA CENSITÁRIA CATEGORIA DO MODELO

Brancos livres

Caboclos livres

Pardos livres

Pretos livres

Corretamente incluídos

Libertos africanos

Corretamente incluídos

Escravos brasileiros Libertos brasileiros

Incorretamente excluídos

Incorretamente excluídos

Corretamente incluídos

Corretamente incluídos

Brasileiros livres descendentes de africanos

Incorretamente excluídos

Incorretamente excluídos

Corretamente incluídos

Corretamente incluídos

Corretamente excluídos

Incorretamente incluídos

Brasileiros livres não descendentes de africanos, com ascendência indígena

Pardos escravos

Corretamente incluídos

Escravos africanos

Brasileiros livres não descendentes de africanos e sem ascendência indígena

Pretos escravos

Corretamente incluídos

Corretamente excluídos

EXCLUÍDOS

INCLUÍDOS

Ao mesmo tempo, incluímos incorretamente o subconjunto dos brasileiros livres não descendentes de africanos, porém com ascendência indígena e que tiverem sido classificados como “pardos livres” no censo. Dado o nível de precisão possível numa análise macrodemográfica deste tipo, entretanto, cremos que esses subconjuntos não teriam relevância numérica. A composição etária da população-alvo, no Censo de 1872 Tratando-se de parâmetro essencial para a adequada aferição do modelo, a distribuição etária final (em 1872) requer análise pormenorizada. Optamos, como hipótese de trabalho, por gerar distribuições etárias regulares que mantenham o tamanho da população total compreendida entre 0 e 10 anos. Este procedimento, próximo ao utilizado por Mortara, supõe que, apesar de recenseadas todas as crianças nessas idades, teria havido somente erros de troca de idade, na declaração. Além disso, estas curvas etárias atuariais consideram que a população naquele momento não apresente distorções etárias em conseqüência de eventos pontuais, ocorridos nos 100 anos anteriores, que viessem a afetar desigualmente algumas coortes com relação a outras. Sabemos que a população de escravos em Pernambuco, durante o século XIX, sofreu de fato diversos eventos com tais tipos de efeitos, como a venda de escravos para o sudeste nas três décadas anteriores ao censo ou a própria mortalidade diferenciada entre escravos e livres em períodos de epidemias. Deixaremos, no entanto, o exame dessas “amorças” nas distribuições etárias para análise em outra ocasião. A figura adiante apresenta as três distribuições etárias, todas com o mesmo tamanho de população entre 0 e 10 anos: a recenseada, uma calculada segundo a tábua de sobrevivência de Bulhões de Carvalho (“A”) e outra calculada segundo tábua de sobrevivência com maior mortalidade, construída “sob medida” para aproximar a distribuição censitária (“B”). A esperança de vida ao nascer da população recenseada é de 23,7 anos, da população “A” é 28,8 anos e da população “B” é 23,8 anos. Aceitando os dados censitários de 1872 como essencialmente corretos, poderíamos explicar o diferencial de mortalidade após os 25 anos de idade apontado entre a curva “A”, calculada sobre as características demográficas de uma população do início do século XX, e a curva “B”, de população meio século antes, pelo progresso higiênico e médico ocorrido no intervalo entre os dois censos. Sendo isto verdadeiro, seria interessante entender como, ainda em 1920, este progresso só teria favorecido os adultos e mais velhos, com poucos efeitos visíveis sobre a mortalidade infantil, pelo menos no que ficou registrado nas tábuas de sobreviência calculadas por Bulhões de Carvalho.

6

Figura 2 – Pernambuco (1872). Três distribuições etárias da população masculina descendente de africanos 12.000

Censo 1872

Distribuição etária

10.000

População A População B

8.000 6.000 4.000 2.000 0

0

10

20

30

40

50 60 Idade

70

80

90

100

Nota: “Censo 1872” – Distribuição etária da população recenseada de “pardos livres”, “pretos livres”, “pardos escravos” e “pretos escravos”. “População A” – Distribuição etária de população fictícia, calculada a partir da tábua de sobrevivência de Bulhões de Carvalho sobre o Censo de 1920, de modo que a população total com idades de 0 a 10 anos seja igual à população recenseada nas mesmas faixas etárias. “População B” – Distribuição etária de população fictícia, calculada a partir de tábua própria de sobrevivência, com a mesma igualdade das faixas de 0 a 10 anos, porém com mortalidades específicas mais próximas às mortalidades aparentes nos dados censitários de 1872. Fontes: Dados censitários de 1872:(BRASIL, 1872-76); tábua de sobrevivência “A”:(BULHÕES DE CARVALHO, 1928); tábua de sobrevivência “B”: o Autor.

Os dados sobre tráfico interatlântico para Pernambuco Adotamos a série do tráfico anual para Pernambuco apresentada por Daniel B.Domingues da Silva e David Eltis em The Slave Trade to Pernambuco, 1561-1851, onde descrevem sua série pesquisada e analisam as diversas fontes para o tráfico desembarcado em Pernambuco. A principal base de dados empregada por esses autores é a 2ª. edição do Transatlantic Slave Trade Database, que compila todas as viagens conhecidas de navios negreiros com destino às Américas, complementada por fontes sobre períodos menores para atingir a série atual. Trata-se, sem dúvida, da fonte secundária que reúne o maior volume de pesquisas sobre o assunto. Figura 3 – Pernambuco (1560-1850). Evolução anual de escravos desembarcados.

Número de escravos desembarcados

12.000

Períodos com dados estimados

Períodos com dados detalhados por viagem

10.000

8.000

6.000

4.000

2.000

0 1560

1590

1620

1650

1680

Fonte: (SILVA e ELTIS, 2008)

7

1710

1740

1770

1800

1830

Alguns resultados Evolução da população4 Ao examinarmos a evolução secular da população masculina modelada, percebemos três momentos claramente distintos de relação entre os grupos africano e brasileiro da população de descendentes de africanos. (Ao incluirmos a população feminina, estas distinções se amplificam na medida em que a proporção de mulheres no grupo de africanos é bem menor do que entre os brasileiros.) No “Período 1”, de 1560 a 1630, a subpopulação de brasileiros cresce (a uma média de 4,86% ao ano) basicamente em função do próprio crescimento da população africana, ou seja, representa essencialmente primeira e segunda gerações de brasileiros de uma população africana em crescimento muito rápido (5,80% ao ano). No “Período 2”, de 1630 a 1830, a população de brasileiro continua crescendo, mas a ritmo mais lento (a uma média de 1,3% ao ano), enquanto a população de africanos oscila em função das entradas pelo tráfico, permanecendo abaixo do patamar de 100.000 habitantes. No terceiro período, de 1830 a 1872, a população brasileira continua em crescimento ainda mais lento (0,6 % ao ano), agora inteiramente por sua própria dinâmica, e a de africanos se reduz aceleradamente (a 6,7% a.a.), chegando ao momento censitário representando somente 1% da população conjunta de africanos mais seus descendentes brasileiros. Figura 4 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Evolução da população masculina, segundo a nacionalidade.

População

1.000.000

PERÍODO 1

PERÍODO 2

PERÍODO 3

100.000

10.000

População de africanos População de brasileiros População total 1.000 1560

1610

1660

1710

1760

1810

1860

Quadro 1 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Taxas anuais de crescimento da população masculina. Período

Africanos

Brasileiros

de 1560 a 1630

5,80%

4,86%

de 1631 a 1830

0,26%

1,31%

de 1831 a 1872

-6,69%

0,59%

Fonte: O modelo, na combinação de parâmetros “1”.

4 “População”, “população masculina” etc. são sempre referências às populações de africanos e seus descendentes, conforme descrito inicialmente. Não tratamos aqui da população total de Pernambuco.

8

Distribuição entre africanos e brasileiros Numa outra forma de se ver a mesma dinâmica entre o número de brasileiros e de africanos, examinamos abaixo a evolução da proporção de africanos na população total, dado freqüentemente disponível nos relatos coevos e, assim, útil para comparações entre a população modelada e fontes específicas.

Proporção de africanos na população

Figura 5 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Evolução da proporção de africanos na população total. 80%

PERÍODO 1

PERÍODO 2

PERÍODO 3

70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1560

1610

1660

1710

1760

1810

1860

Vemos o crescimento desta proporção até 1630, correspondente ao aumento das importações de africanos. Desta data até 1830, a proporção de africanos se reduz em decorrência do crescimento total da população e dos picos de importações de escravos. Após 1830, a proporção se reduz até desaparecer. Evolução da composição etária Outro dado de interesse comparativo entre a população modelada e fontes históricas é a composição etária dos grupos populacionais. Ilustramos abaixo a evolução dessas distribuições para a população de africanos e de brasileiros, que apresentam caracteristicas bastante diferenciadas entre si. Enquanto a população de africanos se renova unicamente pela imigração de grupos com uma mesma composição, jovem, a população de brasileiros evolui naturalmente, demonstrando seu envelhecimento pela alteração na curva etária. Figura 6 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Evolução da composição etária das populações masculinas africana e brasileira. 3.500

10.000 1670

1830 1860

2.000

1770

8.000

1800

2.500

1670

9.000

1770

Composição etária

Composição etária

3.000

1.500 1.000

1800

7.000

1830

6.000

1860

5.000 4.000 3.000 2.000

500

1.000

0

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

População africana masculina

10

20

30

40

50

60

70

80

População brasileira masculina

9

90

100

Assim, a curva de distribuição etária dos africanos se eleva e ao final baixa, pelo aumento e depois redução no número de habitantes, mas mantém-se próxima à distribuição etária fixa dos recémchegados. A dos brasileiros “engorda”, em conseqüência do envelhecimento, ainda que parcial, devido ao crescimento natural. Além disso, as curvas se expandem para cima pelo aumento da população. Essas distintas evoluções das composições etárias também podem ser compreendidas pelo exame da evolução das idades médias das duas populações. Enquanto a idade média dos brasileiros se mantém abaixo dos 25 anos, demonstrando sua composição de população em crescimento natural, mas com alta mortalidade, a idade média dos africanos se mantém – como esperado – acima da idade média dos recém-chegados, oscila conforme as flutuações do volume do tráfico e se eleva rapidamente a partir da diminuição das importações. É interessante notar que, no período anterior a 1630, quando o principal responsável pelo crescimento da população brasileira era o próprio crescimento da população africana (e, portanto, do número de potenciais mães de brasileiros), este rápido crescimento rejuvenecia a população de brasileiros, pois aumentavam os nascimentos no Brasil. Figura 7 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Evolução da idade média das populações de africanos e de brasileiros. 50

Idade média da população

45 40 35 30 25 20 15 10

Brasileiros

5

Africanos

0 1560

1610

1660

1710

1760

1810

1860

Nota: Ambos os grupos começam com idade média de 22 anos, pois essa foi a idade média escolhida tanto para os grupos de desembarcados como para um contingente de 1000 brasileiros, tidos como uma população inicial em 1560.

Taxas específicas de mortalidade Figura 8 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Curvas etárias de mortalidade.

Taxa específica de mortalidade

80% Homens brasileiros

70%

Mulheres brasileiras

60%

Homens africanos Mulheres africanas

50% 40% 30% 20% 10% 0% 0

10

20

30

40

10

50

60

70

80

90

100

As curvas de taxas específicas de mortalidade, por faixa etária, foram construídas por aproximações sucessivas, a partir da curva obtida pela tábua de Bulhões de Carvalho, para que a composição etária final, em 1872, fosse muito próxima da distribuição censitária ajustada (conforme se ilustra na Figura 2). Como esta curva de taxas de mortalidade foi mantida idêntica por todo o período de estudo5, o único fator que altera a taxa geral de mortalidade (figura seguinte) é a evolução da composição etária das populações, que também podemos acompanhar por sua idade média. Figura 9 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Evolução da taxa geral de mortalidade masculina (por 1000). Taxa geral de mortalidade, por 1000

140

Africanos 120

Brasileiros

100 80 60 40 20 0

1560

1610

1660

1710

1760

1810

1860

Vemos que a taxa geral de mortalidade dos africanos se eleva em estágios, com seu (pequeno) envelhecimento, mantendo-se oscilante em torno de 60 por mil durante a maior parte do período, até o final do tráfego, em 1850. A partir daí, aumenta bastante, em decorrência do envelhecimento sistemático da população africana residual. Na população brasileira, o envelhecimento tem efeito contrário, pois tal envelhecimento significa redução na incidência das faixas infantis (de mortalidade mais alta) e aumento das faixas de adultos (de menor mortalidade). O quadro adiante resume estes dados. Quadro 2 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Taxas gerais de mortalidade (por 1000) e idade média da população (em anos), média por período, população masculina.

Africanos Período

Brasileiros

TGM

Idade Média

TGM

Idade Média

1560-1630

48,9

26,9

44,5

16,7

1631-1830

64,6

29,9

35,3

21,1

1831-1850

73,5

31,7

35,3

22,5

1851-1872

108,7

39,8

35,0

23,3

Só a título de um exemplo comparativo, entre tantos disponíveis na historiografia, podemos citar os comentários de Eschwege, em 1815, referentes a Minas Gerais, que dão as seguintes taxas de mortalidade estimadas: brancos 28,3 anos; mulato escravo 60,0; mulato livre 27,5; preto escravo 68,6; preto livre 53,8; indios 37,0. apud Pedro Carvalho de Mello (1977:108).

5 O modelo aceita curvas de mortalidade específica diferenciadas por subperíodos ou até anualmente. O principal empecilho à opção mais detalhada é a capacidade de computação disponível.

11

Natalidade e fecundidade Dentro da combinação de parâmetros escolhida para este primeiro teste do modelo, a evolução da natalidade e da fecundidade, por mães de cada nacionalidade, apresentam comportamentos semelhantes, claramente influenciados pelo composição etária geral da população em cada período. Ambas as taxas se estabilizam com valores maiores para as mães brasileiras do que para as mães africanas, em conformidade com a proporção entre seus respectivos parâmetros de fecundidade total. As flutuações das taxas referentes a mães africanas deve-se essencialmente às alterações trazidas à composição da população de mulheres em idade fértil pelas importações oscilantes. Para as mães brasileiras, as taxas partem de valores médios correspondentes à hipotética população inicial, baixando radicalmente, na medida em que a população brasileira cresce, aumentando o número de crianças, e se estabilizando quando a população brasileira atinge composição etária também estável. Figura 10 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Evolução da natalidade e da fecundidade, conforme a nacionalidade da mãe 200 Nascimentos por 1000 mulheres férteis

Nascimentos por 1000 habitantes

50 45 40 35 30 25 20 15 10

Mães africanas

5

Mães brasileiras

0 1560

1610

1660

1710

1760

1810

180 160 140 120 100 80 60 40

Mães africanas

20

Mães brasileiras

0 1560

1860

Natalidade (nascimentos totais por 1000 habitantes)

1610

1660

1710

1760

1810

1860

Fecundidade (nascimentos por 1000 mulheres em idade fertil)

Forças de crescimento Podendo dispor, pela própria construção do modelo, de séries completas tanto para as populações como para os eventos demográficos, torna-se simples analisar os componentes da variação total da população, distinguindo um efeito corrente de imigração e outro do crescimento natural. Figura 11 – Modelo-Pernambuco (1560-1872). Taxas de variação da população. 12

60

Variação natural

50

Variação migratória

10 Taxas de variação, por 1000

Taxa de variação, por 1000

70

40 30 20 10 0 -10 -20 1560

Variação natural

8

Variação migratória

6 4 2 0 -2 -4

1610

1660

1710

1760

1810

-6 1830

1860

12

1840

1850

1860

1870

Reforçamos a necessidade de se definir e expor com muito cuidado esse tipo de indicador, pois o “efeito migratório” não se resume à população entrada ano a ano, que certamente também influi sobre as gerações seguintes, nascidas de mães imigrantes, como tivemos ocasião de comentar acima com relação ao aumento inicial da natalidade de mães brasileiras, quase que exclusivamente decorrente do aumento da imigração de africanos. Tratamos aqui do indicador em sua forma mais simples: o total de imigrantes relativo à população média do período. Até o início do século XVIII, vemos efeitos migratórios importantes, que se limitam nas décadas seguintes à faixa até 20 por mil. O componente de variação natural apresenta-se negativo por quase todo o período de estudo (a não ser logo nos primeiros anos) e só demonstra uma tendência efetiva de impulso ao crescimento a partir da década de 1860, conforme transparece da figura na direita, ampliação do gráfico completo para as últimas décadas do período.

Comentário final Não examinamos de modo sistemático as diversas alternativas lógicas e históricas, proporcionadas pela aplicação do modelo, que poderiam validar ou invalidar comentários coevos e fontes demográficas conhecidas sobre mortalidade e natalidade de escravos e livres descendentes de escravos. Trata-se de trabalho de grande fôlego, a ser realizado coletivamente e a longo prazo, para o qual esperamos que este modelo ou seus sucedâneos venham contribuir, aumentando certezas onde as fontes só indicam possibilidades. Esperamos ter demonstrado aqui, contudo, a amplitude de recursos que um modelo matemático pode trazer para a análise demográfica, permitindo a exploração de diversas combinações de parâmetros e das interrelações de características e dinâmicas das populações.

Referências bibliográficas BALHANA, Altiva Pilatti. A população. In: SILVA, Maria Beatriz Nizza da (Ed.). O Império luso-brasileiro, 1750-1822. Lisboa: Editorial Estampa, 1986. p.19-62. (Nova História da Expansão Portuguesa) BARBOSA, Josué Humberto. Um êxodo esquecido. O porto do Recife e o tráfico interprovincial de escravos no Brasil: 1840-1871. (Mestrado). CHLA-Pós graduação em História, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1995. 242 p. BRASIL. Recenseamento do Brazil em 1872 - Pernambuco. Rio de Janeiro. 1872-76 Disponível em: http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/monografias/visualiza_colecao _digital.php?titulo=Recenseamento Geral do Brasil 1872 - Província de Pernambuco& link=Provincia de Pernambuco BULHÕES DE CARVALHO, José Luiz S. População por idades. In: Estatísticas, BRASIL. Directoria Geral de (Ed.). Recenseamento do Brazil, realizado em 1 de setembro de 1920. Vol.IV (2a.parte) Tomo I. Rio de Janeiro, 1928. p.V(4)-LXXVIII(96) Disponível em: http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/monografias/visualiza_colecao_digital.php?titul o=Recenseamento%20Geral%20do%20Brazil%201920%20v.4%20pt%20II%20%20t1&link=CD20_v4_pt2_t1# FLORENTINO, Manolo, RIBEIRO, Alexandre Vieira, et al. Aspectos comparativos do tráfico de africanos para o Brasil (Séculos XVIII e XIX). Afro-Ásia, v.31, p.83-126. 2004. Disponível em: http://www.afroasia.ufba.br/pdf/31_3_aspectos.PDF

13

MELLO, Jeronymo Martiniano Figueira de Ensaio sobre a estatística civil e política da Província de Pernambuco. Recife: Conselho Estadual de Cultura-Estado de Pernambuco 1979. 309 p.[1852] MELLO, Pedro Carvalho de. The Economics of Labor in Brazilian Coffee Plantation, 18501888. Dept. of Economics, University of Chicago, Chicago, 1977. 252 p. MERRICK, Thomas e GRAHAM, Douglas H. Population and Economic Development in Brazil. 1800 to the Present. Baltimore The Johns Hopkins University Press. 1979. 385 p. MORTARA, Giorgio. Estudos sobre a utilização do censo demográfico para a reconstrução das estatísticas do movimento da população do Brasil. I. Estimativa do número dos nascimentos. . Revista Brasileira de Estatística, v.I, n.1, jan-mar, p.7-35. 1940. Disponível em: http://biblioteca.ibge.gov.br/ (Coleção digital) ______. Estudos sobre a utilização do censo demográfico para a reconstrução das estatísticas do movimento da população do Brasil. V. Retificação da distribuição por idade da população natural do Brasil, contante dos censos, e cálculo dos óbitos, dos nascimentos e das variações dessa população no período 1870-1920. Revista Brasileira de Estatística, v.II, n.5, p.39-89. 1941. Disponível em: http://biblioteca.ibge.gov.br/ (Coleção digital) MOURA FILHO, Heitor Pinto de. Um século de pernambucanos mal contados. Estatísticas demográficas nos oitocentos. (Diss.Mestrado). Programa de Pós-graduação em História Social, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005. 197 p. ______. Demografia da escravidão. Um micromodelo dos efeitos do tráfico XV Encontro Nacional de Estudos Populacionais ABEP-Associação Brasileira de Estudos Populacionais. Caxambu - MG: ABEP 2006. Disponível em: http://www.abep.nepo. unicamp.br/encontro2006/docspdf/ABEP2006_147.pdf SILVA, Daniel B. Domingues da. The Slave Trade to and from Pernambuco, 1576-1851: a New Profile. Workshop: The Transaltlantic Slave Trade: New Data and New Interpretations. Emory: Emory University 2004. SILVA, Daniel B. Domingues da e ELTIS, David. The Slave Trade to Pernambuco, 15611851. In: ELTIS, David e RICHARDSON, David (Ed.). Extending the Frontiers: Essays on the New Transatlantic Slave Trade Database. New Haven: Yale University Press, 2008

14

ANEXO – DESCRIÇÃO DO MODELO 1.

CARACTERÍSTICAS GERAIS 1.1. Notação genérica SÍMBOLO

X(t,i)

DESCRIÇÃO Varíavel de população X, referente ao final do período t, associado à coorte com idade completa i ou variável de fluxo demográfico X, referente ao fluxo durante o período t, associada à mesma coorte

XA(t,i)

Idem, referente somente ao grupo de africanos

XB(t,i)

Idem, referente somente ao grupo de nascidos no Brasil

x(i)

Taxa específica (de mortalidade, de fecundidade) associada à coorte de idade completa i; ou percentual de uma população na faixa entre as idades completas i e i+1

P ou p

Idem, referente somente ao grupo de africanos (A); idem referente ao grupo de brasileiros (B) Variável referente à população ou algum subconjunto seu.

D ou d

Variável referente a óbitos

xA(i)

N I

Variável referente a nascimentos Variável referente a imigrações/importações de escravos

E ou e

Variável referente a emigrações/exportações de escravos

F ou f

Variável referente a mulheres em idade fértil ou a fecundidade

s

Proporção de homens em alguma população ou fluxo demográfico

r

Razão de masculinidade em alguma população ou fluxo demográfico

[P] [V]

Indica ser um parâmetro, fornecido a priori Indica ser uma variável, que será calculada pelo modelo

1.2. Variáveis demográficas Todas as variáveis modeladas – tamanho de populações e quantidade de eventos demográficos – são calculadas através de funções contínuas numa planilha Excel, sem a modelagem do ciclo vital de indivíduos específicos. Ao contrário do que ocorre em modelos que geram indivíduos e simulam seu ciclo vital a partir de eventos e características determinadas por opções probabilísticas, esta metodologia evita a necessidade de múltiplas repetições dos cálculos para se atingir valores médios, pois todos os parâmetros já incorporam as probabilidades de eventos desejadas, gerando tais valores médios com qualquer tamanho da população. O índice de tempo, t, segue de 1560 a 1872. O índice de idades, i, segue de 0 a 100. 1.3. População inicial A população inicial do modelo, parametrizável para qualquer valor desejado, corresponde àquela que teria existido ao final de 1559. É aberta por sexo e idade segundo a mesma razão de masculinidade e a mesma distribuição etária dos escravos recém-chegados. Esta data foi escolhida por ser anterior ao início da série de importações de escravos africanos, estimada por Eltis & Silva.

15

1.4. Evolução da descendência O modelo considera como descendência da população modelada os filhos das mulheres africanas e de suas filhas brasileiras, com pais pertencentes ou não à população modelada. Não se incluem no modelo os descendentes de homens pertencentes ao modelo com mulheres fora do modelo (brancas ou indígenas), o que iria requer modelar toda a população. Este projeto está sendo desenvolvido. A população modelada é composta por toda essa descendência, sem distinção de condição social (livre, escravo) ou características de cor/origem étnica. Pretendemos incorporar tais decomposições em futuras versões do modelo. Assim, a estimativa do número de alforrias, que afeta unicamente a decomposição por condição social, não será considerada aqui. 2.

IMPORTAÇÃO DE ESCRAVOS 2.1. Parâmetros e variáveis SÍMBOLO

DESCRIÇÃO

I(t,i)

[V] Número de recém-chegados, durante o ano t, com idade completa i,

I(t,•)

[P] Número total de recém-chegados durante o ano t

sRC

[V] Percentual de homens nos recém-chegados

rRC

[P] Razão de masculinidade dos recém-chegados

pRC(i)

[P] Distribuição etária percentual dos recém-chegados, igual para todos os t.

O número total de recém-chegados por ano, I(t,•), é parâmetro fundamental, dado pela série histórica estimada por Eltis & Silva. 2.2. Total de imigrantes Este total de recém-chegados é distribuído por sexo segundo um percentual fixo para todas as idades e para todos os anos, sRC. Os totais por sexo são distribuídos por faixas etárias pelas seguintes fórmulas: a) para homens: [1]

I(t,i) = I(t,•) sRC pRC(i), onde

[2]

sRC = rRC/(1+rRC),

sendo rRC medida em homens por cada mulher (e não por 100 mulheres). b) para mulheres: [3]

I(t,i) = I(t,•) (1-sRC) pRC(i),

em ambos os casos, [4]

∑i pRC(i) = 1.

As distribuições etárias pRC(i) são específicas para homens e mulheres. (Evitamos incluir mais esta característica na notação para não torná-la desnecessariamente densa.)

16

3.

ÓBITOS 3.1. Parâmetros e variáveis

SÍMBOLO

DESCRIÇÃO

D(t,i)

[V] Óbitos de africanos e brasileiros, durante o ano t, com a idade i completa

DA(t,i)

[V] Óbitos de africanos durante o ano t, com a idade i completa

DB(t,i)

[V] Óbitos de brasileiros durante o ano t, com a idade i completa

dA(i)

[P] Taxas específica de mortalidade de africanos entre as idades i e i+1

dRC(i)

[P] Taxas específica de mortalidade de africanos recém-chegados, entre as idades i e i+1

dB(i)

[P] Taxas específica de mortalidade de brasileiros entre as idades i e i+1

As taxas específicas de mortalidade – dA(i), dRC(i) e dB(i) – variam segundo o sexo e os macroperíodos (1560 a 1830; 1831 a 1872). Todas esses distribuições são parametrizadas. 3.2. Óbitos de africanos Os óbitos de africanos em cada ano são calculados sobre a população em risco ao final do ano anterior, às taxas específicas de mortalidade referentes à coorte um ano mais velha, acrescidos dos óbitos dos recém-chegados no mesmo ano. As taxas específicas de mortalidade de “recém-chegados”, significantemente mais altas que as de africanos aclimatados e de brasileiros, são aplicadas somente no ano da chegada. Para refletir a mortalidade imediata, pós-desembarque, à qual estariam sujeitos os desembarcados, em média durante seis meses, no mesmo ano da chegada, consideramos essas taxas sobre 50% do contingente anual importado. [5]

DA(t,i) = PA(t-1,i-1) dA(i) + I(t,i) dRC(i)/2 , sendo i>0.

Para a faixa etária inicial, até 1 ano completo (i=0), aplica-se a fórmula: [6]

DA(t,0) = I(t,0) dRC(0)/2 .

O número anual de óbitos de africanos é igual à soma dos totais por faixa etária: [7]

DA(t,•) = ∑i DA(t,i) .

3.3. Óbitos de brasileiros Os óbitos de brasileiros em cada ano são calculados sobre a população em risco ao final do ano anterior, às taxas específicas de mortalidade referentes à coorte um ano mais velha. [8]

DB(t,i) = PB(t-1,i-1) dB(i), sendo i>0.

Para a faixa etária inicial, até 1 ano completo (i=0), aplica-se a fórmula: [9]

DB(t,0) = N(t,•) dB(0)/2

17

O número anual de óbitos de brasileiros é igual à soma dos totais por faixa etária: [10] 4.

DB(t,•) = ∑i DB(t,i) . NASCIMENTOS

4.1. Parâmetros e variáveis Todos os nascidos no modelo são brasileiros. É possível analisar separadamente os nascimentos de mães africanas e de mães brasileiras. SÍMBOLO

DESCRIÇÃO

N(t,i) N(t,•)

[V] Número de nascimentos, durante o ano t, de mães com idade completa i,

NA(t,i)

[V] Idem, nascimentos de mães africanas (A); idem, de mães brasileiras (B)

[V] Número total de nascimentos durante o ano t

sN

[V] Percentual de homens entre os recém-nascidos

rN

[P] Razão de masculinidade dos nascimentos

fA(i)

[P] Taxas específica de fecundidade normalizada de africanas entre as idades i e i+1

fB(i)

[P] Taxas específica de fecundidade normalizada de brasileiras entre as idades i e i+1

f(t,•)

[P] Taxa de fecundidade total, variável conforme o ano t

F(t,i) FA(t,i)

[V] Número de mulheres em idade fértil, com i anos completos, ao final do ano t [V] Idem, para mulheres africanas (A); idem, para brasileiras (B)

F(t,•)

[V] Número total de mulheres em idade fértil, ao final do ano t

A razão de masculinidade ao nascer (e, portanto, o percentual de nascimentos de homens) é fixa para todos os grupos (africanos-brasileiros) e todos os períodos em 1,05. As distribuições específicas de fecundidade são fixas em sua forma, mas podem refletir variações anuais de fecundidade total, através do parâmetro f(t,•). 4.2. Número de mulheres em idade fértil O número de mulheres em idade fértil, ao final do ano t, é a soma do total de mulheres nas faixas de 15 a 49 anos de idade, neste momento. [11]

F(t,•) = ∑i F(t,i) , com 14 < i < 50.

Idem somente para africanas FA(t,•) ou brasileiras FB(t,•). 4.3. Taxas específicas de fecundidade As curvas de taxas específicas de fecundidade normalizadas, fA(i) e fB(i), são conjugadas, no cálculo do total de nascimentos, com uma fecundidade total, parametrizável anualmente. Todos os eventos que influem sobre a natalidade total – como a paridade final de cada mulher ou eventuais reduções no total de nascimentos em decorrência de períodos conturbados por epidemias ou guerras – estariam incorporados nestes parâmetros de fecundidade. Essas distribuições correspondem a uma fecundidade total normalizada em 1 filho por mulher, ao longo de toda sua vida, aplicada a 100% das mulheres vivas em cada ano. Ao multiplicarmos esses números pela fecundidade total estimada para certo ano, chegamos à fecundidade específica desejada a cada faixa etária fértil naquele ano.

18

4.4. Número de nascimentos O número de nascimentos, de mães em certa faixa etária, é calculado como o resultado da incidência da fecundidade específica normalizada da faixa, sobre a fecundidade total desejada para aquele ano t, multiplicado pelo número total de mulheres férteis, na faixa etária, ano a ano. [12]

N(t,i) = f(i) f(t,•) F(t-1,i-1).

O número total de nascimentos do ano t é igual à soma dos nascimentos para mães de todas as faixas etárias (equivalente a somente as faixas férteis, já que as taxa específicas fora desse intervalo são nulas), durante aquele ano: [13]

N(t,•) = ∑i N(t,i) = ∑i f(i) f(t,•) F(t-1,i-1).

Idem somente para mães africanas NA(t,•) ou para mães brasileiras NB(t,•). 5.

EMIGRANTES 5.1. Parâmetros e variáveis

“Emigrantes” refere-se aos movimentos de emigração de livres e/ou decorrentes do tráfico interprovincial de escravos. As imigrações de brasileiros estariam deduzidas deste saldo líquido de emigração e não serão tratadas em separado. SÍMBOLO

DESCRIÇÃO

E(t,i)

[V] Emigrantes, durante o ano t, com a idade i completa

E(t,•)

[V] Total de emigrantes no ano t

EA(t,i)

[V] Emigrantes africanos durante o ano t, com a idade i completa

EB(t,i)

[V] Emigrantes brasileiros durante o ano t, com a idade i completa

eA(i)

[P] Propensão específica normalizada de emigração de africanos entre as idades i e i+1

eB(i)

[P] Propensão específica normalizada de emigração de brasileiros entre as idades i e i+1

e(t,•)

[P] Percentual da população total ao final do ano t-1 a emigrar no ano t

Probabilidades específicas de emigração referentes a escravos recém-chegados são úteis para modelar os movimentos de interiorização de escravos recém-chegados em períodos como o pico da economia aurífera. 5.2. Número de emigrantes Ao contrário das imigrações por tráfico, cujo total é conhecido, as emigrações totais são calculadas a partir de uma dada proporção de emigrantes relativamente à população total, ano a ano. Os totais de emigrantes por faixa etária são calculados como o produto deste número total de emigrantes calculado para cada ano, segundo a propensão específica de emigração da faixa etária: Sendo e(i) a propensão específica normalizada para emigração da população com idade completa i, isto é, [14]

∑i e(i) = 1 ,

19

e e(t,•) a proporção de emigrantes em certo ano, relativamente à população ao final do ano anterior, P(t-1,•), o número de emigrantes de cada faixa etária, em cada ano, é dado por: [15]

E(t,i) = e(t,•) e(i) P(t-1,i-1),

onde os parâmetros e(i) e P(t-1,i-1) se referem especificamente a cada grupo: africanos-brasileiros, homens-mulheres. O número total de emigrantes é a soma E(t,•) = ∑i E(t,i).

[16] 6.

POPULAÇÃO 6.1. Parâmetros e variáveis

SÍMBOLO

DESCRIÇÃO

P(t,•)

[V] População total no ano t

PA(t,•)

[V] População total de africanos no ano t (A); idem para brasileiros (B)

P(t,i)

[V] População total, ao final do ano t, com a idade i completa

6.2. População de africanos A população de africanos é calculada como: a) população inicial: nula b) população ano a ano: [17]

PA(t,•) = ∑i>0 [PA(t-1,i-1) + I(t,i) – DA(t,i) – EA(t,i)] + PA(t,0)

Para a faixa etária inicial, até 1 ano completo, aplica-se a fórmula: [18]

PA(t,0) = I(t, 0) [1 - dRC(0)/2] .

6.3. População de brasileiros A população de brasileiros é calculada como: a) população inicial: parametrizada; b) população ano a ano: [19]

PB(t,•) = ∑i>0 [PB(t-1,i-1) – DB(t, i) – EB(t, i)] + PB(t,0)

Para a faixa etária inicial, até 1 ano completo, aplica-se a fórmula: [20]

PB(t,0) = N(t,•) [1 - dB(0)/2] .

20