Ham Eliptic Va Ung Dung

lêi c¶m ¬n Em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi PGS.TS.NG¦T NguyÔn Huy Lîi vµ c¸c thÇy c« gi¸o ®· h­íng dÉn tËn t×nh, ®Çy hiÖu qu¶, th­êng xuyªn dµnh cho em sù chØ b¶o, gióp ®ì vµ ®éng viªn c¶ vÒ vËt chÊt còng nh­ tinh thÇn gióp em hoµn thµnh luËn v¨n ®óng thêi h¹n. Em xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ban l·nh ®¹o, c¸c thÇy c«, c¸n bé nh©n viªn Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m Hµ Néi 2 ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho em trong thêi gian häc tËp t¹i tr­êng. T¸c gi¶ còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh tíi anh em, b¹n bÌ gÇn xa vµ ng­êi th©n trong gia ®×nh ®· ®éng viªn, t¹o mäi ®iÒu kiÖn ®Ó luËn v¨n nµy cã thÓ ®­îc hoµn thµnh.

lêi cam ®oan T¸c gi¶ xin cam ®oan luËn v¨n lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t¸c gi¶ d­íi sù h­íng dÉn cña PGS.TS.NG¦T NguyÔn Huy Lîi. Trong khi nghiªn cøu luËn v¨n, t¸c gi¶ ®· kÕ thõa thµnh qu¶ khoa häc cña c¸c nhµ khoa häc, nghiªn cøu vµ ®ång nghiÖp víi sù tr©n träng vµ biÕt ¬n.

Hµ Néi, ngµy

th¸ng 09 n¨m 2009

Khæng M¹nh §iÖp

Môc lôc Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Nh÷ng kÝ hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Ch­¬ng 1.

Hµm elliptic

9

1.1. Hµm chØnh h×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Hµm elliptic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Hµm cã chu k×

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 TÝnh chÊt chung cña c¸c hµm elliptic

9 15 16

. . . . . . . . . . .

22

1.3. TÝch ph©n elliptic vµ hµm Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Ch­¬ng 2.

øng dông cña hµm elliptic

39

2.1. ¦ng dông ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò lý thuyÕt . . . . . . . . . . .

39

2.1.1 Hµm Weierstrass vµ hµm Tªta . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.2 Mét sè bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2. Mét sè øng dông kh¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Nh÷ng kÝ hiÖu Trong luËn v¨n nµy ta dïng nh÷ng kÝ hiÖu víi c¸c ý nghÜa x¸c ®Þnh trong b¶ng d­íi ®©y:

R C ∞ −∞ ∅ snz cnz Rez Imz

tËp hîp sè thùc tËp hîp sè phøc d­¬ng v« cïng (t­¬ng ®­¬ng víi ©m v« cïng tËp hîp rçng sin elliptic cña

z cos elliptic cña z phÇn thùc cña z phÇn ¶o cña z

+∞)

më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi

Sù ra ®êi cña sè phøc vµ qu¸ tr×nh nghiªn cøu ph¸t triÓn hoµn thiÖn lÝ thuyÕt hµm sè biÕn sè phøc nh­ mét dÊu mèc quan träng trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn to¸n häc. Nh÷ng kÕt qu¶ ®¹t ®­îc trong lý thuyÕt ®ã ®· gi¶i quyÕt rÊt nhiÒu nh÷ng vÊn ®Ò quan träng trong nhiÒu lÜnh vùc khoa häc, ®êi sèng kh¸c nhau. Khi nghiªn cøu gi¶i tÝch phøc, mét trong nh÷ng vÊn ®Ò ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu ®ã lµ lÝ thuyÕt hµm elliptic. NhiÒu tÝnh chÊt quan träng cña hµm elliptic ®· ®­îc t×m ra vµ biÕt ®Õn víi nhiÒu øng dông cã tÝnh thùc tiÔn cao trong vËt lý, kü thuËt, x©y dùng. . . Tõ viÖc nghiªn cøu hµm elliptic trong kh«ng gian hai chiÒu, nhiÒu nhµ to¸n häc ®· kh«ng ngõng ph¸t triÓn, më réng cho kh«ng gian ba chiÒu, nhiÒu chiÒu vµ ®¹t ®­îc nhiÒu kÕt qu¶ to lín. Víi nh÷ng kÕt qu¶ ®· ®¹t ®­îc trong kh«ng gian c¸c hµm biÕn sè thùc nh­ viÖc tÝnh ®é dµi ®­êng cong, diÖn tÝch mÆt, thÓ tÝch khèi. . . ViÖc nghiªn cøu trªn hµm elliptic ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch hoµn h¶o nh÷ng vÊn ®Ò nµy trªn nh÷ng líp hµm biÕn sè phøc ®Æc biÖt ®­îc biÓu diÔn th«ng qua hµm elliptic. Víi nhiÒu øng dông ®Æc biÖt trong khoa häc vµ ®êi sèng mµ viÖc nghiªn cøu hµm elliptic ®em l¹i, víi mong muèn t×m hiÓu mét c¸ch s©u s¾c, cã hÖ thèng vÒ hµm elliptic cïng víi nh÷ng øng dông cña nã t¸c gi¶ m¹nh d¹n chän ®Ò tµi

Hµm elliptic vµ øng dông 2. Môc ®Ých nghiªn cøu

LuËn v¨n t×m hiÓu hµm elliptic, c¸c tÝnh chÊt cña hµm elliptic. Mét sè øng dông cña hµm elliptic. 3. NhiÖm vô nghiªn cøu

LuËn v¨n t×m hiÓu hµm elliptic, hÖ thèng hãa theo h­íng øng dông cña nã.

8 4. §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu

LuËn v¨n ®­îc chia thµnh hai ch­¬ng: Ch­¬ng 1. Hµm elliptic Ch­¬ng 2. ¦ng dông cña hµm elliptic. 5. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu

§äc dÞch, tra cøu tµi liÖu tham kh¶o, nghiªn

cøu khoa häc mét c¸ch logic vµ hÖ thèng.

Ch­¬ng

1

Hµm elliptic 1.1.

Hµm chØnh h×nh

Gi¶ sö hµm

f = u + iv x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n trong l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm

z0 = x0 + iy0 ∈ C.

§Þnh nghÜa 1.1. R2

Ta nãi r»ng

- kh¶ vi), nÕu c¸c hµm

f

u

kh¶ vi t¹i ®iÓm

vµ

v

z0 theo nghÜa gi¶i tÝch thùc (hay

kh¶ vi nh­ nh÷ng hµm cña

(x, y)

t¹i ®iÓm

(x0, y0). BiÓu thøc df = du + idv, ®­îc gäi lµ vi ph©n cña

f

t¹i ®iÓm

z0

(1.1)

.

NhËn xÐt

BiÓu diÔn

du vµ dv qua c¸c ®¹o hµm riªng (nh÷ng ®¹o hµm nµy tån t¹i ë

®iÓm z0 ), th× (1.1) cã thÓ viÕt d­íi d¹ng

df = ë ®©y

∂f ∂f dx + dy, ∂x ∂y

(1.2)

∂u ∂v ∂u ∂v ∂f ∂f = +i = +i vµ ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y

lµ c¸c ®¹o hµm riªng cña hµm phøc theo biÕn thùc.

§Ó thuËn lîi, ta cßn cã thÓ viÕt c«ng thøc cña vi ph©n d­íi mét d¹ng kh¸c. Ta xÐt c¸c biÕn

z = x + iy vµ z¯ = x − iy ; c¸c vi ph©n cña chóng lµ

dz = dx + idy, d¯ z = dx − idy . Tõ ®ã ta t×m ®­îc

1 1 z ); dy = (dz − d¯ z) dx = (dz + d¯ 2 2i

ThÕ c¸c biÓu thøc nµy vµo (1.2), sau khi nhãm c¸c sè h¹ng ta thu ®­îc

df =

∂f ∂f dz + d¯ z, ∂z ∂ z¯

(1.3)

10

trong ®ã kÝ hiÖu

 ∂v ∂u − ; ∂x ∂y       ∂f 1 ∂f ∂f 1 ∂u ∂v i ∂v ∂u = +i − + = + . ∂ z¯ 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y

∂f 1 = ∂z 2



§Þnh nghÜa 1.2. (hay

∂f ∂f −i ∂x ∂y

f

Hµm





1 = 2

∂u ∂v + ∂x ∂y



®­îc gäi lµ kh¶ vi t¹i ®iÓm

C− kh¶ vi), nÕu nã R2 − kh¶ vi t¹i ®iÓm z0 z0

nghÜa lµ ®iÓm t¹i

§Þnh nghÜa 1.3.

i + 2



(1.4)

(1.5)

z0 theo nghÜa gi¶i tÝch phøc

vµ vi ph©n cña nã tØ lÖ víi

∂f = 0. ∂ z¯

(1.6)

NÕu tån t¹i giíi h¹n

∆f = f 0(z0 ), ∆z→0 ∆z

(1.7)

lim

th× nã ®­îc gäi lµ ®¹o hµm cña

§Þnh lý 1.1.

dz ,

§Ó hµm

f

f

t¹i ®iÓm

z0 .

x¸c ®Þnh trong l©n cËn cña ®iÓm

®iÓm ®ã th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ

f

z0 ∈ C cã ®¹o hµm t¹i

kh¶ vi theo nghÜa gi¶i tÝch phøc t¹i ®iÓm

z0 .

§Þnh lý 1.2. f R2

§Ó hµm

z

- kh¶ vi t¹i

§Þnh nghÜa 1.4.

f C− kh¶ vi t¹i z = x + iy , ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ hµm

vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Cauchy−Riemann

Hµm

f

 ∂u ∂v   (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂v ∂u   (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x

®­îc gäi lµ chØnh h×nh t¹i ®iÓm

(1.8)

z0

nÕu nã

C−

kh¶ vi

trong l©n cËn cña ®iÓm Êy.

Ta sÏ gäi hµm ®iÓm cña

f lµ chØnh h×nh trªn tËp më D, nÕu nã chØnh h×nh t¹i mçi

D (do vËy trong tËp D, kh¸i niÖm chØnh h×nh vµ kh¶ vi phøc trïng

nhau). Ta sÏ gäi hµm

f

chØnh h×nh trªn tËp hîp bÊt k×

triÓn gi¶i tÝch lªn tËp hîp më nµo ®ã

D ⊃ M.

M ⊂ C, nÕu nã cã thÓ th¸c

11

Cuèi cïng, tÝnh chØnh h×nh  cñahµm

chØnh h×nh cña hµm

ϕ(z) = ϕ

1 z

t¹i

f t¹i ®iÓm v« cïng ®­îc hiÓu lµ tÝnh

z = 0. §Þnh nghÜa nµy cho phÐp ta xÐt

hµm chØnh h×nh trªn c¸c tËp hîp cña mÆt ph¼ng ®ãng

§Þnh lý 1.3.

C.

Tæng vµ tÝch cña c¸c hµm chØnh h×nh trong miÒn

D

còng chØnh

h×nh trong miÒn Êy.

Do ®ã tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng hµm chØnh h×nh trong miÒn vµ vµnh nµy ta sÏ chØ b»ng kÝ hiÖu

D lËp nªn mét vµnh

H(D). H(D) lµ mét kh«ng gian vector trªn

C.

§Þnh lý 1.4. h×nh trªn

Gi¶ sö

D. Khi ®ã i) NÕu

D∈C

lµ mét miÒn vµ

f ∈ H(D) vµ f (z) 6= 0 th×

ii) NÕu

f ∈ H(D) vµ f

H(D)

lµ tËp hîp c¸c hµm chØnh

1 ∈ H(D); f

chØ nhËn gi¸ trÞ thùc th×

f

lµ kh«ng ®æi.

f vµ c¸c ®¹o hµm riªng chØ nhËn ∂f ∂f ∂f ∂f gi¸ trÞ thùc. Nh­ng mÆt kh¸c = i , ta suy ra = = 0. VËy f = ∂x ∂y ∂x ∂y Chøng minh.

ChØ cÇn chøng minh ii). Do

const.

§Þnh lý 1.5. vµ

NÕu

f : D → D∗

vµ

g : D → C lµ c¸c hµm chØnh h×nh, ë ®©y D

D∗ lµ c¸c miÒn trong mÆt ph¼ng (z), (w), th× hµm g0f : D → C chØnh h×nh.

§Þnh lý 1.6.

f ∈ H(D) th× R cã nguyªn hµm F (z) = f (ζ)dζ . NÕu hµm

trong h×nh trßn

{|z − z0 | < r } ⊂ D

nã

[z,z0 ]

∈ H(D) nªn tÝch ph©n cña f theo biªn cña tam gi¸c ∆ b D R f dz = 0 bÊt k× lµ b»ng kh«ng

Chøng minh.

Do f

∂∆

H¬n n÷a

f ∈ H(D) nªn trong h×nh trßn bÊt k× {|z − z0 | < r } ⊂ D hµm f

liªn tôc. KÕt hîp víi kh¼ng ®Þnh trªn ta suy ra

F (z) =

Z

[z,z0 ]

f cã nguyªn hµm

f (ζ)dζ.

12

§Þnh lý 1.7.

(§Þnh lý Cauchy) NÕu hµm

tuyÕn ®ãng bÊt kú

f ∈ H(D)

th× tÝch ph©n cña nã theo

γ ⊂ D, ®ång lu©n víi kh«ng trong miÒn nµy lµ b»ng kh«ng Z f dz = 0 nÕu γ ∼ 0. γ

V×

Chøng minh.

®ãng γ1

γ ∼ 0 nªn trong D cã thÓ biÕn d¹ng ®ång lu©n tuyÕn tÝnh

: z = z1 (t), t ∈ [0, 1], n»m trong h×nh trßn nµo ®ã U ⊂ D. Theo ®Þnh

lý 1.6, hµm

f cã nguyªn hµm F trong U vµ do ®ã nguyªn hµm cña f däc theo

γ1 sÏ lµ hµm F (z1(t)). V× z1 (0) = z1 (1) = a (tuyÕn γ1 lµ tuyÕn ®ãng) nªn theo c«ng thøc Newton-Leibnizt

Z

γ1

f dz = F (a) − F (a) = 0.

Theo ®Þnh lý vÒ tÝnh bÊt biÕn cña tÝch ph©n trong c¸c phÐp biÕn d¹ng ®ång lu©n tuyÕn lÊy tÝch ph©n, tÝch ph©n cña cña

f theo γ vµ γ1 b»ng nhau, nªn tÝch ph©n

f theo γ b»ng kh«ng.

V× trong miÒn ®¬n liªn, mçi tuyÕn ®ãng ®Òu ®ång lu©n víi kh«ng nªn ®èi víi nh÷ng miÒn Êy, ®Þnh lý Cauchy ®­îc hiÓu ®¬n gi¶n h¬n: NÕu hµm h×nh trong miÒn ®¬n liªn b»ng kh«ng.

§Þnh lý 1.8.

Hµm

f

f chØnh

U ⊂ D, th× tÝch ph©n cña nã theo tuyÕn ®ãng bÊt kú

bÊt kú, chØnh h×nh trong miÒn ®¬n liªn

D, cã nguyªn hµm

trong miÒn Êy.

§Þnh lý 1.9.

Gi¶ sö hµm

f ∈ H(D)

vµ

G

lµ miÒn bÊt kú thuéc

D

mét c¸ch

compact vµ ®­îc giíi h¹n bëi mét sè h÷u h¹n ®­êng cong. Khi ®ã tÝch ph©n cña

f

theo biªn cã h­íng cña miÒn

Z

G lµ b»ng kh«ng f = 0.

(1.9)

∂G

§Þnh lý 1.10.

Gi¶ sö

f ∈ H(D) vµ G lµ miÒn thuéc D mét c¸ch compact ®­îc

giíi h¹n bëi mét sè h÷u h¹n c¸c ®­êng cong liªn tôc. Khi ®ã t¹i ®iÓm

z∈G

13

bÊt kú hµm

f

®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng

Z

1 f (z) = 2πi

∂G trong ®ã

f (ζ) dζ, ζ−z

(1.10)

∂G lµ biªn cã h­íng cña G.

§¹i l­îng ë vÕ ph¶i cña c«ng thøc nµy ®­îc gäi lµ tÝch ph©n Cauchy.

§Þnh lý 1.11. (§Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh) Gi¸ trÞ cña hµm f ∈ H(D) t¹i mçi ®iÓm h÷u h¹n

z∈D

b»ng trung b×nh céng cña c¸c gi¸ trÞ cña nã trªn ®­êng

trßn ®ñ bÐ bÊt kú víi t©m t¹i

z

1 f (z) = 2π

Z2π

f (z + ρeit )dt.

(1.11)

0

Chøng minh.

Ta lÊy h×nh trßn

thõa nhËn nã lµ miÒn

Uρ = {z 0 : |z 0 − z| < ρ} sao cho Uρ b D vµ

G cña ®Þnh lý 1.10. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy, ta

thu ®­îc

1 f (z) = 2πi

Z

∂Uρ

vµ v× trªn ra (1.11).

f (ζ) dζ, ζ −z

(1.12)

∂Uρ ta cã ζ − z = ρeit , t ∈ [0, 2π] , dζ = ρeit idt, nªn tõ (1.12) suy

§Þnh lý 1.12. trßn bÊt kú

NÕu hµm

f ∈ H(D)

vµ

z0

lµ ®iÓm bÊt k× cña

D

th× trong h×nh

U = {|z − z0 | < R} ⊂ D cã thÓ biÓu diÔn hµm nµy d­íi d¹ng tæng

cña mét chuçi luü thõa héi tô

f (z) =

∞ X n=0

Chøng minh.

Gi¶ sö z

(1.13)

∈ U lµ ®iÓm tuú ý; ta chän sè r sao cho |z − z0 | < r < R

vµ ta chØ γr lµ ®­êng trßn ta cã

cn (z − z0 )n .

{ζ : |ζ − z0 | = r}. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy 1 f (z) = 2πi

Z

γz

f (ζ) dζ. ζ−z

14

Khai triÓn “nh©n” cña c«ng thøc nµy thµnh cÊp sè nh©n theo c¸c luü thõa cña

(z − z0 ) ta ®­îc ∞

X (z − z0 )n 1 1 = . n+1 z − z0 = ζ−z (ζ − z ) 0 (ζ − z0 )(1 − ) n=0 ζ − z0 Bëi v× víi mäi

(1.14)

ζ ∈ γr |z − z0 | |z − z0 | = = q < 1, |ζ − z0 | r

nªn cÊp sè (1.14) héi tô theo

ζ trªn γr . TÝnh héi tô ®Òu kh«ng bÞ ph¸ vì khi 1 nh©n víi hµm f (ζ), liªn tôc trªn γr vµ do ®ã giíi néi. Do ®ã, viÖc lÊy tÝch 2πi ph©n tõng tõ cña chóng lµ cho phÐp, vµ sau khi hoµn thµnh nã, ta thu ®­îc

1 f (z) = 2πi trong ®ã

Z X ∞

γr n=0

1 cn = 2πi

∞

X f (ζ)dζ n cn (z − z0 )n , (x − z ) = 0 n+1 (ζ − z0 ) n=0

Z

γr

§Þnh lý 1.13.

f (ζ)dζ (n = 0, 1, 2, ...). (ζ − z0 )n+1

(§Þnh lý Liouville) NÕu hµm

f

(1.15)

chØnh h×nh trong toµn mÆt ph¼ng

C vµ giíi néi, th× nã lµ h»ng sè. Chøng minh.

¯ Theo ®Þnh lý 1.12, trong h×nh trßn ®ãng bÊt kú U

∞ hµm f ®­îc biÓu diÔn bëi chuçi Taylor f (z) = phô thuéc vµo

∞ P

= {|z| ≤ R} , R <

cn z n hÖ sè cña nã kh«ng

n=0

R. V× f giíi néi trong C (gi¶ sö |f (z)| ≤ M ), nªn theo c¸c bÊt

®¼ng thøc Cauchy

M (n = 0, 1, 2, ...). Rn Bëi v× vÕ ph¶i dÇn ®Õn kh«ng khi R → ∞, nªn cn = 0 víi n = 0, 1, 2, ... |cn | ≤

do ®ã ta nhËn ®­îc

§Þnh lý 1.14.

f (z) ≡ c0 .

§¹o hµm cña

f ∈ H(D) lµ hµm chØnh h×nh trong miÒn D

.

15

Chøng minh.

thuéc

§èi víi ®iÓm z0

∈ D bÊt kú, ta dùng ®­êng trßn U = {|z − z0 | < R}

D. Theo ®Þnh lý 1.12, hµm f ®­îc biÓu diÔn nh­ lµ tæng cña chuçi luü

thõa trong h×nh trßn nµy. Theo ®Þnh lý: ∞ P

n=0

cn (z − a)n

Tæng cña chuçi luü thõa

chØnh h×nh trong h×nh trßn héi tô cña nã,

®¹o hµm

f (z) =

f 0 = ϕ ®­îc

biÓu diÔn bëi chuçi héi tô trong chÝnh h×nh trßn Êy. Do ®ã, l¹i øng dông ®Þnh lý nµy cho hµm

§Þnh lý 1.15.

ϕ vµ nghÜa lµ ϕ kh¶ vi trong D theo nghÜa gi¶i tÝch phøc.

NÕu trong h×nh trßn

lµ tæng chuçi luü thõa

f (z) =

{|z − z0 | < R} ∞ X n=1

hµm

f

®­îc biÓu diÔn nh­

cn (z − z0 )n

th× hÖ sè cña chuçi ®­îc x¸c ®Þnh duy nhÊt theo c«ng thøc

f (n) (z0) n = 0, 1, 2, ... cn = n! Chøng minh.

ThÕ

(1.16)

z = z0 vµo (1.16), ta t×m ®­îc f (z0) = c0 . Vi ph©n tõng tõ

chuçi (1.16) ta ®­îc

f 0 (z) = c1 + c2 (z − z0 ) + ..., vµ sau ®ã thÕ

z = z0 ta t×m ®­îc f 0 (z0) = c1 . LÊy vi ph©n (1.16) n lÇn f (n) (z) = n!cn + c01 (z − z0 ) + c02 (z − z0 )2 + ...,

(ta kh«ng viÕt ra c¸c biÓu thøc cña hÖ sè) vµ l¹i thÕ

z = z0 ta thu ®­îc

n!cn = f (n) (z0).

1.2.

Hµm elliptic

Trong phÇn nµy chóng ta sÏ xem xÐt c¸c hµm elliptic vµ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n elliptic. C¸c hµm elliptic vµ tÝch ph©n cña nã ®­îc xuÊt hiÖn khi nghiªn cøu c¸c phÐp biÕn ®æi b¶o gi¸c trªn nöa mÆt ph¼ng. ViÖc nghiªn cøu

16

chóng xuÊt ph¸t tõ c¸c vÊn ®Ò thùc tÕ nh­: bµi to¸n thñy ®éng häc, lý thuyÕt ®µn håi, kü thuËt ®iÖn tö,... Nh÷ng tÝch ph©n ®· ®­îc Lagrange nghiªn cøu vµo cuèi thÕ kû 18. VÒ c¬ b¶n lý thuyÕt hµm elliptic ®­îc hoµn chØnh vµo cuèi thÕ kû 19 tõ c¸c c«ng tr×nh cña c¸c nhµ To¸n häc lín (Abel, Jacobian, Liouville, Weierstrass). Chóng ta b¾t ®Çu b»ng viÖc nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña hµm ph©n h×nh tuÇn hoµn.

1.2.1 Hµm cã chu k× §Þnh nghÜa 1.5.

Hµm

f (z) ®­îc gäi lµ hµm cã chu k× nÕu nã tho¶ m·n ph­¬ng

tr×nh hµm ®èi víi toµn bé gi¸ trÞ

z

thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña nã

(1.17)

f (z + T ) = f (z) . ë ®ã

T lµ h»ng sè kh¸c kh«ng ®­îc gäi lµ chu k× cña hµm f (z).

§Þnh lý 1.16.

NÕu

T1, T2, ..., Tk (k ≥ 1)

lµ chu k× cña hµm

f (z)

th× tæ hîp

tuyÕn tÝnh bÊt k× cña chóng víi c¸c hÖ sè nguyªn

T = n1T1 + n2T2 + ... + nk Tk , còng lµ chu k× cña hµm nµy. Chøng minh.

§Ó chøng minh ®Þnh lý trªn ta chØ cÇn chøng tá hai tr­êng hîp

Tr­êng hîp 1:f

(z + nν T ) = f (z) víi nν ∈ Z+. ThËt vËy, ta cã

f (z + nν T ) = f [z + (nν − 1) T + T ] = f [z + (nν − 1) T ] = ... = f (z) . Tr­êng hîp 2:

f (z + nν T ) = f (z) víi nν ∈ Z−. Khi ®ã −nν ∈ Z+ vµ ¸p

dông kÕt qu¶ cña tr­êng hîp trªn ta cã

f (z + nν T ) = f [(z + nν T ) + (−nν ) T ] = f (z) .

TiÕp theo ta coi hµm

f (z) lµ hµm ph©n h×nh ®¬n trÞ. §iÒu kiÖn ®¬n trÞ ®Ó

kh¼ng ®Þnh r»ng lý thuyÕt ®­îc tr×nh bµy kh«ng cã gi¸ trÞ ®èi víi hµm gi¶i tÝch

17

®a trÞ. Do ®ã c¸c chu k× cña

f (z) ®­îc biÓu diÔn b»ng c¸c ®iÓm cña mÆt z . Ta

chuyÓn sang nghiªn cøu cÊu tróc cña tËp hîp c¸c chu k×. Tr­íc hÕt chóng ta chøng minh bæ ®Ò sau

Bæ ®Ò 1.1.

TËp hîp c¸c chu k× cña hµm ph©n h×nh

f (z) 6=

const kh«ng thÓ

chøa mét d·y nµo ®ã héi tô tíi ®iÓm h÷u h¹n cña mÆt ph¼ng.

ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i d·y c¸c chu k× Tv héi tô tíi ®iÓm h÷u h¹n T vµ gi¶ sö

z0 lµ ®iÓm ®óng tuú ý cña f (z). D·y T¯ν = Tν+1 − Tν , héi tô tíi kh«ng th× theo

®Þnh lý 1.16 lÇn n÷a lµ d·y c¸c chu k× cña

f (z). Nh­ vËy, víi mäi v = 1, 2, ...,

ta cã

f (z0 + T 0 ) = f (z0). Nh­ng tÝnh liªn tôc t¹i c¸c ®iÓm zv ®iÓm nµy hµm

= z0 + Tv trïng víi t¹i ®iÓm z0 vµ t¹i c¸c

f (z) cã mét vµ chØ mét gi¸ trÞ, do ®ã f (z) ≡ const, ®iÒu ®ã tr¸i

víi nh÷ng ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lÝ 1.16.

TÝnh chÊt ®Çy ®ñ cña tËp hîp c¸c chu kú ®­îc cho bëi ®Þnh lý

§Þnh lý 1.17.

(§Þnh lý Abel) Hµm ph©n h×nh

f (z) cã thÓ cã hai chu kú ®éc lËp

tuyÕn tÝnh lín nhÊt. Nãi c¸ch kh¸c, cã hai chu kú hµm

τ, τ 0

sao cho chu kú

T

cña

f (z) cã d¹ng T = nτ + n0 τ 0 ,

trong ®ã

n, n0

Chøng minh.

(1.18)

lµ c¸c sè nguyªn.

ViÖc chøng minh ®Þnh lý ®­îc thùc hiÖn theo hai b­íc

1) Gi¶ sö trªn ®­êng th¼ng L nµo ®ã ®i qua ®iÓm chu kú T 0 cña hµm chóng ta chØ ra r»ng khi tËp hîp tÊt c¶ c¸c chu kú

f (z), n»m trªn L cã d¹ng

T = nτ, trong ®ã

f (z),

(1.19)

m = 0, ±1, ±2, ... vµ τ lµ sè tËp hîp nµo ®ã.

Theo bæ ®Ò trªn th× ®o¹n c¾t kú cuèi cña

OT 0 cña ®­êng th¼ng L chØ cã thÓ n»m ë chu

f (z). V× vËy trªn OT 0 tån t¹i chu kú nhá nhÊt f (z) theo M«®un.

Ký hiÖu chu kú nµy qua

τ , khi ®ã bÊt kú chu kú f (z) nµo n»m trªn L còng cã

18

H×nh 1.1 L tån t¹i chu kú T n»m gi÷a hai ®iÓm nτ vµ (n + 1)τ nµo ®ã. ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i chu k× T˜ trªn h×nh 1.1, T˜ = (n + ϑ)τ trong ®ã 0 < ϑ < 1 th× theo ®Þnh lý 1.16, chu kú f (z) lµ d¹ng (1.19). Khi ®­a ra ®iÒu ng­îc l¹i, gi¶ sö trªn

τ˜ = ϑτ . Nh­ng chu kú nµy cÇn n»m ë ®o¹n c¾t Oτ trong khi theo c¸ch dùng cña chóng ta kh«ng cã c¸c chu kú

f (z). §iÒu ®ã dÉn tíi m©u thuÉn.

2) Gi¶ sö r»ng cïng víi c¸c chu kú ë (1.19) kh«ng n»m trªn ®­êng th¼ng t¹i ®iÓm

f (z) cßn cã c¸c chu kú nµo ®ã

L. Theo bæ ®Ò tån t¹i ®­êng trßn lín nhÊt cã t©m

z = 0 mµ nã kh«ng chøa c¸c chu kú ®ã (chu kú n»m trªn L, chóng ta

kh«ng chó ý tíi). MÆt kh¸c theo bæ ®Ò trªn th× trªn chu vi cña ®­êng trßn nµy tån t¹i chu kú gÇn víi ®­êng th¼ng hå tõ h­íng

L khi chuyÓn ®éng ng­îc chiÒu kim ®ång

+L, chu kú nµy ta kÝ hiÖu qua τ 0 (h×nh 1.1). Ta chØ ra r»ng chu kú

f (z) cã d¹ng (1.18). §èi víi vÊn ®Ò nµy ®­a ra ®iÒu ng­îc l¹i. ThËt vËy, gi¶ sö cã chu kú

T˜ = (n + ϑ)τ + (n0 + ϑ0 )τ 0 , trong ®ã

n, n0 lµ nh÷ng sè nguyªn nµo ®ã vµ 0 6 ϑ 6 1, 0 6 ϑ0 6 1, ngoµi ra

ϑ, ϑ0 kh«ng ®ång thêi lµ hai sè nguyªn (b»ng 0 vµ 1). Theo ®Þnh lý (1.16), khi ®ã c¶

τ˜ = ϑτ + ϑ0 τ 0 sÏ lµ chu kú f (z). Nh­ng chu kú nµy n»m trong h×nh b×nh

hµnh cã c¸c ®Ønh

0, τ, τ 0 , τ + τ 0 vµ kh«ng trïng hîp víi mét trong c¸c ®Ønh

cña nã. Theo c¸ch dùng cña chóng ta nã kh«ng thÓ n»m ë phÇn h×nh b×nh hµnh

19

®­îc g¹ch chÐo trªn h×nh 1.1, cã nghÜa lµ bªn trong cña tam gi¸c nã n»m ë phÇn kh¸c, nh­ng khi ®ã ®iÓm n»m ë tam gi¸c

Oτ τ 0 . V× vËy

τ˜0 = τ + τ 0 + τ˜ còng lµ chu kú f (z)

Oτ τ 0 vµ kh«ng trïng hîp víi mét trong nh÷ng ®Ønh cña nã do

®ã m©u thuÉn víi c¸ch dùng, hoÆc trong tam gi¸c kh«ng tån t¹i chu kú

f (z).

§Þnh lý ®· ®­îc chøng minh. Nh÷ng sè

τ vµ τ 0 tham gia chøng minh ®Þnh lý (mµ c¶ −τ vµ −τ 0 ) ®­îc gäi

lµ chu kú chÝnh cña hµm

f (z). Tõ ®Þnh lý nµy rót ra r»ng tÊt c¶ c¸c hµm ph©n

h×nh ®­îc chia lµm ba lo¹i 1) Nh÷ng hµm kh«ng tuÇn hoµn. §èi víi hµm nµy cã hai chu kú chÝnh b»ng 0 (τ

= τ 0 = 0).

2) Nh÷ng hµm tuÇn hoµn ®¬n. §èi víi hµm nµy mét trong nh÷ng chu kú c¬ b¶n (vÝ dô

τ 0 = 0), b»ng 0, cßn chu kú kh¸c kh¸c 0. Theo ®Þnh lý 1.17 tÊt c¶

c¸c chu kú cña hµm tuÇn hoµn ®¬n lµ béi sè nguyªn cña chu kú chÝnh τ . Ch¼ng h¹nh nh÷ng hµm s¬ cÊp: e2 (chu kú chÝnh

τ = ±2πi), sinz, cosz (chu kú chÝnh

τ = ±2π ), tgz, ctgz (chu kú chÝnh τ = ±2π .

3) Nh÷ng hµm tuÇn hoµn kÐp. §èi víi hµm nµy hai chu kú chÝnh

kh¸c 0. Theo ®Þnh lý 1.17, tØ sè sè cã d¹ng

τ vµ τ 0

τ kh«ng thÓ cã thùc vµ tÊt c¶ chu kú cña hµm τ0

T = nτ + n0 τ 0 (n, n0 = 0, ±1, ±2, ...). Nh÷ng hµm ph©n h×nh tuÇn hoµn kÐp ®­îc gäi lµ hµm c¬ së. TÝnh chÊt c¬ b¶n cña hµm elliptic sÏ ®­îc lµm s¸ng tá ë sau cña môc nµy.

ë ®©y chóng ta ®­a ra c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn nh÷ng hµm tuÇn hoµn bÊt kú (tuÇn hoµn ®¬n hay tuÇn hoµn kÐp). Chóng ta ký hiÖu

τ lµ chu kú chÝnh cña hµm f (z) vµ qua tÊt c¶ c¸c ®iÓm

n»m trªn ®­êng th¼ng

L, ta xÐt nh÷ng ®­êng th¼ng song song víi chiÒu nµo ®ã

mµ kh¸c víi chiÒu L. Khi ®ã c¶ mÆt ph¼ng ®­îc ph©n chia thµnh c¸c miÒn b»ng nhau, mµ ®­îc gäi lµ nh÷ng miÒn chøa c¸c chu kú. Râ rµng tÊt c¶ gi¸ trÞ

f (z)

thu nhËn ë miÒn c¸c chu kú nµo ®ã, t­¬ng tù ®èi víi c¸c miÒn bªn c¹nh. Nh­ vËy hµm tuÇn hoµn nghiªn cøu ®Çy ®ñ ë miÒn nµo ®ã trong toµn mÆt ph¼ng.

20

Ký hiÖu qua ®iÓm

G lµ miÒn ®¬n liªn kÐp nhËn ®­îc tõ mÆt ph¼ng ζ t¸ch ra hai

ζ = 0 vµ ζ = ∞, vµ ë miÒn nµy chóng ta xÐt hµm ®a trÞ z=

τ Lnζ. 2πi

Nh÷ng gi¸ trÞ hµm (1.20) nhËn ®­îc t¹i ®iÓm

(1.20)

ζ nµo ®ã kh¸c nhau bëi sè céng,

béi sè nguyªn τ , v× vËy hµm hîp

lµ hµm ®¬n trÞ ë trong miÒn

f(

τ Lnζ) = ϕ(ζ), 2πi

G.

ë mçi ®iÓm ζ ®èi víi nã c¸c ®iÓm t­¬ng øng

(1.21)

z lµ nh÷ng ®iÓm ®óng f , hµm sè nµy râ rµng ph©n tÝch, cßn ë c¸c ®iÓm t­¬ng øng víi c¸c cùc

f nã còng cã c¸c cùc (®Ó chøng minh xem xÐt ®Çy ®ñ nh¸nh

mét gi¸ trÞ hµm (1.20) ë ngoµi ®iÓm vµ sö dông ®Þnh lý vÒ ph©n tÝch hµm phøc). Khi ®­a vµo (1.21) hµm ng­îc víi (1.20)

2πi z ζ = e τ = eiωz , ë ®ã

(1.22)

ω = 2π/τ lµ "tÇn sè" cña hµm f , chóng ta nhËn ®­îc biÓu diÔn f (z) ë

d¹ng

f (z) = ϕ(ei ω z ).

(1.23)

Tõ biÓu diÔn nµy chóng ta nhËn ®­îc c¸c ®Þnh lý vÒ hµm tuÇn hoµn

§Þnh lý 1.18.

ë miÒn bÊt kú ®­îc giíi h¹n b»ng nh÷ng ®­êng th¼ng L0L00 song

song víi ®­êng th¼ng c¸c chu kú

L

(H×nh 1.2) vµ kh«ng chøa c¸c sè ®Æc biÖt

f (z), hµm sè nµy ®­îc biÓu diÔn b»ng chuçi Fourier f (z) =

∞ X

ck ei k ω z .

(1.24)

k=−∞

Thùc tÕ ®­êng th¼ng

L0 vµ L00 cña mÆt ph¼ng z trªn nã t­¬ng øng z = z 0 + tτ z = z 00 + tτ,

(z 0 , z 00 lµ ®iÓm cè ®Þnh ®Õn

L0 vµ L00, t lµ tham sè thùc ®­îc thay ®æi tõ −∞

+∞), trong mÆt ph¼ng ζ v× (1.22) t­¬ng øng nh÷ng vßng trßn ®ång t©m

21

H×nh 1.2 0

00

ζ = ei z ω e2π i t, ζ = ei z ω e2π i t víi nh÷ng t©m ë ®iÓm ζ = 0 vµ c¸c ®­êng kÝnh 0 00 r0 = ei z ω , r00 = ei z ω . ë vßng trßn gi÷a c¸c ®­êng trßn hµm f (z) ®­îc

chØnh h×nh vµ v× thÕ ®­îc biÓu diÔn b»ng chuçi Laurientz

ϕ(ζ) =

∞ X

ck ζ k ,

k=−∞

khi ®­a vµo

ζ = eiωz vµ sö dông c«ng thøc (1.23), chóng ta nhËn ®­îc khai

triÓn cÇn t×m (1.24), nãi riªng tõ ®©y nhËn ®­îc.

§Þnh lý 1.19.

NÕu hµm tuÇn hoµn nguyªn

f (z)

Fourier (1.24) trïng ®èi víi tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ

§Þnh lý 1.20.

NÕu hµm tuÇn hoµn nguyªn

®­îc biÓu diÔn b»ng chuçi

z.

f (z) ®­îc giíi

h¹n ë miÒn c¸c chu

kú th× nã kh«ng ®æi.

Tõ ®Þnh lý Liouville rót ra trùc tiÕp, hoÆc tõ giíi h¹n hµm ë miÒn c¸c chu kú rót ra giíi h¹n cña nã trªn c¶ mÆt ph¼ng.

§Þnh lý 1.21.

NÕu hµm tuÇn hoµn nguyªn

f (z)

khi

z

tiÕn tíi ®iÓm cuèi cña

miÒn c¸c chu kú, h­íng tíi giíi h¹n cã h¹n vµ v« h¹n (theo §Þnh lý 1.20 c¸c giíi h¹n nµy kh«ng thÓ lµ hai giíi h¹n cã h¹n, nÕu

f (z) 6= const)

th× nã lµ

22

chuçi l­îng gi¸c

f (z) =

∞ X

ck eikωz .

(1.25)

k=−∞

Thùc tÕ trong c¸c ®iÒu kiÖn cña chóng ta c¸c ®iÓm lín nhÊt cña hµm

ζ = 0 vµ ζ = ∞ lµ cùc

ϕ(ζ) v× khai triÓn (1.24) cã thÓ chøa sè cã h¹n cña c¸c sè

h¹ng kh¸c 0.

§Þnh lý 1.22.

NÕu hµm tuÇn hoµn ph©n h×nh

hoÆc v« h¹n khi

z

f (z) héi tô tíi giíi h¹n h÷u h¹n

tiÕn tíi cùc ®iÓm cña miÒn c¸c chu kú, th× nã lµ tØ sè cña hai

®a thøc l­îng gi¸c.

1.2.2 TÝnh chÊt chung cña c¸c hµm elliptic Cho

f (z) lµ hµm elliptic tuú ý, cã nghÜa lµ hµm tuÇn hoµn chu k× kÐp víi

c¸c chu k× c¬ b¶n

τ vµ τ 0 . TËp hîp tÊt c¶ c¸c chu k× cña f (z) cã d¹ng T = nτ + n0 τ 0 ; (n, n0 = 0, ±1, ±2, ...) .

(1.26)

Chóng ta x¸c lËp hai ®iÓm bÊt k× z1 vµ z2 kh¸c víi c¸c k× z1 − z2

= T gäi lµ k×

toµn ®¼ng vµ ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng

z1 ≡ z2 (modτ, τ 0) , (®­îc ®äc lµ “z1 t­¬ng øng víi z2 theo modun t¹o nªn tõ tÊt c¶ c¸c ®iÓm trïng víi c¸c ®iÓm

(1.27)

τ vµ τ 0 ”). TËp hîp M1 vµ M2

M1 (®· cho thuéc T ), chóng ta

còng sÏ gäi lµ (c¸c ®iÓm) toµn ®¼ng.

Quan hÖ

τ0 kh«ng t­¬ng ®­¬ng, do vËy c¸c ®iÓm O, τ, τ + τ 0 , τ 0 t¹o nªn τ

c¸c h×nh b×nh hµnh kh«ng suy biÕn (h×nh 1.3). §ã lµ h×nh b×nh hµnh ®ång thêi

còng lµ c¸c h×nh b×nh hµnh toµn ®¼ng víi nã, chóng ta sÏ gäi lµ c¸c h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn. §Ó cô thÓ, chóng ta gi¶ thiÕt r»ng c¸c ®Ønh

O, τ, τ + τ 0 , τ 0

n»m theo thø tù chiÒu d­¬ng cña biªn h×nh b×nh hµnh, ®èi víi ®iÒu ®ã râ rµng ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh r»ng Im

τ0 > 0. τ

23

H×nh 1.3 Ngoµi ra chóng ta x¸c ®Þnh víi h×nh b×nh hµnh nµy c¸c c¹nh Oτ, Oτ 0 kh«ng cã c¸c ®Ønh

τ vµ τ 0 , ®ång thêi kh«ng x¸c ®Þnh phÇn cßn l¹i cña biªn, còng nh­

thÕ ®èi víi c¸c h×nh b×nh hµnh t­¬ng tù. Khi ®ã c¸c h×nh b×nh hµnh sÏ kh«ng chøa bÊt k× cÆp nµo cña c¸c ®iÓm toµn ®¼ng ®èi víi mçi ®iÓm mÆt ph¼ng

z,

trong h×nh b×nh hµnh bÊt k× ®Òu sÏ t×m ®­îc mét ®iÓm toµn ®¼ng cña nã. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña hµm elliptic ®­îc thÓ hiÖn qua c¸c ®Þnh lý sau

§Þnh lý 1.23.

Tæng sè, hiÖu sè, tÝch sè vµ th­¬ng sè cña hai hµm elliptic víi

cïng mét chu k×

τ

vµ

τ 0 , nãi chung lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh bÊt k× R (f1, f2, ..., fn)

cña c¸c hµm nh­ vËy lµ hµm elliptic víi c¸c chu k×

τ

vµ

τ 0 . Còng ®óng víi c¸c

hµm elliptic tïy ý.

§Þnh lý 1.24.

(§Þnh lý Liouville) NÕu hµm cã chu k× kÐp lµ hµm nguyªn th× nã

h»ng sè.

§­¬ng nhiªn, hµm cña chóng ta cÇn ®­îc giíi h¹n trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn, nh­ng khi nã ®­îc giíi h¹n c¶ trong toµn bé mÆt ph¼ng vµ nh­ vËy nã lµ bÊt biÕn. Do vËy, trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn cÇn n»m ë dï chØ mét ®iÓm cùc

f (z). T¹i cùc f (z) sè chung cña c¸c cùc thuéc vÒ h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn cÇn ph¶i lµ sè cuèi, sè nµy (mçi cùc ®­îc coi lµ béi cña nã) ®­îc gäi lµ trËt tù

24

cña hµm elliptic.

§Þnh lý 1.25.

(§Þnh lý Liouville) Tæng thÆng d­ cña hµm elliptic

f (z)

t¹i tÊt

c¶ c¸c cùc ®iÓm cña nã trong h×nh b×nh hµnh chu k× b»ng kh«ng.

Gi¶i thÝch mét c¸ch ®Çy ®ñ víi viÖc chøng minh lµ tÝch ph©n thuéc bÊt k× chu tuyÕn

C nµo cã chøa tÊt c¶ c¸c cùc thuéc vÒ h×nh b×nh hµnh cña c¸c chu

k× vµ chØ nh÷ng cùc Êy b»ng kh«ng. NÕu trªn chu tuyÕn cña h×nh b×nh hµnh kh«ng cã c¸c cùc th× cã thÓ nhËn chu tuyÕn nµy. Trong tr­êng hîp ng­îc l¹i

H×nh 1.4 chóng ta sÏ lùa chän chu tuyÕn cã ®­îc tõ chu tuyÕn cña h×nh b×nh hµnh tr­ît song song ®Ønh

O t¹i ®iÓm z0 , ®iÒu ®ã ®­îc chØ ra ë h×nh 1.4 (trªn h×nh nµy

c¸c cùc cã ®¸nh dÊu sao) chóng ta nhí r»ng ®èi víi h×nh b×nh hµnh kh«ng tÝnh c¸c c¹nh m« t¶ b»ng nÐt ®øt. Ta cã

Z

f (z) dz =

C

Z I

+

Z

II

+

Z

III

+

Z

,

(1.28)

IV

nh­ng trong tÝch ph©n thø nhÊt vµ thø ba c¸c yÕu tè cña tÝch ph©n f (z)dz , t­¬ng øng víi c¸c ®iÓm toµn ®¼ng kh¸c víi dÊu hoÆc lµ gi¸ trÞ cña hµm c¸c ®iÓm toµn ®¼ng nh­ nhau, cßn

f (z) trong

dz kh¸c dÊu, do vËy tæng cña tÝch ph©n thø

nhÊt vµ thø ba b»ng kh«ng. V× thÕ tÝch ph©n chØ cßn lµ tæng cña tÝch ph©n thø nhÊt vµ tÝch ph©n thø t­.

25

Theo nh÷ng tÝnh chÊt nghiªn cøu ®­îc, chóng ta thÊy r»ng hµm elliptic cña d·y thø nhÊt kh«ng tån t¹i. Trªn thùc tÕ theo c¸ch x¸c ®Þnh hµm nh­ vËy cÇn ph¶i cã mét cùc cña d·y thø nhÊt trong h×nh b×nh hµnh cña c¸c chu k×, vËy tÝch ph©n (1.28) cÇn ph¶i kh¸c kh«ng. Tõ ®Þnh lý 1.24 suy ra kh«ng tån t¹i c¸c hµm elliptic bËc kh«ng.

§Þnh lý 1.26.

(§Þnh lý Liouville) Hµm elliptic trong h×nh b×nh hµnh chu kú cã

gi¸ trÞ phøc a mét sè lÇn b»ng bËc cña hµm elliptic.

§èi víi a

Chøng minh.

trËt tù cña hµm elliptic. §èi víi

= ∞ ®Þnh lý ®­îc kh¼ng ®Þnh trùc tiÕp tõ viÖc x¸c ®Þnh

a 6= ∞, theo nguyªn lý argumen th× hiÖu c¸c tËp hîp ®iÓm a vµ

sè c¸c ®iÓm cùc hµm

f (z) trong h×nh b×nh hµnh c¸c chu kú b»ng Z 0 f (z) dz 1 , 2πi f (z) − a

(1.29)

C

ë ®ã C x¸c ®Þnh ë ®Þnh lý (1.25) (chØ cÇn x¸c ®Þnh tr­íc lµ nã kh«ng ®i qua c¸c ®iÓm

a cña hµm f (z)). Hµm

chu kú

f 0 (z) theo ®Þnh lý 1.23 lµ hµm elliptic víi c¸c f (z) − a

τ vµ τ 0 cña f (z). Do vËy theo ®Þnh lý 1.25, tÝch ph©n 1.24 b»ng 0.

§Þnh lý 1.27.

Tæng cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm

z cña h×nh b×nh hµnh chu k×, mµ t¹i ®ã

f (z) nhËn gi¸ trÞ cè ®Þnh bÊt k× a, toµn ®¼ng víi tæng cña tÊt c¶ c¸c cùc ®iÓm cña h×nh b×nh hµnh chu k×. Chøng minh.

§èi víi

§èi víi

a = ∞ ®Þnh lý ®­îc kh¼ng ®Þnh râ rµng.

a 6= ∞ th× sù kh¸c nhau gi÷a tæng cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm a vµ tæng cña

c¸c cùc cña h×nh b×nh hµnh c¸c chu k× b»ng

1 2πi

Z C

trong ®ã

f 0 (z) dz z , f (z) − a

(1.30)

C lµ chu tuyÕn ®­îc x¸c ®Þnh ë ®Þnh lý 1.26. Ta cã thÓ biÓu diÔn Z Z Z Z Z f 0 (z) dz 1 + , + + z = 2πi f (z) − a C

I

II

III

IV

26

cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng tæng cña tÝch ph©n thø nhÊt vµ thø ba còng nh­ tæng cña tÝch ph©n thø hai vµ tÝch ph©n thø t­ b»ng mét sè chu k× cña

f (z). Nh­ng

z vµ ζ sÏ lµ nh÷ng ®iÓm thay ®æi cña ®o¹n I vµ III; khi f 0 (z) 0 0 ®ã cã thÓ cho ζ = z + τ vµ v× τ lµ chu k× cña hµm vµ chiÒu cña tÝch f (z) − a ®­¬ng nhiªn, h·y cho

ph©n däc theo c¸c ®o¹n I vµ III ®èi lËp nhau th×

1 2πi

Z I

f 0(z) 1 z dz + f (z) − a 2πi

Z

III

1 = 2πi

Z

I 0

f 0(ζ) ζ dζ f (ζ) − a f 0(z) (z − ζ) dz f (z) − a

f (z0 + τ ) − a τ Ln 2πi f (z0) − a = τ 0 n0 , =−

trong ®ã

n0 lµ sè nguyªn. Do vËy tÝch ph©n (1.30) b»ng nτ + n0 τ 0 = T . §Þnh

lý ®­îc chøng minh.

§Þnh lý 1.28.

Gi÷a hai hµm elliptic bÊt k×

f (z) vµ g(z) cã cïng chu k× τ

vµ

τ0

th× hÖ thøc ®¹i sè d¹ng

P [f (z) , g (z)] = 0 ë ®ã

P (Z, W ) lµ mét ®a thøc ®èi víi z

Chøng minh.

vµ

víi c¸c hÖ sè lµ h»ng sè.

Ta biÓu diÔn qua a1 , a2 , ..., am tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña h×nh b×nh hµnh

c¸c chu k×, trong ®ã mét trong sè c¸c hµm cã c¸c cùc. Cho ®iÓm

w

(1.31)

f (z) vµ g(z) hoÆc c¶ hai ®ång thêi

pk lµ lín nhÊt tõ chu k× cña c¸c cùc cña nh÷ng hµm nµy t¹i

ak vµ p = p1 + p2 + ... + pm . Theo mét h­íng kh¸c cho Q(Z, W ) sÏ lµ

mét ®a thøc bËc

n nµo ®ã t­¬ng øng víi c¸c ®èi sè cña z vµ w. NÕu thay trong

®ã

Z = f (z) vµ W = g(w) th× theo ®Þnh lý 1.23 ta cã mét hµm elliptic bÊt

k×

F (z) víi c¸c chu k× t­¬ng øng τ vµ τ 0 vµ c¸c hµm ®· cho. Ta cã thÓ chøng

minh r»ng ®a thøc

Q cã thÓ ®­îc lùa chän ®Ó hµm nµy dÉn ®Õn C t­¬ng ®ång

bÊt biÕn; khi ®ã ®Þnh lý sÏ ®­îc chøng minh, hoÆc lµ trong tÝnh chÊt cña ®a thøc

P trong c«ng thøc (1.31) cã thÓ lùa chän ®a thøc Q − C .

27

Hµm

F (z) cã thÓ cã c¸c cùc chØ t¹i c¸c ®iÓm ak (vµ toµn ®¼ng cña chóng) vµ

®Ó nã lµ bÊt biÕn, theo ®Þnh lý 1.24 ®ñ b»ng kh«ng cña c¸c phÇn chÝnh cña nã t¹i tÊt c¶ c¸c ®iÓm ak . Nh­ng ®èi víi F (z) ®iÓm ak lµ cùc cña chu k× kh«ng cao h¬n npk , vËy ®iÒu kiÖn ®¼ng thøc b»ng kh«ng cña tÊt c¶ c¸c phÇn tö chÝnh F (z) t¹i tÊt c¶ c¸c ®iÓm ak ®­a ®Õn kh«ng nhiÒu h¬n víi n (p1

+ p2 + ... + pm ) = np

c¸c ph­¬ng tr×nh ®éc lËp, tuyÕn tÝnh ®ång nhÊt t­¬ng øng víi c¸c hÖ sè cña ®a

n (n + 3) hÖ sè (ta kh«ng tÝnh sè tù do), vËy khi 2

thøc

Q. §a thøc nµy cã tÊt c¶

chän

n + 3 > 2p ta sÏ cã sè hÖ sè lín h¬n sè ph­¬ng tr×nh. Khi ®ã c¸c ph­¬ng

tr×nh sÏ cã dï chØ mét hÖ nghiÖm kh¸c kh«ng vµ ®a thøc

Q víi c¸c hÖ sè cña

hÖ nµy sÏ lµ Èn sè. §Þnh lý ®­îc chøng minh.

§Þnh lý 1.29.

Hµm elliptic bÊt k×

f (z)

tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè

d¹ng

P [f (z) , f 0 (z)] = 0, trong ®ã

(1.32)

P (Z, W ) lµ mét ®a thøc ®èi víi c¸c biÕn cña nã.

Chøng minh.

C¸c hµm bËc hai cã vai trß ®Æc biÖt trong thuyÕt cña hµm elliptic,

hoÆc cã thÓ biÓu diÔn mét hµm elliptic bÊt k× nµo ®ã mét c¸ch hîp lý qua hµm elliptic bËc hai vµ ®¹o hµm cña nã. Ta sÏ kÝ hiÖu c¸c cùc cña hµm elliptic bËc hai lµ tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ x¸c lËp r»ng a1 + a2 ®æi sè

f (z) qua a1 vµ a2 . Kh«ng mÊt

= 0, hoÆc lµ ®¶o mÆt ph¼ng z (thay

z qua z + c) cã thÓ lu«n lu«n ®¹t ®­îc b¾t ®Çu to¹ ®é r¬i vµo gi÷a ®o¹n

a1 a2 . Trong tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hµnh c¸c chu k×, chóng ta sÏ lùa chän h×nh b×nh hµnh víi t©m ë ®iÓm

z = 0. C¸c ®iÓm a1 vµ a2 kh«ng thÓ n»m trªn biªn

cña h×nh b×nh hµnh nµy, hoÆc lµ khi ®ã chóng cÇn ph¶i n»m trªn c¸c mÆt ®èi diÖn, hoÆc lµ kh«ng thÓ (h×nh b×nh hµnh chØ chøa mét trong sè mçi cÆp mÆt ®èi diÖn). Theo ®Þnh lý 1.26 hµm

f (z) trong h×nh b×nh hµnh c¸c chu k× nhËn ®­îc

bÊt k× gi¸ trÞ gÊp ®«i chÝnh t¹i c¸c ®iÓm z1 vµ z2 , tæng cña chóng theo ®Þnh lý 1.27, b»ng tæng cña c¸c cùc, cã nghÜa lµ b»ng 0

z1 + z2 ≡ 0(modτ, τ 0).

28

Nh­ng do tæng cña hai ®iÓm n»m trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn kh«ng thÓ b»ng 0 th× z1

+ z2 = 0. Nãi mét c¸ch kh¸c, ®èi víi bÊt k× z hÖ thøc ®óng ®¾n

f (−z) = f (z), cã nghÜa lµ f (z) lµ hµm ch½n. Tõ ®ã suy ra ®¹o hµm cña f (z) lµ hµm kh«ng ch½n

f 0 (−z) = −f 0 (z) , vµ v× f 0 (z) lµ hµm x¸c ®Þnh t¹i mäi ®iÓm trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn, ngoµi c¸c ®iÓm a1 vµ a2 , t¹i ®ã nã cã cùc ®iÓm bËc hai, do vËy nã lµ hµm eliptic bËc bèn. Tõ tÝnh kh«ng ch½n vµ kh«ng liªn tôc

f 0(z) t¹i z = 0 suy ra nã b»ng 0 t¹i

®ã. TiÕp theo ta cã

    τ  τ 0 τ 0 = −f − = −f − + τ = −f . f 2 2 2 2 τ Tõ ®ã, râ rµng lµ z = , còng lµ kh«ng ®iÓm cña f 0 (z). Ph©n tÝch mét c¸ch 2 τ0 0 t­¬ng tù ta còng t×m ®­îc hai kh«ng ®iÓm cña f (z) lµ c¸c ®iÓm z = vµ 2 τ + τ0 . 2 0

τ 

0

Do vËy chóng ta biÕt tÊt c¶ bèn kh«ng ®iÓm trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn. Theo ®Þnh lý 1.29 gi÷a Gi¶ sö

f (z) vµ f 0(z) tån t¹i hÖ thøc ®¹i sè (1.32).

f (z) = Z, f 0 (z) = W , ta cã thÓ ®­a ra kh¼ng ®Þnh sau a) §Æt c©n b»ng mçi gi¸ trÞ

Z t­¬ng øng víi hai gi¸ trÞ cña W .

b) Nh÷ng gi¸ trÞ nµy kh¸c nhau chØ bëi dÊu. c) Bèn gi¸ trÞ d) C¸c hµm

Z t­¬ng øng víi mçi gi¸ trÞ cña W .

Z vµ W ®ång thêi h­íng tíi v« cïng.

Tõ a) vµ c) suy ra ®a thøc ë vÕ tr¸i (1.32) cã d¹ng

P (Z, W ) = A0 (Z) W 2 + A1 (Z) W + A2 (Z) , trong ®ã

Ak (z) lµ c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng cao h¬n 4, tõ b) cã thÓ kÕt luËn

r»ng

A1 (Z) ≡ 0, vµ cuèi cïng tõ d) r»ng A0 (Z) = const (trong tr­êng hîp A2 ng­îc l¹i tõ ph­¬ng tr×nh W 2 = − , rót ra (1.32), rót ra r»ng t¹i c¸c ®iÓm z , A0 chóng quay nghÞch ®¶o ë ®­êng trung tÝnh A0 (z), kh«ng ®æi W = ∞). Nh­ vËy ph­¬ng tr×nh (1.32) ®­a ®Õn d¹ng

W 2 = cA2 (Z), t¹i ®ã c lµ

29

h»ng sè nµo ®ã liªn tôc vµ c¸c kh«ng ®iÓm cña

A2 lµ ®a thøc bËc 4. V× c¸c kh«ng ®iÓm trïng víi

W , cuèi cïng nhËn ®­îc ph­¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng

0 [f (z)]2 = c[f   (z) −f (0)] [f (z)   τ i 0 τ τ + τ0 . f (z) − f f (z) − f −f 2 2 2

Theo c¸ch kh¸c kÕt qu¶ nhËn ®­îc cã thÓ ph¸t biÓu lµ: hµm

(1.33)

Z = f (z) lµ phÐp

quay cña tÝch ph©n

z=

Zw

w0

p

dw c (w − w1) (w − w2) (w − w3 ) (w − w4)

,

c vµ w0 lµ c¸c h»ng sè vµ  0   τ  τ τ + τ0 , w3 = f , w4 = f . w1 = f (0) , w2 = f 2 2 2

trong ®ã

(1.34)

(1.35)

Kho¶ng (1.34) cã tªn lµ kho¶ng elliptic. Víi tr­êng hîp th­êng gÆp cña kho¶ng Êy

z=

Zw 0

Ta kÝ hiÖu hµm ®¶o nµy lµ

dw p . (1 − w2 ) (1 − k 2w2 ) w = sn z

(1.36)

(1.37)

vµ gäi lµ sin elliptic. Nã lµ mét trong nh÷ng hµm elliptic – Jacobian.

1.3.

TÝch ph©n elliptic vµ hµm Jacobi

Tæng qu¸t tÝch ph©n elliptic lµ tÝch ph©n cã d¹ng

trong ®ã

Z

R[w,

p P (w)]dw,

(1.38)

R lµ hµm h÷u tØ cña c¸c ®èi sè cña nã vµ P (w) lµ ®a thøc bËc ba hoÆc

bËc bèn. Trong c¸c tr­êng hîp cßn l¹i tÝch ph©n nµy cã thÓ ®­îc biÓu diÔn qua c¸c hµm s¬ cÊp vÝ dô nh­ tÝch ph©n

Z

p 1 wdw 2 √ = ln(w + w4 + 1) + C. 4 w +1 2

30

Khi ®ã ng­êi ta gäi nã lµ gi¶ elliptic. Nãi chung tÝch ph©n (1.38) kh«ng biÓu diÔn ë d¹ng hµm s¬ cÊp. Cã thÓ chØ ra r»ng víi viÖc sö dông c¸c phÐp thÕ s¬ cÊp vµ phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n elliptic ®­îc biÕn ®æi thµnh mét trong ba d¹ng chuÈn t¾c sau

 R R 1−k w  dw   p ,  2 2 2 2 1−w (1 − w ) (1 − k w ) R dw  p ,    (1 + lw2) (1 − w2) (1 − k 2w2 ) r

ë ®ã

2

2

(1.39)

k vµ l lµ bÊt biÕn. Ng­êi ta gäi tÝch ph©n (1.39) lµ tÝch ph©n elliptic

d­íi d¹ng Lagrange. Sè

k ®­îc gäi lµ modun cña tÝch ph©n.

PhÐp thÕ (1.40)

w = sin ϕ, ®­a c¸c tÝch ph©n ®Õn d¹ng l­îng gi¸c

R

q

dϕ 1− R

k 2 sin2 ϕ


,

Rp

  1 − k 2 sin ϕdϕ    2

dϕ p .
1 − k 2 sin2 ϕ 1 + l sin2 ϕ

(1.41)

   

D¹ng (1.41) ®­îc gäi lµ biªn ®é cña tÝch ph©n elliptic. C¸c tÝch ph©n ë d¹ng (1.41) cã c¸c kÝ hiÖu sau

F (ϕ, k) =

Rϕ 0

Q

q

dϕ 1−

k 2 sin2 ϕ Rϕ

(k, l, ϕ) =


, E (ϕ, k) =

Rϕ p 0

   1 − k 2 sin2 ϕdϕ,   

dϕ p .
1 − k 2 sin2 ϕ 1 + l sin2 ϕ

0

§Æc biÖt th­êng gÆp c¸c tÝch ph©n víi biªn ®é

ϕ=

    

(1.42)

π ; chóng ®­îc gäi lµ ®Çy 2

vµ ®èi víi tÝch ph©n thø nhÊt, thø hai trong sè chóng ®­îc kÝ hiÖu ®Æc biÖt lµ

F

π 2



, k = K(k) E

Th­êng ®­a ra mét ®èi sè

π 2

α trong hÖ thøc

sin α = k,



, k = E(k).

(1.43)

(1.44)

31

nã ®­îc gäi lµ gãc modun. TÝch ph©n elliptic d¹ng thø nhÊt vµ thø hai ®­îc xem xÐt nh­ hµm biªn ®é

α vµ gãc m«®un α.

Trªn h×nh vÏ 1.5 sau ta ®­a ra h×nh næi trªn bÒ mÆt

k 2 = λ = λ1 + iλ2 cña

π khi λ = 0 vµ bÞ g·y trªn (1, ∞) cña trôc 2 λ1 . Tõ h×nh vÏ râ rµng lµ hµm quay v« cïng khi λ = 1 t¹i ®ã nã cã ®iÓm ph©n

nh¸nh hµm

K = K(λ) nã b»ng

nh¸nh. Trªn h×nh næi biÓu diÔn c¸c ®­êng cña m«®un bÊt biÕn (qua 0,2) vµ cña ®èi sè (qua 0,01 cña gãc trùc tiÕp), vÞ trÝ ban ®Çu cña täa ®é ®­îc x¸c ®Þnh mòi tªn th¼ng ®øng. Cßn mét sè chi tiÕt cña tÝnh chÊt tÝch ph©n elliptic lo¹i thø nhÊt ë d¹ng (1.39),

H×nh 1.5 cã nghÜa lµ ®­îc xem xÐt nh­ mét hµm tæ hîp biÕn thiªn

z=

Zw 0

dw p . (1 − w2 )(1 − k 2w2 )

w = sin ϕ (1.45)

Sù quay cña tÝch ph©n nµy nghÜa lµ hµm Jacobian-sin elliptic sau

w = snz = sn(z, k),

(1.46)

32

lµ ph©n h×nh song tuÇn hoµn víi c¸c chu k× c¬ b¶n

Z1

1 Zk

dt dt = 4K, 2i p = 2iK 0. (1.47) (1 − t2 )(1 − t2k 2 ) (1 − t2 )(1 − t2 k 2) 1 0 π  π  0 T¹i ®ã K = F , k vµ K = F , k 0 lµ tÝch ph©n elliptic ®Çy ®ñ t­¬ng 2 2 øng víi modun k vµ ®­îc gäi lµ modun bæ sung phô p k 0 = 1 − k 2 = cos α, (1.48) 4

p

(®Ó tin t­ëng ë sù thay thÕ ®Çy ®ñ ë tÝch ph©n thø nhÊt

chuyÓn vµo

F

π 2



t = sin α vµ khi nã di

, k ; vµ còng nh­ tÝch ph©n thø hai sau khi x¸c lËp.

R1 dτ 1 chuyÓn thµnh p . 1 − k 02 τ 2 (1 − τ 2)(1 − k 02 τ 2) 0 Chóng ta ®· t×m ®­îc gi¸ trÞ sau snz trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn Khi ®ã

t=√

H×nh 1.6

0

K0

0

K 2K

0

1

1 ∞ K

0

∞

3K −1 1 − K

(1.49)

vµ kh¼ng ®Þnh r»ng nã lµ hµm lÎ

sn(−z) = −snz.

(1.50)

33

Trªn h×nh 1.6, ta ®­a ra ®å thÞ cña hµm

snz víi k = 0, 8.

Tõ ®ã râ rµng lµ c¸c cùc cña hµm nµy n»m ë c¸c ®iÓm z lµ c¸c tia t¹i c¸c ®iÓm

z = 2nK + 2n0 K 0 ë ®ã n vµ n0 lµ c¸c sè ch½n bÊt k×.

Tõ (1.46) rót ra lµ hµm ®¶o ®­îc coi lµ phô thuéc vµo

z = F (w, k) lµ thµnh phÇn elliptic d¹ng thø nhÊt

w lµ gi¸ trÞ v« tËn. BÊt k× gi¸ trÞ nµo cña nã ®Òu nhËn

®­îc tõ mét chu k× bæ sung nµo ®ã

Zw

0L

dw

p = (1 − w 2 )(1 − k 2 w 2 )

trong ®ã

= 2nK+(2n0+1)K 0i

Zw

0L0

p

T = 4nK + 2in0K,0 dw

(1 −

w 2)(1

− k2w2)

+ 4nK + 2in0 K 0 ,

(1.51)

L lµ ®­êng tuú ý nèi c¸c ®iÓm O vµ w, cßn L0 lµ ®­êng cè ®Þnh nµo

®ã, ta sÏ nãi ®ã lµ mét ®o¹n cña ®­êng th¼ng (so s¸nh tÝnh chÊt t­¬ng tù

lnw ).

Trªn h×nh 1.7, h×nh næi ®­îc m« t¶ lµ mét trong c¸c nh¸nh cña tÝch ph©n

H×nh 1.7 elliptic

F (w, k) thuéc k = 0, 8. Trªn ®ã râ rµng c¸c ®iÓm nh¸nh n»m trªn c¸c 1 ®iÓm w = ±1 vµ w = ± cña mÆt w . k NÕu tiÕn hµnh thay ®æi ϕ (biªn ®é) nh­ tr­íc th× w = sin ϕ, th× tÝch ph©n

(1.45) chuyÓn thµnh tÝch ph©n

z=

Zϕ 0

dϕ p . 2 2 1 − k sin ϕ

(1.52)

34

Hµm ng­îc lµ biªn ®é cña ®o¹n elliptic cã ký hiÖu ®Æc biÖt lµ (1.53)

ϕ = amz. Sin elliptic Jacobi cã thÓ ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng

w = s nz = sin amz,

(1.54)

vµ gäi lµ sin cña biªn ®é. Tªn gäi vµ kÝ hiÖu nµy ®­îc chÝnh Jacobian ®­a ra; ngµy nay ký hiÖu cosin biªn ®é vµ

snz cµng ®­îc chÊp nhËn, Jacobian ®· kh¶o s¸t c¶ c¸c hµm

∆ biªn ®é p p cos amz = 1 − w2 = 1 − sn2 z, p p 2 2 ∆amz = 1 − k w = 1 − k 2sn2 z.

(1.55)

Ngµy nay c¸c hµm ®ã th­êng ®­îc kÝ hiÖu

cnz = (®äc theo ch÷ c¸i “

p

1 − sn2z, dnz =

cnz ” vµ “dnz ”).

p

1 − k 2 sn2 z.

(1.56)

Trªn h×nh 1.8 chóng ta dïng s¬ ®å sn, cn vµ dn víi c¸c gi¸ trÞ ®­¬ng nhiªn cña

H×nh 1.8 ®èi sè

z = x vµ c¸c k (nhá) d­¬ng ta sÏ nhËn ra r»ng khi k = 0, tõ c«ng thøc

35

(1.45) rót ra

z = arcsin w do vËy sin(z, 0) = sin z ; khi ®ã c«ng thøc (1.56) cho

cn(z, 0) = cos z, dn(z, 0) = 1. Cã thÓ chøng minh r»ng c¸c hµm

cnz, dnz còng nh­ snz lµ c¸c hµm elliptic

cña chu k× thø hai vµ r»ng c¸c vßng tuÇn hoµn c¬ b¶n cña chóng lµ t­¬ng øng b»ng

4K, 2K = 2K 0i (®èi víi cn) vµ 2K, 4K 0i (®èi víi dn). T¹i ®©y ta chØ

®­a ra c«ng thøc vi ph©n vµ c¸c ®Þnh lÝ phÐp céng víi c¸c hµm elliptic, tõ ®ã râ rµng sù t­¬ng tù gi÷a chóng vµ c¸c hµm l­îng gi¸c th«ng th­êng. §èi víi kÕt luËn c«ng thøc thø nhÊt cña vi ph©n ta h­íng tíi sù t­¬ng øng (1.45). Tõ ®ã ta cã

dw p = (1 − w2)(1 − k 2w2 ), dz

hoÆc

w = snz,

dsnz = cnz.dnz, dz

(1.57)

®Ó nhËn ®­îc c¸c c«ng thøc kh¸c cña vi ph©n t­¬ng øng

sn2z + cn2 z = 1, k 2sn2 z + dn2z = 1,

(1.58)

chóng d­îc suy ra trùc tiÕp tõ ®¼ng thøc (1.56). Khi ®ã ta cã

ddn z dcnz = −sn z dn z, = −k 2 sn z cn z. dz dz Ta thÊy r»ng khi

(1.59)

k = 0 c«ng thøc (1.57) vµ c«ng thøc thø nhÊt tõ c«ng thøc

(1.59) h­íng tíi c¸c c«ng thøc næi tiÕng cña vi ph©n sinz vµ

cosz . Ta cßn nhËn

thÊy lµ tõ c«ng thøc (1.59), nÕu biÓu diÔn ë ®ã víi sù hç trî (1.58) qua

sn vµ cn

dn vµ t­¬ng øng, sn vµ cn qua dn , cã ph­¬ng tr×nh vi ph©n tiÕp theo víi

w = cnz vµ w = dnz . p p dw dw = − (1 − w2)(k 02 − k 2w2 ), = − (1 − w2 )(w2 − k 02), (1.60) dz dz √ ë ®ã k 0 = 1 − k 2 lµ m«®un bæ sung. Ta coi cn0 = dn0 = 1 (®iÒu nµy rót ra

tõ (1.56) vµ ®¼ng thøc

sn0 = 0) vµ cnz vµ dnz lµ c¸c hµm ch½n. Chóng ta thÊy

tõ c«ng thøc (1.60), c¸c hµm nµy quay t­¬ng øng víi c¸c tÝch ph©n

z=

Zw 1

dw

p ; z= (1 − w2)(k 02 + k 2w2 )

Zw 1

p

dw (1 − w2)(w2 − k 02)

.

(1.61)

36

Víi kÕt luËn cña c¸c ®Þnh lÝ phÐp céng ta sö dông ph­¬ng ph¸p vµ quan ®iÓm cña ¥le lµ b­íc nh¶y tèt nhÊt ®èi víi viÖc nghiªn cøu c¸c tÝch ph©n elliptic. Khi nghiªn cøu elliptic ta xÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n

dω dw p +p = 0. (1 − w2 ) (1 − k 2w2 ) (1 − ω 2 ) (1 − k 2ω 2 )

Khi t×m ra hai tÝch ph©n cña nã lµ ¶nh kh«ng phô thuéc vµ khi so s¸nh c¸c tÝch ph©n nµy ta sÏ cã Èn sè t­¬ng øng thÓ hiÖn ®Þnh lý phÐp céng. Ta trùc tiÕp cã tÝch ph©n thø nhÊt tõ c¸c tÝch ph©n nµy

Zw 0

dw

p + (1 − w2 ) (1 − k 2 w2 )

Zw 0

dw p = C. (1 − ω 2 ) (1 − k 2ω 2 )

(1.62)

§èi víi tÝch ph©n thø hai chóng ta nhËn ®­îc tõ hÖ ph­¬ng tr×nh

p dω dw p = (1 − w2 ) (1 − k 2 w2), = − (1 − ω 2 ) (1 − k 2 ω 2 ), 2 du du

ë ®ã

(1.63)

u lµ biÕn phô. Khi lÊy vi ph©n ph­¬ng tr×nh nµy ta cã
d2 w 2 2 2 , = w 2k w − 1 − k du2


d2 ω 2 2 2 . = ω 2k ω − 1 − k du2

Theo c¸ch kh¸c, tõ c«ng thøc (1.63) ta cã

 
d2 w d2 ω d dω dw ω 2 −w 2 = −w ω = 2k 2wω w2 − ω 2 . du du du du du

Khi chia cho ph­¬ng tr×nh nµy nh­ trªn ta cã

    dω dω dw dw d −w +w ω 2k 2wω ω du du du du du , = dw dω k2 w2 ω − 1 ω −w du du

hoÆc

 
dw dω d d ln ω −w ln k 2 w2ω 2 − 1 = du du du du
dω dw −w = C 0 1 − k 2w2 ω 2 vµ khi sö dông c«ng thøc (1.63) ta t×m Tõ ®ã ω du du ra tÝch ph©n thø hai

w

p p (1 − ω 2 ) (1 − k 2ω 2 ) + ω (1 − w2) (1 − k 2 w2) = C1 . 1 − k2 w2ω2

(1.64)

37

KÝ hiÖu

Zw 0

tõ ®ã

dw p = z, (1 − w2) (1 − k 2 w2)

Zω 0

dw p = ζ, (1 − ω 2) (1 − k 2 ω 2)

w = snz, ω = snζ vµ ®Æt nã vµo c¸c c«ng thøc (1.62) vµ (1.64) ta t×m

®­îc c¸c ®o¹n cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n d­íi d¹ng

z + ζ = C,

snz cnζ dnζ + snζ snz dnz = C1 . 1 − k 2sn2 z sn2ζ

(1.65)

V× c¸c ®o¹n nµy nªn theo ®Þnh lÝ cña phÐp gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n duy nhÊt cÇn ph¶i rót ra th×

C1 cÇn ph¶i lµ hµm C , cho C1 = ϕ(C) = ϕ(z + ζ). Ta ®Æt

sù t­¬ng quan nµy vµo ph­¬ng tr×nh trong sè c¸c ph­¬ng tr×nh (1.65) vµ ®Ó cã ®­îc d¹ng cña hµm

ϕ ta cßn ph¶i ®Æt ζ = 0. Ta sÏ cã ϕ(z) = sn z . VËy ë d¹ng

cuèi cïng ®Þnh lÝ cña phÐp céng viÕt lµ

sn(z + ζ) = Khi

snzcnζdnζ + snζcnzdnz .. 1 − k 2sn2 zsn2 ζ

(1.66)

k = 0 c«ng thøc nµy sÏ trïng víi ®Þnh lÝ phÐp céng ®· cã víi sin.

C¸c c«ng thøc t­¬ng tù lµ ®óng vµ víi c¸c hµm Jacobian kh¸c lµ

cn(z + ζ) =

cnzcnζdnζ + snzsnζdnzdnζ 1 − k 2sn2 zsn2 ζ

dnzdnζ − k 2snzsnζcnzcnζ . dn(z + ζ) = 1 − k 2sn2 zsn2 ζ

(1.67)

(1.68)

Tõ c¸c c«ng thøc céng c¬ b¶n nµy cã ®­îc c¸c c«ng thøc l­îng gi¸c t­¬ng tù kh¸c cã thÓ t×m ®­îc chóng. Ta nhËn thÊy r»ng v× c¸c hµm Jacobian chØ phô thuéc vµo mét tham sè phøc

k , th× c¸c chu k× cña nã kh«ng ®­îc lùa chän ngÉu nhiªn mµ chØ cã thÓ ®Æt ngÉu nhiªn tØ sè

K0 χ= , K

hoÆc lµ ®¹i l­îng −π

q = e−π χ = e Khi ®ã c¸c ®¹i l­îng

(1.69)

K0 K.

K vµ K 0 cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc

(1.70)

38

H×nh 1.9

π K= 2

(

1+2

∞ X v=1

qv

2

)

, k=4

Chóng ta ®­a ®å thÞ cña sù phô thuéc cña Trªn ®ã ®å thÞ

v=0

2      

. ∞ P  2   v q  1+2      v=1  

(1.71)

k vµo q 2 trªn tÝch ph©n (0,1).

q vµ 10q vµ ®­êng ®øt qu·ng ®­îc m« t¶ b»ng c¸c ®­êng

th¼ng dµy ®Æc lµ ®å thÞ gi¸ trÞ

 1   ∞ (v+ )2 P    q 2 

q trªn tÝch ph©n (0,999;1); ®èi víi ®å thÞ cuèi cïng cña

k 2 nªn lÊy trªn thang chia ®é phÝa trªn.

Ch­¬ng

2

øng dông cña hµm elliptic 2.1.

¦ng dông ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò lý thuyÕt

2.1.1 Hµm Weierstrass vµ hµm Tªta * Hµm Weierstrass ℘ vµ ℘0. C¸c hµm Jacobi lµ c¸c hµm elliptic bËc 2, cã trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn hai cùc ®¬n. Weierstrass x©y dùng cho c¸c hµm elliptic bËc 2 cã trong h×nh b×nh hµnh chu k× mét cùc béi. Kh¸c víi c¸c hµm elliptic, c¸c hµm nµy phô thuéc vµo hai tham sè phøc hîp vµ c¸c chu kú chung tuú ý

τ vµ τ 0 cã thÓ ®Æt mét ®iÒu kiÖn

τ0 Im > 0. τ

(2.1)

TÝnh chÊt cña hµm Weierstrass t­¬ng tù nh­ tÝnh chÊt cña hµm Jacobi. Chóng ta sÏ nhËn thÊy r»ng trong viÖc kh¶o s¸t ®Þnh lý cña hµm Weiestrass lu«n lu«n rÊt thuËn lîi, ®ång thêi th­êng gÆp trong c¸c bµi tËp thùc hµnh cña hµm Jacobi. Ta chøng minh mét bæ ®Ò bæ trî.

Bæ ®Ò 2.1.

BÊt kú mét sè phøc nµo

τ

vµ

τ 0 còng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2.1), chuçi

∞ X

1 , 0 τ 0 )3 (nτ + n n,n=−∞

(2.2)

trong ®ã phÐp tæng ®­îc truyÒn tíi tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ sè nguyªn ra

n

vµ

n0 ,

ngoµi

n = n0 = 0 hoµn toµn bÞ t¸ch rêi.

Chøng minh.

C¸c ®iÓm

T = nτ + n0 τ 0 n»m trªn c¸c ®Ønh m¹ng l­íi cña h×nh Q

b×nh hµnh. Chóng ta b¾t ®Çu ta kh¶o s¸t h×nh b×nh hµnh

1 , trªn ®ã cã 8 ®iÓm

Q T h×nh 2.1. Khi kÝ hiÖu qua l mét kho¶ng rÊt ng¾n tõ z0 tíi c¸c ®iÓm 1 , ta 1 1 thÊy r»ng ®èi víi mçi ®iÓm trong sè 8 ®iÓm nµy 3 6 3 v× tæng n»m tr¶i T l

40

trªn ®ã tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc

X

T­¬ng tù nh­ h×nh b×nh hµnh

Q

Q

1

0

1 8 . 6 l3 |T |3

2 h×nh 2.1 cã 16 ®iÓm

T , mçi ®iÓm t¸ch ra tõ

H×nh 2.1 c¸c ®iÓm ®ã tõ ®Çu kh«ng nhá h¬n

2l vµ tæng n»m tr¶i trªn chóng X 1 8 . 6 3 22 l 3 Q |T | 2

∞ 1 8 P vµ do vËy hoµn toµn 2 n=1 n

Do vËy chuçi (2.2) hµm tréi lµ chuçi t¸ch rêi 3 l t¸ch rêi. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. Tõ bæ ®Ò ta rót ra r»ng, chuçi ∞ X

X 1 1 = , f (z) = 0 τ 0 )3 3 (z − nτ − n (z − T ) n, n=−∞

héi tô tuyÖt ®èi vµ ®Òu trong mäi h×nh trßn |z|

(2.3)

6 R. NÕu rót ra tõ chóng mét sè

h÷u h¹n c¸c sè cã c¸c cùc trong cña h×nh trßn Êy (t¹i ®©y c¸c gi¸ trÞ n

= n0 = 0

®­îc thõa nhËn). ThËt vËy chóng ta kh¶o s¸t c¸c sè h¹ng mµ ®èi víi c¸c sè h¹ng

z 1 1 1 1 8 6 z . 3 < vµ ®ã |T | > 2R, chóng ta cã < 3, 3 |T | T 2 (z − T )3 |T | (1 − ) T

tõ ®ã ta kh¼ng ®Þnh ®­îc bæ ®Ò.

41

Khi biÓu diÔn

f (z) ®èi víi z thuéc h×nh trßn |z| 6 R d­íi d¹ng X X 1 1 f (z) = + , (z − T )3 (z − T )3 |T |6R

|T |>R

ta thÊy r»ng tæng thø nhÊt lµ hµm h÷u tØ cã t¹i mçi ®iÓm

T cùc bËc 3 víi phÇn

1 , cßn tæng thø hai lµ hµm tÝch ph©n t¹i h×nh trßn |z| 6 |R|. Do (z − T )3 vËy cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng f (z) lµ hµm ph©n h×nh. c¬ b¶n

TiÕp theo râ rµng r»ng

f (z) cã τ vµ τ 0 lµ c¸c chu kú c¬ b¶n cña nã. Ch¼ng

h¹n, vÝ dô

f (z + τ ) = , hoÆc lµ

X

1 = f (z) [z − (T − τ )]3

T − τ tiÕp tôc lµ chu kú vµ cã tÊt c¶ c¸c chu kú cïng víi T . Do vËy τ vµ τ 0 lµ chu kú cña f (z). Nh­ng nÕu Te lµ chu kú tuú ý cña f (z) th× tõ ®ã T e = T 0 lµ cùc, tõ ®ã Te = T 0 − T cã lµ cùc cña f (z). Cã thÓ kÕt luËn r»ng T + T

nghÜa lµ nã lµ tæ hîp c¸c sè Nh­ vËy

τ vµ τ 0 , do vËy τ vµ τ 0 lµ c¸c chu kú c¬ b¶n f (z).

f (z) lµ hµm elliptic bËc 3 víi c¸c chu k× ®· cho τ vµ τ 0 . Ngoµi ra

nã cßn lÎ, ®­¬ng nhiªn,

f (−z) = hoÆc lµ

X

X 1 1 = − = −f (z), (−z − T )3 [z − (−T )]3

−T lµ tÊt c¶ c¸c chu kú cïng víi T .

XuÊt ph¸t tõ

f (z) víi sù hç trî cña tÝch ph©n cã thÓ x©y dùng hµm elliptic

ch½n bËc hai. NÕu z0 vµ

z lµ c¸c ®iÓm kh¸c víi chu k× th× khi tÝch ph©n theo

thµnh phÇn chuçi (2.3) däc ®­êng cong nèi z0 víi

z vµ kh«ng chøa c¸c chu k×,

ta cã

ϕ (z) = C +

Zz

z0

  1 1X 1 − . f (z) dz = C − 2 (z − T )2 (z0 − T )2

Khi t¸ch trong tæng c¸c sè h¹ng víi

T = 0, chóng ta sÏ viÕt l¹i c«ng thøc cuèi

cïng d­íi d¹ng

 X  1 1 1 1 0 ϕ(z) + 2 = C + 2 − − . 2z 2z0 (z − T )2 (z0 − T )2

(2.4)

42

T¹i ®©y phÇn bªn ph¶i ®óng ë ®iÓm chän khi

z = 0, do vËy C bÊt biÕn cã thÓ ®­îc lùa

z = 0 th× gi¸ trÞ cña vÕ ph¶i b»ng kh«ng   1 1 X0 1 1 C+ 2− − = 0. 2z0 2 T 2 (z0 − T )2

(2.5)

LÊy (2.5) trõ (2.4) ta cã

1 ϕ(z) = − 2 Khi ®ã hµm



  1 1 X0 1 + − . z2 (z − T )2 T 2

  1 X0 1 1 ℘(z) = 2 + − , z (z − T )2 T 2

(2.6)

®­îc gäi lµ hµm Weierstrass.

D·y (2.6) t¸ch rêi hoµn toµn, cã thÓ ®­îc xem lµ m«®un cña tÝch ph©n chung cña nã t­¬ng ®èi ®Çy ®ñ víi

|T | ®­îc ®¸nh gi¸ bëi bÊt ®¼ng thøc z 1 1 (2T − z)z 2 1 − 2T A |z| |z| < 3 . 2 (z − T )2 − T 2 = T 2(z − T )2 = |T |3 z |T | 1 − T

Ta chøng minh

℘(z) lµ hµm ch½n   1 X0 1 1 ℘(−z) = 2 + = ℘(z), − z [z − (−T )]2 (−T )2

hoÆc thay

(2.7)

T = −T ®­îc t¸ch ra víi viÖc ho¸n vÞ c¸c tÝch ph©n cña d·y.

Hµm tÝch ph©n Weierstrass

X X 1 1 2 0 = −2 = −2f (z), ℘ (z) = − 3 − 2 z (z − T )3 (z − T )3 0

chØ kh¸c víi hµm

f (z) ®­îc x¸c ®Þnh theo (2.3) bëi thõa sè, do ®ã nã cã chu

kú kÐp víi c¸c chu kú

τ vµ τ . Do vËy

℘0 (z + τ ) − ℘0(z) = 0, ℘0 (z + τ 0 ) − ℘0(z) = 0, vµ khi lÊy tÝch ph©n ta sÏ cã

℘(z + τ ) − ℘(z) = C, ℘(z + τ 0 ) − ℘(z) = C1 .

43

τ τ0 z = − , z = − vµ sö dông hµm sè ch½n ℘(z), ta t×m ®­îc 2 2 C = C1 = 0, tõ ®ã rót ra ℘(z) lµ hµm elliptic víi c¸c chu kú τ vµ τ 0 . Nã râ

T¹i ®©y víi

rµng lµ hµm chu kú thø 2 vµ trong mçi trong mçi h×nh b×nh hµnh c¸c chu kú cã cùc kÐp t¹i ®iÓm TÝch ph©n

T víi phÇn chÝnh

1 . (z − T )2

℘0(z) lµ hµm elliptic lÎ cña chu kú thø 3. T¹i c¸c ®iÓm τ τ0 τ + τ0 , , z= , 2 2 2

(tæng cña c¸c ®­êng trung tuyÕn nhÞ béi víi

℘(z), víi gi¸ trÞ

τ + τ 0 ≡ 0(modτ, τ 0). VËy c¸c ®iÓm nµy lµ

τ + τ0 τ0 τ ) = e2 , ℘( ) = e3 , ℘( ) = e1 , ℘( 2 2 2 (còng nh­ gi¸ trÞ

(2.8)

∞) cã ®­îc hµm ℘ t¹i c¸c ®iÓm ...C¸c gi¸ trÞ kh¸c ℘(z) cã

H×nh 2.2 t¹i hai ®iÓm kh¸c nhau, hoÆc trong tr­êng hîp ng­îc l¹i ta cã thÓ ta ®· cã mét ®­êng trung tuyÕn

℘(z) trong h×nh b×nh hµnh lµ cã thÓ. Trªn h×nh 2.2 chóng ta

m« t¶ ®å thÞ cña hµm

℘(z).

§Ó cã ph­¬ng tr×nh vi ph©n tho¶ m·n trªn c¬ së cña ®Þnh lÝ 1.29, ta sÏ khai

44

triÓn hµm nµy trong d·y Lopan trong vïng

z = 0, víi T bÊt k× kh¸c 0 ta cã

∞ i X 1 1 1 h z −2 n+1 n − 2 = 2 (1 − ) − 1 = z , 2 n+2 (z − T ) T T T T n=1

do vËy khi dïng biÓu thøc (2.6)vµ d­íi d¹ng ch½n

℘(z), phÐp gi¶i cña ta chØ cã

c¸c hµm ch½n z , ta cã

X 1 X 1 1 2 0 4 0 + 5z + ... ℘(z) = 2 + 3z 4 z T T6

Ta cã c¸c kÝ hiÖu

X 1 0 , g2 = 60 T4

ta cã phÐp gi¶i Èn sè d­íi d¹ng

℘(z) =

X 1 0 g3 = 140 , T6

(2.9)

g2 2 g3 4 1 + z + z + .... z 2 20 28

(2.10)

Khi lÊy vi ph©n d·y (2.10) ta sÏ cã phÐp gi¶i

℘0 (z) = −

g2 g3 3 2 + z + z + ... z 3 10 7

(2.11)

Tõ (2.10), (2.11) vµ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý 1.24 ta cã

o 4 n g2 4 g3 6 [℘ (z)] = 6 1 − z − z + .... . z 10 7   1 3g2 4 3g3 6 3 [℘(z)] = 6 1 + z − z + .... , z 20 28 2

0

do vËy tæ hîp Èn sè sÏ lµ 2

[℘0(z)] − 4 [℘(z)]3 + g2 ℘(z) = −g3 + c2 z 2 + c3 z 4 + ... Râ rµng vÕ ph¶i cña (2.12) lµ hµm elliptic víi c¸c chu kú

(2.12)

τ vµ τ 0 (Theo ®Þnh

lÝ 1.23); cùc duy nhÊt cña nã trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn cã thÓ lµ ®iÓm

z = 0, nh­ng nh­ ®· nªu lªn ë vÕ ph¶i cña (2.12), hµm ®óng ë ®iÓm nµy. Do vËy hµm nµy bÊt biÕn vµ b»ng gi¸ trÞ cña nã khi ph­¬ng tr×nh vi ph©n Èn sè 2

z = 0, cã nghÜa lµ −g3 . Ta cã

[℘0 (z)] = 4 [℘(z)]3 − g2℘(z) − g3.

(2.13)

45

Trªn ®©y ta ®· t×m ®­îc c¸c tia

℘0(z) vµ ®· ký hiÖu gi¸ trÞ ë chóng. §¼ng thøc

(2.13) cã thÓ viÕt l¹i d­íi d¹ng 2

[℘0 (z)] = 4 [℘(z) − e1 ] [℘(z) − e2 ] [℘(z) − e3 ]

(2.14)

So s¸nh c«ng thøc (2.13) vµ (2.14) theo tÝnh chÊt ®¹i sè nghiÖm gèc cña ph­¬ng tr×nh cã sù t­¬ng quan

e1 + e2 + e3 = 0, e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 = − Khi kÝ hiÖu

e1 e2 e3 =

g3 . 4

(2.15)

℘(z) = ω , ta sÏ viÕt l¹i ph­¬ng tr×nh (2.13) d­íi d¹ng

tõ ®ã kÕt luËn r»ng

1 dz , =p dω 4ω 3 − g2 ω − g 3

℘(z) lµ phÐp quay cña tÝch ph©n z − z0 =

Hµm

g2 , 4

Zω

ω0

℘(z) lµ phÐp quay ®ã.

p

dω 4ω 3 − g2 ω − g 3

(2.16)

.

Ta nhËn xÐt ë phÇn kÕt mµ kh«ng chøng minh ®Þnh lÝ phÐp céng ®èi víi ℘(z)

1 ℘(z + ζ) + ℘(z) + ℘(ζ) = 4



℘0(z) − ℘0 (ζ) ℘(z) − ℘(ζ)

2

.

(2.17)

* Hµm Weierstrass ζ vµ σ

1 lµ t­¬ng tù hµm ℘(z) ®ång thêi cã sin2 z 1 c¸c chu kú T = nπ lµ cùc ®èi víi c¸c phÇn chÝnh . T­¬ng tù víi c¸c (z − T )2 Trong c¸c hµm tuÇn hoµn, hµm

hµm

1 ctgz = − z Weierstrass ®­a hµm

Zz

(

0

1 1 1 0 )dz, (ctgz) = − − . sin2 z z 2 sin2 z

ζ(z) t­¬ng øng

1 ζ(z) = − z

Zz 0

(℘(z) −

1 )dz, ζ 0 (z) = −℘(z). 2 z

(2.18)

46

Khi thay thÕ

℘(z) bëi biÓu diÔn (2.6) cña nã vµ tiÕn hµnh tÝch ph©n chóng ta

nhËn ®­îc

1 X0 1 1 z ζ(z) = + ( + + 2 ). z z−T T T

(2.19)

Hµm tªta kh«ng ch½n. §­¬ng nhiªn

[ζ(z) + ζ(−z)]0 = ζ 0 (z) − ζ 0 (−z) = ℘(−z) − ℘(z) = 0, do vËy

ζ(z) + ζ(−z) = C ®èi víi toµn bé z . H­íng z tíi 0 tõ c«ng thøc (2.18)

ta sÏ thÊy lµ Hµm

C = 0 vµ ζ(−z) = −ζ(z).

ζ(z) cã c¸c cùc ®¬n gi¶n trong c¸c chu kú T vµ do vËy kh«ng thÓ lµ

elliptic. §ång thêi trong sù thay ®æi cña tham sè víi ®¹i l­îng cña chu kú, nã thay ®æi chØ ë sè h¹ng bÊt biÕn, vÝ dô

{ζ(z + τ ) − ζ(z)}0 = ℘(z) − ℘(z + τ ) = 0 víi

z bÊt k× vµ t­¬ng tù ®èi víi τ 0 , do vËy ζ(z + τ ) − ζ(z) = σ, ζ(z + τ 0 ) − ζ(z) = σ 0 .

(2.20)

τ, τ 0 vµ σ, σ 0 cã sù phô thuéc. §Ó t×m nã, ta tÝch ph©n ζ(z) τ τ0 theo chu tuyÕn h×nh b×nh hµnh víi c¸c ®Ønh± , ± . V× bªn trong h×nh b×nh 2 2 hµnh hµm chØ cã mét cùc z = 0 víi thÆng d­ 1 th× tÝch ph©n nµy b»ng 2πi. Gi÷a c¸c ®¹i l­îng

Theo h­íng kh¸c, khi nèi kÕt c¸c tÝch ph©n theo c¸c h­íng ng­îc l¹i cña h×nh b×nh hµnh vµ tÝnh hÖ thøc (2.20) ta thÊy r»ng tÝch ph©n nµy b»ng vËy

στ 0 − σ 0 τ = 2πi.

στ 0 − σ 0τ . Do (2.21)

BiÓu thøc nµy ®­îc Lagrange ®­a ra. T­¬ng øng víi hµm Rz

sin z = ze0 ta ®­a

1 z

(ctgz− )dz

,

(ln sin z)0 = ctg z,

σ(z)− “hµm sigma” cña Weierstrass Rz

σ(z) = ze0

1 z

(ζ(z)− )dz

, {ln σ(z)}0 = ζ(z).

(2.22)

47

Khi s¾p xÕp phÐp gi¶i (2.19) víi niÖm

ζ(z), tÝch ph©n theo thµnh phÇn ta cã kh¸i

σ(z) d­íi d¹ng tÝch v« cïng P0

σ(z) = ze

ln(1−

z z2 z z z2 Y )+ + + z 0 T T 2T 2 = z (1 − )e T 2T 2 . T

Tõ kh¸i niÖm nµy râ rµng lµ gi¶n t¹i c¸c ®iÓm

(2.23)

σ(z) lµ hµm ®Çy ®ñ víi c¸c ®­êng trung tuyÕn ®¬n

z = T . Nã kh«ng ch½n (lÎ), hoÆc lµ tõ (2.22), sö dông tÝnh lÎ

ζ(z), cã thÓ kÕt luËn lµ Rz 1 (ζ(u)− )du u = −ze0 σ(−z) = −ze 0 −z R

(ta thÕ

(

1 ζ(v)− v

)

dv

= −σ(z),

u = −v ). Tõ biÓu thøc (2.22) vµ (2.23) ta cã σ 0 (z + τ ) σ 0 (z) − = δ; σ(z + τ ) σ(z)

tÝch ph©n ta cã

σ(z + τ ) = σ(z)eδz+γ . δτ − +γ τ T¹i ®©y s¾p xÕp z = − vµ sö dông tÝnh lÎ σ(z) ta cã −1 = e 2 tõ ®ã 2 δτ eγ = −e 2

vµ

δ(z+

σ(z + τ ) = −σ(z)e

Do vËy khi thay ®æi tham sè trªn mét ®¹i l­îng cña chu k×

τ δ(z+ ) 2 ( cïng ®óng víi τ 0 ). thõa sè ®­îc chøng minh −e

τ ) 2.

(2.24)

τ hµm σ(z) ®­a ®Õn

48

Ngoµi

ë ®ã τ 00

σ(z) cßn cã 3 hµm sigma δz  τ e2 σ1(z) = −  τ  σ z − 2 σ 2 δ0z   e 2 τ0 σ2(z) = −  0  σ z − τ 2 σ 2 δ 00 z   τ 00 e 2 σ3(z) = −  00  σ z − τ 2 σ 2

§Þnh lý 2.1.

(2.25)

,

− ®­a ra ®Ó σk (0) = 1, ®¸nh sè truyÒn thèng).

Cã thÓ biÓu diÔn hµm elliptic bÊt k×

c¸c ®­êng trung tuyÕn

n − 20

cña chu k×

f (z)

víi

α1 , α2, α3 , ..., αn vµ c¸c cùc β1, β2 , β3, ..., βn trong h×nh

b×nh hµnh tuÇn hoµn ( mçi lÇn tÝnh ®é cña nã) qua

f (z) = C C

                   

= τ + τ 0 vµ δ 00 t­¬ng øng víi chu k× nµy δ bÊt biÕn tõ c«ng thøc (2.20)

vµ (2.24) (dÊu

ë ®ã

                    

σ− hµm

σ(z − α1 )σ(z − α2 )...σ(z − αn ) , σ(z − β1 )σ(z − β2)...σ(z − βn )

(2.26)

bÊt biÕn vµ

Chøng minh.

α1 = (β1 + β2 + ... + βn ) − (α2 + α3 + ... + αn ). f

Theo ®Þnh lÝ 1.27 th×

(2.27)

(α1 + α2 + ... + αn) − (β1 + β2 + ... + βn) ≡

0(modτ, τ 0). Ta cã f α1 ≡ α1 (modτ, τ 0). XÐt hµm g(z) = C

nã cã c¸c vßng tuÇn hoµn ®Õn tÝnh lÎ

σ(z − f α1 )σ(z − α e2 )...σ(z − α en ) , σ(z − β1 )σ(z − β2)...σ(z − βn )

τ vµ τ hoÆc lµ d­íi d¹ng c«ng thøc (2.24). Khi tÝnh

σ , ta cã vÝ dô g(z + τ ) = eδ(β1 +β2+...+βn −eα1 −α2 −...−αn) g(z) = g(z).

Ngoµi ra mèi quan hÖ

f (z) trong h×nh b×nh hµnh tuÇn hoµn kh«ng cã c¸c cùc, g(z)

hoÆc lµ mçi cùc tö sè (tö thøc) lµ cùc cña ®é béi ®ã ®èi víi mÉu sè, mçi tia cña

49

mÉu sè lµ tia cña ®é béi ®ã ®èi víi tö sè ( ta cho lµ

α1 ≡ α1 (modτ, τ 0 )). V× f

vËy theo ®Þnh lÝ 1.24 mèi quan hÖ nµy lµ bÊt biÕn vµ ta cã c«ng thøc Èn (2.26). C«ng thøc (2.26) t­¬ng øng víi kh¸i niÖm hµm ph©n sè h÷u tØ d­íi d¹ng quan hÖ cña hai ®a thøc ®­îc triÓn khai ë tÝch cña thõa sè tuyÕn tÝnh. Hoµn toµn cã thÓ chøng minh ®Þnh lý t­¬ng øng víi ®Þnh lý vÒ triÓn khai hµm ph©n sè h÷u tØ thµnh nh÷ng ph©n sè ®¬n gi¶n nhÊt. NÕu

f (z) cã c¸c cùc z = βk (k = 1, 2, 3, ..., m)

trong h×nh b×nh hµnh c¬ së víi c¸c phÇn

gk (z) = th×

ck1 ck2 cknk , + + ... + z − βk (z − βk )2 (z − βk )nk

) ( m ck1 ζ(z − βk ) − ck2ζ 0 (z − βk ) + ... X cknk f (z) = C + ζ (nk −1) (z − βk ) . +(−1)nk −1 (nk − 1)! k=1

(2.28)

(2.29)

* Hµm Tªta Jacobi §èi víi c¸c phÐp tÝnh c¸c con sè víi hµm elliptic sö dông mét c¸ch chi tiÕt chóng b»ng c¸c biÓu thøc cña chóng víi sù hç trî nhanh chãng cña c¸c chuçi phï hîp, cßn viÖc khai triÓn cho ®Õn nay chóng ta còng xem xÐt cÈn thËn. Kho¶ng trèng nµy ®­îc sö dông hµm tªta Jacobi, chóng ®­îc thùc hiÖn nhanh chãng bëi c¸c chuçi t­¬ng øng víi sù hç trî cña nã cã thÓ biÓu diÔn tÊt c¶ c¸c hµm elliptic. H­íng tíi c«ng thøc (2.24) ta sÏ nhËn thÊy r»ng dÔ dµng nguyªn hµm, nã n»m d­íi sù thay ®æi cña tham sè trªn vßng tuÇn hoµn cã thõa sè ®ã, còng nh­ chÝnh

σ(z).

Trªn thùc tÕ ta cã

Ta kÝ hiÖu vµ

ψ(z) =

ϕ(z) 6= 0.

1 2 (δ z −2π i z) . ϕ(z) = e 2τ

(2.30)

σ(z) ; râ rµng ®ã lµ hµm nguyªn, hoÆc lµ σ vµ ϕ lµ nguyªn ϕ(z)

Theo (2.24) còng nh­ hÖ thøc t­¬ng øng ®èi víi vßng tuÇn hoµn chu kú

τ 0.

50

Do ®ã ta cã

 ψ(z + τ ) = ψ(z)

τ0 δ 0 τ − δτ 0 τ 0 (z+ )+πi  τ 2 τ ψ(z + τ 0 ) = −ψ(z)e

(2.31)

(Ta sö dông c«ng thøc (2.21)). §iÒu ®Çu tiªn cña c«ng thøc (2.31) thÓ hiÖn tÝnh tuÇn hoµn

ψ(z).

Theo ®Þnh lý 1.19 hµm tuÇn hoµn nguyªn lµ chuçi Fourier

ψ(z) =

∞ X

ψ(z) trong toµn bé mÆt z . Cã thÓ

ck ei k ω z ,

(2.32)

k=−∞

ë ®ã

ω=

2π . §Ó x¸c ®Þnh hÖ sè cña nã ta sö dông hÖ thøc thø hai cña c«ng τ

thøc (2.31) vµ ®Þnh lý triÓn khai duy nhÊt cña chuçi Fourier. Trong tr­êng hîp nµy nã ®­îc rót ra tõ ®Þnh lÝ t­¬ng øng víi chuçi Laurientz. Sö dông c«ng thøc (2.32) ta thay

z + τ 0 cho z , ta cã ∞ X

ψ(z + τ 0 ) =

τ0 i ωτ 0 iπ ck q 2k ei k ω z , q = e 2 = e τ ,

(2.33)

k=−∞

tõ biÓu thøc (2.31) ta cã iωz

ψ(z) = −e

0

ψ(z + τ ) = −

∞ X

ck q 2k ei(k+1)ωz .

k=−∞

So s¸nh phÐp triÓn khai nµy víi (2.32), theo ®Þnh lý duy nhÊt ta cã

ck+1 = −ck q 2k , (k = 0, ±1, ±2, ...). 1 Ký hiÖu hÖ sè c0 = Cq 4 , ë ®ã C t­¬ng ®èi bÊt biÕn. Do vËy ta cã 1 1 1 9 (2− )2 (3− )2 c1 = −Cq 4 , c2 = Cq 4 = Cq 2 , c3 = −Cq 2 , vµ nãi chung k

ck = (−1) Cq

1 2 , (k = 0, ±1, ±2, ...).

(k− )2

(2.34)

51

(tÝnh ®óng ®¾n cña c«ng thøc (2.33) dÔ dµng kiÓm tra b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p ®Çy ®ñ).

¸p dông ®iÒu nµy vµo phÐp triÓn khai (2.32) cuèi cïng ta ®­îc 1 1 iωz ∞ X (k− )2 i(k− )ωz k 2 . (−1) q 2 e ψ(z) = Ce 2

(2.35)

k=−∞

Sù tån t¹i cña hµm

ψ(z) còng gièng nh­ c¸c hµm tªta Jacobi

1 ∞ X (k− )2 π i −iπz k ϑ(z) = e (−1) q 2 e(2k−1) /z . ψ(τ z) = i C

(2.36)

k=−∞

Ta cã

σ(z) = ψ(z)ϕ(z). Sö dông c«ng thøc (2.36) vµ (2.30) ta nhËn ®­îc hµm

sigma Weierstrass

ϑ1

δz 2 z σ(z) = −iCe 2τ ϑ1 ( ). τ

Tõ ®ã ®Ó t×m

C bÊt biÕn t­¬ng øng, ta lÊy vi ph©n biÓu thøc nµy t¹i ®iÓm z = 0 ϑ01(0) 0 vµ coi σ (0) = 1, theo (2.23) ta cã 1 = −iC . Tõ ®ã suy ra τ δz 2

τ e 2τ z σ(z) = 0 ϑ1 ( ). ϑ1 (0) τ

(2.37)

Khi xÐt tÝnh chÊt cña

σ(z) ta cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng ϑ1(z) lµ hµm nguyªn lÎ, τ0 tuÇn hoµn víi chu k× 2 vµ cã c¸c kh«ng ®iÓm ®¬n t¹i z = n + n0 . τ τ0 0 −π1m τ τ < 1, V× theo ®iÒu kiÖn ë trªn Im > 0, nªn tõ (2.33) ta cã |q| = e τ 1 (k− )2 2 . do vËy chuçi (2.36) víi ϑ1 (z) héi tô nhanh víi phÇn tö q MÆt kh¸c, khi biÓu diÔn

σ qua ϑ1, còng nh­ ®èi víi mäi hµm elliptic, th×

mäi hµm elliptic biÓu diÔn ®­îc qua Ngoµi

ϑ1 .

ϑ1(z) ®­îc nªu ra cßn cã 3 hµm tªta Jacobi n÷a

 12  ∞  (k− ) P 1  (2k−1)πiz  ϑ2(z) = ϑ1(z + ) = q 2 e    2 k=−∞  ∞ P τ 1 1 2 q k e2kπiz  ϑ3(z) = q 4 eπiz ϑ1(z + + ) =  2 2 k=−∞   ∞  P 1 2  k k 2kπiz  ϑ4(z) = ϑ3(z + ) = (−1) q e  2 k=−∞

(2.38)

52

TÊt c¶ c¸c hµm ®ã ®Òu lµ hµm nguyªn ch½n,

ϑ2(z) cã chu k× 2, cßn ϑ3(z) vµ

ϑ4 (z) cã chu k× 1. Qua chóng σk − hµm Weierstrass ®­îc biÓu diÔn kh¸c víi

(2.37) ë chç thay ë bªn tr¸i gi¸ trÞ

σk , cßn bªn ph¶i thay ϑ1 vµ ϑ0 bëi ϑk+1 vµ

ϑ0k+1.

τ0 τ0 NÕu ®Æt χ = −i (theo ®iÒu kiÖn Im > 0, ®¹i l­îng nµy d­¬ng) th× tõ τ τ (2.33) ta cã q = e−πχ . Do vËy hµm tªta Jacobi phô thuéc vµo χ còng nh­ phô

thuéc vµo tham sè vµ th­êng ®­îc kÝ hiÖu lµ

ϑj (z, χ); (j = 1, 2, 3, 4). Khi lÊy

vi ph©n chuçi (2.36) vµ (2.38), ta sÏ thÊy r»ng nh÷ng hµm nµy tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh vi ph©n

VÝ dô 2.1.

∂ 2 ϑj ∂ϑj = 4π (j = 1, 2, 3, 4). ∂z 2 ∂χ

(2.39)

∞ X ∂ϑ3 ∂ϑ3 2 k 2q k e2kπiz , = (−πq) = −π ∂χ ∂q k=−∞

∞ X ∂ϑ3 k 2 2 2kπiz 2 q k e , = −4π ∂z 2 k=−∞

tõ ®ã sÏ cã (2.39).

Nh­ ®· chøng minh trªn hµm elliptic bÊt k× biÓu diÔn qua hµm tªta ta ®­a ra mµ kh«ng cÇn chøng minh biÓu thøc ®èi víi hµm elliptic z ) 1 ϑ1 ( 2κ snz = √ z ; cnz = k ϑ4 ( 2κ )

r

z √ ϑ3 ( z ) ) k 0 ϑ2 ( 2κ 2κ k0 z ; dnz = z , k ϑ4 ( 2κ ) ϑ4( 2κ )

ë ®©y

q lµ h»ng sè do ®ã x¸c ®Þnh ®­îc hµm tªta, do ®ã khi chän kh«ng ph¶i τ0 k0 iπ −π d­íi d¹nge τ , mµ d­íi d¹ng e k , cã ®­îc c«ng thøc (2.33) ë ®iÓm tr­íc. C¸c ®¹i l­îng

K vµ k ®ång thêi ®­îc biÓu diÔn qua hµm teta, ®Æc tr­ng ë lý

thuyÕt cña hµm elliptic chÝnh lµ

π K = ϑ23 (0); k = 2



ϑ2 (0) ϑ3 (0)

2

(2.40)

(®iÒu nµy trïng víi c«ng thøc (2.34) ë ®iÓm trªn). KÕt luËn cña c«ng thøc (2.39) vµ (2.40) cã thÓ t×m ra.

53

2.1.2 Mét sè bµi to¸n Bµi to¸n 2.1.

Anh x¹ b¶o gi¸c cña mÆt ph¼ng víi c¸c khe hë thµnh h×nh vµnh

kh¨n.

§Çu tiªn chóng ta xÐt (2.41)

z = sn(ω, k) cña nöa mÆt ph¼ng trªn

z ®Õn gãc vu«ng víi c¸c ®Ønh ±K, ±K + iK . Khi tiÕp

tôc phÐp biÕn ®æi (2.41) th«ng qua mÆt c¾t ®æi cña mÆt ph¼ng

ω = ξ + iη . Hµm sè

ω=e

π K0

ω

AD, chóng ta nhËn ®­îc phÐp biÕn

z víi |z| > 1, y = 0 ®Õn gãc lín gÊp ®«i cña mÆt ph¼ng thÓ hiÖn gãc nµy lªn h×nh trßn

−π

e

K K π K 0 < |ω| < e K 0 , thªm

H×nh 2.3 vµo ®ã c¸c ®iÓm phøc

ω = ξ ± iK 0 bÞ g¾n l¹i víi nhau. §iÒu ®ã nghÜa lµ hµm sè π

ω = e K0 ω

  z Z  π dz p = exp , K0 (1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 ) 

(2.42)

0

®ang thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi ph¶i t×m. MÆt c¾t ph¶i AB ®ång thêi ®i qua ®­êng trßn bªn ngoµi, cßn mÆt c¾t tr¸i ®i qua ®­êng trßn bªn trong.

Bµi to¸n 2.2.

Anh x¹ b¶o gi¸c nöa mÆt ph¼ng trªn thµnh miÒn cña h×nh 2.4.

54

Gi¶ sö c¸c ®iÓm

z = 0, 1, ∞ ®i qua t­¬ng øng víi ω = 0, D, ∞; khi ®ã

hµm sè thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi b¶o gi¸c ph¶i t×m ®­îc viÕt d­íi d¹ng tÝch ph©n Schwarz – Kristophel

H×nh 2.4 ω = C1

Zz 0

trong ®ã

C1 > 0, b > 1 vµ

1 k

r

z 2 − b2

1 (z 2 − 1)(z 2 − 2 ) k

dz,

> 1 lµ c¸c mét vµi gi¸ trÞ bÊt biÕn phô thuéc vµo

sù x¸c ®Þnh. Sau c¸c phÐp biÕn ®æi ®¬n gi¶n tÝch ph©n nµy ®­îc viÕt d­íi d¹ng liªn hîp cña c¸c tÝch ph©n elliptic bËc 1 vµ bËc 2.

ω=C

  

k 2 b2 − 1




Zz 0

p

dz (1 − z 2 ) (1 − k 2z 2 )

+

Zz r 0

 

1 − k2z2 dz , (2.43)  1 − z2

C lµ mét sè gi¸ trÞ d­¬ng. §Ó x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ bÊt biÕn chóng ta sö 1 dông t­¬ng thÝch cña c¸c ®iÓm z = 1, ω = h; z = , ω = hvz = b, ω = h + ia. k

trong ®ã

Tõ sù t­¬ng øng cña cÆp ®Çu tiªn chóng ta cã

h=C trong ®ã




k 2 b2 − 1 K + E ,

(2.44)

K vµ E lµ c¸c tÝch ph©n hoµn toµn cã d¹ng elliptic cña bËc 1 vµ 2,

phï hîp víi m« h×nh k . Tõ t­¬ng øng cña cÆp thø 2, khi tÝnh ®Õn sù t­¬ng øng

55

(2.44) chóng ta nhËn ®­îc

0 = (k 2b2 − 1)K + E1 = k 2b2 KE, √ trong ®ã K 0 = K(k 0), k = 1 − k 2 , cßn E1 =

1 Zk r

I

1 − k 2t2 dt = K 0 − E 0 , 2 t −1

(2.45)

(2.46)

E = E(k) (®Ó kh¼ng ®Þnh trong ®¼ng thøc cuèi cïng, ph¶i thay ®Çy ®ñ √ 1 − k 02τ 2 trong tÝch ph©n t = ). Cuèi cïng, sù t­¬ng øng cña cÆp thø 3 tÝnh k

vµ

®Õn sù t­¬ng øng (2.44) sau khi dÉn c¸c tÝch ph©n cã d¹ng elliptic ®Õn tÝch

ph©n giíi √ h¹n, nhá h¬n 1 (®iÒu nµy ®­îc thùc hiÖn víi sù gióp ®ì cña phÐp

thÕ

t=

1 − k 02τ 2 trong tÝch ph©n cña bËc nhÊt vµ phÐp thÕ ®­îc chØ ra trong k

ngoÆc trªn, ®èi víi tÝch ph©n bËc hai), ®­a ra

a=C




k 2 b2 − 1 F (α0 , k 0) + K 0 − F (α00 , k 0 ) + F (α00 , k 0) ,

(2.47)

1√ 1 − k 2b2 . Tõ c«ng thøc (2.44), (2.45) vµ 2 k (2.46) cã thÓ t×m thÊy c¸c ®¹i l­îng ch­a biÕt k, b vµ C gÇn ®óng.

trong ®ã

sinα0 =

Bµi to¸n 2.3.

1 bk 0

sin α00 =

Tr­êng ®iÖn tõ cña hai h×nh ch÷ nhËt trªn h×nh 2.5.

Chóng ta biÓu diÔn nöa mÆt ph¼ng phÝa trªn ζ ®Õn nöa trªn cña tr­êng t­¬ng øng víi c¸c ®iÓm ®­îc chØ ra trong h×nh 2.5. TÝch ph©n Schwarz – Kristophel cã d¹ng

z=C

Z s

1 − k2ξ 2 dξ, 1 − ξ2

(2.48)

nghÜa lµ, lµ tÝch ph©n cã d¹ng h×nh elliptic bËc hai. Tõ sù t­¬ng øng cña c¸c ®iÓm thÊy

1 z = 1, ω = h vµ z = , ω = h + ia nh­ trong vÝ dô trªn, chóng ta sÏ t×m k h = CE(k), a = C {K(k 0) − E(k 0)} ,

(2.49)

tõ ®ã, khi chia mét ph­¬ng tr×nh thµnh mét ph­¬ng tr×nh kh¸c, chóng ta cã sù t­¬ng øng ®Ó x¸c ®Þnh m« h×nh

k , cßn khi t×m k tõ (2.49) ta ®ang t×m C .

56

H×nh 2.5 Theo nguyªn t¾c ®èi xøng cña hµm theo tÝch ph©n (2.48), cã ®­îc sù tr×nh bµy cña toµn bé miÒn cña tr­êng ®Õn mÆt ph¼ng ζ víi chïm tia|ζ|

> 1, imζ = 0.

Hµm sè

1 πω (2.50) sh , i 2V thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi d¶i −V < Im ω < V ®Õn nöa mÆt ph¼ng trªn ζ , thªm vµo ®ã phÇn c¾t tr¸i phï hîp víi giíi h¹n d­íi cña d¶i, cßn phÇn c¾t tr¸i phï hîp víi giíi h¹n trªn. Do ®ã, c¸c c«ng thøc (2.48) vµ (2.50) ®­a ra kh¸i niÖm th«ng sè ph­¬ng tÝch tæng thÓ cña tr­êng cã ®­îc nÕu cùc tr¸i mang ph­¬ng tÝch ph¶i mang ph­¬ng tÝch

V . Vector c­êng ®é cña tr­êng sÏ b»ng

E = −i

Bµi to¸n 2.4.

dω dω dζ 2V 1 . = −i · = ·p dz dζ dz πC 1 − k2ζ 2

(2.51)

Tr­êng ®iÖn tõ cña ®iÖn tÝch ®iÓm n»m ë bªn trong cña h×nh ch÷

nhËt. Gi¶ sö ®iÖn tÝch cña ®¹i l­îng 0

vu«ng

−V , cßn cùc

q

n»m t¹i ®iÓm

ζ = ξ + iη

bªn trong gãc

τ τ 0 6 x 6 , 0 6 y 6 , víi c¸c t­êng dÉn h×nh 2.6. 2 2

§iÖn thÕ tr­êng U ë bªn trong gãc vu«ng trªn h×nh vÏ, ngoµi ®iÓm ζ ra, trong ®ã cßn cã ®iÓm d¹ng

2q ln

1 , nã b»ng 0 t¹i c¸c t­êng cña gãc vu«ng. Cã |z − ζ|

57

H×nh 2.6 thÓ thay ®æi sù ¶nh h­ëng cña c¸c t­êng bëi hÖ thèng ®iÖn tÝch b»ng c¸c phÐp ®èi xøng

±q nhËn ®­îc

q t¹i c¸c c¹nh cña gãc vu«ng ®· ®­a ra h×nh 2.6, t­¬ng

®­¬ng víi viÖc kÐo dµi hµm

U ®Õn toµn bé mÆt ph¼ng z .

Sau khi kÐo dµi nh­ vËy hµm sè

U sÏ lµ hµm sè cã hai chu kú víi c¸c chu

τ vµ τ 0 , thªm vµo ®ã t¹i c¸c ®iÓm ζ, τ + iτ 0 − ζ vµ c¸c toµn ®¼ng, nã sÏ cã 1 ¯ τ + iτ 0 − ζ¯ lµ ®Æc tr­ng d¹ng ®Æc tr­ng d¹ng 2qln , cßn t¹i c¸c ®iÓm ζ, |z − ζ| 2qln |z − ζ|. Gi¶ sö V (z)− lµ hµm sè g¾n liÒn víi U (z), khi ®ã

kú

1

ω = f (z) = e 2q (U +iV ) , sÏ lµ hµm sè cã d¹ng h×nh ellÝp víi c¸c chu kú sè 0, c¸c ... t­¬ng øng víi

τ vµ iτ 0 vµ víi c¸c cùc vµ c¸c

ζ, −ζ, −ζ¯.

σ (z + ζ¯)σ (z - ζ¯) f (z) = , σ (z + ζ )σ (z - ζ ) (ë ®©y C

(2.52)

(2.53)

= 1 v× sù chän hÖ sè cña chóng ta khi U + iV trong c«ng thøc (2.52)).

§iÖn thÕ cña tr­êng ph¶i t×m

Bµi to¸n 2.5.

¯ σ(z + ζ)σ(z − ζ¯) U (z) = 2qReln . σ(z + ζ )σ(z − ζ ) (C«ng thøc Akhiezer – Goluzina)

(2.54)

58

§Ó x¸c ®Þnh chóng ta sÏ gi¶ ®Þnh r»ng miÒn

D cña mÆt ph¼ng ω cã chøa c¸c

®iÓm r¬i kh«ng h¹n chÕ, nghÜa lµ lµ bªn trong cña hai ®a gi¸c kÝn mµ kh«ng cã c¸c ®iÓm giao, nh÷ng ®iÓm mµ chóng ta sÏ biÓu thÞ th«ng qua C¸c ®Ønh

Γ0 vµ Γ1 .

A1, A2, . . . , An cña c¶ hai ®a gi¸c chóng ta sÏ ®¸nh sè b»ng ®¸nh sè

chung ®Ó sao cho v× sù ®i vßng cña chóng theo trËt tù tù nhiªn miÒn tr¸i. Khi ®Ønh

D ë bªn

Ak chóng ta biÓu thÞ gãc bªn trong quan hÖ víi D th«ng qua

αk π, (0 < αk < π); theo ®Þnh lý s¬ cÊp vÒ tæng c¸c gãc bªn trong cña ®a gi¸c n X k=1

Chóng ta t×m ¸nh x¹ vµnh trßn ®Þnh sè

(αk − 1) = 4

(2.55)

K :r < |z| < 1 lªn D, trong ®ã cÇn ph¶i x¸c

r, (0 < r < 1) trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n. Chóng ta gi¶ ®Þnh r»ng,

®­êng trßn

C0 : |z| = 1 ®i qua chu tuyÕn Γ0 , cßn ®­êng trßn C1 : |z| = r− ®i

qua chu tuyÕn

Γ1 . Ta sÏ biÓu thÞ ¶nh cña ®Ønh Ak qua ak , (k = 1, 2, , n), chóng

ta biÓu thÞ ¶nh cña ®iÓm th× cã thÓ cho r»ng Hµm sè biÕn ®æi

ω = ∞ th«ng qua z = a, kh«ng h¹n chÕ sù ®ång nhÊt

a n»m ë cùc “−“, nghÜa lµ r < a < 1.

ω = f (z) t­¬ng tù trong ®­êng trßn K , ngoµi ®iÓm z = a,

trong ®ã nã cã cùc bËc nhÊt (do tÝnh ®¬n diÖp cña phÐp biÕn h×nh). V× hµm sè nµy kÐo dµi kh«ng ngõng ®Õn giíi h¹n vµ h×nh thµnh cung bÊt kú cña c¸c ®­êng trßn

C0 vµ C , n»m gi÷a hai ®iÓm kª tiÕp nhau ak vµ ak+1. Theo ®ã chóng ta gi¶

®Þnh hµm sè trõ ®iÓm

f (z) vµo ®­êng trßn K1 : 1 < |z| < 1r , vµ ë ®ã nã t­¬ng tù ngo¹i

z = a1 , trong ®ã nã cã cùc bËc nhÊt; hµm nµy thÓ hiÖn ®­êng trßn

K1-1 mét c¸ch b¶o gi¸c ®Õn miÒn D−1, miÒn mµ cã ®­îc tõ biÓu diÔn D t¹i mét trong c¸c h­íng cña gãc ®a diÖn ta gi¶ ®Þnh hµm nµy ®Õn ®­êng trßn ®­êng trßn

Γ0 . B»ng c¸ch chÝnh x¸c nh­ thÕ chóng

K1 : r2 < |z| < r vµ nãi chung ®Õn c¸c

Kj : rj+1 < |z| < rj , (j = 0, ±1, ±2, ...) ®­êng trßn K0 = K ).

Chóng ta sÏ nhËn ®­îc hµm sè ®a trÞ t­¬ng tù víi c¸c ®iÓm ph©n nh¸nh trong c¸c vßng cung ak vµ c¸c ®iÓm, c¸c ®­êng trßn giíi h¹n ®èi xøng víi chóng mét c¸ch t­¬ng ®èi

Kj , vµ víi c¸c cùc bËc nhÊt t¹i ®iÓm a vµ c¸c ®iÓm ®èi xøng

víi chóng. Gi¶ ®Þnh sè ch½n biÓu diÔn trªn c¸c ®­êng th¼ng trong mÆt ph¼ng ω b»ng 2k

59

trïng víi phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh biÕn ®æi

W = bk + ck , cßn trong mÆt ph¼ng z phÐp

Z = r2k z t­¬ng øng víi nã. Cho nªn c¸c nh¸nh cña hµm ®a trÞ f (z),

mµ ®Ó ®¬n gi¶n chóng ta biÓu thÞ b»ng ch÷ c¸i nh­ thÕ, cÇn ph¶i tho¶ m·n sù t­¬ng øng

f (r2k z) = bk f (z) + ck . Khi lÊy vi ph©n nã 2 lÇn vµ lÊy hÖ thøc ph¸i

sinh thø 2 ®Õn thø nhÊt, chóng ta sÏ nhËn ®­îc

r Tõ ®ã thÊy r»ng hµm sè

2k

f 00(r2k z) f 00(z) = 0 2k = 0 . f (r z) f (z)

Φ(z) = z

f 00 (z) tho¶ m·n sù phï hîp f 0 (z)

Φ(r2k z) = Φ(z), k = ±1, ±2, ..., kh«ng phô thuéc vµo sù lùa chän nh¸nh cña hµm

(2.56)

f (z), nghÜa lµ hµm ®¬n trÞ.

§Ó chuyÓn tõ nã sang hµm tuÇn hoµn, chóng ta sÏ cè ®Þnh mét vµi sè

ω>0

vµ ®Æt πi

ϕ(z) = Φ(e ω z ). Do tÝnh ®¬n trÞ

(2.57)

Φ(z) vµ tÝnh tuÇn hoµn cña hµm mò chóng ta nhËn ®­îc 2πi+

ϕ(z + 2ω) = Φ(e

πi z ω ) = ϕ(z).

ω0 πi NÕu chän c¶ sè ¶o ω 0 sao cho e ω = r th× thuéc tÝnh (2.56) cña hµm sè Φ(z) ®­a ra πi

ϕ(z + 2ω 0 ) = Φ(r2e ω z = ϕ(z). Nh­ vËy, hµm sè

Φ(z) lµ hµm cã hai chu kú víi c¸c chu kú 2ω vµ 2ω 0.

Chóng ta gi¶i thÝch râ tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cña hµm sè ϕ(z) t¹i gãc vu«ng cña nã cña c¸c chu kú, chóng ta sÏ nãi gãc vu«ng

ε ≤ Rez < 2ω + ε, ε ≤ Imz <

−2iω 0 + ε trong ®ã  > 0 (chóng ta lÊy gãc vu«ng xª dÞch nµo ®ã ®Ó c¸c ®iÓm πε − ®Æc biÖt kh«ng trïng vµo giíi h¹n cña nã). V× phÐp biÕn ®æi Z = e ω < 1 gãc πε − vu«ng nµy t­¬ng øng víi ®­êng trßn λr 2 ≤ |Z| < λ (trong ®ã λ = e ω < 1 vµ gÇn 1) víi ®­êng c¾t däc theo tia

argZ = πε ω . C¸c ®iÓm ®Æc biÖt cña hµm

60

Φ(z) trong ®­êng trßn nµy lµ c¸c ®iÓm ak , (k = 1, 2, ..., n) n»m trªn c¸c ®­êng trßn

C0 vµ C1 , vµ c¶ c¸c ®iÓm a vµ a1 . Ta thÊy r»ng hµm sè f (Z) ë vïng l©n

cËn cña c¸c ®iÓm ak cho phÐp khai triÓn d¹ng

f (Z) = A + (Z − ak )αk {c0 + c1 (Z − ak ) + ...} , cßn ë vïng kÕ cËn cña c¸c ®iÓm

a vµ

1 a

A0 + c00 + c01 (Z − a) + ..., f (Z) = Z −00a A f (Z) = + c000 + c001 (aZ − 1) + ..., aZ − 1 f 00(Z) tõ ®ã ®èi víi hµm Φ(z) = Z 0 chóng ta sÏ nhËn ®­îc f (Z) Φ(z) = ak

2a 2 ak − 1 + ..., Φ(Z) = − + ..., Φ(Z) = − + ... Z − ak Z−a aZ − 1

(phÇn khai triÓn ®óng ®­îc biÓu thÞ b»ng c¸c ®iÓm). ta ®Æt

Z=e

πi ωz

ë ®©y mét lÇn n÷a chóng

, Φ(Z) = ϕ(z), chóng ta biÓu thÞ ®iÓm zh =

víi ak vµ chóng ta nhËn thÊy r»ng



ω lnak t­¬ng øng πi

 πi Z − ak = ak e − 1 = ak (z − zk ) + ...; ω Chóng ta sÏ nhËn ®­îc khai triÓn ϕ(z) t¹i vïng kÕ cËn cña ®iÓm zk ω αk − 1 ϕ(z) = + ... πi z − ω lnak πi ω ChÝnh x¸c c¶ t¹i vïng kÕ cËn c¸c ®iÓm z = ± lna mµ t­¬ng øng víi c¸c ®iÓm πi a vµ a1 , chóng ta sÏ nhËn ®­îc πi ω (z−zk )

ω ω 2 2 + ..., ϕ(z) = − + ... ω πi z − lna πi z + ω lna πi πi Nh­ vËy tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®Æc biÖt cña hµm hai chu kú ϕ(z) t¹i gãc vu«ng chu ϕ(z) = −

kú cña nã

− lµ c¸c cùc, do vËy, hµm sè nµy lµ hµm elliptic. TÊt c¶ c¸c cùc lµ

®¬n gi¶n vµ tæng cña c¸c phÐp trõ t¹i c¸c cùc t­¬ng øng víi hÖ thøc (2.55),

) ( n X ω (αk − 1) − 4 = 0 πi k=1

61

cÇn ph¶i nh­ thÕ ®èi víi c¸c hµm elliptic. Khi sö dông phÐp khai triÓn (2.29) ta cã thÓ rót ra

ϕ(z) th«ng qua hµm   2ω n ω P ω ω ϕ(z) = (αk − 1)ζ z − lnak − ζ(z − lna) πi k=1 πi πi πi (2.58)  ω 2ω  − ζ z + lna + C, πi πi ë ®ã C lµ bÊt biÕn.
f 00 (z) ω B©y giê chóng ta sÏ nhí r»ng ϕ πi Inz = Φ(z) = z 0 vµ tÝnh to¸n theo f (z) c«ng thøc (2.27)

hω

i

πiz d ζ (lnz − lnak ) = lnσ πi ω dz Khi ®­a nã vµo (2.49), chóng ta sÏ nhËn ®­îc



ω z ln πi ak



  n P f 00(z) z ω (ak − 1) dzd lnσ πi = − ln 0 f (z) a k k=1 
z d ω ω d −2 dz lnσ πi ln − 2 dz lnσ πi lnaz , a

tõ ®ã khi lÊy tÝch ph©n vµ lµm cho cã gi¸ trÞ, chóng ta sÏ t×m thÊy biÓu diÔn

f 0 (z) th«ng qua hµm xÝch ma 0

f (z) = C Khi thay

0

n Q

k=1

σ2



z ω ln πi a





z ω ln πi ak

σ2



ω πi lnaz


.

σ th«ng qua hµm tªta ϑ1 theo c«ng thøc (2.37) (ë ®ã τ = 2ω ). Chóng

ta sÏ cã

trong ®ã

σ

αk−1



n `

z 1 ln 2πi ak

ϑ1αk −1  f 0 (z) = C 00z c k=1 z 2 1 2 ϑ1 2πi ln ϑ1 a



1 2πi ln az


,

C” vµ c lµ cè ®Þnh. Ta cã thÓ chøng minh r»ng c = 2. Khi lÊy tÝch

ph©n mét lÇn n÷a, chóng ta sÏ nhËn ®­îc c«ng thøc cuèi cïng ®èi víi phÐp biÕn ®æi b¶o gi¸c cña ®­êng trßn chøa ®iÓm r¬i kh«ng giíi h¹n

f (z) = C

Z

r < |z| < 1 ®Õn 2 miÒn ®a gi¸c liªn quan cã n Q

k=1

ϑ21



ϑa1k −1



z

1 ln 2πi a

z 1 ln 2πi ak

ϑ21

1 2πi



dz
2. ln az z

(2.59)

62

Chøng minh t­¬ng tù c¶ c«ng thøc nµy chÝnh x¸c ®èi víi phÐp biÕn ®æi ®­êng trßn ®Õn miÒn 2 ®a gi¸c liªn hÖ giíi h¹n, n¬i mµ gãc bªn trong (liªn quan ®Õn miÒn) t¹i ®Ønh

Ak b»ng αk π, (k = 1, 2, ..., n)   Z Y n 1 z dz αk −1 ϑ1 f (z) = C ln 2πi ak z 2

(2.60)

k=1

Chóng ta nhËn thÊy r»ng còng nh­ c«ng thøc Svars − Kristophel, c¸c c«ng thøc

nµy hµm chøa c¸c th«ng sè ch­a biÕt (C, ak vµ

r ), nh÷ng th«ng sè mµ cÇn ph¶i

®­îc x¸c ®Þnh trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n. Nh÷ng khã kh¨n x¸c ®Þnh chóng h¹n chÕ bít viÖc øng dông thùc tÕ cña nh÷ng c«ng thøc nµy.

2.2.

Mét sè øng dông kh¸c

Bµi to¸n 2.6.

x2 TÝnh ®é dµi cña ®­êng elliptic 2 a

y2 + 2 =1 b

dÉn ®Õn tÝch ph©n

elliptic.

§­¬ng nhiªn mÆt c¾t cña vßng cung, t­¬ng øng víi hoµnh ®é tõ

0 ®Õn x,

t­¬ng ®­¬ng nh­ sau

l(x) =

Zx q

1+

y 0 2dx

0

=a

Zx/ar 0

1 − k 2t2 dt, 1 − t2

(2.61)

x a2 − b2 2 trong ®ã t = vµ k = . §ã chÝnh lµ kho¶ng theo h×nh elliptic cña lo¹i a a2

thø hai theo c«ng thøc cña Lagranger, xem trong (1.39). Toµn chiÒu dµi cña h×nh elliptic ®­îc thÓ hiÖn th«ng qua kho¶ng theo h×nh elliptic trän vÑn

l = 4a

Z1 r 0

Bµi to¸n 2.7.

1 − k 2t2 dt = 4aE(k). 1 − t2

(2.62)

Nh÷ng täa ®é elliptic cã liªn hÖ víi c¸c hµm elliptic.

§Ó biÕt vÒ chóng, chóng ta nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh sau

x2 y2 z2 + = − 1 = 0, ρ − a2 ρ − b2 ρ − c2

(2.63)

63

ph­¬ng tr×nh ba Èn nµy cã c¸c tham sè cã thÓ tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc sau:

x, y, z víi nh÷ng nghiÖm lµ λ, µ, ν

λ > a2 > µ > b2 > ν > c2 . C¸c

nghiÖm sè nµy ®­îc gäi lµ täa ®é cña h×nh elliptic cña ®iÓm hîp c¸c ®iÓm cã to¹ ®é

(x, y, z). TËp

(λ, µ, ν) giao nhau ®èi xøng, hoÆc lµ trªn mÆt ph¼ng

λ = const, µ − const, ν = const t­¬ng øng th× nh÷ng tiªu ®iÓm ellipxoit

sÏ n»m ë mét vµ hai mÆt cña h×nh Hypebol, cã nghÜa lµ nh÷ng mÆt ph¼ng trùc giao lÉn nhau. Kh«ng khã ®Ó cã thÓ ®­a ra c¸c c«ng thøc thÓ hiÖn c¸c to¹ ®é theo thuyÕt §Òc¸c th«ng qua nh÷ng ®iÓm trªn h×nh elliptic

H×nh 2.7 (λ − a2 )(µ − a2 )(ν − a2 ) , x = (a2 − b2 )(a2 − c2 ) (λ − b2)(µ − b2)(ν − b2) y2 = (b2 − c2 )(b2 − a2 ) 2

(2.64)

(®Ó cã thÓ ®­a ra chÝnh x¸c vÕ tr¸i cña (2.63) cho tæng sè thay thÕ, chóng ta thay vµo trong tö sè sÏ thu ®­îc ®¼ng thøc bËc 3 t­¬ng øng víi

ρ víi hÖ sè cò

−1, ®Æt nã lµ hÖ sè tuyÕn tÝnh y2 z2 (ρ − λ)(ρ − µ)(ρ − ν) x2 + + − 1 = − ρ − a2 ρ − b2 ρ − c2 (ρ − a2 )(ρ − b2)(ρ − c2 ) §Ó nhËn ®­îc c«ng thøc (2.64), ta chia c¶ 2 vÕ lÇn l­ît cho ρ−a2 ), (ρ−b2), (ρ−

c2 ) vµ lÊy ρ = a2 , b2 , c2 .

64

Ta thÊy r»ng theo nh÷ng g× ®· ®­îc chøng minh trong ph©n tÝch Vector, ph­¬ng tr×nh cña Laplats vÒ c¸c to¹ ®é cña h×nh elliptic cã d¹ng nh­ sau

  ∂υ ν−λ ∂ ∂υ µ−ν ∂ (Πλ ) + + Πµ Πµ Πν ∂λ ∂λ  Πν Πλ  ∂µ ∂µ λ−µ ∂ ∂υ + Πν = 0, Πλ Πµ ∂ν ∂ν

trong ®ã

Πρ = cßn

p

(ρ − a2 )(ρ − b2)(ρ − c2 ),

(2.65)

(2.66)

Πλ , ... thu ®­îc t­¬ng øng b»ng c¸ch thay thÕ ρ cho λ. Thay thÕ c¸c täa

®é cña h×nh elliptic

λ, µ, ν sÏ lµm cho c¸c täa ®é kh¸c lµ α, β, γ còng bÞ phô

thuéc vµo chóng víi sù hç trî cña c«ng thøc nµy ®¬n gi¶n h¬n chóng ta thay

℘ cña Weierstrass. §Ó c«ng thøc

ρ b»ng c«ng thøc thay thÕ cña σ nh­ sau (2.67)

ρ = ℘ (σ) + A, trong ®ã

A lµ mét sè cè ®Þnh nµo ®ã. Chóng ta chØ ®Þnh th«ng qua e1 , e2, e3 c¸c

nghiÖm cña ®a thøc, nghiÖm nµy nhËn ®­îc khi gäi

Π2ρ thay cho ρ trong c«ng

thøc (2.67), khi ®ã chóng ta cã

Π2ρ = ρ − a2




ρ − b2





ρ − c2 = {℘ (σ) −e1 } {℘ (σ) − e2 } {℘ (σ) − e3 } .

Tõ ®ã chóng ta thÊy r»ng víi ρ

= a2 , b2, c2 t­¬ng øng víi nã lµ ℘ (σ) = e1 , e2, e3 ,

chóng ta thay vµo trong (2.67) sÏ thÊy

a2 = e1 + A, b2 = e2 + A, c2 = e3 + A, tõ ®ã chóng ta thu ®­îc phÐp céng nh­ sau

1 A = (a2 + b2 + c2 ). 3 Nh÷ng täa ®é míi

α, β, γ ®­îc x¸c ®Þnh nh­ nh÷ng gi¸ trÞ cña σ thu ®­îc sau

khi ho¸n vÞ vµo c«ng thøc (2.67), khi ®ã gi¸ trÞ

ρ = λ, µ, ν  1 2  λ = ℘ (α) + (a + b2 + c2 ),    3  1 2 2 2 µ = ℘ (β) + (a + b + c ), .  3   1 2  2 2 ν = ℘ (γ) + (a + b + c )  3

(2.68)

65

Tõ ®ã chóng ta nhËn ®­îc

λ − a2 = ℘ (α) + A − a2 = ℘ (a) − e1 , t­¬ng tù ®èi víi c¸c phÐp céng kh¸c. Thay vµo c«ng thøc (2.64) chóng ta t×m ra c«ng thøc chuyÓn dÞch c¸c täa ®é(α, β, γ) sang täa ®é sau

{℘ (α) − e1} {℘ (β) − e1 } {℘ (γ) − e1 } x2 = , (e1 − e2 )(e1 − e3 ) {℘ (α) − e2 } {℘ (β) − e2 } {℘ (γ) − e2 } , y2 = (e2 − e3 )(e2 − e1 ) {℘ (α) − e3 } {℘ (β) − e3 } {℘ (γ) − e3 } z2 = (e3 − e1 )(e3 − e2)

              

(2.69)

Chóng ta nhËn ra r»ng theo c«ng thøc (2.14) vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc (2.69) ®uîc coi lµ c«ng thøc mét nghiÖm b×nh ph­¬ng duy nhÊt, theo ®ã hµm ®¬n trÞ ph©n tÝch cña hÖ

x, y vµ z lµ c¸c

α, β, γ .

TiÕp ®ã, tõ (2.68) vµ ph­¬ng tr×nh vi ph©n (2.13) ®èi víi hµm t×m thÊy

1 dα =Q , dλ λ

1 dβ =Q , dµ µ

1 dγ =Q , dν ν

khi ®ã ph­¬ng tr×nh Laplace trong täa ®é míi (nÕu thay thÕ hiÖu c¸c c«ng thøc (2.68)) sÏ cã d¹ng

{℘(γ) − ℘(β)}

Bµi to¸n 2.8. M=

℘(z) chóng ta

(µ − ν), theo

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u +{℘(α) − ℘(γ)} +{℘(β) − ℘(α)} = 0. (2.70) ∂α2 ∂β 2 ∂γ 2

Täa ®é cña phÐp quy chiÕu hai ®­êng trßn ®­îc x¸c ®Þnh b»ng

Z Z

C C0

0

0

cos(P T, P T ) dsds0 = aa0 0 PP

Z2π Z2π 0

cos(ϕ0 − ϕ) dϕdϕ0 r

0

trong ®ã ý nghÜa cña c¸c biÓu thÞ râ trªn h×nh 2.8, chóng ta biÓu thÞ th«ng qua phÐp chiÕu

Q cña ®iÓm P

®Õn mÆt ph¼ng d­íi (trong h×nh 2.8 kh«ng ®­îc ®¸nh

dÊu), khi ®ã

q p r = P 0 Q2 + P Q2 = b2 + a2 + a0 2 − 2aa0 cos(ϕ0 − ϕ).

66

H×nh 2.8 Ta thay thÕ

τ = ϕ0 − ϕ + π cho ϕ0, khi thay n÷a theo tÝnh chÊt ®· biÕt cña

c¸c tÝch ph©n tõ hµm sè tuÇn hoµn giíi h¹n lÊy tÝch ph©n theo vµ

3π − ϕ, b»ng 0 vµ 2π , chóng ta nhËn ®­îc

M = aa0

Z2π 0

hay khi thay

dϕ

Z2π 0

cos(τ − π) dτ = −4aa0 π r

τ = 2t

Zπ 0

τ , b»ng π − ϕ

cos τ dτ p , 2 2 0 2 0 a + a + b + 2aa cos τ

π

0

M = 8π a a

Z2 0

NÕu ®Æt

th× chóng ta sÏ nhËn ®­îc

p

(2 sin2 t − 1)dt

(a + a0 )2 + b2 − 4a a0 sin2 t

.

√ 2 aa0

, k=p (a + a0 )2 + b2

(

π

π

R2 p 1 + k 0 2 R2 2 2 0 2 2 √ dt 2 M = 4π (a + a ) + b − 1 − k sin tdt + 2 0 1−k2 sin t 0 o n p 02 = 4π (a + a0 )2 + b2 1+k 2 K −E . p

)

(2.71)

Bµi to¸n 2.9.

Anh x¹ b¶o gi¸c nöa mÆt ph¼ng trªn lªn h×nh ch÷ nhËt cho tr­íc.

67

Trong tr­êng hîp nµy ta xÐt phÐp biÕn ®æi cña nöa mÆt ph¼ng

Imω > 0 ®Õn

h×nh ch÷ nhËt cña mét mÆt ph¼ng z , c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ®­îc x¸c ®Þnh b»ng phÐp lùa chän th«ng sè

k cña hµm elliptic. ë ®©y chóng ta sÏ coi gãc víi

c¸c h­íng

a vµ b lµ tuú ý, nh­ng ®­îc s¾p ®Æt sao cho ®Ó c¸c ®Ønh cña nã r¬i a a vµo ®iÓm ± vµ ± + ib. PhÐp biÕn ®æi ph¶i t×m dùa theo hµm sè 2 2 Zω dω z=C p (2.72) (1 − ω 2 )(1 − k 2 ω 2) 0

thªm n÷a ®Ó x¸c ®Þnh th«ng sè

k vµ C chóng ta cã 2 ph­¬ng tr×nh  R1   a = 2C √ 2dt 2 2 = 2CK(k),   (1−t )(1−k t ) 0 . 1 Rk   b = C √ 2 dt 2 2 = CK(k 0)   1

(2.73)

(t −1)(1−k t )

Tõ nh÷ng ph­¬ng tr×nh nµy tr­íc hÕt chóng ta t×m ®­îc

2b K(k 0) = = χ, a K(k)

q = e−π ℵ

2πb =e a , −

tiÕp ®ã theo q ®· biÕt chóng ta sÏ t×m ®­îc k 2 tõ h×nh 1.9, hay c«ng thøc thø hai cña c«ng thøc (1.71). Khi biÕt

k , chóng ta sÏ t×m K theo b¶ng cña tÝch ph©n

elliptic ®Çy ®ñ theo

q víi sù hç trî cña c«ng thøc ®Çu tiªn cña c«ng thøc (1.71).

Cuèi cïng, khi biÕt

K vµ a, tõ c«ng thøc ®Çu tiªn (2.73) chóng ta x¸c ®Þnh C .

Nhê bµi to¸n trªn chóng ta xÐt phÐp biÕn ®æi cña nöa mÆt ph¼ng trªn thµnh b×nh ph­¬ng víi c¸c h­íng

a = b = 1. Chóng ta cã ℵ − 2, do ®ã q = e−2π ≈

0, 00187, logq = 3, 27184, a0 = 9053, K = 1, 5825. Nh­ vËy a = 0, 3159, k 2 = sin2 α = 0, 02945, C= 2K

(ta thÊy r»ng, trong tr­êng hîp ®ang ®­îc xÐt, khi gãc vu«ng lµ b×nh ph­¬ng, th«ng sè

k ®­îc x¸c ®Þnh chÝnh x¸c. §óng lµ cã thÓ chøng minh trong tr­êng

hîp nµy hÖ thøc gÊp ®«i cña c¸c ®iÓm

3−

√

− k1 , −1, k1 b»ng −1 vµ nghÜa lµ k =

√ 2. Tõ ®ã k 2 = 17 − 12 2 ≈ 0, 029437 sÏ lµ phÐp biÕn ®æi cÇn ph¶i t×m) Zω d z = 0, 3159 p (2.74) (1 − ω 2 )(1 − 0, 02945ω 2) 0

68

NÕu kh«ng ®ßi hái sù chÝnh x¸c cao, th× khi gi¶i bµi to¸n vÒ phÐp biÕn ®æi gãc vu«ng chóng ta sö dông b¶ng d­íi ®©y: K K 0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

K 1,5711,5711,571 1,571 1,573 1,583 1,604 1,643 1,699 1,768 1,854 K 0 ∞ 15,717,855 5,237 3,933 3,166 2,673 2,347 2,124 1,966 1,854 k 0 0 0,001560,0213 0,07840,171 0,265 0,407 0,520 0,622 0,707 0 k 1,0001,0001,000 1,000 0,998 0,986 0,965 0,913 0,853 0,784 0,707 α 0 0 5,4 1011, 70 40300 90 500 150220 24000 310230 380300 450 eπℵ 0 0 0 0 0,00040,00190,00530,01140,01970,03070,0432 Nh­ vËy, trong tr­êng hîp xÐt ë trªn khi cho ℵ1

ta t×m ra

= 0.5, th× tõ b¶ng trªn chóng

k = 0, 171, tõ ®ã k 2 = 0, 0292 vµ K = 1, 583, ta t×m ®­îc C =

1 2K

=

0, 316. Víi c¸c sè Víi

√ 0 k nhá (0 < k < 0, 1), k ≈ 4e−πK /2K = 4 q lµ gÇn ®óng nhÊt.

ℵ > 1 thay K, k vµ α ng­êi ta sÏ lÊy ®­îc K 0, k 0 vµ 900 − α t­¬ng øng.

kÕt luËn Lý thuyÕt hµm biÕn phøc nãi chung vµ lý thuyÕt hµm elliptic nãi riªng cã tÇm quan träng trong to¸n häc. Trong luËn v¨n nµy ®· tËp trung nghiªn cøu hµm elliptic trªn tr­êng sè phøc. LuËn v¨n ®· tr×nh bµy träng t©m kh¸i niÖm hµm elliptic trªn tr­êng sè phøc cïng mét sè tÝnh chÊt quan träng cña chóng, sau ®ã luËn v¨n tr×nh bµy mét sè øng dông cña hµm elliptic gåm:

•

øng dông ®Ó gi¶i quyÕt mét sè vÊn ®Ò cña lý thuyÕt to¸n häc - Hµm Weistrass vµ hµm Tªta. - Bµi to¸n vÒ ¸nh x¹ b¶o gi¸c cña mÆt ph¼ng víi c¸c khe hë thµnh h×nh vµnh kh¨n. - Tr­êng ®iÖn tõ cña ®iÖn tÝch ®iÓm n»m ë bªn trong cña h×nh ch÷ nhËt. - Tr­êng ®iÖn tõ cña hai h×nh ch÷ nhËt trªn h×nh cho tr­íc. - Anh x¹ b¶o gi¸c nöa mÆt ph¼ng trªn thµnh miÒn cña h×nh cho tr­íc.

•

øng dông ®Ó gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n cô thÓ - TÝnh ®é dµi ®­êng cong elliptic dÉn ®Õn tÝnh tÝch ph©n elliptic. - Nh÷ng täa ®é elliptic cã liªn hÖ víi c¸c hµm elliptic. - Täa ®é cña phÐp quy chiÕu hai ®­êng trßn ®­îc x¸c ®Þnh b»ng.

MÆc dï ®· cã rÊt nhiÒu cè g¾ng song ch¾c ch¾n luËn v¨n nµy kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy, t¸c gi¶ rÊt mong ®­îc sù ®ãng gãp ý kiÕn vµ nhËn xÐt ®Ó luËn v¨n ®­îc ®Çy ®ñ vµ hoµn thiÖn, ®ång thêi t¸c gi¶ còng cã thªm kinh nghiÖm ®Ó tiÕp tôc nghiªn cøu sau nµy. Mét lÇn n÷a, cho em ®­îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c cña m×nh tíi c¸c thÇy c« trong Khoa To¸n, c¸c thÇy c« Phßng Sau §¹i häc Tr­êng §HSP Hµ Néi 2, b¹n bÌ ®ång nghiÖp, ng­êi th©n trong gia ®×nh, ®Æc biÖt lµ PGS.TS. NG¦T NguyÔn Huy Lîi ®· nhiÖt t×nh h­íng dÉn em hoµn thµnh luËn v¨n nµy.

Tµi liÖu tham kh¶o TiÕng ViÖt [1] §Ëu ThÕ CÊp (2000), Hµm mét biÕn phøc - Lý thuyÕt vµ øng dông, NXG Gi¸o dôc, Hµ Néi. [2] §Ëu ThÕ CÊp (2003), Bµi tËp hµm biÕn phøc, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. [3] NguyÔn V¨n Khuª, Lª MËu H¶i (2006), Hµm biÕn phøc, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ néi, Hµ Néi. [4] §inh V¨n Phiªu, Lª MËu H¶i, NguyÔn Thu Nga, NguyÔn Huy Lîi (1984), Bµi tËp hµm sè biÕn sè phøc,

NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi.

[5] B.V.SABAT (1979), NhËp m«n gi¶i tÝch phøc, TËp 1 vµ TËp 2, NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi. [6] L.I.Vonkov­ski, G.L.Lunx¬, L.G.Aramnovich (1980), Bµi tËp lý thuyÕt hµm biÕn phøc,

NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi.

[7] G.M.Fictengon (1972), C¬ së Gi¶i tÝch To¸n häc, NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi. [8] Jean DieudonnÐ (1973), C¬ së gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, tËp II, NXB §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp.

TiÕng Nga [9] M.A.Lavrentev i B.V.Xabat (1973), MeTody Teorii funkci

kompleksnogo permennogo,

IZDATELSTVO ”NAUKA” GLAVNA REDAKCI

FIZIKO-MATEMATIQESKO LITERATURY

, Moskva.