Guiadeejerciciosconjunta Semana7

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Ciclo Básico de Ingeniería Matemática I Semana 7: 22/10/2007 al 26/10/2007

Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 6 Tema: 1.1. Teorema del Encaje. Definición de continuidad y discontinuidad de funciones en un punto o en un conjunto. Tipos de discontinuidad. Tema 1.2. Teoremas de Continuidad. Cálculo de Asíntotas de una curva: horizontales, verticales y oblicuas.

1. [AD] En los ejercicios 1 y 2 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua.

1. Solución:

x f (x)

-4 -6

0 -2

2 0

f (-3) no existe; por lo tanto, f es discontinua en -3.

2. Solución:

x

-6

-1

0

2

3

5

6

9

h(x)

-0.5

-1

-1.25

-2.5

-5

5

2.5

1

f (4) no existe; por lo tanto, f es discontinua en 4.

2. [YC] En los ejercicios 3 y 4 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua. 3.

Solución:

x y

-4 -0.5

4.-

Solución:

-3 -1

-2 0

-1 1

0 0.5

8 0.1

x y

-6 0.025

-2 0.12 5

-1 0.2

0 0 .25

1 0.2

2 0.12 5

6 0.025

3. [LR] Sea f la función tal que:  (ax + b) 2 − b 2  ax  f(x) = − 4  cos(ax) − cos(bx)   x2

x<0 x=0 x>0

Determine los valores de a y b, si existen, para que f sea continua en x=0. Solución: Para que f (x) sea continua en x=0, se deben cumplir las siguientes condiciones: i).- f(0) debe estar definido f ( x ) debe existir y ser finito ii).- Lím x→0 f ( x ) = f(a) iii).- Lím x→0

Si se cumplen las tres condiciones anteriores, se dice que la función es continua en x=0. i).- f(0) = -4, se cumple esta condición. 1 cos(ax) − cos(bx) ii).- Lím+ f ( x ) = Lím+ x →0 x →0 x2 0 , debemos sustituir por fórmulas trigonométricas para 0 eliminar la indeterminación, usando la fórmula: Al evaluar el límite la función tiende a

cos c − cos d = −2 sen

c+d c−d sen 2 2

Utilizando la fórmula anterior tenemos:  ax + bx   ax − bx  − 2 sen  sen  cos(ax) − cos(bx) 2   2   Lím+ f ( x ) = Lím+ = Lím+ x →0 x →0 x →0 x2 x2 Multiplicamos y dividimos numerador y denominador por constantes, tal que se logre conseguir senx = 1. la forma: Lím x →0 x Multiplicamos y dividimos numerador y denominador por

1 , haciendo esto tenemos: 2

 ax + bx   ax − bx  − sen  sen  2   2   = Lím x →0 + x2 2 Multiplicamos y dividimos numerador y denominador por (a+b) y (a-b), y sacamos factor común en los argumentos de la función seno.  x( a + b )   x( a − b )  − ( a + b )( a − b ) sen  sen  2   2   = Lím x →0 + x 2 ( a + b )( a − b ) 2 1 Multiplicamos numerador y denominador por 2

− ( a + b )( a − b )  x( a + b )   x( a − b )  sen  sen  2 2   2   = Lím x →0 + x 2 ( a + b )( a − b ) 2.2 Como el Límite de una constante es igual a la constante, podemos sacar la constante y que multiplique al límite, haciendo esto nos queda:  x( a + b )   x( a − b )  sen  sen  − ( a + b )( a − b ) 2   2   = Lím+ x →0 x( a + b ) ( a − b ) 2 . 2 2  x( a + b )   x( a − b )  sen sen   − ( a + b )( a − b ) 2  2    = Lím+ Lím+ x →0 x →0 ( a − b) x( a + b ) 2 x 2 2 − ( a + b )( a − b ) − ( a + b )( a − b ) = .(1).(1) = 2 2 − ( a + b )( a − b ) Lím+ f ( x ) = 2 x →0 2 (ax + b) Lím f ( x ) = Lím x →0 −

x →0 +

2

ax

− b2

→

0 0

0 , por 0 tanto, resolvemos el binomio cuadrado perfecto y simplificamos para eliminar la indeterminación. Al evaluar el límite anterior la función tiende a

(ax) 2 + 2abx + b 2 − b 2 (ax ) 2 + 2abx ax( ax + 2b) = Lím+ = Lím+ = Lím+ = Lím+ ( ax + b ) = a.0 + 2.b = 2.b x →0 x →0 x →0 x →0 ax ax ax Lím− f ( x ) = 2b x →0 3 Para que se cumpla la condición ii, los límites laterales deben ser iguales, entonces, igualando 2 y 3 , se tiene: − ( a + b )( a − b ) = 4b

3

f ( x ) , para que se cumpla, igualamos igualando 1 y 2 , se tiene: iii).- f ( 0 ) = Lím x →0 Lím+ f ( x ) = Lím− f ( x ) = f ( 0 ) , entonces: x →0

x →0

−4 ⇒ b = −2 2

2b = −4 ⇒ b =

Sustituimos b en 4 y despejamos a, haciendo esto tenemos: − ( a − 2)( a + 2 ) = 4( − 2) ⇒ − a 2 − 4 = −8 ⇒ a 2 = 12 ⇒ a = 12 ⇒ a = 2 3

(

)

Luego, f(x) es continua en x=0, si b=-2 y a = 2 3 . 4. [LR] Sea f(x) definida como:  2x 2 + 2 − x 2 + 3  x +1   1 f ( x ) = −  2  x3 + 1  2 3 x − 1

(

x < −1 x = −1 x > −1

)

Estudiar la continuidad de f en x = -1. Solución: Para que f sea continua se debe cumplir: i).- f(0) debe estar definido f ( x ) debe existir y ser finito ii).- Lím x→0 f ( x ) = f(a) iii).- Lím x→0 Verificando las tres condiciones anteriores: 1 i).- f ( − 1) = − , se cumple i. 2 x3 + 1 0 → ii).- Lím+ f ( x ) = Lím+ 2 x → −1 x →1 3 x − 1 0

(

= Lím+ x → −1

(

)

x →1

Lím− f ( x ) = Lím−

x → −1

(

)

(

)

x3 + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 = Lím x 2 − x + 1 = Lím (−1) 2 − ( − 1) + 1 = 1 + 1 + 1 = − 1 = Lím x → −1+ x → −1+ ( x − 1) 3( − 1 − 1) 3( − 2 ) 2 3 x 2 − 1 x →−1+ ( x + 1)( x − 1)

Lím+ f ( x ) = Lím+

x → −1

)

x → −1

x3 + 1 1 =− 2 2 3 x −1

(

)

2x 2 + 2 − x 2 + 3 0 → x +1 0

Lím− f ( x ) = Lím−

x → −1

x → −1

x2 −1

( x + 1) ( 2 x 2 + 2 + x 2 + 3 ) ( − 1 − 1) = 2 2 2( − 1) + 2 + ( − 1) + 3  (

= Lím− x → −1

=

 

= Lím−

Lím f ( x ) = Lím− x → −1

( x + 1) (

( x + 1)( x − 1)

(

)

= Lím−

2 x 2 + 2 + x 2 + 3 x → −1 −2 −2 −2 1 = = =− 4 2 2 + 2 + 1+ 3 4+ 4 x → −1

)

(

( x − 1)

)

2x 2 + 2 + x 2 + 3

)



x → −1−

(

2x 2 + 2 − x 2 + 3 2x 2 + 2 + x 2 + 3 2x 2 + 2 − x 2 + 3 • = Lím− = x +1 2 x 2 + 2 + x 2 + 3 x →−1 ( x + 1) 2 x 2 + 2 + x 2 + 3

2x 2 + 2 − x 2 + 3 1 =− x +1 2

1 1 Como Lím+ f ( x ) = Lím− f ( x ) = − , entonces, Lím f ( x ) = − , y la condición ii se cumple. x → −1 x → −1 x → −1 2 2 1 iii).- f (−1) = Lím f ( x ) = − , se cumple la condición iii. x → −1 2 Luego, se cumplen las condiciones i, ii y iii, por tanto, la función es continua en x = -1. 5. [JP] Hallar el valor de k sabiendo que la siguiente función es continua en -2.  x 3 f ( x) =  2 kx − 2 x

≤ −2 > −2

Solución: La función f debe ser continua por la derecha y por la izquierda en -2 f es continua por la derecha en − 2 ⇔ f (−2) = lim+ f ( x) ⇔ x → −2

(−2) = lim+ (kx − 2 x) ⇔ (−2) = k (−2) − 2(−2) ⇔ −8 = 4k + 4 ⇔ 4k = −12 ⇔ k = −3 3

2

3

2

x → −2

2x 2 − 8x x2 − 9 1. Hallar las asintotas verticales de g(x) 2. Hallar las asintotas horizontales de g(x)

6. [JP] Sea g ( x) =

Solución: 1.- Asintotas Verticales El denominador se hace 0 en 3 y -3. Estos puntos son candidatos a proporcionar asíntotas verticales. Debemos calcular los límites unilaterales en estos puntos. a. Tomamos el numerador y el punto 3.

)

(

)

lim 2 x 2 − 8 x = 2(3) 2 − 8(3) = −6 x →3

Si x tiende a 3 por la derecha, el denominador x2-9 va a cero positivamente; y si x tiende a 3 por la izquierda, el denominador x2-9 va a 0 negativamente. Luego, 2 x 2 − 8x 2 x 2 − 8x = −∞ y = +∞ lím lím x2 − 9 x2 − 9 x →3+ x →3− Por lo tanto, la recta y = 3 es una asíntota vertical. b. Ahora tomemos el numerador y el punto -3.

lím (2 x

2

x → −3

− 8 x ) = 2(-3)2-8(-3) = 42

Si x tiende a -3 por la derecha, el denominador x2-9 va a 0 negativamente y si x tiende a -3 por la izquierda, el denominador x2-9 va a 0 positivamente. Luego se tiene 2 x 2 − 8x 2 x 2 − 8x lím+ x 2 − 9 = − ∞ y lím− x 2 − 9 = +∞ x → −3 x → −3 Por tanto, la recta y=-3 es una asuntota vertical. 2. Asintotas Horizontales: Debemos hallar los limites en + ∞ y − ∞ . Dividiendo el numerador y el denominador por x2, tenemos 8 2− 2x 2 − 8x 8 = 2−0 lim 2 = lim x → +∞ x − 9 x → +∞ 9 1− 0 1− 2 x Y 8 2− 2 2x − 8x 8 = 2−0 lim 2 = lim x → −∞ x − 9 x → −∞ 9 1− 0 1− 2 x Luego, x=2 es una asuntota horizontal y es unica. 7. [LCH] Sea  x2  7 

f ( x)   6   x

Si 0  x  b Si b  x

Determine un valor de b tal que f sea continua en b. Solución: Para que la función sea continua en b se debe cumplir:



1. f (c) está definida f ( x) existe, es decir, lim f ( x )  lim f ( x ) 2. lim x c   x c

x c

f ( x )  f (c ) 3. lim x c 

Se calculan los límites laterales y se avalúa la función en b.

lim f ( x)  x b 

6 6  x b

lim f ( x)  x 2  7  b 2  7 x b

Como se de cumplir: lim f (x)  lim f ( x) , entonces: x c

x c

6  b2  7 b  6  b3  7b  b3  7b  6  0 ; Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: b  2

b3

b  1

De las tres raíces de la ecuación, la que cumple con las desigualdades es b = 3 Así:  x2  7 

f ( x)   6   x

Si 0  x  3 Si 3  x

8. [LCH] Calcular las asíntotas, ya sean verticales, horizontales u oblicuas de la siguiente función: F ( x) 

 x2  2 x  2 x 1

Solución: -

Asíntota Horizontal: Se debe cumplir que:

lim f ( x)  L .

x 

x  2x  2    lim x  x  x 1  2

lim

2 x  2  x

 lim

x 

x2 2 x 2   x x x x 1  x x

0

 

0

1 1 x



No tiene Asíntota Horizontal -

Asíntota Vertical: Se debe cumplir que:

lim f ( x)  

;

xk 

lim f ( x)   .

xk 

Los candidatos de Asíntota vertical son aquellos valores de x que no están en el dominio de f (los que hacen cero el denominador). x 1

lim

 x2  2x  2 3     x 1 0

lim

 x2  2x  2 3     x 1 0

x 1

x 1

x 1

-

, es una Asíntota Vertical

Asíntota Oblicua: y  mx  n m  lim

x 

f ( x) x

n  lim  f ( x)  mx  x 

 x2  2x  2 x2 2 x 2  2 2  2 2 f ( x) x  2x  2 x 1 x m  lim  lim  lim  lim x 2 x x  x  x  x  x x x x x2  x  x2 x2 0

1   lim

x 

2 2  2 x x

1 1 x

0

0

 1

m  1

n  lim  f ( x)  mx  x 

  x2  2 x  2    x2  2 x  2   x2  2 x  2  x2  x  ( 1) x   lim   x   lim x  x  x  x 1 x 1 x 1    

lim 

x 2 1  x2  x x  lim   lim  lim x  x  1 x  x x  1   1 x x

Asíntota Oblicua:

2 x 1 x

0

0

1

y  x  1

9. [DA] Considere por ejemplo, la función f definida por: La gráfica de la función aparece en la figura 1:

Figura 1. Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene: i

(Existe) ii.

f (0) = 3 (Existe) Pero,

Ahora, como

; lo que indica que f es discontinua en x = 0.

, la discontinuidad es evitable.

Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que

. Esto es, redefiniendo a f asi:

Esta nueva función es continua en x = 0. 10. [DA] Considere también la función f definida por:

y cuya gráfica aparece en la figura 2. Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3]

Figura 2. 1. Continuidad en el intervalo abierto (-1, 3). Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo. Continuidad en x = 2 i. f(2) = 4

ii. iii. De i., ii., y iii. se concluye que f es continua en x = 2 y por lo tanto f es continua en el intervalo (-1, 3). 2. Continuidad por la derecha del punto x = -1 i. f(-1) = (-1)2 = 1 (Existe)

ii.

(Existe)

iii. Luego f es continua por la derecha del punto x = -1. 3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3 i. f(3) = 3 + 2 = 5 (Existe) ii.

(Existe)

iii. Asi que f es continua por la izquierda del punto x = 3. De 1. 2. y 3. se concluye de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalo cerrado [-1, 3]. 11. [AA] Determine los valores de a y b para que la función f(x) sea continua.. x 2 ; x ≤ −2( I )    f ( x ) = ax + b;−2 < x < 2( II )  2 x − 5; x ≥ 2( III )  = Lím+ = f (−2) y Lím− = Lím = +f (2) ; Para que sea continua la función f(x) el xLím x→ 2 → −2 − x → −2 x →2 Lím = 4 (sustituyendo -2 en I) y Lím+ = −2a + b (sustituyendo -2 en II) por lo tanto: -2a x → −2 +b=4 (IV) x → −2 −

Lím− = 2a + b (sustituyendo 2 en II) y Lím+ = −1 (sustituyendo -2 en III) por lo tanto: 2a+b=x→ 2 x →2 1 (V) − 2 a + b = 4  Resolviendo el sistema de ecuaciones    2b + b = −1 obtenemos que b=3/2 y a= - 5/4 12. [AA] Bosquéjese la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: a) Su dominio es [-2,2]. b) f(-2)=f(-1)=f(1)=f(2)=1 c) f es discontinua en -1 y 1 d) f es continua por la derecha de -1 y continua por la izquierda en 1

Solución: Y

1

-2

-1

1

2 X