Guiadeejerciciosconjunta Semana5

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Ciclo Básico de Ingeniería Matemática I Semana 5: 08/10/2007 al 12/10/2007

Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 5 1.4: Limites indeterminados 0/0, ∞ / ∞ , ∞ − ∞ 1.5. Límites determinados e indeterminados de funciones especiales: Trigonométricas x 2 + 2 − x 2 − 3x 1. [LR] Calcular el siguiente límite: xLím → +∞ Al evaluar el límite cuando x → +∞ , se obtiene una indeterminación del tipo ∞ − ∞ , para eliminarla, como es una función irracional, se puede multiplicar y dividir por la conjugada. Haciendo esto se tiene: Lím x 2 + 2 − x 2 − 3 x = Lím

x → +∞

(

x 2 + 2 − x 2 − 3x

x → +∞

Lím x 2 + 2 − x 2 − 3 x = Lím

x → +∞

x → +∞

(

(

)(

x 2 + 2 + x 2 − 3x

x 2 + 2 + x 2 − 3x

x 2 + 2 − x 2 − 3x

)

x 2 + 2 + x 2 − 3x

= Lím

x →+∞

)

)=

2 + 3x

x 2 + 2 + x 2 − 3x

∞ , ∞ para eliminarla, como obtuvimos una función racional, se debe multiplicar y dividir por la mayor potencia de x, en este caso, la mayor potencia de x es: x, haciendo esto se obtiene: 2 3 + 2 + 3x 0+3 3 2 2 x x Lím x + 2 − x − 3x = Lím = Lím = = x → +∞ x → +∞ 2 2 − 0 2 x 2 + 2 + x 2 − 3 x x→+∞ x 2 2 x 3x + + − x2 x2 x2 x2 3 Lím x 2 + 2 − x 2 − 3x = x → +∞ 2 Al evaluar de nuevo el límite cuando x → +∞ , se obtiene una indeterminación del tipo

2. [LR] Calcular los siguientes límites: x2 +1 a. Lím , x → +∞ x x2 +1 b. Lím x → −∞ x Solución a.

Lím

x →+∞

x 2 +1 x 1

En este caso debemos estudiar el signo de la fracción para valores mayores o iguales que cero y para valores menores que cero, ya que, x x2 = x =  − x

x≥0 x<0

si si

Entonces, sacando factor común x2 en el numerador y estudiando el signo de la fracción cuando x → +∞, nos queda:

1 1 x • 1+ 2 2 x = Lím x = Lím 1 + 1 = 1 + 0 = 1 x → +∞ x → +∞ x x2

x2 • 1+ Lím

x

x → +∞

x2 +1 =1 x

Lím

x → +∞

b. Lím

x → −∞

x2 +1 x

Sacando factor común x2 en el numerador y estudiando el signo de la fracción cuando x → −∞, nos queda:

Lím

x2 +1 = Lím x → −∞ x

Lím

x2 +1 = −1 x

x → −∞

x → −∞

− x • 1+ x

1 x2

= Lím − 1 + x → −∞

1 = − 1 + 0 = −1 x2

3. [LV] Determinar el valor del límite cuando h tiende a 0

lim

( x + h) 3 − x 3

h x + 3x 2 ⋅ h + 3x ⋅ h 2 + h 3 − x 3 lim h h →o 2 2 3x ⋅ h + 3x ⋅ h + h 3 lim h h →o 2 h ⋅ 3x + 3x ⋅ h + h 2 lim h h →o 2 2 2 2 2 lim 3x + 3x ⋅ h + h = 3x + 3x ⋅ ( 0) + ( 0) = 3x h →o

3

(

h →o

(

)

)

2

4. [LV] Determinar el valor del límite cuando x tiende a 3 sen ( x + h ) − sen ( x ) 0 = h 0 h →o x+h+x x+h−x 2 ⋅ cos  ⋅ sen  2 2     lim h h →o  2x + h  h 2 ⋅ cos  ⋅ sen   2  2 lim 2 h →o h  2  2x + h  h cos  ⋅ sen   2  2 lim h h →o   2 1 h sen   2x + h  2 cos  ⋅ lim lim h  2  h →0 h →o 2  2x + h  cos  = cos x lim  2  h →o

lim

5. [JP] Hallar

asenx − xsena a cos x − x cos a

lím x→ a

Sustituyendo x=a se obtiene que asexa − xsena 0 = lo cual es una in det er min acion a cos a − a cos a 0 Recordando las siguiente identidades trigonométricas sen( a ± b ) = sena. cos b ± cos a.senb cos( a ± b ) = cos a. cos b sena. cos b Solución Para romper la indeterminación se realizan los siguientes cambios Si x = y +a, entonces y = x - a y xa ⇔ y0. Luego, asen( y + a ) − ( y + a ) sena a cos( y + a ) − ( y + a ) cos a

asenx − xsena = a cos x − x cos a =

(aseny cos a + a cos ysena) − ( ysena + asena) (a cos y cos a − asenysena) − ( y cos a + a cos a) 3

=

(aseny cos a − ysena) + (a cos ysena − asena) (a cos y cos a − a cos a) − (asenysena + y cos a)

=

(aseny cos a − ysena) + (asena)(cos y − 1) (a cos a)(cos y − 1) − (asenysena + y cos a )

(aseny cos a − ysena) (asena)(cos y − 1) + y y = (a cos a)(cos y − 1) (asenysena + y cos a ) − y y seny (cos y − 1) cos a − sena) + (asena) y y = (cos y − 1) seny (a cos a ) − (a sena + cos a) y y En esta última expresión, tomando el límite cuando y tiende a cero 0, se tiene (a

(a (1) cos a − sena) + ( asena)(0) a cos a − sena sena − a cos a = = (a cos a (0) − (a (1) sena + cos a ) − asena − cos a cos a + asena Por tanto,

lím x→ a

asenx − xsena = a cos x − x cos a

sena − a cos a cos a + asena

2 cos 2 θ − 5 cos θ + 2 → /3 2 cos 2 θ + 3 cos θ − 2 π π 2 cos 2 − 5 cos − 2 π 0 3 3 θ= se obtiene : = , la cual es una indeterminación π 3 0 2 π 2 cos − 3 cos − 2 3 3 Solución Se realiza los siguientes cambios para romper la indeterminación Si y=cos θ , entoncesθ → π / 3 ⇔ y → 1 / 2, luego 6. [JP] Hallar

lím θ π

2 cos 2 θ − 5 cos θ + 2 lím = θ →π / 3 2 cos 2 θ + 3 cos θ − 2 denominador se obtiene (2 y − 1)( y − 2) = lím y →1 / 2 ( 2 y − 1)( y + 2)

2y2 − 5y + 2 = lím 2 y →1 / 2 2 y + 3 y − 2

factorizando el numerador y el

4

y−2

1/ 2 − 2

lím y + 2 = 1 / 2 + 2 = −3 / 5 y →1 / 2

7. [YC] Resolver: x4    x  x  12  

a. lim  x 4

2

Si se evalúa el límite directamente es una indeterminación del tipo 0/0 por lo que hay que factorizar, bien sea por producto de una diferencia por una suma, por Ruffini o por ecuación de segundo grado, en el denominador:  x4   lim  x 4  x  4 x 2  x  12    



x4

  lim 1  1  1 x  4   x  3  x 4 x  3 4  3 7   

lim 

b. lim x 2

4  x2 3  x2  5

Si se evalúa el límite directamente es una indeterminación del tipo 0/0 por lo que hay que multiplicar y dividir por la conjugada del denominador:





 4  x2  3  x2  5 3  x2  5 lim  lim   lim x 2 3  x 2  5 x 2 3  x 2  5 3  x 2  5 x 2 3  x 2  5  3  x 2  5 4  x2

4  x2

 4 x  3 2

 lim x 2

32  3 x 2  5  3 x 2  5 

 4 x  3

x2  5

2

 lim

x2  5

x 2



9  x2  5









 4  x   3  x  5  lim  9   x  5 2

x2  5



2

  lim  4  x   3  2

x 2



2

2

x 2

x2  5





4  x2

 lim 3  x 2  5  3  22  5  3  4  5  3  9  3  3  6 x 2

1

c. lim x0

1 2x 1

3  2x

Si se evalúa directamente es una indeterminación del tipo ∞/∞, se rompe la indeterminación si se evalúa el límite por parte, aplicando teoremas de límites:

5

lim x0

1 2

1 x

3 2 1 x

1 x

1



lim1  lim 2 x x 0

x 0

lim 3  lim 2 x0

1 x

entonces:

x 0

1 0

lim 2  2  2  0 Por lo tanto se tiene x0

lim1  lim 2 x 0

x0

lim 3  lim 2 x 0

d. lim x0

1 x 1 x



1 0 1  30 3

x 0

1  cos x 0  0 x2

Si se evalúa el límite directamente es una indeterminación del tipo 0/0 por lo que hay que multiplicar por la conjugada del numerador, luego utilizar una identidad trigonométrica y aplicar límite por los teoremas conocidos: 1  cos x 1  cos x 1  cos x 12  cos x  cos x  cos 2 x 1  cos 2 x lim  lim   lim  lim 2 x0 x0 x 0 x  1  cos x 1  cos c x 0 x2 x2 x 2  1  cos x    Sabiendo que: cos 2 x  sen 2 x  1, entonces: sen 2 x  1  cos 2 x, por lo tanto: lim x0

sen 2 x , también es necesario recordar que para romper una indeterminación x 2  1  cos x 

sen( x)  1, así : x 0 x sen 2 x sen( x) sen( x) 1 1 1 1 lim 2  lim lim lim  1 1    x  0 x  1  cos x x0 x  0 x  0 x x 1  cos x 1  cos 0 1  1 2   del tipo 0/0 donde intervienen funciones trigonométricas se puede usar: lim

e. lim x0

sen(ax) 0  x 0 sen( x)  1 para x 0 x

Es una indeterminación del tipo 0/0 y se utiliza la expresión anterior de: lim ello, se debe multiplicar y dividir la expresión por a, así se tiene que: sen(ax) sen(ax) a sen(ax) lim  lim   lim a lim  a 1  a x0 x  0 x  0 x  0 x x a ax 8. [AD]

Resolución: Este límite es de la forma

 . Indeterminado.

Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por 6

Por tanto el límite se reduce a calcular

9. [AD] Resolución:

7