Guiadeejerciciosconjunta Semana10y11

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Ciclo Básico de Ingeniería Matemática I Semana 10: 12/11/2007 al 16/11/2007 Semana 11: 19/11/2007 al 23/11/2007

Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 8 Segundo Corte Guía Nº 3 1. [JP] Hallar

dy dx

si x 3 y − y 7 x = 5

Solución: Derivamos término a término. d 3 d 7 d d 3   dx d  dy  ( x y) − ( y x) = (5) ⇒  x 3 + y ( x ) −  y 7 + x ( y 7 ) = 0 dx dx dx dx dx  dx   dx  ⇒ x3

dy dy dy dy + 3 yx 2 − y 7 − 7 xy 6 = 0 ⇒ x3 − 7 xy 6 = y 3 − 3 yx 2 dx dx dx dx

y 7 − 3 yx 2 dy dy 7 2 ⇒ ( x − 7 xy ) = y − 3 yx ⇒ = 3 dx dx x − 7 xy 6 3

6

2. [JP] Calcular la derivada de Solución: a).

Dθ ( y ) =

=

a) y =

1 − tan θ 1 + tan θ

b).

y=

1 − cot x cos ecx

(1 + tan θ ) Dθ (1 − tan θ ) − (1 − tan θ ) Dθ (1 + tan θ ) (1 + tan θ ) 2 (1 + tan θ )(− sec 2 θ ) − (1 − tan θ )(sec 2 θ ) 2 sec 2 θ = − (1 + tan θ ) 2 (1 + tan θ ) 2

1

3. [YC] Calcule f’(x) si f ( x ) =

x2 x + senx 2

, suponga que x 2 + senx > 0

Solución

4. [YC] Obtenga

dy si y = x 2 x dx

Solución

2

5. [YC] Demuestre que f ( x ) = x es continua, pero no derivable en x0 = 0 Solución

3

6. [YC] Obtenga los puntos de máximo y mínimo para f ( x) = x 4 − 3 x 3 + x 2 Solución

4

7. [YC] Calcule la primera y segunda derivada de

Solución

5

2 8. [YC] Sea f ' ( x ) = x 3e x , f(1) = 0 y g ( x ) =

( x + 1) 2 + 3 , calcular (g o f)’(1)

6

9. [LR] Demostrar que la derivada de y = arccos x es y ' = −

1

1− x2 a. Hallamos la función inversa, para esto, seguimos los siguientes pasos: i. Escribimos y = f(x) y = arccos x ii. Despejamos x: Para despejar x, aplicamos coseno en ambos miembros nos queda: cos y = cos(arccos x) cos y = x

1

así, la función inversa es: f

−1

( y ) = cos y , redefinida para los

b. Aplicamos la definición de la derivada de una función inversa: dy 1 = 2 dx dx dy dx c. Calculamos la , derivando respecto de x a la función de: 1 dy para y ∈ [ 0, π ] , se obtiene: dx d cos y = = − seny , redefinida también para y ∈ [ 0, π ] 3 dy dy Usamos la identidad trigonométrica: sen 2 y + cos 2 y = 1 Despejamos sen y de sen y = ± 1 - cos 2 y

y ∈ [ 0, π ] .

x = cos y, redefinido

4

4 , nos queda: 5

Pero, en 5 , se observa que el sen y, puede ser negativo o positivo, debemos, por tanto, averiguar el signo. Luego, como la redefinición del cos y, es para los y ∈ [ 0, π ] , la función seno es positiva para todo y perteneciente al intervalo [ 0, π ] . Lo cual, se muestra en la gráfica:

7

Por tanto, el signo de sen y = 1 - cos 2 y De

5

es positivo, así:

6

1 , sabemos que x = cos y, sustituyendo cos y por x en

sen y = 1 - x 2

6 , se obtiene:

7

d. Sustituimos

6 en

3 , se obtiene:

dx d cos y = = − 1- x2 7 dy dy e. Sustituimos 7 en 2 , se obtiene: dy 1 1 1 = = =− 2 dx dx − 1 − x 1− x2 dy Inicialmente, teníamos que y = arccos x, así: dy d arccos x 1 = =− , por tanto queda demostrada la derivada de la función dx dx 1− x2 arcocoseno.

8

d2 1 =− 3 10. [LR] Dada x + y , demuestre que 2 dx y 2

2

11. [LR] Obtenga la primera y segunda derivada de la función: f ( x) = x 2 x − 5 x

12. [LR] Obtenga la primera y segunda derivada de la función: f ( x) = 4 cos x 2

9

(

13. [LR] Encuentre la primera y segunda derivada de la función: z = sen 3 xe 3 x

)

14. [LR] Encuentre la derivada de y =

y’=

y’=

y’=

10

y’=

y’=

y’=

15. [AD] Calcular:

con

11

2x  4  16. [LR] Encuentre la primera y segunda derivada de la función: f ( x ) = sec  2  x + 4

12

17. [AD] Calcular:

con

13