Guiadeejerciciosconjunta Semana1

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Ciclo Básico de Ingeniería Matemática I Semana 1: 10/09/2007 al 14/09/2007 Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 1 Esta guía presenta ejercicios resueltos recopilados de todos los Profesores de Matemática I del Semestre 2-2007, con el fin, de poner a la disposición de los estudiantes material de estudio y mejorar de esta forma el proceso de aprendizaje. A continuación, ejercicios resueltos del tema 1.1. Conceptos básicos de Funciones, correspondientes a la Semana 1, según la planificación de la asignatura Matemática I. 1. Halle el conjunto de soluciones de la desigualdad, e ilustre con la recta de los No. reales 3 − 2x ≥ 9 + 4x

Solución: 3 − 9 ≥ 4x + 2x − 6 ≥ 6x −1 ≥ x ←  −1 2. Despeje el valor de X

2x + 3 = 4x + 5 Solución: 2x + 3 = 4x + 5 y 2 x + 3 = −4 x − 5 2 x = −2 ∴ x = −1 6 x = −8 ∴ x = −4 / 3

3. Para la función dada hallar el Dominio G ( x) = x 2

1+ x 1− x

Esto quiere decir que la parte subradical tiene que ser positiva (+), por lo tanto 1+ x ≥0 1− x x 2 (1 + x) ≥0 1− x x2 + x3 ≥0 1− x ∴ x2 + x3 ≥ 0 1− x f 0 1 − x f 0 ⇒ − x f −1 x p1 x2

sol : [0,1)

4. Hallar la función inversa de: y = 2 + x + 1

1.- F(x) debe ser inyectiva 2.- Si F(x) no es inyectiva, hallamos el intervalo más amplio donde F(x) se hace inyectiva y acotamos el dominio. 3.- Se despeja X en función de Y ∴ y = 2 + x +1 y − 2 = x +1 ( y − 2) 2 = ( x + 1) 2 ( y − 2) 2 = x + 1 ( y − 2) 2 − 1 = X ( x − 2) 2 − 1 = Y 2 De esta manera la función inversa de y = 2 + x + 1 es: ( x − 2) − 1 = Y

5. Dada la siguiente función lineal: F(x) = X+1; Graficar.

F(x) = y entonces; X Y

-2 -1

0 1

1 2

2 3

Sustituimos cada uno de estos valores en la ecuación; Para X= -2 entonces; F(-2) = -2 +1= -1; Para X= 0; F(0) = 0+1= 1; Para X= 1; F(1)= 1+1 =2; Para X= 2; F(2)= 2+1= 3;

Y

-3

-2

-1

4 3 2 1 0 -1 0 -2

Y 1

2

3

6. Dada la siguiente función lineal:

2 F(x) = X + 1 ; Graficar. F(x) = y entonces; X Y

-2 5

-1 2

0 1

1 2

Sustituimos cada uno de estos valores en la ecuación; Para X= -2 entonces; 2 F(-2) = -2 + 1= 5; Para X= 1; 2 F(-1) = -1 + 1= 2; Para X= 0; 2 F(0)= 0 + 1 = 1; Para X= 1; 2 F(1)= 1 + 1= 2; Para X= 2; 2 F(2)= 2 +1= 5;

2 5

Y 6 5 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

Y

0

1

2

3

7. Para la función y = 5 x + 4 hallar: a) Dominio b) Rango c) Determinar si la función es par o impar d) Determine si la función es creciente o decreciente en el intervalño [2,3] (utilice la tasa media de variación o cambio en el intervalo)

No 7:

y = 5x +4

a) El dominio lo constituye todo el conjunto de los números reales ya que no hay restricciones a los valores que puede tomar la variable independiente. b) Por definición de funciones exponenciales el rango de esta función son todos los reales positivos de las abscisas. Analíticamente despejamos a “x”

x + 4 = log5 y x = (log5 y ) − 4 ; el logaritmo solo existe para números positivos, lo cual corrobora que solo los valores positivoas de “y” constituyen el rango de la función. c) Una función es par si: f(x) = f(-x)

f ( x ) = 5 x + 4 y f (− x ) = 5 − x + 4 ; entonces la función no es par Una función es impar si f(-x)=-f(x) − f ( x ) = −5 x + 4 ; entonces la función tampoco es impar e) La tasa media de variación de una función en un intervalo dado [a,b] es :

TMV =

∆f ( x ) f (b) − f (a ) = ∆x b−a

calculando f(3)=78125 y f(2)=15625 ; f(3)-f(2) = 62500

como TMV es positivo entonces la función es creciente en el intervalo. 8. Para la función y = x 3 − 8 hallar: a) Dominio b) Rango c) Determinar si la función es par o impar d) Determine si la función es creciente o decreciente en el intervalño [2,3] (utilice la tasa media de variación o cambio en el intervalo)

No 8: y = x 3 − 8 a) El dominio lo constituye todo el conjunto de los números reales ya que no hay restricciones a los valores que puede tomar la variable independiente. b) Analíticamente despejamos a “x” x = 3 y +8

“y” puede tomar valores positivos y negativos ya que el radical es impar, entonces el rango es todo el conjunto de los reales. c) Una función es par si: f(x) = f(-x)

f ( x ) = x 3 − 8 y f (− x ) = − x 3 − 8 ; entonces la función no es par Una función es impar si f(-x)=-f(x)

− f ( x ) = − x 3 + 8 ; entonces la función tampoco es impar d) La tasa media de variación de una función en un intervalo dado [a,b] es : TMV =

∆f ( x ) f (b) − f (a ) = b−a ∆x

calculando f(3)=19 y f(2)=0 ; f(3)-f(2) = 8 como TMV es positivo entonces la función es creciente en el intervalo. 9. Dada la siguiente función: f(x) = − x 2 − 1 a. Represente gráficamente b. Determine el dominio y el contradominio c. Determine si es uno a uno d. Estudie simetría e. De intervalos de crecimiento y decrecimiento f. Si no es uno a uno, redefina la función restringiendo el dominio.

g. Represente gráficamente la función uno a uno a. Representación gráfica de la función: : f(x) = − x 2 − 1 Quitamos el radical para conocer el tipo de función.

y = − x2 −1

(

y2 = − x2 −1 eliminar el radical

)

2

/****Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación para

y2 = x2 −1 x2 − y2 = 1 /***Nos encontramos con la ecuación de una hipérbola de eje transverso paralelo al eje x y centro (0,0). Cuya ecuación de la hipérbola es: (x − h )2 − ( y − k )2 = 1, donde: a2 b2 h=k=0 a=1 b=1

(-1,0)

(1,0)

Gráfica de la hipérbola

Como la gráfica de y = x es:

Gráfica de y = x

Y la gráfica de y = − x es:

Gráfica de y = − x

Entonces la gráfica que nos piden es de la función: y = − x 2 − 1 , por tanto, la gráfica resultante nos queda:

Gráfica de y = − x 2 − 1

Nota: Usted también pudo obtener la gráfica anterior dando valores a x y obteniendo “y” en la tabla de valores x e y. b. El Dominio de la función es: Domf = (− ∞,−1] ∪ [1,+∞ ) El contradominio de la función es: Contf = (− ∞,0] c. No es función Uno a Uno

d. Es simétrica respecto al eje Y, por tanto es una función par. Además, podemos probar si f(x) = f(-x), entonces, la función es par:

(− x )2 − 1 = f (− x) = − cumple que f ( x ) = f (− x ) . f (− x) = −

x 2 − 1 = f ( x) , por tanto, la función es par, ya que se

e. Para x1 < x 2 entre (− ∞,−1], si f ( x1 ) < f ( x 2 ) la función es creciente, o si se cumple que f ( x1 ) > f ( x 2 ) , la función es decreciente. • Elegimos los puntos: x1 = −6 y x 2 = −1

•

Hallamos f ( x1 ) = f (− 6 ) = −

• •

Hallamos f ( x1 ) = f (− 1) = −

(− 6)2 − 1 = − 36 − 1 = − (− 1)2 − 1 = − 1 − 1 = 0

35 = −5,92

Se cumple que f ( x1 ) < f ( x2 ) , por tanto, la función es creciente en el intervalo: (− ∞,−1]

Para x1 < x 2 entre (1,+∞] , si f ( x1 ) < f ( x 2 ) la función es creciente, o si se cumple que f (x1 ) > f ( x 2 ) , la función es decreciente. a. Elegimos los puntos: x1 = 1 y x 2 = 5

(1)2 − 1 = 0 2 Hallamos f ( x1 ) = f (5) = − (5) − 1 = − 24 = -4,90 Se cumple que f ( x1 ) > f ( x 2 ) , por tanto, la función intervalo: [1,+∞ ) .

b. Hallamos f ( x1 ) = f (1) = − c. d.

es decreciente en el

f. Redefinimos la función para que sea uno a uno, la función redefinida es:

g (x ) = − x 2 − 1 ; x ≥ 1 . g. La gráfica de la función uno a uno es:

Gráfica de la función: g ( x ) = − x 2 − 1 ; x ≥ 1

10. Sea F la función que es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que:

Y=

3x − 2

3x − 2

Si x < 1

x2

Si x ≥ 1

Determinar el dominio y el contradominio de F y trazar la gráfica de F. La gráfica de F es:

Gráfica de F

El dominio de F es (− ∞,+∞ ) El contradominio es: (− ∞,+∞ ) 11. Grafique y halle el dominio y el contradominio de la siguiente función:

Como el índice de la raíz es impar, en el numerador se puede dar cualquier valor real a x. Debido a que la división por 0 no esta definida en los reales, se debe excluir este valor del dominio de la función. Asi:

12. Grafique y halle el dominio y el contradominio de la siguiente función:

13. Si f ( x ) = x +

1 , demostrar que x

( )

[ f ( x )]2

= f x2 + 2

Re spuesta : Si f(x) = x +

1 x

Entonces : 2

1 1 1 2 a) [ f(x)] =  x +  = x 2 + 2x. +   x x x  1 2 ∴ [ f(x)] = x 2 + 2 + 2 x b) f(x 2 ) = x 2 +

2

1 x2

∴ f(x 2 ) + 2 = x 2 +

1 +2 x2

[ f(x)]2 = f(x 2 ) + 2 14. Utilizar la gráfica de f(x) = x para dibujar la gráfica de cada ecuación. En todos los casos describa la transformación. a) y = x + 2 b) y = − x c) y = x − 2

a)

6 f(x) 5

y = x +2

4 3

6 f(x) 5 4 3

2

2 1 0 0

x 10

5

Traslación vertical hacia arriba

1 0 0

5

Traslación vertical hacia arriba

x 10

b)

f(x)

4

y= x

3 2 1 0 -1 0

x 10

5

-2 -3

y=− x

-4

Reflexión

c)

f(x) 4

y= x y = x−2

2

0 0

2

4

6

8

Traslación horizontal hacia la derecha

10

x

15. Sean

,

16.

(-1,0)

17. Representar gráficamente la función g(x) = x + |1 - 2x| / (-2x)

Cuando 1 - 2x es positivo |1-2x| se puede sustituir por 1-2x y entonces, g(x) = x + 1 Cuando 1 - 2x es negativo |1 -2x| se puede sustituir por -(1 - 2x) y la función g(x) = x -1. 1 - 2x es negativo cuando x > 1/2 Ahora tendríamos que representar las dos funciones la primera para x < 1/2 y la segunda para x > ½ 18. Dadas las funciones:

f(x) = √ (x-1) g(x) = 1/ (x-2) Calcular (g o f )(x) El símbolo o indica que el resultado de la función f se utiliza como entrada de la función g. Al aplicar la función f a un valor x, obtenemos un valor, que podemos llamar t. Este valor es el que tenemos que utilizar como variable independiente en la función g. t = √ (x - 1)

g(t) = 1 / (t - 2) = 1 / (√ (x-1) - 2) = (√ (x-1) +2) / (x - 5) 19. Calcular el dominio de la función y = √ x - 1 / (x - 2)

El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que la función existe. En esta función cuando x es negativo no existe valor de y porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Además, cuando x es igual a dos se anula el denominador, por lo que esta función existe entre [0, 2) U (2, ∞). El corchete indica que el valor que está a su lado se incluye y el paréntesis indica que no se incluye.