UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO CÁLCULO DIFERENCIAL JORGE ERNESTO PRADA NIÑO GUÍA 3. CIRCUNFERENCIA Y DISTANCIA
INTRODUCCIÓN En la siguiente guía, encontrará una serie de ejercicios que le permiten usar y afianzar los conceptos de: distancia entre dos puntos, identificar el radio y centro de un círculo a partir de su ecuación, así como identificar la pendiente e intercepto de una recta a partir de su ecuación. Obviamente, muchos de los ejercicios requieren de manipulaciones algebraicas para poder identificar sus correspondientes elementos. Todo con el fin de proporcionar los fundamentos matemáticos necesarios para los conceptos que se trabajan en talleres y asignaturas posteriores.
OBJETIVOS •
Hallar la distancia entre puntos del plano.
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Hallar la ecuación de una circunferencia y dada la ecuación de la circunferencia hallar el centro y el radio.
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Hallar la ecuación de una recta y trazar su gráfica.
METODOLOGÍA En esta guía los estudiantes: •
Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.
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Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
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Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.
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Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS El estudiante estará en capacidad de: 1. Dados 2 puntos en el plano, hallar su distancia. 2. Determinar la ecuación de una circunferencia dados su centro y radio. 3. Dada la ecuación de una circunferencia, encuentra su centro y su radio.
ACTIVIDAD 1 EL PLANO CARTESIANO
DISTANCIA ENTRE PUNTOS DEL PLANO Distancia del punto (x1 , y1) al punto (x2 ,y2 ). Si usamos el teorema de Pitágoras obtenemos:
d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos ( 2 , 3 ) y ( 1 , 4 ) d (2 1) 2 (3 4) 2 12 (1) 2 11 2 LA CIRCUNFERENCIA. Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro. A partir de la fórmula de distancia podemos obtener la ecuación de la circunferencia. Así: ECUACIÓN CON CENTRO EN (h , k) y RADIO r
( x h) 2 ( y k ) 2 r 2
ECUACIÓN CON CENTRO EN EL ORIGEN
( x 0) 2 ( y 0) 2 r 2 x2 y 2 r 2
ECUACION GENERAL Ax 2 By 2 Cx Dy E 0 Se obtiene desarrollando los binomios al cuadrado Ejemplo: ( x 3) 2 ( y 2) 2 4 x2 6 x 9 y 2 4 y 4 4 x2 6 x 9 y 2 4 y 0 x2 y 2 6 x 4 y 9 0
Dada la ecuación general halle el centro y el radio: x2 4x y2 3 y 6 0 Completamos los trinomios cuadrados perfectos: 9 9 x2 4x 4 y2 3 y 6 0 4 4 4 3 9 ( x 2) 2 ( y ) 2 4 6 2 4 3 1 ( x 2) 2 ( y ) 2 2 4 3 1 Centro: (-2,- ) , Radio: 2 2
ACTIVIDAD 1. Halle el centro y el radio de las siguientes ecuaciones: a. b. c. d. e. 2. Determine la ecuación de una circunferencia cuyo radio es 3 y su centro esta en 3. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyos puntos
y
.
son los extremos de su
diámetro. 4. Compruebe que la ecuación
representa una circunferencia. En-
cuentre su centro y su radio de ser posible. 5. Encuentre una ecuación de la circunferencia a. Con centro en el origen y que pase por b. Con centro en
y radio
c. Con centro en
y radio 1
d. Con centro en
y que pase por (5,3)
e. Con centro en
y radio 5
f. 6. Construya una circunferencia de radio
ferencia de radio
y centro en
adecuado que se encuentre entre el origen y la circun.
7. Sean
y
puntos en el plano cartesiano
a. Encuentre la distancia entre estos dos puntos b. Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento 8. Encuentre la distancia y la ecuación de la paralela media entre las dos rectas de ecuaciones
;
.
9. Encuentre la ecuación de la familia de rectas que equidistan 15 unidades del origen.