Guia3 Reales

 CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES.  

JUSTIFICACIÓN :

La Matemática ofrece una serie de herramientas que permitirá a ustedes solucionar desafíos en las diversas ciencias que surgen de los incesantes cambios tecnológicos y científicos. Este aprendizaje enriquece la comprensión de la realidad, responde y resuelve situaciones provenientes de diversos ámbitos : ciencias naturales, ciencias sociales, etc. Por ello utilizamos diversas formas de escribir magnitudes para que sean utilizadas en la aplicación de fenómenos que ocurren en dichas ciencias. Además se desarrolla la capacidad de abstracción utilizando el lenguaje algebraico para modelar fenómenos de la realidad y del ámbito de las ciencias. ACTIVIDAD :

EXPERIENCIA : Haz un resumen de tus propios conocimientos sobre las potencias :

En algún momento has pensado en las dimensiones del universo que muchas veces escapa a nuestro concepción de distancias. Para conocer alguna de ellas es necesario que busques los siguientes datos : DISTANCIA SOL- TIERRA EXTENSIÓN DEL SISTEMA SOLAR EXTENSIÓN DE NUESTRA . GALAXIA. DIÁMETRO DE UN ÁTOMO.

a5 ⋅ a3 = x12 : x6 =

[(a ) ]

2 4 3

=

3 a8 + 5 a3 = 4-1 + 2-1 =

54. Completa : (puedes usar tu calculadora ) a

64

125

144

1

16

a2

a 3

a

 CONTENIDO 9 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. NOCION : Definición de número real y su representación gráfica.

Tenemos un marco en forma de cuadrado cuyo lado mide 1 metro. Para que no se descuadre le colocaremos un alambre que vaya de una esquina a otra opuesta. Queremos saber cuánto debe

medir el alambre. Por lo tanto tenemos que encontrar el valor de la diagonal. ¿ Te acuerdas de Pitágoras ? x2 = 1 2 + 1 2 x2 = 1 + 1 x2 = 2 x=

x

1m

2

1m y para saber cuánto es la raíz de 2, consultamos a una calculadora, que nos da el valor de 1,4142135 pero este valor es aproximado porque si multiplicamos ( 1,4142135 )2 = 1,9999998 Este valor de la raíz no tiene una cantidad determinada de decimales, es decir , es infinito. Una cuestión muy importante es que el valor decimal de la forma

0,3333... =

p con p ∧ q ∈ Z. q

1 3

pueden ser transformados a un

0,58 =

2 no puede ser transformado a un

Es decir los decimales

58 100

0,35 =

35 − 3 32 = 90 90

p , por lo tanto son racionales. q

Las raíces de 2, 3 , 5 no pueden ser transformadas a un

p , por lo tanto son irracionales. q

Los números racionales con los números irracionales forma el conjunto de los NÚMEROS REALES

Calculemos la raíz de 5.

x2 = 22 + 12 x2 = 4 + 1

1

x2 = 5 !

!

1

2

!

! 3

4

x =

5

x = 2, 23 EJERCICIOS : Sustituye las letras por números para hacer que las expresiones sean verdaderas.

55.

2 · x = 24

56.

x=

58.

-16 •

57.

n=

1 =q 2

59.

q=

61.

n2 · 4 = 24

8 •-x2 =

2 6 ⋅x = 3 15

y= 60. -15 • -

x=

1 2

x=

62.

2⋅ − 4 = k

k=

-3 • y = ( -6)2

3 = m2 5

m=

63.

2 −3 • = h2 5 4 h=

 CONTENIDO 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA. NOCION : Aplicación de las potencias de base 10.

Existen en nuestra vida, algunos fenómenos que debemos de considerar como magnitudes tremendamente grandes o infinitamente pequeñas. Ejemplos : 1000 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 103 1000000 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 106

DISTANCIAS EN EL MACROMUNDO. Para dimensiones grandes en el universo, tenemos unidades muchísimo mas grandes que el Km. por ejemplo, el año luz ( es la distancia que la luz a una velocidad de 300.000 un año.)

- En un segundo,la luz recorre

Km recorre en seg

300.000 Km - en un minuto , recorrerá 300.000 ⋅ 60 Km - en una hora, recorrerá 300000 ⋅ 60 ⋅ 60 Km - en un día , la luz recorrerá 300000 ⋅ 60 ⋅ 60 ⋅ 24 Km - en un año ,la luz recorrerá 300000 ⋅ 60 ⋅ 60 ⋅ 24 ⋅ 365 Km que, en números es : 9.460.800.000.000 Kilómetros para evitarnos escribir tal cantidad, lo haremos 9,46⋅1012 Km. Normalmente, escribiremos la notación científica con un entero y dos decimales. 64. Tú averiguarás, que distancia existe entre el Sol y Plutón pero en años-luz

65. También la distancia entre la Tierra y la estrella más cercana ( Alfa Centauro )

66. Distancia entre la Tierra y el sol.

REFLEXIÓN : Tú crees que con esas distancias y la cantidad de cuerpos celestes que existen en el universo, ¿ seremos en la Tierra los únicos seres vivos del Universo ? Ante esta evidencia ¿ no crees que es tiempo de ensalzar a Dios por su magnificencia ? DISTANCIA EN EL MICRO MUNDO : Un átomo de Hidrógeno tiene un tamaño aproximado de 0,0000001 milímetros que se escribe 10-6 mm = 10-9 metros = 10-12 Kilómetros Cada átomo consta de protones, electrones y neutrones67. Un protón de Hidrógeno tiene el tamaño de 1,6⋅10-12 mm exprésalo en kilómetros : _____________________ 68. El diámetro del Sol es de 1392000 Km El radio de la tierra es de 6.380 Km Si el volumen de una esfera se calcula de la siguiente manera

Vesf =

4 3 π r , y consideramos 3

que el Sol y la Tierra son esferas ¿ Cuántas veces más grande es el Sol que la Tierra ? ( El radio es la mitad del diámetro )

69.En un milímetro cúbico de sangre hay aproximadamente 5.500.000 glóbulos rojos. ¿ Cuántos glóbulos rojos aproximadamente tiene el ser humano en su torrente

 CONTENIDO 11 POTENCIAS. NOCION : Potencias con base real y exponente entero . DEFINICIÓN DE POTENCIA. Si bien la multiplicación es una suma resumida, la potenciación es una multiplicación resumida. Así Multiplicación : 3 + 3 + 3 + 3 = cuatro veces el sumando tres = 4 ⋅ 3 = 12 Potenciación : 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = cinco veces el factor tres = 35 = 243 Es decir : a3 = a ⋅ a ⋅ a xn = x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x ( n veces ) MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE. Ej.:

m4 • m2 = m6 x5 • x3 • x4 = x12

es decir, para multiplicar potencias de la misma base, se eleva la base a la suma de los exponentes

ACCIÓN EJERCICIOS :

¡ Cómo me gustan las potencias!...

70.

71.

x13 • x7 =

a3b4 • a4b2 =

72.

73.

x2n+1 • x3n-2 =

74.

3 x2yz3 • 4 xy3z2 =

75.

-12a • 5b • -7ab3 =

76.

y2p-1 • yp+6 =

5x2y • 8x3y6 =

sanguíneo ?

77.

a 8 • a5 • a =

78.

3a2b5 • -5a4bc2

79.

15x3y2z • 4x2y5z2 •-3xyz =

Para dividir potencias de la misma base, se eleva la base a la diferencia de los exponentes Ej.

80.

a13 : a5 =

82.

x2a-3b : xa-2b =

84.

a7 : a4 = a7-4 = a3

81.

83.

m-5 : m-2 :

ya - b : ya – 2b =

Asómbrate con el siguiente ejercicio

Eugenia llama por teléfono a tres amigas para que al día siguiente, regalen un kilo de alimentos al Hogar de Cristo y llamen a otras tres amigas para que ellas, a su vez, al día siguiente regalen un kilo de alimentos al mismo Hogar de Cristo y llamen a otras tres amigas y así continúen con esta cadena de solidaridad. Si todas las amigas involucradas en la cadena cumplen el compromiso y tienen que enviar el kilo de alimentos al día siguiente de recibido el llamado ¿ cuántos kilos de alimento recibe el Hogar de Cristo al cabo de diez días ?

85. Un rectángulo de cartulina de 1 milímetro de espesor se dobla por la mitad, luego nuevamente por la mitad, y así sucesivamente en un total de 20 dobleces; hipotéticamente ¿ que altura tiene esa cartulina doblada después del vigésimo doblez?

 CONTENIDO 12 RAICES. NOCION : Raíces con índice entero. NOTACIÓN :

n

a

“a” se llama cantidad subradical “n” es el índice ( si es raíz cuadrada, el dos no se escribe )

25 = 5 3

216 = 6

porque porque

52 = 25 63 = 216

Usando tu calculadora, determina :

86.

89.

3

1000 =

87.

25 = 81

90.

En un triángulo rectángulo

4

625 =

88.

0,1296 =

91.

32 =

15 =

c

a b a +b =c 2

si a = 5 y b = 12

5

2

de acuerdo al teorema de Pitágoras :

2

¿ cuánto vale c ?

52 + 122 = c2 25 + 144 = c2 169 = c2

por lo tanto

169 = c 13

=c

Calcula en los siguientes triángulos rectángulos : 92.

Si a = 15 y b = 20

c=?

93

Si c = 50 y b = 40

a=?

94.

Si a = 8 y b = 10

c=?

95.

De acuerdo a los ejercicios planteados ¿ podrías dar una explicación sobre el concepto de raíz cuadrada ?

96. ¿ y de raíz cúbica ? 97. ¿ Te atreverías a dar el concepto de raíz enésima ?

VALOR ABSOLUTO Y OPERACIONES ARBITRARIAS.

ME UBICO EN EL CONTEXTO

Juanito se pierde al ir a la gran ciudad. Llama por teléfono a su mamá y le dice que está a 5 cuadras de la plaza de Armas. Ese dato ¿ es suficiente para encontrarlo ?

 CONTENIDO 13. VALOR ABSOLUTO NOCIONES : - Definir el concepto de valor absoluto. - Utilizar el concepto de valor absoluto en ejercicios combinados. - Manejar los algoritmos de las operaciones básicas incluyendo valor absoluto.

VALOR ABSOLUTO : es el valor positivo de una expresión . Ejemplo : +15 = 15 -22 = 22

Resuelve las siguientes operaciones con valor absoluto : 98.

99.

 -5+ 3  =

99.

 -6 - 2  +  -5 - 3 -  - 13 =

101.

3⋅ 2 - 1  -  5 =

103.

 5 - 6 +  7 - 8 =

105.

3

 -6 + 2  =

100. - 4 + 16  +  -3 - 11 + 6 =

102.

4  5 + 7 ⋅ 6 =

−

1 2 1 − 5 +−4 = 4 3 6

104.

3 5 4 + − = 4 2 5

106.

2 4 3 − 1 − 3+ = 3 5 4

 CONTENIDO 14. OPERACIONES ARBITRARIAS. NOCIONES : - Definir el concepto de operación arbitraria. - Realizar ejercicios con operaciones arbitrarias en Z. La operación se define de una manera absolutamente al azar a * b = 3a - 2b 2 * -5 = 3 ⋅ 2 - 2 ⋅ -5 = 6 - -10 = 16

Si

a ⊗ b = 2a + b

y

a ∅ b = a² + b²

encuentra el valor de cada una de las siguientes operaciones =

107. 109. 111.

4⊗3 6∅3 (6⊗ 3)∅ 4=

108. 2⊗5= 110. 4∅ 2= 112. ( 3 ⊗ 0 ) ∅ ( 6 ⊗ 1 ) =

Si a ⊗ b =

3a +b 2

y

a∅b=

3a − 2b 5

encuentra el valor de cada una de las siguientes operaciones

1 = 4

113.

-2 ⊗ 5 =

114.

2 ∅3= 3

115.

-4 ∅ -2 =

116.

( 6 ⊗ -3 ) ∅ 4 =

117.

( -3 ⊗

112.

4⊗

1 2 ) ∅ (-6 ⊗ 1 ) 3

Ahora dedicaré un momento a reflexionar : Si la adición y la multiplicación ACCIÓN. en los enteros cumplen propiedades de conmutatividad, asociatividad, neutro,etc. ¿ Crees tú que sería posible demostrar que otras operaciones inventadas cumplan esas propiedades ? El producto de tu reflexión lo leerás ante tus compañeros. EJERCICIOS VARIOS. d + 5 119 Se define d* = , con d ≠ 0, entonces ( 2 • 3*)* =  1 1 120. Si (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc) entonces (2,2)*  ,  =  2 2 1 121. Se define a * b = (a + b )(a − b ) entonces ( a * b ) • a∗ b 122.

Si a ∆ b = 2ab, encuentra a) 3 ∆ 2 =

b) -5 ∆ 1 =

c) -3 ∆ -4 =

d) 6 ∆ 0 = e) 4 ∆ -2 = f) la operación anterior es conmutativa ¿ por qué ? ¿ y qué sucede con la asociatividad ? 123.

Si a ♥ b = ab , entonces a) 3 ♥ 2 =

c) -3 ♥ 4 = Esta operación, ¿ es conmutativa ?

b) 5 ♥ 2 = d) 4 ♥ 3 =

124 . Si X gana menos que Y, pero más que Z, y éste gana más que T pero menos que W. ¿ puedes establecer el orden de menor a mayor ?

125. Se define

a)

c)

126.

a

3 -2

-2 4

3

b

c

d

7 -5

1

= ab2 + cd - (a - d) , entonces

=

b)

4

1 0

-2

=

=

La figura representa un mecanismo tal que al ingresar un número por P sufre algunas transformaciones posteriores y bajo cierta condición llega a S y de ahí sale. * en Q el número ingresado se multiplica por (-2) y sale hacia R. * En R se resta 2 al resultado obtenido en Q. Sin embargo, cuando el resultado obtenido en R es menor que 10 se devuelva a Q y sale hacia arriba.

P

Q

R

S

¿ Qué números llegan a S ? A) 5

B) -6

C) -10

D) 0

E) 40

¡¡Guaaa....!! Estos ejercicios me gustaron, quiero otros ¡¡máááss!!..... ¿ y tú ?