Guia3 2006

Gu´ıa 3, Calculo II Facultad de Ingenier´ıa, U. de Los Andes. Prof. Rodrigo Lecaros Auxiliar: Alexis Fuentes Semestre 2006-1 P1.- Considere la funci´on f definida por ( xy2 √ si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) a) Demuestre que existen

∂f (0, 0) ∂x

y

(1)

∂f (0, 0). ∂y

b) Si g(t) = (t, t) con t ∈ IR demuestre que f ◦ g es diferenciable y (f ◦ g)0 (0) = 12 c) Muestre que ∇f (0, 0) · g 0 (0) = 0.

d) Explique por que aparentemente falla la regla de la cadena. P2.- ¿Por qu´e esta equivocado el siguiente argumento?. Supongamos que w = F (x, y, z) y z = g(x, y). Aplicando regla de la cadena ∂w ∂x

= =

∂w ∂x ∂x ∂x

por lo tanto 0=

∂w ∂y ∂z + ∂w ∂y ∂x ∂z ∂x ∂g ∂w + ∂w ∂x ∂z ∂x

+

∂w ∂g . ∂z ∂x

P3.- Sea f : IR2 → IR. Para cada x ∈ IR considere gx (t) = f (x, t). Suponga que para cada x existe un u ´ nico t0 (x) tal que gx0 (t0 (x)) = 0. Si denotamos t0 (x) = c(x) y suponemos que es diferenciable como funci´on de x, demuestre que: • a) Si

∂f (x, y) ∂y

6= 0∀(x, y) ∈ IR2 entonces. c0 (x) =

∂2f (x, c(x)) ∂y∂x ∂2f (x, c(x)) ∂y 2

• ii) Si c0 (x) = 0 entonces existe un y talque ∂2f ∂f (x, y) = 0 y (x, y) = 0. ∂y∂x ∂y P4.- Sean g, k : IR → IR, f, h : IR2 → IR tal que f (x, y) = F (x, g(x)k(y), h(x, y)) encuentre una expresi´on en t´erminos de las derivadas parsiales de F, g, h, k ∂2f para ∂x∂y .

P5.- El capitan PFF tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando esta se encuentra en la 2 2 2 posici´on (x, y, z) esta dada por T (x, y, z) = e−(x +2y +3z ) donde x, y y z estan medidos en metros. Actualmente la nave est´a en la posici´on (1, 1, 1) a) ¿En qu´e direcci´on dever´a avanzar para disminuir m´as r´apido la temperatura del casco de la nave? b) Si la nave viaja a e8 metros por segundo, con que rapidez decrecera la temperatura en la direcci´on de la parte anterior. c) Desafortunadamente, √ el metal del casco se cuartear´a si se enfria a una tasa mayor que 14e2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en las que puede avanzar bajando la temperatura a una tasa menor que ´esa. P6.- Sean f (x, y), g(x, y) dos funciones diferenciables de IR2 → IR. Se definen las funciones u(r, ϕ) y v(r, ϕ) de IR2 → IR por u(r, ϕ) = cos(ϕ) · f (r cos(ϕ), r sen(ϕ)) + sen(ϕ) · g(r cos(ϕ), r sen(ϕ)) v(r, ϕ) = −sen(ϕ) · f (r cos(ϕ), r sen(ϕ)) + cos(ϕ) · g(r cos(ϕ), r sen(ϕ)) probar que

∂g ∂f ∂v v 1 ∂u + − = (r cos(ϕ), r sen(ϕ)) − (r cos(ϕ), r sen(ϕ)) ∂r r r ∂ϕ ∂x ∂y P7.- Sea f : IR2 → IR. Se define g : IR+ × [0, 2π) → IR por g(r, ϕ) = f (r cos(ϕ), r sen(ϕ)). Demuestre que 1 ∂2g ∂2f ∂2f ∂ 2 g 1 ∂g + + = + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ2 ∂x2 ∂y 2 P8.- Determine si la siguientes funciones son Arm´onicas. a) f (x, y) = x3 − 3xy 2

b) f (x, y) = sen(x)cosh(y) c) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) d) f (x, y) = ex sen(y) P9.- Calcular la expanci´on de Taylor de segundo orden de las siguientes funciones en los puntos indicados, y calcule una vecindad en torno al punto tal que el error de a lo m´as10−2 . a) f (x, y, z) = (x2 + 2xy + y 2 )ez en ~x0 = (1, 2, 0) y ~x0 = (3, 2, 5) 2

b) f (x, y, z) = (x3 + 3x2 y + y 3 )e−z en ~x0 = (0, 0, 0) y ~x0 = (3, 2, 3) c) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ln(cos(x1 + x2 − x3 − x4 )) en ~x0 = ~0 2

P10.- Sea g : IR → IR una funci´on de clase C2 y sea f : IRn → IR,con n ≥ 3, la funci´on f (x) = g(kxk) a) Probar que: ∇f =

n X ∂2f

∂x2i i=1

=

n−1 0 g (r) + g 00 (r) r

con r = kxk, x 6= 0.

b) Probar que si ∇f = 0, entonces f (x) =

a + b, si x 6= 0 kxkn−2

P11.- Sea f : IRn → IR de clase C∞ . Pruebe que en general no se tiene que la serie de Taylor de f converge a f . Para esto considere como contraejemplo la funci´on f : IR → IR definida por  −1 e x2 si x < 0 f (x) = 0 si x ≥ 0 P12.- Suponiendo que f es de clase C2 , transformar la ecuaci´on ∂2f ∂2f ∂2f + + . ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y Mediante el cambio de variableu = x + y, v = x − y. P13.- Encuentre un vector normal al plano tangente a cada superficie en el punto indicado a) f (x, y) = x3 + y 3 − 6xy en ~x0 = (1, 2, −3)

b) f (x, y) = cos(x)sen(y) en ~x0 = (0, π2 , 1)

P14.- Calcular para los siguientes casos la direcci´on de mayor crecimiento en (1, 1, 1) a) f (x, y, z) = xy + yz + xz b) f (x, y, z) =

1 x2 +y 2 +z 2

P15.- Encontrar la m´axima y m´ınima distancia al origen de la curva 2x2 + 3xy + 2y 2 = 0. Bosqueje gr´aficamente 2

P16.- Analice la funci´on f (x, y, z) = ylnz) + y2z + x2 + 2 determinando posibles puntos cr´ıticos y clasific´andolos. 3

P17.- Demuestre que la caja de volumen m´aximo que puede ser colocada dentro de una esfera de radio R es un cubo. P18.- Encontrar x1 > 0, ..., xn > 0 que resuelven max −

n P

x1 ,...,xn i=1 n P

xi ln(xi )

xi = 1

s.a.

i=1

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