Guia1 2006

Gu´ıa 1, Calculo II Facultad de Ingenier´ıa, U. de Los Andes. Prof. Rodrigo Lecaros Auxiliar: Alexis Fuentes Semestre 2006-1 P1.- Calcular la clausura, interior y frontera de los siguientes conjuntos: a) Z. b) Q. c) IR \ Q. d) (−1, 1]. e) [1, +∞). f) {− n1 : n ∈ IN } g) { n1 : n ∈ IN } ∪ {0} P2.- Demuestre o de contraejemplos que refuten cada una de las siguientes afirmaciones a) (Ao )o = Ao , ∀A ⊆ IRn b) Ao ∩ B o = (A ∩ B)o , ∀A, B ⊆ IRn c) (Ac )o = (Ao )c , ∀A ⊆ IRn d) Ao es abierto, ∀A ⊆ IRn e) F r(F r(A)) = F r(A), ∀A ⊆ IRn f) F r(A ∪ B) = F r(A) ∪ F r(B), ∀A, B ⊆ IRn g) F r(A ∩ B) = F r(A) ∩ F r(B), ∀A, B ⊆ IRn h) F r(A) = F r(Ac ), ∀A ⊆ IRn P3.- Calcular la clausura, interior y frontera de los siguientes conjuntos: • i) A := {(x, y) ∈ IR2 : x = n1 , n ∈ IN , 0 ≤ y ≤ 1} • ii) B := {(x, y, z) ∈ IR3 : x + y + z = 1, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} • iii) C := {(x, y) ∈ IR2 : x2 − y 2 < 1} • iv) D := {(x, y) ∈ IR2 : 0 < x ≤ π4 , y = sen x1 } P4.- Demostrar que si A ∈ IRn es un abierto o un cerrado, entonces Int(F r(A)) = ∅. ¿Es cierto este resultado para cualquier conjunto A?. P5.- Sean A, B ∈ IRn . Demostrar: F r(A) ⊆ F r(A) y F r(Int(A)) ⊆ F r(A), pudiendo ser los tres conjuntos distintos. P6.- Utilizando la definici´on ε − δ demostrar que: lim

(x,y)→(−1,1)

x2 y 2 + 2xy 2 − 2x2 y + x2 + y 2 + 2x − 2y − 4xy + 1 = 0

P7.- Estudiar la existencia del l´ımite en (0, 0) de las funciones: (i)

( f (x, y) =

(ii)

( f (x, y) =

x2 y 3 x4 +y 6

0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

(xy)2 ((xy)2 +(x−y)2 )

0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

P8.- Determine los valores de α para los cuales es continua la funci´on: ½ x|y|α si (x, y) 6= (0, 0) x4 +y 4 +x2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)

(1)

(2)

(3)

P9.- Considere el conjunto ½ ¾ 1 2 A = (x, y) ∈ IR , x > 0 ∧ sen( ) > y > 0 x a) De un ejemplo de punto interior, punto adherente y punto frontera de A. b) ¿tiene A puntos aislados? c) ¿tiene A puntos de acumulaci´on? d) Haga un gr´afico de F r(A)

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