Guia Trigonometria

APLIQUEMOS LA ESTADISTICA, LA PROBABILIDAD Y LA SOLUCION DE TRIANGULOS A PROBLEMAS DEL MUNDO REAL. Guía General de Trigonometría. Competencia: Competencia Aplica la trigonometría en la resolución de problemas de la vida real donde su solución pueda ser representada por un triangulo Indicadores de Logro: 1. Suma y resta ángulos y encuentra el ángulo faltante con el teorema de los ángulos y halla el lado faltante con el teorema de Pitágoras 2. Grafica las funciones trigonométricas, comprendiendo los conceptos de amplitud, fase y periodo. 3. Aplica Teorema del Seno y del Coseno para resolver problemas de la vida real, donde se utilicen triángulos 4. Resuelve ecuaciones donde existan funciones trigonométricas. 5. Halla estadísticas y probabilidades resolviendo problemas reales. Contenidos Programáticos Conceptos básicos de triángulos Sistemas de medición de ángulos Operaciones con ángulos El teorema de Pitágoras Resolución de triángulos usando funciones trigonométricas Graficación de funciones trigonométricas Fase, amplitud y periodo de una función trigonométrica El teorema del seno y del coseno Identidades trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Ecuaciones con funciones trigonométricas Estadística Básica Probabilidades Recursos: Software (Graph, Derive For Windows) Hojas Milimetradas Internet Libros (Matemática Practica 10)

ANGULOS Un ángulo θes un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del

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ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.

Lado Terminal P

s

θ

Lado

2

Inicial

r

Una rotación en el sentido contrario a lasmanecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). Lado Terminal

Lado Inicial θ

q Lado Inicial

MEDICIÓN EN GRADOS Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (360 0). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “º” denota grados. Los submúltiplos del grado son 60 minutos y de éstos, 60 segundos. Los minutos y los segundos, se representan escrituralmente con los signos ’ y ”; de modo que la medida de un ángulo asume la forma: 48°15’20”, lo cual se lee 48 grados, quince minutos, veinte segundos.

Tipos de ángulos según sus grados Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo. La herramienta para medir los grados es el transportador.

EJERCICIOS. Utilice el transportador para medir los siguientes ángulos: a. b. c. d. e. f. g.

180º 47º 155º -55º 215º 350º 75º

SUMA DE ANGULOS Para sumar ángulos en forma aritmética, deben sumarse por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un

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minuto, y cada 60 minutos forman un grado, debe hacerse el correspondiente ajuste del resultado: Ejemplo: Sumar ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53” 30° + 42° = 72° 45’ + 45’ = 90’ 13” + 53” = 66” Ahora empezamos de atrás para adelante, si los segundos se pasan de sesenta se restan esos mismos 60 y se suma un minuto más a la columna de los minutos: 66’’ – 60’’ = 6’’ 90’ + 1’ = 91’ Ahora hacemos lo mismo con los minutos, restamos 60, y sumamos 1 grado más en la columna de los grados. 90’ – 60’ = 30’ 72º + 1º = 73º La respuesta es entonces 73º 30’ 6’’

EJERCICIOS Con: A= 15º 20’ 22’’ B= 35º 40’ 55’’ C= 75º 45’ 30’’ D= 46º 28’ 9’’ Resuelva las siguientes sumas de ángulos: 1. 2. 3. 4. 5.

A+B C+D A+D C+A A+C+B

RESTA DE ÁNGULOS Para restar ángulos en forma aritmética, debe procederse en forma similar a la suma, restando por separado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego reducir el resultado como se hiciera en la suma.

Pero como puede ocurrir que los minutos o segundos del sustraendo sean más que los del minuendo, habrá que tomar 60 del nivel superior, reduciendo éste: Ejemplo: Restar ABC = 42° 45’ 13” — DEF = 30° 55’ 53” 42º - 30º = 12º 45’ – 55’ = -10’ 13’’ – 53’’ = -40’’ Como ni los minutos, ni los segundos pueden quedar negativos, empezamos desde los segundos sumándoles 60’’ (recuerda solo si son negativos de los contrario puedes ahora revisar la columna de los minutos) y restando en la columna de los minutos otro minuto

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-40’’ + 60’’ = 20’’ -10’ – 1’ = -11’ Ahora repetimos el proceso con los minutos, si son negativos, sumamos 60’ y restamos un grado (los grados si pueden quedar negativos) -10’ + 60’ = 50’ 12º - 1º = 11º La respuesta entonces nos queda 11º 50’ 20’’

EJERCICIOS Con: A= 15º 20’ 22’’ B= 35º 40’ 55’’ C= 75º 45’ 30’’ D= 46º 28’ 9’’ Resuelva las siguientes restas de ángulos:

1. 2. 3. 4.

A-B C-D A-D C-A 5. D-B

SOLUCION DE TRIANGULOS La figura mas importante en el mundo de la trigonometría es el triangulo, el nombre de esta figura corresponde precisamente a que posee 3 ángulos, así como 3 lados, el lado mas largo de un triangulo se llama hipotenusa y los otros dos corresponden a los catetos. Hay una propiedad que nos permite hallar un ángulo teniendo los otros dos dice que:

“La suma de los 3 ángulos del triangulo siempre debe dar 180º” Ejemplo:

Para hallar el ángulo faltante debemos primero sumar los dos ángulos que tenemos: 30º + 90º = 120º Luego restamos 180º menos el resultado que nos acaba de dar (si los ángulos llevaran minutos y segundos usaríamos 179º 59’ 60’’): 180º - 120º = 60º El ángulo faltante es de 60º EJERCICIOS. Halle el ángulo faltante:

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TEOREMA DE PITAGORAS Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto") y c como Hipotenusa, tenemos que

a2 + b2 = c2 c2 - b 2 = a2 c2 - a2 = b2 Así por ejemplo:

EJERCICIOS Dibuje, y calcule la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos a. C1 = 5 cms y C2 = 7 cms b. C1 = 3 cms y C2 = 13 cms c. C1 = 8 cms y C2 = 8 cms

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d. C1 = 12 cms y C2 = 2 cms e. C1 = 9 cms y C2 = 6 cms f. C1 = 4cms y C2 = 12 cms

RELACIONES TRIGONOMETRICAS. Existen 6 relaciones trigonométricas las cuales son como su nombre indica un ángulo con dos lados del triangulo. Estas son:

Nombre

Abreviatura

Relación Triangulo Rectángulo

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Sen Cos Tan Ctg Sec Csc

Sen α = CO / H Cos α = CA / H Tan α = CO /CA Ctg α = CA / CO Sec α = H / CA Csc α = H / CO

Donde las letras α (alfa) β (beta) γ (gamma) denotan los 3 ángulos del triangulo y las letras H (Hipotenusa) CO (Cateto Opuesto) y CA (Cateto Adyacente) corresponden a los 3 lados.

SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS USANDO RELACIONES TRIGONOMETRICAS Para solucionar triángulos rectángulos usando las relaciones trigonométricas hay que recordar que:

1. Necesitaremos calculadora científica para hallar el resultado de la función trigonométrica.(pídele a tu docente que te enseñe a manejarla) 2. Solo necesitaremos usar Seno, Coseno o Tangente. 3. Se pueden resolver triángulos rectángulos que tengan 2 lados o que tengan al menos el ángulo alfa y uno de los lados. Ejemplo: Halle la Hipotenusa del siguiente triangulo:

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Solución: Como tenemos el cateto adyacente (CA = 5cms) y el ángulo alfa, para resolver el triangulo hay que buscar la función trigonométrica que tenga los dos lados el que tenemos y el que vamos a hallar (CA y H) esa es Coseno

CA H 5 Cos30º = H Despejamos: 5 H= Cos30º 5 H= 0.86 H = 5.81 Cosα =

Ejemplo 2: Halle el ángulo alfa en el siguiente triangulo:

Solución: Como los lados que tenemos corresponden a los catetos (CA y CO) utilizaremos tangente:

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CO CA 4 Tanα = 5 Tanα = 0.8 Despejamos: Tanα =

α = arcTan(0.8) α = 38.66º Nótese que para despejar una función trigonométrica, solo hay que pasarla al otro lado como Arco Seno, Arco Coseno o Arco Tangente (Consulta con tu docente como buscar y utilizar estas funciones en tu calculadora) Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Estas funciones aparecen cuando se tiene el valor de una función trigonométrica y se quiere buscar el ángulo el cual dio esa respuesta. Son seis (una por cada función trigonométrica), tienen los mismos nombres de las funciones pero anteponiéndole la palabra arco (arco seno, arco coseno, arco tangente), en las calculadoras o en el cuaderno se acostumbra escribirlas como arcsen o como sen-1, así por ejemplo, Hallemos el ángulo que al aplicarle coseno da 0.5. El ejercicio se representaría así: Cos (α) = 0.5 Cambio coseno al otro lado del igual como Arco coseno

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α = ArcCos (0.5) Resolviendo en la calculadora α = 60º EJERCICIOS Halle con los siguientes valores el ángulo: • • • • • • •

0.86 con Coseno 0.86 con Seno 0.70 con Coseno 1 con Tangente 0.5 con Seno 0.96 con Coseno 0.96 con Seno TEOREMA DEL SENO

El teorema del seno se aplica para resolver triangulo no importa su forma (al contrario de Pitágoras y las anteriores relaciones que solo resuelve triángulos rectángulos), para ello recordemos la forma original del triangulo rectángulo Sabemos que el lado mas largo del triangulo es la hipotenusa, para poder resolver estos triángulos debemos identificar primero este lado y debemos asegurarnos de tener 2 de los lados y un ángulo o dos de los ángulos y un lado para mostrar como se solucionan haremos el siguiente ejemplo: Desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observa un barco con un ángulo de depresión de 30°’ ¿a que distancia esta el barco de la playa? Realicemos primero un dibujo para poder analizar mejor el problema (Recomendado)

Como el faro lo tomamos derecho podemos tomar ese ángulo del faro con el mar como de 90º, nuestra primera tarea será hallar el ángulo que falta (180- (30 + 90)) y definir cual es cateto opuesto, cual cateto adyacente, cual hipotenusa, y cuales alfa, beta y gamma. Es de aclarar que alfa nunca toca la línea de cateto opuesto, beta nunca toca la de cateto adyacente y gamma nunca toca la de la hipotenusa (Esto nos ayudara a ubicar más rápidamente los lados)

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Según el triangulo tenemos entonces que hacer la siguiente tabla (hazla igual para todos los problemas)

CO=50 mts CA=? H= ?

α = 30º β = 60º γ = 90º

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Comolo que preguntan es la distancia del barco al faro, significa que lo que vamos a hallar es el cateto adyacente, entonces tomamos la fila que tiene ya los dos datos completos (en este caso la de cateto opuesto y alfa, colocándola de la siguiente forma:

Senα = CO Al otro lado pongo la del cateto adyacente (la que del dato que quiero averiguar)

Senα Senβ = CO CA Despejando el cateto Adyacente y resolviendo:

CA =

COSenβ 50Sen(60º ) = = 86.60mts Senα Sen(30) EJERCICIOS

1. Un poste de 6 metros de alto esta sostenido por un tirante que forma un ángulo de 50°20’ con la horizontal. ¿Cuál es la longitud del tirante?

2. Desde un punto situado a 18 metros un hombre acostado ve la copa de un árbol con un ángulo de inclinación de la cabeza de 62° ¿Cuál es la altura del árbol?

3. Si una carretera sube 12 metros en una distancia de 60 metros, ¿cual es el ángulo de la carretera con el plano horizontal?

4. para alcanzar la cima de una pared se utiliza una escalera de 10 metros de larga, si la 5. 6. 7.

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escalera se pasa 2 metros mas allá del muro y este tiene 6 metros de alto ¿Qué ángulo forma la escalera con el plano horizontal? desde un faro situado a 70 metros sobre el nivel del mar se observa un barco con un ángulo de depresión de 20°30’ ¿a que distancia esta el barco de la playa? Calcula la altura de un globo que esta encima del instituto si desde otro lugar a 7 Kms lo ven con un ángulo de 12°12’. Un avión parte hacia el norte con una velocidad de 320 kms/h y otro parte hacia el este con velocidad de 200 kms/h ¿A que distancia estarán al cabo de 2 horas? Desde la azotea de una casa de 6 metros de altura se ve a un hombre acercarse con un ángulo de depresión de 26° unos momentos mas tarde se ve con un ángulo de 62° 10’¿Cuánto ha avanzado aquel hombre?

ESTADISTICA Para el ejemplo supongamos que en un salón de la institución hay 30 alumnos y a cada uno de ellos le preguntamos su edad los resultados son los mostrados en esta tabla: Edad

Numero de Personas con esa edad

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14 años 15 años 16 años 17 años 18 años 19 años

5 7 2 5 5 6

Esos datos corresponden a lo que en estadística se llama la muestra, debemos ahora sacar los porcentajes de cada edad, para ello cogeremos cada numero de personas por edad, lo multiplicamos por 100 y lo dividiremos entre el total de la muestra (los 30 alumnos) Edad

Numero de Personas con esa Porcentaje edad 14 años 5 5 x 100 / 30 = 16.66% 15 años 7 23.33% 16 años 2 6.66% 17 años 5 16.66% 18 años 5 16.66% 19 años 6 20% Si sumamos los porcentajes debe darnos cerca del 100% (para el caso da 99.97%) Ahora graficaremos los datos, para el caso usaremos el diagrama de barras o de puntos: Ahora podemos calcular tres unidades de medida muy famosas en estadística, la media, la mediana y la moda. Moda: (es el que tenga el numero de personas mas alto) la moda es tener 15 años Mediana: busca el dato mas próximo al centro para encontrar un promedio, en este caso de edades. Para ello hay que escribir todas las edades de los alumnos en orden: 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 Como son 30 alumnos (numero par buscamos los dos de la mitad (las posiciones 15 y 16 de la lista que tienen ambas la edad 17, las sumamos y las dividimos entre dos para una mediana de 17 años. Si los datos no hubieran sido numero par sino impar la mediana seria el único dato de la mitad Media: calcula un promedio, los datos que usamos en el ejemplo de la mediana los sumamos y los dividimos en la cantidad de encuestados. (en este caso 30) 14+14+14+14+14+15+15+… = 496 / 30= 16.53 = 16 años y 6 meses. EJERCICIOS Crea 5 preguntas para tus compañeros y realiza las estadísticas (trata de usar preguntas con un numero de respuestas limitadas). Entrégalas en una hoja de examen a tu profesor.

PROBABILIDADES Hay casos donde la matemática no es exacta. Sin embargo aunque no sepamos lo que va a suceder podemos predecirlo. Para el ejemplo imaginemos un caso típico. El lanzamiento de dos monedas. Si suponemos que simbolizamos las dos caras de la moneda como Cara (C) y sello (S) podemos sacar todas las posibles formas de que caigan: S = { CC , CS, SC, SS }

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Al conjunto S se le conoce como el espacio muestral. Aquí están todas las posibles formas de que las dos monedas caigan. (Por ejemplo SS representa Sello la primera moneda, Sello la segunda moneda). Las probabilidades se dan por preguntas relacionadas con ese espacio muestral, por ejemplo supongamos que queremos saber la probabilidad de que la primera moneda caiga en cara, al conjunto que cumpla esta condición se le llama Evento E = { CC , CS } Podemos ver que solo dos elementos cumplen la condición, la probabilidad será entonces el numero de elementos del evento dividido entre el numero de elementos del espacio muestral: 2 elementos de E / 4 elementos de S = 0.5 x 100 = 50% de probabilidad. En algunos casos no es necesario crear el espacio muestral en el cuaderno, así por ejemplo, si nos preguntaran cual es la probabilidad de sacar un Joker de una baraja de cartas, bastaría con saber que son 54 cartas en una baraja (contando los dos joker) y como son dos los joker la probabilidad seria de 2/54 = 0.0037 x 100 = 3.70 % EJERCICIOS En una competencia de atletismo participan solo Luz, Janeth y Angela, ¿cual es el espacio muestral de las posiciones de llegada?¿Cual es la probabilidad de que llegue Janeth segunda o tercera?¿Cual es la probabilidad de que una mujer con una letra a en su nombre llegue primera o segunda? Cual es la probabilidad en una baraja de naipe de sacar: • • • •

Un as Una figura de color Rojo Una J o una Q o una K La misma carta 2 veces (volviéndola a meter a la baraja)

Se meten 3 bolas de color negro, 2 de color blanco y 4 amarillas en una bolsa negra, ¿Cuál es ¿la probabilidad de sacara al azar una bola negra, una blanca y una amarilla?

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