Guia Transformaciones Lineales 2006

Universidad de Los Andes Facultad de Ingenier´ıa ´ Algebra Lineal 2006-2 Profesora: Carolina Prado B. Auxiliar: Rodolfo Carvajal V.

Gu´ıa Transformaciones Lineales 1. Sea la transformaci´on T :µ M2×2 (R¶) −→ P3µµ (R) a b a 7−→ T c d c

b d

¶¶ = d − (b − c)x + (b − c)x2 + ax3

a) Verifique que T es lineal b) Obtenga la base de ker(T ) y de (T ) c) Determine la inyectividad y epiyectividad de T d ) Obtenga la matriz representante de T c/r a las bases can´onicas de M2×2 (R) y P3 (R) 2. Sean V, W espacios vectoriales reales y T : V → W una funci´on lineal. Sea {u1 , . . . , uk } ⊆ V un conjunto l.i. Pruebe que el conjunto {T (u1 ), . . . , T (uk )} es l.i. si y s´olo si h{u1 , . . . , uk }i ∩ Ker(T ) = φ. 3. Sea Pd (R) el espacio de polinomios de grado menor o igual a d, a coef. en R, se define la transformaci´on T : P5 (R) → P10 (R) por T (p)(x) = p(x2 ). a) Pruebe que T es lineal. b) Encuentre una base de Im(T ). c) Pruebe que T es inyectiva. 4. Sea L : R2 −→ R3 una transformaci´on lineal tal que L(3, 5) = (2, −4, 1) y L(1, 2) = (−5, 3, 4). a) Calcule la imagen de (10,4). b) Hallar la matriz representante de L c/r a las bases can´onicas de R2 y R3 5. Sea S el e.v. de todas las sucesiones de n´ umeros reales (sobre los reales). Sean las trasformaciones T1 : S −→ S tal que T1 (x0 , x1 , x2 , . . . ) = (0, x0 , x1 , x2 , . . . ), y T2 : S −→ S tal que T2 (x0 , x1 , x2 , . . . ) = (x1 , x2 , x3 , . . . ) a) Verifique que T1 y T2 son lineales. b) Pruebe que T1 es inyectivo pero no epiyectivo. ¿Se contradice el T.N.I.? c) Pruebe que T2 es epiyectivo pero no inyectivo. ¿Se contradice el T.N.I.? d ) Calcule T1 ◦ T2 y T2 ◦ T1 6. Sea la transformaci´on 4

 T : R x1  x2     x3  x4

−→ R3

   x1 2x1 − x2  x2     x3 + x1 − 3x4  7−→ T   x3  = x1 + x2 + x3 x4 1

a) Verifique que T es lineal b) Obtenga la base de ker(T ) y de (T ) c) Determine la inyectividad y epiyectividad de T d ) Calcule la matriz representante de T c/r a las bases β y β 0 de R4 y R3 , respectivamente, dadas por:               1 2 1 1     −1  0   1   −1   0   −1  0 0          ,  1  ,  −1  β=   0  ,  −3  ,  1  ,  −3  , β =  1     −1 0 2   4 2 1 2 7. Sea la funci´on traza tr : M3×3 (R) → R (recuerde: tr(A) =

Pn i=1

Aii ).

a) Verifique que tr es lineal. b) Calcule la base de ker(tr) y de (tr). c) Determine la inyectividad y epiyectividad de tr. 8. Sea T la transformaci´ matriz representante c/r a la ½µon lineal ¶ de µ M2×2 (¶R)µen M2×2 ¶ (R µ) cuya ¶¾ 1 0 0 1 0 0 0 0 base can´onica β = , , , es: 0 0 0 0 1 0 0 1   2 0 0 0  0 1 1 0   A=  0 1 1 0  0 0 0 2 a) Determine la matriz representante c/r a la base ½µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ 1 0 0 i 0 0 0 β0 = , , , 0 0 0 0 −i 0 0

0 −1

¶¾

b) Calcule la base de ker(T ) y de (T ). c) Calcule el rango de T . d ) Determine la inyectividad y epiyectividad de T 9. Sean V, W espacios vectoriales sobre R. En V × W se define la suma y ponderaci´on por escalar como: (v, w) + (v 0 , w0 ) = λ(v, w) =

(v + v 0 , w + w0 ), ∀(v, w), (v 0 , w0 ) ∈ V × W (λv, λw), ∀(v, w) ∈ V × W, ∀λ ∈ R

Dada una funci´on f : V −→ W se define su gr´afico por Gf = {(v, w) ∈ V × W | w = f (v)} a) Pruebe que f es lineal si y s´olo si Gf es s.e.v. de V × W b) Suponga que f es lineal. Pruebe que Gf ⊕ ({OV } × W ) = V × W 10. Sean las funciones lineales l, li : Rn −→ R tales que n \

ker(li ) ⊆ ker(l)

i=1

Demuestre que existen reales {α1 , . . . , αn } tales que l = 2

Pn i=1

αi li

(0.1) (0.2)

11. Sea U un e.v. de dimensi´on finita y sean T : U −→ U y S : U −→ U transformaciones lineales tales que S ◦ T = T ◦ S y ker(T ) ∩ ker(S) = {0} . a) Demuestre que S(ker(T )) ⊆ ker(T ) y T (ker(S)) ⊆ ker(S) b) Pruebe que la transformaci´on ψ : ker(T ) ⊕ ker(S) x

−→ ker(T ) ⊕ ker(S) 7−→ ψ (x) = S(x) + T (x)

est´a bien definida y es un isomorfismo. 12. Sea T : P4 (R) −→ P4 (R), definida por P = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 → T (P ) = 2a2 + 6a3 x + 12x24 a) Verifique que T es lineal. b) Dadas las bases B1

=

B2

=

1 1 1 {1 − x + x2 − x3 + x4 , x − x2 + x3 − x4 , 2 3 4 1 1 1 x2 − x3 + x4 , x3 − x4 x4 } 2 3 2 {1, x, x2 , x3 , x4 }

Encuentre la matriz representante de T con respecto a las bases B1 y B2 . Denote por A a la matriz, es decir, A = MB1 B2 (T ). c) Sea p ∈ P4 (R) tal que [p]B1 = (1, 2, 0, −1, 1)T . Encuentre T (p). d ) Encuentre bases de Ker(A), Im(A). e) Encuentre bases de Ker(T ), Im(T ). 13. Considere la aplicaci´on lineal f : R4 −→ R4 definida por f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 , x1 , 2x1 ) a) Utilizar una matriz representante de f para determinar n´ ucleo e imagen de f y decidir si f es sobreyectiva o biyectiva.

14.

b) Obtener una expresi´on para f n (composici´on de f , n veces).       x1 5 3 2 0 1 x2   a) Sea A = 1 −1 1 1 , b =  1 , x =  x3  8 8 2 −2 0 x4 i. Encuentre todas las soluciones de Ax = b. ii. D´e bases para Ker(A), Im(A) y sus respectivas dimensiones.         0 1 1   1 b) Sea S el subespacio vectorial de R3 generado por  1  ,  1  ,  2  ,  0  .   1  1   2 0 3 1 Considere L : R3 −→ R3 lineal tal que Ker(L) = S y L  0  =  1 . 2 1     x x Dado  y  ∈ R3 un vector cualquiera de R3 , encontrar L  y  y la matriz represenz z tante de L con respecto a la base can´onica. 3

15. Sea T : V → V , transformaci´on lineal. Si dim(V ) = n < ∞, pruebe que: V = Ker(T ) ⊕ Im(T ) ⇔ Ker(T 2 ) = Ker(T ) en donde T 2 = T ◦ T . 16. Sea T : R4 → R4 una transformaci´on lineal tal que     0 1 1  1     T 0= 0  y T −1 0

  1 1 0 1  = 1 1 0 0 

   

D´e entonces una expresi´on para T sabiendo que Ker(T ) = Im(T ). 17. Sea α, β ∈ R. Sea T : R3 → R3 una transformaci´on lineal tal que     1 2β T1= α  1 0     0 0 T  −1  =  α  1 β     0 β T  0 = α−1  1 0

a) Encuentre los valores de α y β, tales que la aplicaci´on T no es inyectiva. b) Encuentre una base y la dimensi´on de Ker(T ) e Im(T ) para el caso α = 1 y β = 0. 18.

a) Sea v ∈ Rn \ {0}, se define T : Rn −→ Rn por: ∀x ∈ Rn ,

T (x) = hv, xiv

en donde hv, xi = v t x. 1) Demuestre que T es lineal. 2) Demuestre que Ker(T ) = h{v}i⊥ . 3) Demuestre que Im(T ) = h{v}i (Hint: Para la inclusi´on h{v}i ⊆ Im(T ) utilice un argumento con las dimensiones). µ ¶ 1 4) Sea ahora v = ∈ R2 y defina T como antes. Determine la inyectividad y −1 epiyectividad de T (Hint: Utilice las partes anteriores). µ ¶ µ ¶ 3 1 2 2 b) Sea L : R −→ R lineal, tal que L = y que 5 1 ½µ ¶¾ 1 h i ⊆ Ker(L). 1 µ ¶ µ ¶ x x Dado ∈ R2 cualquiera, determine L . y y 19. Sea T : M2×2 (R) → M2×2 (R), dada por T (A) = A + At , es decir la imagen de una matriz es la suma de ella con su traspuesta. a) Demuestre que T es lineal. 4

b) Determine la matriz MB1 B2 (T ), en µ· 1 B1 = 0

donde ¸ · ¸ · ¸ · ¸¶ 0 0 0 1 1 0 0 , , , 0 1 1 0 0 0 1

y B2 es la base can´onica en M2×2 (R). 20. Sean E espacio vectorial sobre un cuerpo K y L : E → E una transformaci´on lineal. a) Un subespacio vectorial V de E, se dice L-estable si L(V ) ⊆ V . Demuestre que Ker(L) e Im(L) son L-estables. b) Suponga que E tiene dimensi´on n. ¿Puede existir una transformaci´on lineal L : E → E tal que Ker(L)=Im(L)?. D´e su respuesta en funci´on de n. 21. Sea E un espacio vectorial real de dimensi´on n y sea B = {v1 , . . . , vn } una base de E. Se define la transformaci´on TB : V → Rn de la siguiente manera: ∀v ∈ V con v =

n X

αi vi ,

TB (v) = (α1 , α2 , . . . , αn )t

i=1

Es decir, a un vector v ∈ V se le asignan sus coordenadas con respecto a la base B. a) Pruebe que TB est´a bien definida (es efectivamente funci´on) y que es una transformaci´on lineal. b) Gracias a esto es posible trabajar en Rn , con las coordenadas en una base, en lugar de trabajar en V . Esto, en el sentido de las siguientes propiedades que debe demostrar: 1) {w1 , . . . , wk } es un conjunto l.i. en V ⇔ {TB (w1 ), . . . , TB (wk )} es un conjunto l.i. en Rn . 2) {w1 , . . . , wk } es un conjunto generador de V ⇔ {TB (w1 ), . . . , TB (wk )} es un conjunto generador de Rn . 3) {w1 , . . . , wk } es una base de V ⇔ {TB (w1 ), . . . , TB (wk )} es una base de Rn . c) Use lo anterior para decidir si {x2 + 2x − 3, x2 − x + 1, x2 − 3x + 5} es una base de P (R)2(R) . ¸ · 1 2 3 22. Considere la matriz A = y las bases de R3 y R2 respectivamente: 4 5 6       1 1 1 B = { 1  ,  1  ,  0 } 1 0 0 µ B0 = {

1 1

¶ µ ¶ 3 , } −3

Encuentre la transformaci´on lineal T : R3 −→ R2 tal que A es la matriz representante de T con respecto a las bases B y B 0 .

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