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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL Cátedra: ALGEBRA

Guía de TRABAJOS PRACTICOS

Teoria Prof. ESTELA B.ROBLES. Trabajos Prácticos: Prof. Dure, Diana

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PROGRAMA UNIDAD N°1: ÁLGEBRA DE MATRICES Matrices, Definición. Matrices especiales, Igualdad, Suma, Propiedades de la suma, Multiplicación por un escalar, Multiplicación de matrices, Propiedades de la multiplicación, Traspuesta de una matriz, Matrices separadas o particionadas, Operaciones elementales, Rango de una matriz, Determinación del rango UNIDAD N°2: INVERSAS Y DETERMINANTES Determinante de una matriz, Definición, Axiomas y propiedades, Valor de un determinante. Determinante de una matriz no singular, Adjunta de una matriz, Inversa de una matriz. Aplicaciones análisis de insumoproducto o matriz de Leontief. UNIDAD N°3: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Teorema fundamental de equivalencia de sistemas, Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales, Sistemas generales Sistemas cuadrados, Teorema y Regla de Cramer. Clasificación de sistemas lineales, Método de resolución Gaussiana . UNIDAD N° 4 : NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA La recta en el plano. Ecuaciones. Inecuaciones. Ecuaciones Definición de: Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola, Ecuaciones de las mismas, aplicaciones. Sistemas de inecuaciones. UNIDAD N° 5:ANÁLISIS COMBINATORIO Sumatoria. Principio de inducción completa. La función factorial. Sucesiones. Progresiones aritméticas, progresiones geométricas: Definiciones. Teorema General. Números combinatorios. Potencia de un binomio. Arreglos o variaciones simples. Permutaciones simples. Combinaciones simples.

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TRABAJO PRACTICO Nº1 MATRICES Matriz: elementos, orden y representación Una matriz es una ordenación rectangular de elementos, generalmente dentro de un paréntesis. Las líneas horizontales se llaman filas y las verticales, columnas. Una matriz con m filas y n columnas se dice que es de orden m x n. Una matriz se representa con una letra mayúscula y sus elementos, con la misma letra en minúscula seguida de dos subíndices que indican la posición en la tabla. Ejemplo La matriz A es de orden 2 x 3 y tiene 2x 3 = 6 elementos

Sus 6

elementos son:

a11  1, a12  2, a13  3, a21  4, a22  7 y a23  5 .

Observaciones: El elemento que se ubica en la 1º fila y 3º columna se denota por a y se lee a uno tres.

Ejercicios

1. Determinar el número de filas, de columnas y el orden de estas matrices.

 3 1  2  x    b) 2 3 2  ; c)1 2 4 2 ; d) y  1 0 2 5   2 y  1  Observaciones: 1 0 3 En vez del paréntesis se suele usar   1  2 también el corchete o la doble barra. Así  3 2. Observar la siguiente matriz y responder.  4  2 5  2 2  2 2  2 2              1 3   1 3   1 3  5 8 1 a)   ;   1 3 2

a) ¿Cuál es el elemento que está en la segunda fila y tercera columna? b) ¿Cuáles son los elementos que están en la tercera fila?

3. Dadas las matrices : 4  1 0 1  7 0 1 - 5   3 2 4 2   A y B  8 3 4 - 2 8 0 2 1  9 2 6 - 1 . Identificar estos elementos, si existen.   1 3 4 1 

a11  ............., b12  ............., a13  ............, b14  ..................... b22  .............., a23  ............, b23  ............., a25  ................... 4. Contestar con verdadero (V) o falso (F). a) Una matriz de orden 2 x 2 tiene 2 filas, 2 columnas y 4 elementos. b) Una matriz de orden 7 x 2 tiene 9 elementos. c) Si m= n y la matriz tiene 16 elementos, entonces es de orden 4 x 4. d) Los elementos de la 3ª fila de una matriz de orden 3 x 2 son a13 , a23 y a33 . e) Si dos matrices tienen el mismo número de elementos, entonces son del mismo orden

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Representación genérica de una matriz. Una matriz de m filas y n columnas se representa en forma genérica como o en forma abreviada como

 m xn donde i  1,2,...., m y

A  aij

j  1,2,.....n

5.

Escribir en forma genérica las matrices con estas características. a. Matriz A con 3 filas y 2 columnas. b. Matriz A con 3 filas y n columnas. c. Matriz B con m filas y 1 columna. . d. Matriz C con n filas y m columnas.

6.

En cada caso construir, como en el ejemplo, una matriz que cumpla las condiciones dadas.

 

a) A  aij 2 x 2 donde aij  i  j a11  1  1  2 a12  1  2  3 a21  2  1  3 a22

a12  2 3 a  A   11  a 21 a 22  3 4   22  4

  c)C  cij 2 x 2 donde bij  i 2  j j d ) D  d ij 2 x 4 donde d ij  i

b) B  bij 3x 2 donde bij  2i  j

7.

Determinar los valores de a, b y c de modo que:

a b   sea una matriz identidad.  c 1 b) la matriz B  a b 3  c  sea una matriz nula. a) la matriz A  

0 b  a  0  sea una matriz identidad. c) la matriz T   0 a  c  0 0 a  b  8.

Calcular el valor de k y p , en cada uno de los casos ,para que las matrices A y B resulten iguales:

4  k  2 2  k  2 a) A   y B  3  3   1 p5 4   2k  p 4  3  p b) A   y B   3 3 p  k   8  8 9.

Calcular el valor de k para que las matrices sean nulas:

a) A  0 k  2 10.

b) B  k  1 0 0

 k2  c) A   2   k  4

0   d) B   2  k  2k  1

Calcular el valor de k , en cada uno de los casos ,para que las matrices A y B resulten opuestas:

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 1 4   1  ( k  1) a) A   y B   2    3 2 k  2 2  1 k 2  6k  9  1 b) A   y B     2   1  2 13  2k k  8k  9 11

Hallar el valor de K para que las siguientes matrices sean triangulares:

 5 a ) A   k 2  7

1  b)B  k 2 2 

0 k 4 0  3 2 

0 k 2  1  5 k 1  k 1  

Operaciones elementales 1. Hallar las sumas A + B y B + A y comprueba la propiedad conmutativa de la adición.

2  1  1 4 

 2 1 B   3 0

a) A  

b) A  2

Observaciones: Dos matrices del mismo orden son iguales si y solamente si los elementos de ambas matrices ubicados en Las mismas posiciones son iguales.

3 7

B   1 5 3

c  a    c) A   c  b  a  c 

 a  B   2a  c  a 

 a a  c 0   d) A  b b  a 0  c c  3 0

c a c  a  B  c  b a b  a  c 3  c c 

2. Dadas las matrices

1  2  1 3 0,5 3   x 2  A ;B  ; C  ; D  8 6 ; E   ; F    ; G  a b c 2     -7 0,5 1 4  9  0 2,5  y   y H  x  y

x  y

Que adiciones se pueden efectuar resolver: a) A+B c) C+E e) B+C b) A+C d) D+H f) E+A

g) D+G h) A+F

2 3 7   1 4 - 2 4 2 1  0 0 0  ;B   ;C y H      3 4 1   1 0 1  0  1 2 0 0 0 

3. Dadas las matrices A  

Hallar las operaciones indicadas. ¿Qué propiedades se verifican?

a) (A+B)+C

b) A+(B+C)

c) A+B

d) B+A

4. En cada caso, hallar la matriz A – B

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3 2  2 3 ;B     , 5 4  4 1 x  y  y      c) A   x  ; B   x  y   x  z   x  2 z  a) A  

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 1 4 5 1 4 - 5 ;B    , 2 1 3 2  1 3 

b) A  

5. Encontrar los valores de las variables para que se cumpla la igualdad.

a)1 2  x

2  1  x a  1 0 b)      0 1   y b  0 1 

y   3 1 2 1  1  4  x    3 2 2  1 

6. Hallar la matriz x tal que 

7. Si

2 3 1  1  1 1  1 0 0     A  5 9 7  ;B  3 0 7  y C  0 1 0 , calcular : A-(B+C) 3 8 0  4 8 1  0 0 1

La multiplicación de una matriz por un número real

 3 1 3 1 5.3 5.1 15 5  , entonces 5A= 5A  5.     4 5 4 5 5.4 5.5 20 25 

Ejemplo: Si A  

1. Si

3  1 A , determinar los siguientes productos. a) 3A 2 5 

2. Con las matrices del Ítem 7 resolver:

a) A+2B;

b) 0,5A

c) -2A

b) 2C- (5A-4B)

Ejemplo de problemas: 1) Una agroquímica tiene dos distribuidores en Formosa, en mayo las ventas Insecticidas (I) , Fungicidas(F) y Acaricidas (Ac) en sus dos distribuidores estuvieron dadas por la por la siguiente matriz A , los productos se indican la cantidad en (miles de litros):

Distribuidor 1 Distribuidor 2

22 34 16  14 40 20  A   I F Ac

Si la dirección establece ventas meta para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de mayo, escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio. Solución Cada elemento en la matriz anterior debe aumentarse en 50%, esto es, multiplicarse por 1.5. Por tanto, la matriz para junio es 1.5A, o bien

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Multiplicación de matrices Para poder hallar el producto A x B de las matrices A y B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Así, si la matriz A es de orden 2 x 3 y la matriz B es de orden 3 x 2, el producto A x B es otra matriz de orden 2x 2, porque se consideran los números extremos de este esquema.

 

En la multiplicación no se cumple la propiedad conmutativa, es decir, en general: A  B  B  A Si A es una matriz cuadrada, entonces, A  I  I  A  A (elemento identidad de la multiplicación).

Ejemplo Si

Para calcular el elemento c11 , se considera la 1º fila de A y la 1º columna de B. O bien : esquema ilustrado de la operación AxB

Ejemplo: disposición práctica que facilita los cálculos

  3 2 1 A   0 1 4     1 2 3 i)

 3 - 1 y B  2 5    4 0 

Calcular los siguientes productos, indicando debajo de cada matriz el orden correspondiente.

 2 2 3 1    a)    0  1 0  1 1   

 2  1 0  0    b) 1 1 3   3 0 2 1  2 2  

1  2 -1  1 

 c) 3 0 

 1 1    2 2     0 

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ii) Calcular el producto A x B en cada caso, si es posible. En caso de que no sea posible, indicar el orden de cada matriz.

3 1  A  2  1 4 0  Calcular:

0 1  2 2

 3 2 1 1  B 0 2  21  2  1  

a) A x B

4 1 C   2 1   1 - 3

b) 2.A x C

c) B.C - 1/2 .A.C.

iii) Calcular la matriz transpuesta de cada una de las matrices dadas.

 2  3 C  1    0 

1 0 0   B   0 1 0 0 0 1  

1  2 5  A  3 3  1 iv) Responder.

T

a) Si A es una matriz cuadrada, ¿se puede concluir que a matriz A es también cuadrada? ¿Por qué? T

b) Si B es una matriz columna, ¿qué tipo de matriz es la matriz B ?

 2 0 3 v) Si A   , 1 5 6  luego calcular

1 7 4  B  2 0  1

y

a) A  B T

1 C  0 0

0 1 . Escribir la transpuesta de A, B y C , y 0

c) A  C T

b) AT  BT

d)C T . AT

vi) Hallar a y b para que las siguientes matrices sean simétricas:

2 a ; a)A   3 4

2  1 b)B   ; 1  b a 

 1 2 3 c)C  a 5 6 ;  3 b 9

 1 a  b  1  d)D   2 2 b  a   1 0  1  vii) Potencia de potencia cuadradas de : A2 ; B2 ; C2

 3 0 2 1 6 2  0 0 6 A   B   C      1 6 8 1  3 2 2 5 25 1 0 0 0 2 2 2 3 A    B   C   D   Viii ) Si    1 0 1 1 2 2 4 25 

Evalúe

a. AB  2CD



ix) Si

U  1, 0, 1

Encuentre

1   V  2  3  a. UV

b. A 2

c.

BC 

2

 4 2 1   X  1 3 0   0 1 1  b. VU  X

1 0 0   Y  0 1 0  0 0 1 

c. XY

 

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APLICACIÓN DE MATRICES Las matrices y sus operaciones son herramientas muy importantes para resolver algunos problemas que contienen varias informaciones y que se pueden ordenar en tablas. Por ejemplo: Si la tabla corresponde al registro de las horas trabajadas por Pedro y Juan en una estancia durante los 3 meses de verano, se tiene:

P

J

160 170  165 180 ej. 1º fila hs.de trabajo en el 1er. Mes 175 172 Si Pedro gana 4,2$ la hora y Juan, 4,5$, para saber el pago realizado por el patrón en cada mes se calcula la multiplicación como se indica:

160 170 1437 165 180  4,2  1503  4,5        175 172 1509 matrizse salario

Rta.El 1er mes pagó 1 437$ , el 2°, 1 503$ y el 3er mes 1 509$

Ejemplo de problemas combinados de operaciones

1) Para la agroquímica , el número Insecticidas (I) , Fungicidas(F) y Acaricidas (Ac) en existencia en los dos almacenes al inicio de mayo está dado por la siguiente matriz B:

30 30 20  B  18 32 28  (Los renglones y columnas tienen los mismos significados que en el ejemplo 1. Por ejemplo, en el distribuidor 2 estaban 32 de fungicidas en existencia). Durante mayo, se hicieron entregas a las distribuidoras de acuerdo con la siguiente matriz C:

20 38 12  C  10 48 0  Determine la matriz que representa el número de los tres artículos en existencia al final de mayo. Solución Para cada producto en cada distribuidor, tenemos: Número al final de mayo = Número al inicio de mayo + Recibidos - Ventas De modo que la matriz que queremos está dada por B +C - A y es

30 BC  A  18 30  20  22   18  10  14 28 34 16   14 40 8 

30 20 20 38 12 22 34 16    32 28 10 48 0  14 40 20 30  38  34 20  12  16  32  48  40 28  0  20 

Por ejemplo, el distribuidor 1 tenía 28.000 lts de insecticida, 34.000lts.de fungicida y 16.000 lts. de Acaricidas en existencia al final de mayo.

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En el ejemplo 2, proporcione la matriz que especifica las entregas mínimas que se requerirán en junio, si se deben cumplir las ventas meta del ejemplo 1. Aplicaciones: 1. El veterinario Jaime y la veterinaria Laura tienen consultorios en dos clínicas. La tabla muestra la cantidad de pacientes atendidos por ambos en 3 semanas. Clínica A clínica B Representa en una matriz el total de pacientes atendidos por cada doctor en los dos sanatorios por semana e indica el significado de las filas y las columnas. Clínica A

Vet .Jaime

Vet.Laura

Clínica B

Vet .Jaime

Vet.Laura

Semana 1 semana 2 semana3

125 110 105

134 105 117

Semana 1 semana 2 semana3

80 102 99

91 85 102

Representa en una matriz el total de pacientes atendidos por cada doctor en los dos sanatorios por semana e indica el significado de las filas y las columnas. 2. Una empresa fabrica 3 modelos diferentes de motores en tres tamaños distintos. La producción diaria está dada por la matriz A, donde las filas indican los tamaños y las columnas, los modelos. Determina la matriz que represente las nuevas cantidades si la empresa aumenta en un 20% su producción diaria. ¿Cuántas motores fabricará en total en un día?.

 5 20 5  A  15 5 25 10 10 5  3. Considera estas informaciones de una confitería que produce bocaditos dulces y salados en sus 2 locales y calcula.

a) La cantidad de productos defectuosos de cada local por semana. b) La cantidad de productos buenos de cada local por semana. c) Si en ambos locales se venden todos ¡os productos que no son defectuosos a un precio promedio de 5,5$ los bocaditos dulces y 5 $ los salados, ¿cuánto es el ingreso total de la semana? 4. Un fabricante elabora los productos A, B y C. En la tabla se representan las unidades de mano de obra y de materiales necesarias para la producción de una semana : A Mano de obra Materiales

15 6

B 10 7

C 12 4

a) Expresar la información en forma matricial. b) Cual es el requerimiento de mano de obra para el producto B. c) Indicar que representan los elementos a23 y a13 respectivamente.

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5. Los datos de consumo de materias primas de dos empresas: Q y B que producen cerveza, están indicados mediante las tablas I y II (para 4 semanas).La compañía Q recibe materia prima de dos proveedores P1 y P2 .La tabla III especifica los costos correspondientes. a) Expresar los datos en forma matricial. b) ¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? c) ¿Cuál es la diferencia de consumo de ambas compañías en cada semana? d) ¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 5 compañías como Q, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que dicha compañía? e) ¿Cuál de los dos proveedores es más conveniente para la empresa Q? Tabla I (Consumo de la empresa Q)

Tabla II (Consumo de la empresa B)

Tabla III (Costo de la empresa Q)

Semanas Primera Segunda Tercera Cuarta Semanas Primera Segunda Tercera Cuarta

Levadura 6 9 7 11

Proveedor P1 P2

Levadura 8 10 7 11

Malta 3 5 0 6

Levadura 50 55

Malta 136 127

Malta 4 6 8 7

Agua 12 5 5 9

Agua 12 4 5 5 Agua 80 79

6. Una carbonería tiene cuatro sucursales y en cada una de ellas produce tres calidades de carbón: A, B, C.La cantidad de Kg. de carbón producido diariamente en cada una de las carbonerías se muestra en la siguiente tabla SUCURSALES Carbón I II III IV A 200 150 350 300 B 100 80 150 175 C 130 300 200 180

7. La ganancia es 0,20 centavos por cada Kg. de carbón tipo A, 0,25 centavos por cada Kg. de carbón tipo B y 0,15 centavos por cada Kg. de carbón tipo C. Calcular el beneficio que obtiene en cada una de las sucursales. 8. Una empresa de venta de huevos al por mayor, provee a tres tiendas. En la tabla 1 se muestra los precios de venta durante un periodo de cuatro semanas. La tabla 2, expresa el pedido semanal normal de huevos de cada tienda. Se pide obtener mediante operaciones entre matrices el registro de ventas por tienda y por semana.

TABLA 1 (Precios por docena) Semanas 1 2 3 4

Pequeños 3,60 3,55 4,60 4,65

Medianos 4,70 4,65 4,75 4,70

Grandes 4,80 4,75 4,85 4,85

TABLA 2 (En docenas) TIENDA 1 TIENDA 2 TIENDA 3 Pequeños 10 20 30 Medianos 20 30 40 11

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Grandes 80 160 100 9. Los consumos mensuales de cuatro familias , ,  y , en pan, carne y leche viene dados en la tabla 1 Los precios de esos mismos productos en los meses enero, febrero, marzo y abril de este año vienen dados en la tabla 2. a) Expresar las tablas 1y 2 en forma matricial. b) Calcular el gasto total (en esos productos) de cada familia en cada mes. Tabla 1: Consumos Tabla 2 Precio

Pan Carne leche

Enero 3,70 13,20 2,50

Febrero 4 14 2,70

Marzo 4,40 14,50 3,20

abril 4,70 15,00 3,30

Familia    

Pan 30 32 15 27

Carne 19 15 10 18

Leche 20 19 8 40

10. Una mueblería posee cinco sucursales. El inventario de muebles en la sucursal S1 se da por la siguiente tabla: MUEBLES ALGARROBO Sillas 100 Mesas 80 Camas de una plaza 200 Camas de dos plazas 100

PINO 50 20 60 100

CEDRO 40 50 20 100

11. Las sucursales S2 y S3 tienen cada una tres veces la cantidad de muebles que S 1 la sucursal S4 tiene la mitad de los muebles que tiene la sucursal S1 ; y la sucursal S5 tiene el doble de lo que tiene S1 . a) Exprese el inventario de muebles de S1 matricialmente. b) Encuentre la matriz que muestra el inventario total que tiene la mueblería.

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 DETERMINANTES y MATRIZ INVERSA 1. Hallar el determinante de las siguientes matrices.

1 3 a)A     2 1

5  1 ; 2 1 

2. Si a  

5 -1 b)B    3 6 

3 -1  b  0  2 

6 2  c)C     3  5

1  2 2  d )D     5 2 1  2 

10 1 2 y c , calcular el valor de 2a  0,5b  c  0 0

3. Resolver las siguientes ecuaciones como en el ejemplo.

 x  5 x  0  ( x  5).2  4.x  0  4 2  2 x  10  4 x  0  2 x  10  0  x  5 4  x  3  x  4 -20  a) 0 b) 0  x  3 x   x  0,2

 x 4 c) 0  x x

5t  1  4  d ) 0 t  1  t

Determinante de una matriz cuadrada de tercer orden (regla de Laplace) Si se eliminan en la matriz cuadrada de 3er orden la i-ésima fila y la j-ésima columna se obtiene una i j matriz cuadrada de 2.° orden. El determinante asociado a dicha matriz multiplicado por ( 1) se llama

cofactor de aij y es representado por Aij La regla de Laplace establece que el determinante asociado a una matriz se obtiene por la suma de los productos de los elementos de una línea (o una columna) por sus respectivos cofactores. Es decir:

La fórmula descrita considera la primera fila, pero se puede tomar cualquier fila o columna.

5 1 0    4. Dada la matriz A  7 4 3, encontrar los siguientes cofactores: 9 0 8 a)A11 ; b)A31 ; c) A33 ; d)A23 5. Calcula estos determinantes aplicando la regla de Laplace.

2 1 7  A  0 5 3 , 1 0 10

  1 0 6 B   0 3 1,  1 0 1

4 0 1  C  5 1 2 , 0 0  1

6. Resolver las siguientes ecuaciones:

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 1 0 x A   2 x 4  -6  1 3 x 

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 x 1  x B  0 1 x   16  x 1 0 

Determinante de una matriz cuadrada de tercer orden (regla de Sarrus) La regla de Sarrus sirve para calcular fácilmente el determinante de una matriz cuadrada de tercer orden, siguiendo estos pasos: 1) Se escriben la primera y la segunda columnas a la derecha de la tercera (o la primera y la segunda filas debajo de la tercera fila) como se muestra a continuación:

2)Se señalan la diagonal principal, la diagonal secundaria y las paralelas a ellas determina da en el paso anterior como sigue

Se calcula la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y de sus paralelas y se restan los productos de los elementos de la diagonal secundaria y de sus paralelas. Es decir

7. Calcular el determinante asociado a estas matrices mediante la regla de Sarrus.

2 1  1 a) A  3 0 1  1 2 4 

4 2 1 b) B   3 0  1  1 1 3 

x 0 1 2 x  1 x  8. Calcuta el determinante   1 1  x 0 

0 1 2  c)C  5 7 1  0 8 0

y expresa el resultado como un polinomio.

Algunas propiedades de los determinantes A continuación veremos algunas propiedades de los determinantes que sirven para calcular más fácilmente el determinante de ciertas matrices cuadradas:

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Propiedades

Ejemplos

El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su transpuesta.

3 2   3 1 A  ,  AT   y det (A)  det (AT )    1 5 2 5 15  2  13

Si una matriz cuadrada tiene todos sus elementos de una fila o una columna iguales a cero, entonces el determinante de dicha matriz vale cero.

0 0 0  B  4  1 2  det(B)  0 3 5 1

Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, entonces el determinante de dicha matriz es = 0

1 2 1  2 C     det( C )  2.3  1.6  0 6 3 2.3 1.3

Si se multiplican todos los elementos de una fila (o una columna) de una matriz por un número, el determinante de la nueva matriz es igual al producto de ese número por el determinante de la matriz original.

5 3 5 3 M   det (M)      20  6  14  2 4  2 4 3.5 3.3 15 9  y det (M´)     42  3.14 4   2 4 2  det (M´)  3. det (M)

Si se cambia el orden de dos filas o dos columnas de una matriz, el determinante cambia de signo con respecto al determinante de la matriz original.

6 1 6 1 N   det (N)      18  3  15 3 3 3 3 1 6 1 6 y N´    det( N ´)      3  18  15 3 3 3 3

Resumiendo: Sean A y B dos matrices cuadradas:

1.- Si B fue obtenida a partir de A al intrecambiar dos filas o columnas : det(B)=-det(A) 2.- Si B fue obtenida a partir de A al sumar o multiplicar dos filas o columnas de A en otro de A : det(B)= det(A) 3.- Si B fue obtenida a partir de A al multiplicar dos filas o columnas de A por una constante distinta de cero : det(B)= c. det(A)

Determinaste de una matriz triangular: Si A es una matriz triangular de orden n ,entonces su determinantes es el producto de los elementos de la diagonal principal, esto es: det A= det

A  A  a11.a22.a33....ann

1. Sin realizar cálculos, determinar el valor de estas operaciones.

5 2 6 5 3 0    a) 10 4 12  2.8 - 1 0    1 1 1  3 7 0 

 1 2 3  1 4 7   4 5 6  b)2.4 5 6  2 5 8   1 2 3 7 8 9 3 6 9  7 8 9 15

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x y z   2. Sabiendo que 1 1 1 4 6 3 2 x 2 y 2 z  a)  5 5 5    4 6 3 

a  3. Si  d  g

calcular, aplicando las propiedades de los determinantes:

e h

 x 1 8  c)  y  1 12  z  1 6 

1 1 1  b)  x y z   2 3 1,5

c f   5, calcular el valor de i 

b

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3a 3b 3c   2d d e  f   32 g   g h i   2a

2e 2 f  2h 2i  , 2b 2c 

Matriz inversa Si A es una matriz cuadrada y B es otra matriz tal que A x B = B x A = I, entonces la matriz B se llama matriz inversa de A y se simboliza por A

1

. El -1 no se debe entender como exponente.

a b  1  d  b  y a.d  cb  0, entonces la matriz inversa de A es A 1    A   ad  cd   c a  c d  En el caso en que ad -cb = 0, la matriz A no tiene inversa.

1 3   , para obtener A1 se aplica la formula: 1 5   5  3  1  5  3   2,5  1,5  1       1.5  1.3   1 1  2   1 1    0,5 0,5 

Si A  

A 1

Prueba:

1 3   2,5  1,5   1.2,5  3(0,5) 1.(1,5)  3.0,5   1 0             I A  A 1   1 5    0,5 0,5  1.2,5  5.(0.5) 1.(1,5)  5.0,5   0 1  O bien se puede hacer:

2a  3c  1   2 3  a b  1 0 2b  3d  0 1 2        c   d   Prueba:   3 3  1 0   c d  0 1 1.a  0.c  0  a  0  1.b  0d  1  b  1

 2 3   0 1  1 2      1   0 1 0       3     3    A

A1

I

 0 1   2 3  1 0 2   1     1 0  0 1      3 3           A1

A

I

x) Hallar la matriz inversa aplicando la fórmula y comprueba que A  A

 5 2 a) A     4 2

5 0 b) A    2 1

0 1  1

 I y A1  A  I

1 0  c)A    4 1 16

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 

1 3  0 2 

 

2 1 1 y B , calcular: a) A1 b) A1  1 0  Se cumplen :

xi) Si A  

T

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c) A  B 1



d) B -1  A1



A   A  T 1

1 T

 A  B 1  B 1  A1

Ejemplo:

2  1 3  A  3 0  5 2 1 3 

Hallar

A1 A  38  0

6 5  5  0 19  Por ello A1 siendo: adjA    19   4 3   3

6 5  5  5   19 0 19   38     19  4 3  adjA  3 A1    A 38  38  3  38 Debe verificarse que: 

6 38 0 38 4 38

5  5 38   38 19   1    38   2 3  3 38   38

3 19 0 

2 19

5 38  1  2 3 38 

A1 .A  I y A. AdjA   38 I

Utilice la adjunta para obtener las Inversas y luego verificar aplicando

A1 .A  I .

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EVALUACIÓN DE UN DETERMINANTE:

Operaciones elementales entre renglones o filas son:  Intercambio de dos renglones.  Multiplicar renglóndeterminante, o fila por unamediante constante 1. Hallar el valor delun siguiente el diferentes desarrollo de porcero. los elementos de una línea,  Sumar el múltiplo de un renglón o fila a otro renglón. aplicando previamente operaciones entre líneas a efectos de facilitar el cálculo.

a)

4 3

2

2

1 2

0

3

1 4 1 8 1

1

6 5

b)

1

1 2 3

4

0

2 5

1

2

3 7

5

1

0 4

c)

1

2

1

2

5

2 2

3 3 3

5

4

7

2

4

1 2 3 1

1 d)

5 4 4

8

2 7 8 14 0 5 6 10

2. Calcular los siguientes determinantes de orden 3.

a)

i. Desarrollando una fila. b)

ii. Desarrollando una columna. c)

3. Hallar el valor de k para que los siguientes determinantes sean nulos. a) b) c)

d)

d)

ANÁLISIS DE INSUMO-PRODUCTO Las matrices de insumo-producto, desarrolladas por Wassily W. Leontief,1indican las interrelaciones que se dan entre la oferta y la demanda en los diferentes sectores de una economía durante algún periodo. La frase “insumo-producto” se utiliza porque las matrices muestran los valores de los productos de cada industria que son vendidos como insumo, tanto a las industrias como a los consumidores finales. Un ejemplo hipotético para una economía muy simplificada que consta de dos industrias, está dado por la matriz de insumo-producto siguiente. Antes de que expliquemos la matriz, digamos que los sectores industriales pueden suponerse que son los de manufactura, acero, agricultura, carbón, etc. Los otros factores de producción del sector consisten en los costos para las respectivas industrias, como mano de obra, utilidad, etc. El sector de demanda final podría ser de consumo doméstico, gubernamental, etc. La matriz es como sigue:

1

Leontief ganó el premio Nobel de economía en 1973 por el desarrollo del método de “insumo producto” y sus aplicaciones a problemas económicos.

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Cada industria aparece en un renglón y en una columna. El renglón muestra las compras del producto de una industria por parte de los sectores industriales y por los consumidores finales (de aquí el término “demanda final”). Las entradas representan los valores de los productos y podrían estar en unidades de millones de dólares del producto. Por ejemplo, de la producción total de la industria A, 240 fueron como insumo para la propia industria (para uso interno), 500 fueron para la industria B y 460 fueron directamente al sector de la demanda final. La producción total de A es la suma de la demanda industrial y la demanda final (240+500+460=1200). La columna de cada industria da el valor de lo que ésta compró como insumo de cada una de las industrias, así como lo gastado por otros conceptos. Por ejemplo, a fin de producir 1200 unidades, la industria A compró 240 unidades de su producto, 360 de la producción de B y tiene gastos de mano de obra y otros por 600 unidades. Observe que para cada industria, la suma de las entradas en su renglón es igual a la suma de las entradas en su columna. Esto es, el valor de la producción total de A es igual al valor de los insumos totales de A. El análisis de insumo-producto nos permite estimar la producción total de cada sector industrial si existe un cambio en la demanda final, mientras la estructura básica de la economía permanece igual. Esta importante suposición significa que para cada industria, la cantidad gastada en cada insumo por cada dólar de producto, debe permanecer fija. Por ejemplo, al tener una producción con un valor de 1200 unidades, la industria A compra 240 unidades de la industria A, 360 de la industria B y gasta 600 unidades en otros conceptos. Así, por cada dólar de producción, la industria en otros conceptos. Combinando estas razones fijas de la industria A con aquellas de la industria B, podemos dar los requerimientos por dólar de producción para cada industria:

Las entradas en la matriz se llaman coeficientes de insumo-producto. La suma de cada columna es 1. Ahora, suponga que el valor de la demanda final cambia de 460 a 500 para la industria A, y de 940 a 1200 para la industria B. Nos gustaría estimar el valor de la producción total que A y B deben alcanzar para satisfacer esta meta, a condición de que la estructura en la matriz precedente permanezca igual. Sean XA y XB los nuevos valores de producción total para las industrias A y B, respectivamente. Ahora, para A. Valor total producción A = consumido por A+ Valor consumido por B + Valor por la demanda final, así, tenemos: Del mismo modo, para B,

Utilizando la notación matricial podemos escribir

En esta ecuación matricial, sean

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Llamamos a X la matriz de producción, A es la matriz de coeficientes y C la matriz de demanda final. De la ecuación (1), X = A.X + C X – AX = C

Si I es la matriz identidad de 2x2, entonces: IX – AX = C (I - A)X = C Si

(I – A)-1 existe, entonces X = (I – A)-1C

La matriz (I – A) se conoce como la matriz de Leontief. La evaluación de (I-A)-1 C, es la matriz de producción

Aquí redondeamos las entradas de X a dos decimales. Así, para satisfacer la meta, la industria A debe producir 1404.49 unidades y la industria B debe producir 1870.79. Si estuviéramos interesados en el valor de los otros factores de producción para A, digamos, PA, entonces

EJEMPLO 1 Análisis de insumo-producto Dada la siguiente matriz de insumo-producto,

suponga que la demanda final cambia a 77 para A, 154 para B y 231 para C. Determine la matriz de producción para esta economía (las entradas están en millones de dólares).

Solución: sumamos por separado las entradas en los primeros tres renglones. Los valores totales de producción para las industrias A,B y C son 600, 360 y 480, respectivamente. Para obtener la matriz de coeficientes A, dividimos las entradas de las industrias en cada columna entre el valor total de la producción para esa industria:

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La matriz de demanda final es C

El resultado de evaluar (I-A)–1C. Así, la matriz de producción es:

Ejercicios: 1) Dada la siguiente matriz de insumo-producto,

Encuentre la matriz de producción (con entradas redondeadas a dos decimales), si la demanda final cambia a (a) 50 para granos, 40 para fertilizante y 30 para ganado vacuno; (b) 10 para grano, 10 para fertilizante y 24 para ganado vacuno. 2) Dada la siguiente matriz de insumo-producto,

encuentre la matriz de producción, si la demanda final cambia a 300 para agua, 200 para electricidad y 400 para agricultura. Redondee sus entradas a dos decimales.

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer La regla de Cramer es una regla que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el cálculo de determinantes. En este curso, nos limitaremos a resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

a11x  a12 y  c1 , la regla de Cramer establece calcular los a 21x  a 22 y  c2

Para resolver el sistema , 

determinantes de estas matrices:

a12  a A   11 a 21 a 22        

 c a12  Ax   1 c 2 a 22       

c  a Ay   11 1  a c    21  2 

Matriz generada por los coeficientes de las variables

Generada al reemplazaren la matrizA los coef.de x por los términosindependientes

Generada al reemplazaren la matrizA los coef.de y por los términosindependientes



Las soluciones pueden ser:



una solución única dada por x 



infinitas soluciones: si A  AX  Ay  0



ninguna solución: si A  0 y algunos de los otros determinantes son distintos de cero.

Ax A

e y

Ay A

si A  det( A)  0

4. Resolver estos sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer y verificar la solución 6x  2y  24 2 x  3 y  4 2x  y  7  a) b) 1 c) hallada.  2y  2 2 x  y  0 - x  2y  4  2 5. Determinar si estos sistemas de ecuaciones tienen solución única, infinitas soluciones o ninguna solución:

3x  2 y  2 a) 3x  2 y  4

- x  y  2  0 b)  x  3 y 1  0

x  y  1 c) 2x  2y  2

6. Resolver los siguientes sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas aplicando la regla de Cramer:

x  y  z  3  a) x  4 y  z  1 2 x  6 y  z  2 

x  y  z  3  b) x  3 y  0 2 x  3 z  0 

2 x  3 y  z  7  c) x  z  0 y  z  1 

7. Resolver los sistemas de ecuaciones que contengan solución. En el caso de que existan infinitas soluciones, escribe 3 soluciones posibles.

x  3 y  z  0  a) x  z  2 x  z  0 

x  y  z  2  b)2 x  2 y  2 z  4 3 y  x  4 

2 x  y  3 z  1  c) x  1,5 z  0,5 y  3 x  y  z  0 

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales Observa cómo se resuelve una situación problemática mediante la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando la regla de Cramer. Ejemplo La edad de José es el doble de la edad de Adán. Hace 5 años, la suma de las edades era el doble de la edad actual de Adán más 10. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

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Sea x: edad actual de José e y: edad actual de Adán. Entonces,

 x  2y  (x-5 )  (y-5 )  2 y  10

x

Ax A



0

2

20

1

1 2

x  2 y  0   x  y  20

1 

0

Ay 1 20 0-(- 40 ) 40 20  0 20   40 e y      20 -1-(- 2 ) 1 A 1  2 -1-(- 2 ) 1

1 1

1 1

Por lo tanto Jose tiene 40 años y Adam tiene 20 años. Aplicación Representa estas situaciones mediante sistemas de ecuaciones y resuélvelas aplicando la regla de Cramer. 1. Un padre reparte 1 000 dólares entre sus dos hijos. Al mayor le da 200 dólares más que al menor ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? 2. El perímetro de un jardín rectangular mide 30 m. Si el doble del ancho mide 6 m más que el largo ¿cuáles son las dimensiones del jardín? 3. Actualmente, la edad de Jaime es el doble de a de María pero si Jaime tuviera seis años menos tendría la edad actual de María más 10 años. ¿Cuántos años tienen ahora? 4. La suma de dos números enteros positivos es 45 y la diferencia entre dichos números es la cuarta parte del menor número. ¿Cuáles son los números? 5. En la granja de don José se crían gallinas y cerdos. Si se cuentan las cabezas, son 50 y si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 6. En una fábrica se producen 3 tipos de camisas: A, B y C. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Para producir un lote de cada tipo de camisa, se tarda un tiempo indicado en el cuadro:

¿Cuántos lotes de cada tipo de camisas se pueden producir si para cada proceso se destinan 14 y 18 horas respectivamente? 7. Analiza las conversaciones de Juan, Tomás y Roberto y averigua la cantidad de dinero que tiene cada uno de ellos. JUAN: -Si Roberto me regala la quinta parte de su dinero, tendré tanto como lo tiene Tomás. ROBERTO: -Sí, pero si Juan me regala todo su dinero, tendré el doble de lo que tiene Tomás. TOMÁS: -Si Juan y Roberto me regalan todo su dinero, tendré 6 000 $.

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8. Escribir las matrices ampliadas de los siguientes sistemas de ecuaciones e indiquen en cuáles casos la matriz no ampliada es matriz triangular superior. a)

b)

c)

9. Dados los sistemas de ecuaciones lineales, para cada uno de ellos se pide: a) b) c) d) e)

x  a)2 x 3x 

Expresarlo en forma matricial. Analizar si es crameriano. Si es crameriano, resolver aplicando la regla de Cramer y verificar. Si no es crameriano, resolver aplicando eliminación gaussiana. Clasificarlos mediante el Teorema de Rouche-Forbenius.

z y  2y

z



0



3



8

x  b)2 x 3x 

z y y

z



0



3



0

x  c)2 x 3x 

z y y

z



0



3



3

z  0 x  d ) 2 x  y  0 3x  y  z  0  10. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones: a) Aplicar eliminación gaussiana. b) Clasificarlo aplicando el T. De Rouché – Frobenius c) Expresar el conjunto Solución

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3 x1 2 x  1 a)  4 x1 6 x1

 x2

 2 x3

1

4 x2

 2 x3

4

 3x2

 x3

3

 2 x2

 4 x3

2

2 x  y  3 z  x  2 y  3z  b)  3 x  2 y  z 4 x  2 y  6 z

ASIGNATURA : ALGEBRA

0 0 0 0

x1  x 2  x3  x 4  x5  1 c)

x1  x 2  x3  5 x 4  5 x5  1 x1  x 2  2 x3  x 4  x5  2

MÉTODO DE GAUSS EL método de Gauss se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones Lineales. A partir de La matriz ampliada del sistema, se realiza una serie de operaciones con sus filas hasta transformar La matriz no ampliada en otra triangular superior, que está asociada a un sistema equivalente al original. Las operaciones que se pueden rea tizar son multiplicar una fila por un número y sumar filas. PROBLEMAS 1. En un corral hay gallinas y conejos, si se cuentan 60 cabezas y 200 patas, ¿Cuantas aves y cuantos conejos hay en dicho corral? 2. Un granjero le da a su ganado una mezcla de dos tipos de alimentos. Una unidad estándar del alimento tipo A le proporciona a un novillo el 10% de su requerimiento mínimo diario de proteína y el 15% de su requerimiento de carbohidratos. El alimento tipo B contiene el 12% del requerimiento de proteína y el 8% del de carbohidratos en una unidad estándar. Si el granjero desea que su ganado tenga el 100% de su requerimiento mínimo diario de proteínas y de carbohidratos, ¿cuantas unidades de cada tipo de alimento deberá proporcionar a cada novillo por día 3. En una tienda de alquiler de tractores, se pueden alquilar tres tractores A, dos B y cuatro tractores C al día por 106 dólares. Casi por el mismo precio, también se pueden alquilar dos tractores A, cuatro B y tres C, costando 107 dólares por día. En cambio, cuatro A, tres B y dos C cuestan 102 dólares por día. Hallar el costo del alquiler de cada uno de los tres tipos de tractores. 4. Una empresa fabrica tres tipos de mermeladas: de naranja, pomelo y limón que las comercializa en cajas de 10 frascos cada una. Cada caja necesita un tiempo determinado para su elaboración, envasado y etiquetado que están dados por la tabla

Elaboración Envasado Etiquetado

Mermelada de naranja 10 2 2

Mermelada de pomelo 12 2.5 2

Mermelada de limón 6 1,5 1,5

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ASIGNATURA : ALGEBRA

5. Si la empresa dispone de 1560 hs de trabajo por mes para elaboración. 340hs para envasado y 320hs para etiquetado, ¿cuántas cajas de cada tipo puede producir en un mes? 6. Un edificio está dividido en 5 cuerpos, cada cuerpo tiene 11 pisos y cada piso, 6 departamentos. Una persona vive en un cuerpo, piso y departamento tal que si al cuerpo le suman el piso y le restan cuatro veces el número de departamento, obtienen la cantidad de departamentos por piso. Además, si al triple de la suma del cuerpo y el departamento le restan 1, tienen como resultado el piso. Por último, si suman el cuerpo, el piso y el departamento que habita, obtienen el número de pisos por cuerpo. ¿En qué cuerpo, piso y departamento vive esta persona? 7. Para ganar un juego, hay que adivinar un número de cuatro dígitos del cual se dan pistas generales y particulares. Las pistas generales son: uno de los dígitos es el cero y se encuentra entre dos dígitos pares. Además el número tiene cuatro cifras distintas y es menor que 7 000. Las pistas particulares son: los tres dígitos que faltan descubrir son tales que la diferencia de dos de ellos es 6; la suma del doble de esos mismos dígitos aumentada en una unidad da como resultado el triple del dígito restante y la suma de los tres es 17. ¿Cuál es el número que permite ganar el juego?

SISTEMAS NO LINEALES (se resuelven después de dar geometría analítica). Objetivo: Utilizar la sustitución para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llama sistema no lineal. Con frecuencia podemos resolver un sistema no lineal por sustitución, como se hizo con los sistemas lineales. Los ejemplos siguientes lo ilustran. EJEMPLO 1 Solución de un sistema no lineal Resolver

Solución: Estrategia: si un sistema no lineal contiene una ecuación lineal, en general despejamos una de las variables de la ecuación lineal y sustituimos esa variable en la otra ecuación. Si resolvemos la ecuación (2) para y se obtiene

Sustituyendo en la ecuación (1) y simplificando, tenemos

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ASIGNATURA : ALGEBRA

Si x=-3, entonces la ecuación (3) implica que y=-8; si x=2, entonces y=7. Debe verificar que cada pareja de valores satisfaga el sistema dado. De aquí que las soluciones sean x=-3, y=-8 y x=2, y=7. La solución geométrica se presenta en la gráfica del sistema de la figura 4.37. Observe que la gráfica de la ecuación (1) es una parábola y la de la ecuación (2) una recta. Las soluciones corresponden a los puntos de intersección (-3, -8) y (2, 7). Resolver los siguientes sistemas no lineales.

Ejemplos de aplicación: Equilibrio con demanda no lineal

Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son

respectivamente. Solución: aquí la ecuación de demanda no es lineal. Al resolver el sistema

por sustitución se obtiene

Descartamos q=–800, ya que q representa una cantidad. Eligiendo q=400, tenemos p=(8000/400)=20, de modo que el punto de equilibrio es (400, 20). (Véase la fig)

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FIGURA Equilibrio con demanda no lineal.

TRABAJO PRACTICO: DETERMINACIÓN DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS Ejemplo: Determine la línea de regresión de mínimos cuadrados para los puntos (1,1),(2,2),(3,4),(4,4) y (5,6). Después encuentre la suma del cuadrado del error para esta línea de regresión: Solución:

1 1  X  1  1 1

1 2  3 ,  4 5

1  2   Y  4   4 6

1 1  1 1 1 1 1   XTX   .  1 1 2 3 4 5  1 1

esto significa que:

1 2   5 15 3     15 55 4 5

1  2 1 1 1 1 1   17  X TY   .4    1 2 3 4 5   63 4 6 Si multiplicamos:

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A  ( X T X ) 1 X T Y 

ASIGNATURA : ALGEBRA

1  55  15 17   0,2 .  50  15 5  63  1,2  Y  1,2 x  0,2

La línea de regresión de mínimos cuadrados es: Grafica. y

f(x)=-(1/10)+(12/10)x Serie 1

8

6

(5,6)

4

2

(3,4)

(4,4)

3

4

(2,2)

x

(1,1)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

5

6

7

-2

-4

-6

-8

Ejercicios: Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados y graficarla: a. (0,0);(1,1);(2,4) b. (1,5);(2,4);(3,2) c.

(-2,0);(-1,1);(0,1);(1,2)

d. (-5,10);(-1,8);(3,6);(7,4);(5,5) e. (-2,4);(-1,2);(0,1);(1,-2);(2,-3) Encontrar la recta que mejor ajusta por el Método de los Mínimos cuadrados para el conjunto de puntos: Graficar. a) (3,1); (2,2); (-2,-1). b) (2,1); (-3,-1); (-2,-2)

Problemas. 1. Un refinador de combustible desea saber la demanda de cierto tipo de gasolina como una función de su precio . Las ventas diarias y en litros para tres diferentes precios de producción de muestran en la siguiente tabla:

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2.

ASIGNATURA : ALGEBRA

Precio (x) en $

3,00

3,25

3,50

Demanda (y) en litros

4500

3750

3300

a)

Determinar la línea de regresión de mínimos cuadrados para estos datos.

b)

Estimar la demanda cuando el precio es $3,40.3.

La siguiente tabla muestra los números y registros de vehículos de motor ( en millones) en los Estados Unidos para los años 2000-2004. Años (x)

2000

2001

2002

2003

2004

Números (y)

221,5

230,4

229,6

231,4

237,2

a)

Use el método de mínimos cuadrados para determinar le línea de regresión de mínimos cuadrados para estos datos .Sea t el año y t=0 el año 2000.

b)

Utilice las capacidades de regresión lineal de una aplicación grafica para determinar un modelo lineal para los datos. Sea t el año, con t=0 el año 2000.

3. Un granjero utiliza cuatro graficas de prueba para determinar la relación de trigo producido (en kg) por

km 2 (kilómetro cuadrado) y la cantidad de fertilizante ( en cientos de kg) por

km 2 . Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Fertilizantes (x)

1

1,5

2

2.5

Producción (y)

32

41

48

53

a) Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados para estos datos. b) Estime la producción para una aplicación de 160 kg de fertilizante por km cuadrado

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TRABAJO PRÁCTICO GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ejemplo: Ana se encuentra en el punto (-2; -5) y avanza en forma paralela al eje x seis unidades a la derecha. Luego, tres unidades hacia arriba, cuatro unidades a la derecha y, finalmente, seis unidades hacia arriba. ¿En qué punto se encuentra ahora Ana? Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y2 ) del plano cartesiano, indicada por d(P, Q), es la longitud del segmento PQ y está determinada por la fórmula:

PQ  d ( P, Q)  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2

Aplicación: 1. Calcular la distancia entre los puntos indicados. a) A(3; O) y B(5; O) b)P(7; 1O)y Q(7;2)

c) M(-1; 5 ) y N(-3; O) d) R(-2; 9) y Q(4; 1)

2. Comprobar que los puntos A(-2; 2), B(3; 2), C(-1; -1) y D(4; -1) son los vértices de un paralelogramo. 3. Escribir las coordenadas de los vértices de estos polígonos y hallar el perímetro de los mismos.

a)

b)

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ASIGNATURA : ALGEBRA

Punto medio de un segmento Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos de esta, incluyendo dichos puntos, denominados extremos del segmento. El punto medio de un segmento es el punto que divide a este en dos partes iguales. Este punto es único y equidista de los extremos del segmento. Así, dados los puntos P ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y2 ) , el punto medio M del segmento PQ se determina mediante esta fórmula:

 x  x y  y2  M  1 2 ; 1  2   2 Aplicación Hallar las coordenadas del punto medio de los segmentos cuyos extremos son los siguientes puntos. Luego, representar dichos puntos y el punto medio hallado.

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Área de un polígono El área de un polígono cualquiera se puede calcular conociendo las coordenadas de sus vértices. Por ejemplo, para calcular el área del triángulo ABC, cuyas coordenadas de los vértices son A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,y

C ( x3 , y3 ) se divide entre 2° el determinante de la matriz generada tomando las coordenadas de los vértices en sentido anti horario de modo que en la 1°columna estén las abscisas, en la 2° las ordenadas y la 3° se completa con 1°. Es decir:

Aplicación Graficar en cada caso el triángulo cuyas coordenadas de los vértices son los dados y, luego, calcular su área. a. A(3; 8), B(-4; 4) y C(-8; -2) Ángulo de inclinación y pendiente de la recta El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con el semieje x positivo, medido en sentido antihorario. Si la recta no es vertical, la tangente del ángulo de inclinación de la recta recibe el nombre de pendiente, y se simboliza por m. Así, al considerar dos puntos P ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y2 ) en el gráfico se tiene:  : ángulo de inclinación de la recta

m  tg  m 

MQ y2  y1  PM x2  x1

Si m <0, para hallar el ángulo de inclinación se suma 180° al ángulo que sale en la calculadora. Ejemplo Para calcular el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P(1; 6) y Q(2; 8) se determina primero la pendiente:

m

y2  y1 8  6   2 .Luego, se busca el ángulo  para el cual tg  = 2, lo cual se x2  x1 2  1

puede hallar en la calculadora que

 = 63° 26´ 6´´.

Aplicación : Hallar el ángulo de inclinación de las rectas cuyas pendientes son: a)m=3

b)m=-2

c)m=1,5

d)m= - 1,5

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ASIGNATURA : ALGEBRA

Ángulo entre dos rectas Si l1 y l2 son dos rectas cuyas pendientes son m1  tgα1 y m2  tgα 2 respectivamente, entonces la medida del ángulo

 entre estas rectas es   1 -  2 .

Como generalmente se conocen las pendientes m1 y m2 , se puede aplicar la función tangente a ambos miembros de la igualdad anterior y deducir la siguiente fórmula:

tg  tg (α2  1 )  tg  tg 

tgα2  tgα1 1  tgα2 .tgα1

m2  m1 1  m2 .m1

Aplicación 1. Hallar la medida del ángulo determinado entre las siguientes rectas.

2. Determinar el ángulo figura.

 formado entre las rectas de la

3. Determinar las medidas de los ángulos internos de estas figuras aplicando la fórmula del ángulo entre dos rectas y calcular la suma de dichos ángulos internos.

a)

b)

Distancia de un punto a una recta La distancia entre el punto P( x0 , y0 ) y la recta A + By + C = 0 es la longitud del segmento que une el punto con la recta en forma perpendicular a esta. Se calcula mediante la fórmula:

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d

ASIGNATURA : ALGEBRA

Ax0  By0  C A2  B 2

EJERCICIOS GENERALES: 1. Escribir las ecuaciones simétrica y explicita, de la recta que pasa por el punto P1 P2.Graficar. b) P1 (3,3) , P2=(-2,1) c)P1 (-3,-5) , P2=(3,2) a) P1 (-2,3) , P2=(2,4)

2. Hallar la ecuación explícita, implícita y segmentaria de la recta que pasa por los puntos P 1 y P2. Graficar. a) P1 (3,2) y P2 (4,5) b) P1 (5,2) y P2 (-1,-2) c) P1 (2,2) y P2 (3,6) 3. Obtener la ecuación de cada recta y graficar : a) Es paralela a la recta 3x-6y-3=0 y contiene al punto S (-3,-4). b) Contiene al punto Q (-3,4) y al origen de coordenadas. c) Es perpendicular a la recta 2x-4y-2=0 y pasa por el origen de coordenadas. d) Pasa por el punto M (4,-3) y es perpendicular al eje X. e) Contiene al punto N (0,3) y es paralela al eje X. Re su mi endo : P end ie nt e d ado s do s punt os

E cu ac ión punt o - p end ien t e d e la re ct a

E cu ac ión g en er al d e la r e ct a E cu ac ión e xp lí ci t a d e l a r ect a E cu ac ión d e la re ct a que p as a po r dos punt os

Re ct as p a ra le l as Dos rec t as s o n par a l e l as s i t i en e n e l m ism a l a m is m a pe n d i en t e. Re ct as p e rpe ndi cu l ar es S i d os o r ec tas s o n p e r pe n d ic u l ar es ti e ne n s us p e nd i e nt es i n ver s as y c am bi ad as d e s i g no . Aplicación: Sigue los pasos indicados para hallar la distancia del punto P(2; 4) a la recta 4x + 3y + 5 = 0 1. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la dada y que pase por P(2; 4). 2. Hallar la intersección entre la recta hallada y 4x + 3y + 5 = 0. 3. Calcular la distancia entre el punto hallado en el paso anterior y P(2; 4).

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ASIGNATURA : ALGEBRA

FUNCION LINEAL 1. Dada la siguiente función : f :    / f ( x)  2 x  1 a)¿Cuánto vale

a y b ?.

b) En un mismo par de ejes de coordenadas grafiquen f ( x) y h( x)  2 x  3 .

2. Dadas las formulas de las siguientes funciones lineales, determinar en cada caso la pendiente y la ordenada de origen. 1 a) f ( x)  x  3 d) f(x)  9 x-8 2 b) f ( x)  5 x  8 e) 2 y-3  x

c)3x  2 y  5  3

f) 5 x  9 y  12

3. Dadas las siguientes funciones lineales, determinar cuales son paralelas, cuales perpendiculares y cuales no son ni paralelas, ni perpendiculares. 1 1 a) f ( x)  2 x  1 d) f(x)   x  2 2 b)  2 y  4 x  1 e) 2 y  2 x  2

c)  4 y  1  2 x

f)  x  1  2 y

4. Dadas tres rectas R1 , R2 Pendiente de R1

y R3

si R1 // R2  R3 completa la siguiente tabla:

Pendiente de R2

Pendiente de

R3

2

1 3 

2 5

5. Conociendo algunos datos de una recta se puede hallar su ecuación : i. ii.

Escribir la ecuación de la recta de pendiente 3 cuya ordenada al origen es el opuesto de 6. Escribir las ecuaciones

iii.

grafiquen las rectas R1 y R2 sabiendo que a1  -1; a2  -1 ; b1  3; b2  0 ,2

6. Una función con dominio en el conjunto de todos los números reales está dada por la fórmula:

y

1 x 3 2

a) Explique por qué, sin necesidad de trazar la gráfica, podemos saber que es una función lineal. b) Anticipe qué punto del eje y será cortado por la gráfica de la función. c) Indique por qué sabemos que la tabla mostrará una variación constante, y obtenga el valor de esa variación.

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d)

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Siempre sin trazar la recta, calcule dónde cortará al eje x.

7. Hallar algebraicamente y verifiquen en el gráfico. i. Las coordenadas de los vértices del triángulo. ii. La ecuación de la recta que contiene al lado rs. iii. El perímetro del triángulo (Consideren que cada unidad mide 1 cm).

ACTIVIDADES DE INVESTIGACION. Las cajas de Juan. Juan tiene que construir cajas de 210 cm3 de volumen. Empieza construyendo cajas de 10 cm de ancho, 7 cm de fondo y 3 cm de alto.

a) Después de construir algunas, piensa que puede construir cajas de 1 cm de ancho, 30 de fondo y 14 de alto, ya que también tendrían 210 de volumen. ¿Es cierto lo que piensa Juan? b) También piensa que puede construirlas de manera tal que el ancho sea de 3 cm, de fondo midan 3 cm y de alto 34 cm. ¿Podrá Juan construir cajas con estas dimensiones. c) ¿Pueden escribir una ecuación que represente la relación entre las dimensiones de la caja de Juan y su volumen? d) Encuentren otras dimensiones posibles para que Juan construya sus cajas. e) Juan debe seguir construyendo cajas con el mismo volumen, pero quiere que el área, sin considerar la tapa, sea de 179 cm2. ¿Puede construir una caja de estas características cuyo ancho sea 1 cm, el alto mida 14 cm y el fondo sea de 30 cm? ¿Y otra que mida 158 cm de ancho, 12 cm de fondo y 3 cm de alto? f) ¿Cómo representarían por medio de ecuaciones las condiciones que impone Juan para sus cajas? g) Las dimensiones que encontraron para las cajas de Juan en d., ¿satisfacen la nueva condición? h) A Juan ahora se le ocurre que, además, en sus cajas, la suma del ancho, el fondo y el alto sea 21,5 cm. ¿Cómo representarían por medio de ecuaciones todas las condiciones que impone Juan para sus cajas? i) ¿Puede construir Juan cajas de 2,5 cm de alto, 7 cm de fondo y 12 cm de ancho? ¿Puede construir Juan cajas de 2 cm de alto, 6,5 cm de fondo y 11 cm de ancho?

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j) Juan sabe ahora que otra partida de cajas debe satisfacer que sus volúmenes sean de 475 cm3, que el área total sea de 5562,5 cm2, y que la suma de su ancho, alto y fondo sea de 24,5 cm. ¿Cómo representarían por medio de un sistema de ecuaciones todas estas condiciones?

Aplicación de las ecuaciones lineales a la administración: costo lineal •

• •

Muchas situaciones reales pueden ser representadas utilizando la ecuación de una recta, como veremos a continuación. Cuando una empresa produce un bien o presta un servicio, deberá incurrir en dos tipos de costos: costo variable: es el que depende de la cantidad de bienes o servicios que se produzcan tales como los costos de materiales. costo fijo: es el que no depende de la cantidad de bienes o servicios producidos tales como el costo de alquiler del local.

El costo total es la suma de ambos: costo total = costo variable + costo fijo. Ejemplo: Si el costo fijo de producción de chipas de una chipería es de 50$ al mes y el costo variable por cada kilo es de 12$ , entonces la ecuación del costo total es: y = ,120x + ,500 ! costo variable

costo fijo

donde y representa el costo total y x representa cada kilo de chipa. Así, para producir 50 kilos de chipa, el costo es de y = 12. 50 + 50 = 650 $. Aplicación 1) Una empresa tiene un costo fijo de 900 $ mensuales y un costo variable de 150$ por cada unidad adicional Producida. ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades? ¿Y de no tener ninguna producción en el mes? 2)Un productor tiene un ingreso extra de $ 600.000 y lo destina en su totalidad a la compra de campos en dos localidades distintas A y B. Si el precio por hectárea de tierras en A es $ 300 y en B es $ 400. Averiguar que cantidad de tierra puede comprar en A y en B. Más ejercitación. 1) Determinar las ecuaciones implícitas de dos rectas que pasen por P(–3, 4) y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r. Si r: 5x – 2y + 3 = 0. 2) Sea P(–6, –3), Q(9, 5) r: 3x – 4y + 9 = 0, s: 5x + 15 = 0 Hallar la distancia entre los dos puntos. Halla también las distancias de cada uno de los puntos a cada recta. 3) El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, del que conocemos el extremo A(2, 3). Halla B. 4) Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3). 5) Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta x + ky – 7 = 0 contenga al punto dado: a) (5, –2) b) (7, 3) c) (–3, 4) Problemas: 1. En el triángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(4, 2) y B(6, –2), calcular: a) La longitud del lado OB. b) La distancia de A al lado OB. c) El área del triángulo. 2. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son P(–1, 2), Q(4, 7), R(7, 0). 3. Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Comprobarlo con el cuadrilátero de vértices: A(3, 8) B(5, 2) C(1, 0) D(–1, 6). 4. Hallar el área del cuadrilátero de vértices: A(–4, 3) B(0, 5) C(4, –2) D(–3, –2) 5. Calcular el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = 3 ; s: 2x + 3y – 6 = 0; t:x–y–7=0 6. En el triángulo de vértices A(–1, –1), B(2, 4) y C(4, 1), hallar las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B.

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7. Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(–3, 2), B(8, –1) y C(3, –4).

Trabajo práctico Desigualdades.

Ejemplo de aplicación de desigualdades Renta versus compra Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una máquina excavadora. Si fuese a rentar la máquina, el costo de la renta sería de $3000 mensuales (sobre la base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) sería de $180 por cada día que la máquina se utilice. Si él fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serían de $20,000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serían de $230 por cada día que la máquina se utilizara. ¿Cuántos días al año por lo menos, tendría que utilizar el constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? Solución: Estrategia: vamos a determinar expresiones para el costo anual de la renta y el costo anual de la compra, así encontraremos cuándo el costo de la renta es menor que el de la compra. Sea d el número de días de cada año que la máquina será utilizada. Si la máquina se renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son (12)(3000) y los costos diarios de 180d. Si la máquina se compra, el costo por año es 20000+230d. Queremos que

Por tanto, el constructor debe utilizar la máquina al menos 321 días para justificar rentarla. Problemas: 1) Utilidad: Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $70,000. Si el precio de venta de un calentador es $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

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2) Razón de activo: La razón de activo de un negocio es el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercancías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes (préstamos a corto plazo e impuestos). Después de consultar con el contralor, el presidente de la Ace Sports Equipment Company decide pedir un préstamo a corto plazo para hacerse de inventario. La compañía tiene un activo de $350,000 y un pasivo de $80,000. ¿Cuánto pueden pedir prestado si quieren que su razón de activo no sea menor que 2.5? (Nota: los fondos que recibirán se consideran como activo y el préstamo como pasivo.) 3) Arrendamiento con opción a compra vs. compra Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de poseer un automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Ella puede arrendar un automóvil por $420 al mes (con una base anual). Bajo este plan, el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si ella compra el automóvil, el gasto fijo anual sería de $4700, y otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuántas millas por lo menos tendría que conducir ella por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra?. 4) Publicidad: El costo unitario de publicación de una revista es de $0.65. Cada una se vende al distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que pueden publicarse sin pérdida, esto es, que utilidad  0 . (Suponga que toda la emisión se venderá.). Desigualdades lineales de dos variables Problemas: 1) (Inversiones) En el ejemplo anterior, la acción A actualmente paga un dividendo de $6 por acción y la inversión B paga $5 por acción. Si el accionista requiere que la inversión le pague más de $1400 en dividendos, bosqueje la gráfica de la región permitida. 2) (Distribución de agroquímicos) Una compañía de agroquímicos produce funguicidas 2 en dos fábricas, F1 y F2. La fábrica F1 puede producir 100 lts(en miles) a la semana y la fábrica F2, 200lts ( en miles). La compañía tiene tres centros de distribución, X, Y y Z. El centro X requiere 50 a la semana, Y demanda 75 y Z requiere de 125 por semana, con el propósito de satisfacer las demandas de sus áreas respectivas. Si la fábrica F1 suministra x lts de funguicidas a la semana a su centro de distribución X, y funguicidas a Y y z funguicidas a Z, escriba las desigualdades que deben satisfacer x, y y z. 3) (Asignación y utilidades) En el ejercicio 24, suponga que la compañía obtiene utilidades de $20 por cada artículo A y $30 por cada artículo B. Si se requiere que la utilidad semanal sea al menos de $1100, represente los valores permitidos de x y y gráficamente. Resolver el sistema de desigualdades

2

Fungicidas: funcionan al igual que los herbicidas e insecticidas pero repelen todo tipo de hongos en plantas o cultivos

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OPTIMIZACION Problemas 1) Maximizar la función objetivo Z=3x+y sujeta a las restricciones

2) Minimizar la función objetivo Z=8x-3y sujeta a las restricciones

Observaciones: Siempre que la región factible de un problema de programación lineal sea vacía, no existe solución óptima.

Ejercicios:

CÓNICAS. FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRATICAS. 1. Encuentren la fórmula de una función del tipo

g ( x)  ax2 y que pasa por el punto (–5 ; 50).

2. Encuentren la fórmula de una función del tipo

g ( x)  ax2 y que pasa por el punto (–5 ; 51). 41

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3. Dos funciones tienen por fórmula

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f ( x)  ax2 y g ( x)  ax2 .Si f(–3) < g(–3), ¿qué pueden decir de los

valores de b y a? Expliquen cómo se dieron cuenta. 4. Grafiquen las siguientes funciones

m( x)  x 2  1; g ( x)  mx   3 .

5. Escriban la fórmula de dos funciones cuadráticas diferentes que tengan su vértice en (–2 ; 4). 6. La gráfica de la función de fórmula

f ( x)  2( x  1) 2  18 verifica que g ( x)  ax2 ƒ(2) = 0.

Encuentren el otro valor de x para el cual ƒ(x) = 0. 7. Dadas siguientes funciones definidas en R. Determinar : i. Concavidad ii. Raíces iii. Eje de Simetría: iv. Vértice: v. Intersección con los ejes. vi. Dominio y la imagen vii. Graficarla representado los puntos hallados.

a ) y  2 x2

b)

d ) y  x2  6 x  9

e ) y  x 2  81

f ) y  x 2  2x  5

g) y

i ) y  2 x 2  2 x  1

y  x2  1

3 2 x  9x 4

j ) y  2 .( x  1 ).( x  5 )

c ) y   4 x2

h ) y  3x 2  24 x  50

k ) y   x2  x

Situación problemática. 1. Se patea una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza medida desde el suelo en función del tiempo está dada por la siguiente fórmula: h(t )  2t 2  6t  8

donde h representa la altura,

medida en metros y t el tiempo, medido en segundos. i. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? ii. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? iii. Realice un gráfico de la función.

2. El producto entre dos números enteros es 672 y el primero de ellos supera en 11 unidades al segundo. ¿Cuáles son esos números? 3. Para conocer los resultados de una campaña publicitaria, una fábrica de bebidas gaseosas midió, a lo largo de 10 meses, la variación en las ventas, partiendo de un porcentaje de 100%. Las mediciones le permitieron establecer la siguiente fórmula: y   4 x 2  32 x  100 Donde x es el tiempo en meses, y es el porcentaje de ventas. i. ii. iii. iv. v.

Determine el dominio de la función. Construya una tabla y la gráfica de la función. Indique el porcentaje de demanda a los tres meses de iniciada la campaña Determine el momento en que las ventas alcanzaron el máximo, y cuál fue ese máximo en porcentaje. ¿A partir de qué momento la demanda cayó por debajo del nivel inicial?

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4. Con una soga de 20 cm de largo se pueden construir rectángulos, como, por ejemplo, los siguientes.

¿Cuál de todos los que pueden construirse es el que tendrá mayor área? 5. Responder: Verdadero o Falso. i. Todas las Parábolas cortan al Eje x en algún punto. ii. Todas las Parábolas tienen Ordenada al Origen.

y  x 2  3x  5 iii. tiene una raíz positiva y una negativa. iv. En la Ecuación Factorizada tengo a la vista las Coordenadas del Vértice. . v.

y  ( x  8) 2 Tiene sólo una raíz (doble).

……… ……... ……… …….. ……..

vi. Dos Parábolas pueden cortarse en 3 puntos, sin que estén superpuestas. vii. Existe una Parábola con raíces x1  0 y x 2  5 y vértice en (-3, 4).

….…. ……..

Mas ejercicicos 2. Escriban la fórmula de dos funciones cuadráticas diferentes que tengan su vértice en (–2 ; 4). 3. Para cada una de las siguientes parábolas, indicar: Coordenadas del vértice Ordenada al origen Raíces Eje de simetría Imagen a) b)

a)

b)

PLANTEAR Y RESOLVER CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS. 1. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85.¿Cuáles son dichos números? 13 2. La suma entre un número y su recíproca es -. ¿De qué números se trata? 6 50 3. ¿Cuál es el número entero que sumado a su recíproca da por resultado ? 7 4. Hallar la base y la altura del paralelogramo abcd, cuya superficie es de 15 cm 2

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5. La diagonal de un rectángulo tiene una longitud de 13 cm; si la altura es 7cm mayor que la base, ¿cuál es la superficie del rectángulo? 6. Si el perímetro de un rectángulo es 26 cm y su superficie es 40 cm 2 , hallar la longitud de su diagonal. SITUACIONES PROBLEMÁTICAS 1. En un planeta lejano se lanza hacia arriba una piedra desde una altera de 25 metros con una velocidad inicial de 96 m/seg. La altura a la que se encuentra la piedra (medida en metros) desde el suelo, en función del tiempo (en seg.)es:

s(t )  16t 2  96t  25 i. ii. iii.

t0

Calcular en que instante la piedra alcanza la máxima altura y cual es dicha altura. ¿En que instante la piedra llegara al suelo? Graficar la función.

2. Un chacarero tiene una hectárea de terreno en Río Negro y quiere iniciar una plantación de Manzanos. El INTA de la región le informa que si se plantan 50 árboles por hectárea, puede esperarse que cada árbol rinda aproximadamente 600 manzanas. Podría obtener en total: 50 x 600 = 30 000 manzanas. Si plantara algunos árboles más en su hectárea, obtendría más manzanas en total. Pero si plantara muchos árboles más, las ramas de cada uno recibirían menos sol, y disminuiría mucho el rendimiento por árbol. El INTA determinó experimentalmente que si x es el número de árboles por encima de 50 en una hectárea, el total de la producción p está dado por la fórmula.

p( x)  x 2  30 x  30000 El chacarero quiere saber, naturalmente, hasta cuántos árboles puede plantar por encima de 50 para que su producción total no empiece a disminuir, y cuál sería la producción máxima que podría obtener. Indicar las variables de esta función, qué tipo de función es, y anticipe la forma de su gráfica. Utilizando la fórmula del INTA ensaye algunos valores para x y construya una tabla. Analice la información obtenida en ella. Verificar que la fórmula es válida para el dato inicial, es decir que si planta 50 árboles obtendrá 600 manzanas por cada árbol plantado. Encontrar el valor máximo que alcanza p, o su gráfica. Para ello, le proponemos la siguiente guía: i. Relea las características de las gráficas de las funciones cuadráticas. Allí encontrará una pista para buscar el valor máximo. ii. Buscar en la tabla de la función pares de puntos simétricos. Si encontró algunos, ahora puede saber por dónde pasa el eje de la parábola. iii. Ya puede responderle al chacarero hasta cuántos árboles por encima de 50 puede plantar.

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ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN. 1. Observe atentamente las gráficas de las funciones cuadráticas que hemos estudiado y las imágenes de parábolas precedentes. Señale en su carpeta las características que encuentre. Después lea la definición que damos a continuación y compárela con sus observaciones.

2. Un chacarero tiene una hectárea de terreno en Río Negro y quiere iniciar una plantación de manzanos. El INTA de la región le informa que si se plantan 50 árboles por hectárea, puede esperarse que cada árbol rinda aproximadamente 600 manzanas. Podría obtener en total: 50 x 600 = 30 000 manzanas. Si plantara algunos árboles más en su hectárea, obtendría más manzanas en total. Pero si plantara muchos árboles más, las ramas de cada uno recibirían menos sol, y disminuiría mucho el rendimiento por árbol.

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CIRCUNFERENCIA Circunferencia con centro en el origen La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma distancia a un punto fijo. El punto fijo se llama centro y la distancia se llama radio (r). Para determinar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio r se calcula a distancia entre un punto cualquiera P(x; y) y el origen 0(0; 0). Entonces: 

Se reemplazan los datos en la fórmula de la distancia:

r  ( x  0)2  ( y  0)2  x 2  y 2 

Se elevan ambos miembros al cuadrado: r  x  y Por tanto, la ecuación de la circunferencia con centro 2

en el origen y radio r es:

2

2

r 2  x2  y2

1. Hallar el radio de cada una de estas circunferencias.

2. Determinar si los siguientes puntos pertenecen o no a la circunferencia pertenezcan, di si es o no un punto del círculo. a) A(3; 4)

b) B(1; -1)

c) C(6; 1)

25  x 2  y 2 .En caso de que no

d) D(5; 0)

¿Es una circunferencia? Para saber si una ecuación de la forma x2 + y2 +Ax + By + C = 0 corresponde a una circunferencia, calcularemos el valor del radio que sería: r2 = a2 + b2 – C, y siendo a = -A/2 y b = -B/2, tendríamos: 2

2

1  A B A2  B 2  4C . r       C y operando y sacando factor común obtendríamos r  2  2   2  Si evaluamos el signo de A2 + B2 – 4C, Podemos saber si la ecuación antes dada se corresponde o no con una circunferencia:

si A 2  B2 - 4C  0  es una circunfere ncia real  2 2 si A  B - 4C  0  es una circunfere ncia imaginaria  2 2 Si A  B - 4C  0  es un punto Ejemplo: La ecuación x2 + y2 + 3x – 5y – 4 = 0 ¿corresponde a una circunferencia?. Evaluemos el signo de A2 + B2 – 4C. 

A=3 B=-5 y de una circunferencia.

C = - 4 , entonces 32 + (- 5)2 – 4(- 4) > 0, podemos concluir que es la ecuación

Ejemplo: Halla el centro y el radio de la circunferencia:

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x2 + y2 – 8x + 2y + 13 = 0 

Centro ( 8/2, -2/2) = ( 4, - 1)



Radio: r 

1 2 8  22  4·13 = 2 2

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Una recta y una circunferencia pueden tener las siguientes posiciones: secantes, tangentes y exteriores, dependiendo de si tienen dos puntos, un punto o ningún punto de intersección entre las mismas. Para determinar las posiciones, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y de la recta. Se puede reemplazar una de las variables de la recta en ecuación de la circunferencia y se resuelve la ecuación de segundo grado resultante a fin hallar el(los) punto(s) de intersección, en el caso de que exista(n).

Ejemplo: Halla la posición relativa de la recta r: x + y = 0 respecto a la circunferencia x2 + y2 = 2. 

Resolvemos el sistema:

 x  y  0  2  x  y 2  1

Que tiene dos soluciones, (1,-1) y (-1, 1) luego la recta es secante a la circunferencia. Desde otro punto de vista, podemos resolver esta cuestión observando si la distancia del centro a la recta es mayor, menor o igual al radio. En estos casos será respectivamente exterior, secante o tangente. Aplicación Determinar la posición de estas circunferencias y rectas. Luego, grafícalas en un plano cartesiano e indicar: i) Punto(s) de intersección; ii) La recta y la circunferencia son: a) x2 + y 2 -2x + 4 y + 1 = 0, x - y = 1 EJERCITACIÓN GENERAL: 1. Determinar las ecuaciones canónica y general de las siguientes circunferencias y graficarlas. a) Centro C(0,0) y radio r= 4 b) Centro C(3,2) y radio r= 5 c) Centro C(3,0) y radio r= 3 d) Centro C(0,-2) y radio r= 3 2. Hallar la ecuación de cada circunferencia y graficar. a) Los extremos de diámetro son los puntos A(1,2) y B(5,-6)

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b) Centro C(-3,6) y pasa por el punto P(1,2) c) Centro C(-3,4) y pasa por el origen de coordenadas. d) Pasa por los puntos (5,3), (6,2) y (3,-1) 3. Hallar la intersección y graficar:

ELIPSE ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Las curvas de las elipses pueden ser horizontales o verticales, como se observa a continuación: Si el centro de la elipse es el origen de coordenadas y los focos están sobre el eje x, entonces, la curva es horizontal y la ecuación correspondiente es:

x2 y2  1 a 2 b2 Los principales elementos de la elipse horizontal con centro C(0; 0) son:  Eje mayor: AA' = 2 au  Eje menor: B B' =2b u ( b < a )

   

Focos: F(c; 0) y F'(-c; 0) Distancia focal: FF' = 2cu

QQ´ Longitud del lado recto:

2b 2 a

Si el centro de la elipse es el origen de coordenadas y los focos están sobre el eje y, entonces la curva es vertical y la ecuación correspondiente es:

x2 y2  1 b2 a 2 En este caso, los principales elementos son: • Eje mayor: AA' = 2au • Eje menor: BB' = 2b u ( b < a ) • Focos: F(0; c) y F'(0; -c)

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Longitud del lado recto: QQ´

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2b 2 a

En las figuras se observa que b y c son los catetos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa; es a, por lo que se cumple a 2 = b 2 + c2.

Aplicación 1. Hallar la ecuación y graficar las elipses siguientes cuyo centro es el origen de coordenadas: a) El eje mayor es horizontal y mide 14 unidades además el eje menor mide 10 unidades b) Sus focos son los puntos F1(3,0) y F2(-3,0). Corta al eje x en el punto (5,0) c) Sus focos son los puntos F1(0,2) y F2(0,-2). La longitud del eje menor es 8 unidades. 2. Un floricultor desea parquizar un sector con gladiolos, rosas y claveles, para ello el paisajista sugiere la construcción en lugares estratégicos de tres elipses iguales con eje mayor igual a 50 metros y eje menor de 30 metros. Para ello se contrata a un jardinero quien necesita averiguar donde colocará las estacas y la longitud de la cuerda necesaria para la construcción. 3. Las siguientes ecuaciones representar elipses con centro en (0; 0). Hallar los focos y los vértices.

4. Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas.

Ejemplo: Una elipse tiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (–5, 0) y su constante es k = 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.   

Semieje mayor: k = 26 → 2a = 26 → a = 13 Semidistancia focal: FF' = 10 → 2c = 10 → c = 5 Semieje menor:

b 2  a 2  c 2  b  169  25  144  12  b  12





Excentricidad:

c 5   0,38  exc  0,38 a 13

Ecuación reducida:

x2 y2  1 169 144

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HIPERBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

La hipérbola es el lugar geométrico de Los puntos del plano tales que el módulo de La diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La ecuación de La hipérbola con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de abscisas es:

x2 y2  1 a 2 b2 Si Los focos están sobre el eje de ordenadas, la ecuación es  Las asíntotas de una hipérbola son las rectas En ambos casos se verifica que

y

x2 y2  1 a 2 b2

b x a

a 2  b2  c 2

.

1. Determinar las coordenadas de los focos, de los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes hipérbolas. Luego graficar: a)

x2 y2  1 81 144

y2 x2  1 b) 25 144

2. Las siguientes ecuaciones representar hipérbolas con centro en (0; 0). Encuentrar los focos, los vértices y las asíntotas.

F¡= (V2; 0) y F2=(-V2; 0)

3. Identificar cada una de las siguientes cónicas. Determinar, en caso tenerlas, las coordenadas del centro, el vértice, el foco y las ecuaciones de las asíntotas, y luego graficarlas

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Ejemplo:

Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F1 (5, 0) y F2 (–5, 0) y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.  

Semieje: k = 2a = 6 → a = 3 Semidistancia focal: F1F2 = 10 → c = 5



Cálculo de b:



b 2  a 2  c 2  b  25  9  16  4  b  4

Excentricidad:

y

c 5   1,67  exc  1,67 a 3

4 4 x; y   x 3 3



Asíntotas:



Ecuación reducida: – = 1

x2 y2  1 9 16

Problemas varios: 1. Mario es jardinero y quiere construir un cantero en forma de elipse sobre una superficie rectangular de 80 cm por 60 cm. Para ello, necesita ubicar los focos, clavar en ellos dos estacas y luego, con un piolín atado, trazar la elipse. ¿A qué distancia del centro debe ubicar los focos?

2. Resolver los siguientes sistemas.

3. Encuentren las ecuaciones de las cónicas graficadas en cada una de las figuras. Si se graficaran en un mismo par de ejes cartesianos, ¿cuáles serían los puntos de intersección entre ellas?

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4. Determinen cuál es la ecuación que corresponde a cada uno de los gráficos que se muestran a continuación.

Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan a continuación:

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TRABAJO PRÁCTICO ANÁLISIS COMBINATORIO NOTACIÓN DE SUMATORIA Al calcular áreas se encuentra, con frecuencia, con sumas de muchos términos. Una forma cómoda de representar esas sumas es la letra griega



(sigma mayúscula, que corresponde a nuestra letra S), en lo

que se llama notación de sumatoria o notación sigma.

Notaras:

n

Notarás que el símbolo



representa una suma en que la letra i (llamada índice de suma) adopta los

im

valores m, m + 1, ..., n. También se pueden emplear otras letras como índice de suma.

EJEMPLO 2 Escribe la suma 2  3  ......... n en notación de sumatoria. SOLUCIÓN No hay una forma única de escribir una suma en notación de sumatoria. Podríamos anotar : 3

3

3

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El teorema siguiente describe tres reglas sencillas para trabajar con la notación de sumatoria.

EJEMPLO 3 Demuestra la fórmula que expresa la suma de los n primeros enteros positivos:

SOLUCIÓN Esta fórmula se puede demostrar por inducción matemática (Ap. E), o con el método siguiente, que usó el matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855), a la edad de 10 años. Se escribe dos veces la suma, una en el orden normal y la otra a la inversa:

Sumamos verticalmente las columnas y llegarnos a

En el lado derecho hay n términos, y todos ellos son n + 1, así que

Actividades: 1. Escribir la suma en su forma desarrollada. 5

a ) i i 1

n

b) 3i i 4

4

c) t 0

2k  1 2k  1

n

d) i10 i 1

2. Escribir la suma en su forma de sumatoria.

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a )1  2  3  4  ....... 10 b) 3  4  5  6  7 1 2 3 4 19     ................  2 3 4 5 20 d )2  4  6  8  ....... 2n

c)

e)1  3  5  7  .....  (2n  1) f )1  2  4  8  16  32 1 1 1 1 1 1 g)      1 4 9 16 25 36 h) x  x 2  x 3  ....  x n

Factorial de un número El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales menores o iguales a él. Se simboliza n!, y se lee factorial de n o n factorial. Como, n! = n . (n — 1) . (n —2) . (n — 3)... 1 se cumple que n! = n . (n — 1)!

El factorial de cero se define como 1. Es decir, 0! = 1.

En este texto se considera que

Ejemplo 4! = 4. 3 . 2 . 1 = 24 y se lee factorial de 4 es igual a 24.

0 N

1. Calcular los siguientes factoriales. a) 2!=

b)3!= c)5!=

d)6!=

e)7!=

f)8!=

2. Simplificar estas expresiones.

a)

6!  7!

b)

12!  10!

c)

7!.4!  8!

d)

5!.4!  6!

e)

7!.6!  9!

f)

6!  ( 4.2)!

3. Simplificar, sabiendo que las variables de las siguientes expresiones representan a números enteros positivos adecuados.

4. Resolver estas ecuaciones como en el ejemplo. a) x! = 15(x - 1)! → x! - 15(x-1)!=0 x (x- 1)! -15 ( x -1)!= 0 (x-15)(x -1)!=0 Como( x-1)!≠ 0 se tiene x—15= 0 → x =15

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SUCESIONES Y PROGRESIONES Sucesiones 1. El primer término de una sucesión es 4, escribe los cuatro primeros términos de ella sí: “Cada término es igual al anterior más el lugar que ocupa”. 2. Escribir la regla de formación de la siguiente sucesión: 3, 8, 13, 18,... 3. Escribir los cinco primeros términos de la sucesión formada por los cuadrados de los números naturales a partir del 1. 4. Calcular los 4 primeros términos de la sucesión de término general: an 

n n 1

5. Escribir los 5 primeros términos de una sucesión cuya regla de formación es: “Cada término es la suma de los dos anteriores” a1  3 y a2  7 6. Escribir el término general de estas sucesiones: a) 2,3, 4,5,6,....

b) 2,4,8,16,32,…

7. Completar las sucesiones con los términos que faltan: a) 3,7,11,15, __, __,.... b) 3,6,12,24, __, __,.... c) 32,16,8, 4, __, __,.... d) 5,10,17,26, __, __,.... 8. Hallar los términos General

an

a1 , a2 y a10 de las siguientes sucesiones, cuyo término

se da:

9. Encontrar el término en cada sucesión.

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10. Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

11. Esta es la tabla de multiplicar hasta el 5: a) Observar las filas y las columnas y escribir el término general de cada una. b) Obtener el término general de la diagonal : 1, 4, 9, 16, .... c) La diagonal 2, 6, 12, 20, .... se formó así: 1·2, 2·3, 3·4, 4·5, ... Encuentrar el término general.

Progresiones. Progresiones aritméticas 1. Escribir dos términos más en cada una de las siguientes sucesiones, e indica cuáles son progresiones aritméticas, y cuáles geométricas:

2. Determina la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas: a) 1,4,7,10,13.... b) 8,6, 4,2, 0,.... c) 2,6,10,14,18,.... 3. Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas a) 4,6, 8,10,.... b) 3, −1, −5, −9,.... c) 5, 8,11,14,.... 4. Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética: 57

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2, 4,6, 8,10,... 5. Calcular la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 3,7,11,15,19,... 6. El primer término de una progresión aritmética de diferencia 5 es 4 y el último término es 499.Halla la suma de todos ellos. 7. ¿Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 56 en la progresión aritmética definida por a1  8 y d  3 ?. 8. Calcula la diferencia y el término general de las siguientes Progresiones Aritméticas, de las que conocemos algunos términos:

9. Hallar el termino general de las PA

Progresiones Geométricas (PG) 1. Determinar la razón de las siguientes progresiones geométricas: a) 1,2,4,8,16.... b) 81,27, 9,3,1,.... 2. Escribir el término general de las siguientes progresiones geométricas: a) 4,12,36,108,.... b) 8,16,32,64,.... 3. Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica: 1,2, 4, 8,16,... 4. Calcular la suma de los términos de una progresión geométrica finita de primer término 1, razón 3 y último término 243. 5. Calcular la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 8, 4,2,1,... 6. Calcular el producto de los 8 primeros términos de la progresión geométrica:

1 1 1 , , , 1 , 2,.... 8 4 2

7. Calcula la razón de una progresión geométrica si se conoce :

a) a9  80 y a8  16 b) a10  40 y a7  5

8. Conociendo algunos términos de una Progresión Geométrica, calcular la razón y el término general:

58

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9. En una progresión geométrica el primer término es 625 y el tercer término es 400. Calcula la razón. 10. La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es 6 y su primer término es 4. Encuentra la razón. Problemas de aplicación sencillos. 1. 2. 3. 4.

Interpolar 3 medios aritméticos entre 4 y 29. Interpolar 4 medios geométricos entre 1 y 243. Calcular el capital obtenido invirtiendo 2000 € al 3 % de interés compuesto anual durante 5 años. Un árbol de rápido crecimiento multiplica su altura por 1’2 cada año. Si al Comenzar el año medía 0’75 m,¿Qué altura tendrá dentro de 8 años?.

5. Lanzamos una pelota a lo largo de un pasillo. En cada bote que da avanza una distancia igual a la mitad de la distancia anterior. Si al octavo bote cae en un foso de tierra y se para ¿qué distancia habrá recorrido si antes del primer bote ha recorrido 2 m?.

a1  2 ; a2  1 ; a3 

1 1 ; a4  5,.....,a8  2 64

6. Hallar la suma de todos los números impares menores de 100. 7. Un reloj de pared da campanadas a la hora en punto, a las medias y a los cuartos. A las horas en punto da tantas campanadas como la hora que se cumple; es decir, por ejemplo, da 5 campanadas a las 5 de la tarde. A las medias y a los cuartos da una sola campanada como señal. ¿Cuántas campanadas da en un día? 8. Calcular el número de pisos de un edificio de oficinas, sabiendo que la primera planta tiene una altura de 4m, que la azotea está a 37 m del suelo, y que la altura de cada piso es de 2,75m. 9. Una nadadora entrenó todos los días durante tres semanas. El primer día nadó 15 minutos, y cada día nadaba 5 minutos más que el día anterior. ¿Cuánto tiempo nadó el último día? ¿Y a lo largo de las tres semanas? 10. Un estudiante trabaja de cartero para ayudarse con sus estudios. Cada día es capaz de repartir 30 cartas más que el día anterior. En el vigésimo día repartió 2.285 cartas: a) ¿Cuántas cartas repartió el primer día? ¿Y el décimo? b) ¿En qué día repartió 2165 cartas? c) Calcular cuántas cartas repartió hasta el día 15. Otros problemas de progresiones aritméticas o geométricas 1. Calcula la suma de todos los números de dos cifras que son divisibles por tres. 2. El número de donantes de sangre en un hospital el primer día de cierto mes fue de 30 personas. Si cada día el número de donantes aumentó en 7 personas, ¿cuántas personas donaron sangre el último día del mes? Considera que el mes tiene 31 días. 3. ¿Cuál es la diferencia entre la suma de los múltiplos de 3 y la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 100 y 1 000? 4. Calcula el número de bloques necesarios para construir una torre como la de la figura pero que tenga 50 pisos. 59

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5. Dibuja un triángulo equilátero de 16 cm de lado. Une los puntos medios de sus lados. ¿Cuántos triángulos obtienes? ¿Cuánto miden sus lados? En estos triángulos, vuelve a unir los puntos medios, y así sucesivamente. Escribe las sucesiones siguientes, analiza si son progresiones y calcula su término general: a) Número de triángulos que tienes cada vez. b) Longitudes de los lados de estos triángulos.

6. Para adornar un paseo se colocan a lo largo de su línea central una fila de jardineras hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma forma, como muestra la figura. ¿Cuántas baldosas se necesitarán para poner 25 jardineras?.

7. Un agricultor debe echar un cubo de agua a cada uno de los veinte árboles que hay en su huerto. Estos están alineados a distancias regulares de 6 m a lo largo de un camino, y la distancia del primer árbol a la fuente es de 12 m. a) Si cada vez lleva un cubo, ¿qué distancia habrá recorrido hasta regar los 20 árboles y dejar el cubo en su posición inicial, junto a la fuente? b) ¿Y si llevara dos cubos en cada viaje?

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ANÁLISIS COMBINATORIO. Principio fundamental de conteo El análisis combinatorio es una parte muy útil de la matemática que permite calcular el número de las posibles combinaciones o agrupaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado sin hacer una lista completa de dichas agrupaciones. El principio fundamental de conteo establece que el número de los posibles resultados en una situación, en donde intervienen varios eventos, se puede calcular multiplicando el número de formas en que puede suceder cada evento. Ejemplo Las diferentes formas de elegir un helado si se puede optar por un cono o un vaso y los saberes son: chocolate, frutilla o americana.

Analizar y representar mediante el diagrama de árbol cada situación planteada. 1. a) En una urna hay una bola blanca, una roja y una negra. Las extraemos de una en una y anotamos ordenadamente los resultados. Escribe todos los posibles resultados que podemos obtener. b) Haz lo mismo para cuatro bolas distintas. c) Lo mismo para ROJA, ROJA, BLANCA, NEGRA. d)Lo mismo para ROJA, ROJA, NEGRA, NEGRA. 2. Dos amigos juegan al tenis y acuerdan que será vencedor el primero que logre ganar dos sets. Escribe todas las formas en que puede desarrollarse el partido. 3. a) Forma todos los números de cuatro cifras que se puedan hacer con los dígitos 1 y 2. ¿Cuántos son? b)¿Cuántos números de 5 cifras se pueden hacer con los dígitos 0 y 1? Ten en cuenta que 01101 = 1 101 no es un número de cinco cifras. 4. ¿De cuántas formas se pueden combinar 3 polleras, 2 blusas y 1 sandalia? 5.

Si una persona quiere elegir un plato principal, un jugo y un postre para su almuerzo y tiene 2 tipos de plato principal, 4 tipos de jugo y 2 tipos de postre, ¿cuántas posibilidades de elección tiene?

Calcular sin trazar el diagrama de árbol. 1. Si se lanzan un dado y una moneda en forma consecutiva, ¿cuántos resultados diferentes se pueden obtener? 2. De un ramo de flores compuesto de 6 rosas, 2 dalias y 4 margaritas se desea elegir una flor de cada tipo. ¿De cuántas maneras se puede elegir? 3. El carné de socio de un club ubicado en Resistencia tiene una letra del alfabeto y 3 dígitos numéricos. ¿A cuántos socios le alcanzará la numeración? Considera que el abecedario tiene 27 letras. 4. Las empresas de teléfonos celulares asignan números de 6 dígitos en nuestro país. Si se sabe que el primer dígito no puede ser 0, ¿cuántas líneas telefónicas puede habilitar en una zona? 5. ¿Cuántas chapas para automóvil pueden hacerse usando tres de 27 letras del abecedario, seguidas de tres números del 0 al 9?

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Variación simple o variación sin repetición Una variación es una ordenación de n elementos distintos, tomados de a r elementos, donde r es menor o igual que n, tal que las agrupaciones se consideran distintas si los elementos se toman en distinto orden. Se llama variación sin repetición cuando cada elemento no puede ocupar dos o más posiciones diferentes. El número de variaciones sin repetición de n elementos tomados de a r se calcula así:

Vn ,r 

n! n  r !

Ejemplo :¿Cuántos números de 2 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

Por lo tanto, se pueden formar 4. 3 = 12 números, lo cual se puede calcular aplicando la fórmula:

1. Calcular: 2. Resolver:

a)

V5,3 

a)Vx ,2 

b)V8,4  b)Vx ,2  Vx ,1

3. Calcular: 1. La cantidad de números de 3 cifras distintas que se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 y 5. b) La cantidad de palabras (que tengan sentido o no) de 6 letras distintas que se pueden formar con las letras de la palabra eucalipto. c) El número de posibilidades en que pueden distribuirse los tres primeros lugares en una carrera con 6 participantes. d) El número de posibilidades de ubicación de 6 personas que se van al cine si quedan 10 asientos disponibles. e) El número de maneras en que 25 estudiantes del 2.° curso pueden elegir al delegado(a) y al vicedelegado (a) del curso. Permutación Las permutaciones son casos particulares de las variaciones en donde r = n. Es decir, en cada agrupamiento intervienen todos los elementos del conjunto. Una permutación puede ser también con repetición o sin repetición.

CASOS Permutación sin repetición

Permutación con lugares fijos

Ningún elemento del conjunto se repite en el agrupamiento.

FORMULAS

EJEMPLOS Con las letras de la palabra amor se pueden hacer

P4  4!  24 ordenamientos. Con los dígitos l,2,3y4se pueden

k lugares de n permanecen fijos.

hacer P4  ( 4  1)!  3!  6 números de cifras distintas ubicados entre 1 000 y 2 000 1

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Aplicación Citar las agrupaciones que se pueden formar en cada caso. Luego, comprobar la fórmula correspondiente. a) Los números de tres cifras diferentes que se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3. b) Las palabras de cuatro letras diferentes (con sentido o no) que se forman con las letras de la palabra fiel. c) Las palabras de 4 letras (con sentido o no) que se forman con las letras de la palabra casa. Calcular. a) La cantidad de números de 5 cifras que se pueden formar usando todos los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. b) La cantidad de orden en que pueden ser entrevistados diez candidatos a ocupar un puesto de trabajo en una empresa. c) La cantidad de palabras de 5 letras distintas (con sentido o no) que se pueden hacer con las letras de la palabra saber de modo que la letra r siempre esté primera.

d) La cantidad de palabras de 10 letras (con sentido o no) que se pueden hacer con las letras de la palabra matemática. ¿Cuántas empiezan con la letra c? . e) La cantidad de maneras en que pueden subirse al mismo colectivo 6 personas que están en una misma parada. Combinación Una combinación de n elementos tomados de a r, donde r ≤ n, es una agrupación de r elementos de los n disponibles, sin importar el lugar o la posición que ocupa cada uno de los elementos en la agrupación. El número de combinaciones de n elementos tomados de a r se denota por

Cn ,r y se calcula

mediante las fórmulas:

Combinación sin repetición

Cn , r 

n! ( r  n )!. r!

Ejemplo La cantidad de combinaciones de 2 letras sin repetición que se pueden hacer con las letras a, b y e son

Cn , r 

n! 3! 3!   3 ( r  n )!. r! (3  2)!. 2! 1!.2!

Si es con repetición, se agregan las agrupaciones aa, bb y cc, por lo que se podrían hacer 6 combinaciones, lo cual se puede calcular mediante la fórmula

1. Calcular:

a )C5,3 

b)C7,5 

c)C4,7 . C 5,1

d)

Cx ,3  Cx ,2 63

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2. Hallar: a) La cantidad de maneras que Juana puede elegir 2 vaqueros si tiene 5 vaqueros diferentes. b) La cantidad de comisiones de 6 miembros que se pueden formar con 20 estudiantes del 2.° curso. c) La cantidad de cartones distintos para un bingo que se pueden armar con 12 números distintos si hay 25 números posibles. Algunas situaciones pueden resolverse mediante el Principio Fundamental de Conteo.

3. Halla el valor de x en estas igualdades.

Aplicación Analizar las siguientes situaciones y calcular. a) Las opciones que tiene Juan para elegir un auto, si al llegar a una playa de autos el vendedor le dice que hay 7 marcas disponibles, 5 modelos de cada marca y que para cada modelo hay 3 colores disponibles. b) El número de comités de 4 miembros que se pueden formar de un conjunto de 20 miembros posibles. c) La cantidad de palabras de 9 letras (con sentido o no) que se pueden formar con las letras de la palabra paciencia. d) El número de maneras en que se pueden elegir 2 equipos para el partido inaugural de un torneo intercolegial de fútbol, si participan en total 9 equipos. e) La cantidad de maneras distintas en que se pueden pintar los departamentos de la Región occidental en un mapa político de Paraguay si se dispone de 24 lápices de diferentes colores y los departamentos no pueden tener el mismo color. f) La cantidad de formas en que se puede responder con F (falso) o y (verdadero) un cuestionario con 1 5 preguntas. g) La cantidad de números pares de tres cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La cantidad de formas en que pueden sentarse 5 personas que llegan a una sala de cine si quedan 15 lugares disponibles.

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DIFERENCIA ENTRE VARIACIÓN, PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN Es muy importante saber distinguir si la situación planteada se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones, y si estas son con repetición o sin repetición. Para ello, se puede seguir el siguiente razonamiento.

SI

NO

No

Si

Si No

Vn ,r 

n! n  r !

VRn,r  n´

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Números binomiales Se llaman números binomiales o coeficientes binomiales “es el numero de subconjuntos de i elementos que se pueden formar de un conjunto de n elementos con i  n y se calcula:

n n!     i  ( n  i )!.i!

donde i= 0, 1,2,..., n.

n  i

Los números binomiales se indican por  

Por tanto, para todo

nN

. Se lee binomial de n sobre i .

, tenemos las siguientes propiedades

n n! n!  1     0  (n  0)!.0! n!

n n! n!  1     n  (n  n )!.n! n!

n n! n(n  1)!     n 1 1 !.( n  1 )! 1 !.( n  1 )!  

n  n    y  son complementarios. i n  i      n  n n! n         n  i  (n  i )!(n  n  i ) n!(n  i )!  i 

Ejemplo:

12  12! 12!      7  7!.(12  7)! 715!

12  12! 12! y     son iguales  5  7!.(12  7)! 715!

Regla de Stieffel o relación de recurrencia La suma de dos números combinatorios en general no es un numero combinatorio ,pero si sus numeradores son iguales y denominadores son consecutivos vale la formula:

 n  1  n  1  n          i i  1     i  n  1  n  1 n - 1!  (n  1)!  (CD)        i   i  1  n!(n  i  1) (n  1)!(n  i )! 

n - 1!

n - 1!(n - i  i)  n!   n  (n  1)!  n!(n  i )( n  i  1)! n(n  1)!(n  i )! n!(n  i )! n!(n  i )!  i  

Ejemplo:

 5  4  4 a)         3  3   2 

 7  6  6 b)         4  4  3

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Aplicación 1. Calcular los siguientes números binomiales.

 3 a )    0 2. Probar que

 3 b)    3

 5 c)    4

n  n     n y    n = 1 n  1    

 2 d)   1

 6 e)    5

12  f)    11 

para cualquier número natural n≤ 1.

3. Analizar estas expresiones y averigua si corresponde al desarrollo de alguna potencia del binomio a ± b que aprendiste en cursos anteriores.

BINOMIO DE NEWTON El binomio de Newton es la expresión de la forma

( a  b) n

donde

nN

.

En el desarrollo de las potencias del binomio se verifica que:

( a  b) n



La potencia



El 1º término es

an

tiene (n + 1) términos.

y el exponente de

a

disminuye de a uno en los términos siguientes, mientras que el

bn ( a  b) n

de b aumenta de a uno hasta llegar al término 

Los signos de los términos del desarrollo de

son positivos, y de los términos del desarrollo de

(a  b)n están en forma alternada empezando de positivo. 

El coeficiente de cada término corresponde a un número binomial. Así, se tiene esta fórmula general:

Aplicación 1. Desarrollar las potencias de las formas indicadas.

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i.

( a  b) 2

ii.

ASIGNATURA : ALGEBRA

( a  b) 3

a. Efectuando la multiplicación

a) Efectuando la multiplicación

b. Aplicando la fórmula de Newton.

2. Aplicando la fórmula de Newton.

2. Aplicar la fórmula del binomio de Newton para desarrollar la potencia ( x  1) 3. Escribir la cantidad de términos que tiene el desarrollo de estas expresiones.

8

4. Desarrollar las potencias indicadas utilizando los números binomiales.

a )( 3a  b)4 

c)( x  2)5 

d)(2 x  3)6 

Triángulo de Pascal o de Tartaglia El triángulo de Pascal o de Tartaglia es un triángulo de números enteros correspondientes a los números binomiales. Es decir, es construido por los coeficientes del desarrollo de primeros números se muestran a continuación.

(a  b)n , cuyos

El triángulo de Pascal tiene las siguientes características:  Los valores de cada fila son simétricos con respecto al(los) valor(es) central(es).  Los números posicionados en los extremos de cada fila son 1, y los valores intermedios se obtienen sumando dos números más cercanos de la fila anterior. Este triángulo puede escribirse usando los números binomiales.

Así, el i-ésimo término del desarrollo de binomio de Newton es:

 n  n i 1 i 1 a T   .b  i  1

Aplicación 1. Escribir el triángulo de Pascal o Tartaglia hasta la octava fila. 2. ¿Cuál es el valor central de la novena fila del triángulo de Pascal o de Tartaglia? 3. ¿A qué fila del triángulo de Pascal o de Tartaglia corresponden estos números?

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a) 1 6 1

5

20

1

b) 1 9 36 84 126

5

6

1

126

84

36

ASIGNATURA : ALGEBRA

A la …………………….fila.

9

1

A la……………….. fila.

4. En cada caso, calcular:

b) el quinto término del desarrollo de

(1  x )10 ( 2a 2 b  b 2 ) 6

c) el término central del desarrollo de

(3x 2  y 2 )8

a) el cuarto término del desarrollo de

EJERCICIOS VARIOS Y PROBLEMAS. 1. ¿Cuántos son los resultados posibles de dos equipos que se enfrentan en 5 partidos? 2. ¿De cuántas formas distintas se puede formar el pódium de la final de los 100 m lisos en la que corren 8 atletas? 3. Calcula el número de boletos de Lotería que es necesario rellenar para que te toque el primer premio con toda probabilidad (Hay que acertar 6 números de un total de 49). 4. En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuántos grupos distintos de finalistas se pueden formar? 5. Esta cuadrícula representa el plano de un barrio de una ciudad.

a) ¿Cuántos caminos de longitud mínima hay para ir de A a C? b)¿Cuántos caminos hay para ir de C a B? c) ¿Cuántos caminos hay para ir de A a B, pasando por C? d)¿Cuántos caminos hay para ir de A a B? 6. a)¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra JUAN? b) ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal? Resolver a)

c)

b)

f) d)

e)

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g)

h)

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i)

7. Calcula el valor de:

8. Halla el valor de x(x ≠6) en esta igualdad:

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:  MIGUEL DE GUZMAN,J.COLERA (2003).Matemática I-C.O.U..Editorial Anaya. España.  BEN NOBLE Y JAMES DANIEL Álgebra Lineal Aplicada, , Ed, Prentice Hall,  ARMANDO ROJO, ED, ATENEO .Algebra 1 y 2,  GROSSMAN - ED, MC GRAW HILL- Álgebra Lineal, Estanley 1,  NOEMÍ DE GOICOCHEA Y MARIA R, GASPARINI Álgebra y Geometría, -Fac Ingeniería UNNE.  E, F, HAEUSSLER, JR Y R,S, PAUL .Matemáticas para Administración y Economía: - Grupo Editorial Iberoamerica -Segunda Edición  MARÍA A DE SUNKEL .Geometría Analítica -Ed Nueva Librería, -

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