Guia Tercer Parcial Mate Ii Prim 2017(1).docx

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE SAN LUIS POTOSÍ “Ciencia, Tecnología y Cultura al Servicio del Ser Humano”

ACADEMIA DE MATEMATICAS

GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS II (INGENIERIA) TERCER PARCIAL, PRIMAVERA 2017 I.- ENCUENTRE LA PRIMERA DERIVADA PARCIAL DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 2𝑦 4 𝑧 = 𝑥 𝑒 3𝑦 𝑥−𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 𝑤 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑓(𝑢, 𝑣) = tan−1

𝑢 𝑣

𝑧 = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 2 𝑧 3 + 3𝑦𝑧 𝑤 = ln(𝑥 + 𝑧𝑦 + 3𝑧) 𝑢 = 𝑥𝑒 −𝑡 sin 𝜃

II.- HALLAR LA DERIVADA PARCIAL INDICADA

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑥 4 𝑦

: fxxx

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 5 + 𝑥 4 𝑦 4 𝑧 3 + 𝑦𝑧 2 : f xyz 𝑧 = 𝑥 sin 𝑦 : 𝜕 3 𝑧/𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝑢 = ln(𝑥 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2 ) : 𝜕 3 𝑢/𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 3 +4𝑥𝑦−𝑦 2 𝑥+𝑦

: 𝜕 2 𝑓/𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑧 = sin(𝑥) cos(𝑦) : 𝜕 3 𝑧/𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒 𝑥𝑦𝑧 : 𝜕 3 𝑓/𝜕𝑧𝜕𝑥𝜕𝑥 𝑦

𝑧 = tan(𝑥 ) : 𝜕 2 𝑧/𝜕𝑥𝜕𝑦

1

𝒅𝒛

III.- UTILICE LA REGLA DE LA CADENA PARA HALLAR

𝒐

𝒅𝒕

𝒅𝒘 𝒅𝒕

𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ; 𝑥 = 2 + 𝑡 4 ; 𝑦 = 1 − 𝑡 3 𝑧 = sin 𝑥 cos 𝑦 ; 𝑥 = 𝜋𝑡 𝑦

𝑤 = 𝑥𝑒 𝑧

;

𝑥 = 𝑡2

𝑦 = √𝑡

;

𝑦 =1−𝑡

;

𝑧 = 1 + 2𝑡

;

𝝏𝒛

IV.- UTILICE LA REGLA DE LA CADENA PARA HALLAR 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ;

𝑥 =𝑠+𝑡

; 𝑦 = 𝑠𝑡

𝑧 = tan−1(2𝑥 + 𝑦) ;

𝑥 = 𝑠2𝑡

; 𝑦 = 𝑠 ln 𝑡

𝑧 = 𝑒 𝑟 cos 𝜃

; 𝑟 = 𝑠𝑡

;

𝒚

𝝏𝒔

𝝏𝒛 𝝏𝒕

𝜃 = √𝑠 2 + 𝑡 2

V.- ENCUENTRE LA DERIVADA DIRECCIONAL DE f EN EL PUNTO DADO Y EN LA DIRECCION INDICADA POR θ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 3 + 2𝑥 4 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = √5𝑥 − 4𝑦

;

(4, 1)

; 𝜃= −

;

𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 )

;

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 3 )𝑒 𝑥𝑦

;

;

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 2 + 𝑦 3 )𝑒 𝑥

; 𝜃=

(1, 0)

;

(1, 2,3)

;

3

𝜋 6 𝜋 4

; v= (1, −1,3)

; 𝑣 = (2,1, −1)

(1, 0,0)

2 +𝑧 2

𝜋

; 𝜃= 𝜋

(1, 1)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 𝑦 − 2𝑧𝑦 + 3𝑧𝑥 3 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sin(𝑥𝑦𝑧)

𝜃=

; (1 , -2)

; 𝑣 = (0,1,1)

(1,0, 1)

VI.- ENCUENTRE EL GRADIENTE DE f EVALUE EL GRADIENTE EN EL PUNTO p ENCUENTRE LA RAZON DE CAMBIO DE f EN p EN LA DIRECCION DEL VECTOR u 5 12 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦 2 − 4𝑥 3 𝑦 ; p( 1, 2) ; 𝑢= 〈 , 〉 y

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐tan(x) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 2 𝑧 3 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦𝑧)

; p( 1 , 1) ; p( 1 , -2, 1)

𝑢= 〈

;

√2

𝑢= 〈

;

; p( 1 , 𝜋 , 1)

1

13

,− 1

13 1

〉

√2

1

1

,− , 〉 √3 √3 𝑢 = 〈1, −3,0〉

;

2

√3

VII.- COMPROBAR QUE LAS FUNCIONES SON SOLUCIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES INDICADAS 𝑦

1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctan (𝑥 ) , 𝑓(𝑥, 𝑦) = √cos(𝑥𝑦)

a la ecuación

2) 𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑥 − 𝑐𝑡) + sin(𝑥 − 𝑐𝑡) , 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝑥−𝑐𝑡 1

3) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 , 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒

√1+𝑥 2

cos(𝑦) sen(𝑧) a la ecuación

31

∬1 0 (1 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜋 𝜋

∬02 02 sin 𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 1 𝑥 0 √

+ 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

4 2 𝑥

𝑦

∬1 (𝑦 + 𝑥 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3

𝑥3

∫2 ∫𝑥 𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2

1

∫ ∫ cos(𝑥 3 )𝑑𝑦𝑑𝑥 0 0 𝜋 cos 𝑥

(1 + 4𝑦 tan2 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥

∫ ∫ 0 0 1 2

8𝑦 2𝑥 ∫ ∫ ( − 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 +1 0 0 𝑥+1 1

1−𝑥

∫ ∫

1−𝑥−𝑦

0 0 1 2𝑥

∫ ∫ 0

−𝑥

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

∫ 0 2𝑥+𝑦

∫

𝜕2 𝑓

+ 𝜕𝑦 2 = 0 𝜕𝑥 2

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑥+𝑦

IX.- HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LAS CURVAS a) 𝑦 = 𝑥 4 , 𝑦 = 𝑥 2 b) 𝑥 − 𝑦 2 + 16 = 0, 𝑥 + 𝑦 2 − 16 = 0 c) 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑦 = −𝑥 − 2, 𝑦 = 0 d)𝑦 2 = 8𝑥 + 16, 𝑦 2 = 4 − 4𝑥 e) 2𝑥 = 2 + 𝑦 2 , 𝑦 = 1, 𝑥 + 2𝑦 = 1 1

f) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 2, 𝑦 = 0 g) 𝑦 2 = 10𝑥 + 25, 𝑦 2 = 9 − 6𝑥 X.- HALLAR EL VOLUMEN DEL SÓLIDO LIMITADOS POR a) 𝑧 = 𝑥√𝑥 2 + 𝑦 y los planos x=0 , x = 1, y= 0 , y = 1 , z= 0 b) 𝑧 = 9 − 𝑦 2 ; y el plano x= 2, en el primer octante c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑟 2 3

𝜕2 𝑢

a la ecuación

VIII.- CALCULAR LA INTEGRAL INTERADA

∬0

𝜕2 𝑓

𝜕2 𝑓 𝜕𝑥 2

𝑐 2 𝜕𝑥 2 = 𝜕2 𝑓

𝜕2 𝑢

𝜕𝑡 2 𝜕2 𝑓

+ 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑧 2 = 0

2

d) 𝑧 = 𝑒 𝑥 , 𝑥 = 3, 𝑥 = 3𝑦, 𝑦 = 1, 𝑦 = 0 e) 𝑧 = 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 ), 𝑥 = 4, 𝑥 = 𝑦 2 , 𝑦 = 2, 𝑦 = 0 f) 𝑧 = 𝑥𝑦, 𝑥 = 𝑒, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = ln(𝑥) g) 𝑧 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 = 4, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, en el primer octante XI.- PROBLEMAS DE APLICACIÓN Derivadas parciales. 1. Una lámina de metal plana se encuentra en un plano xy y la temperatura T en (x,y) está dada por T=10(x2+y2)2, donde T se mide en grados y x y y en centímetros. Calcule la tasa de cambio o variación de T con respecto a la distancia en el punto (1, 2) en la dirección (a) del eje x; (b) del eje y. 2. La superficie de un lago se representa mediante una región D en el plano xy de manera que la profundidad en (x, y) está dada por f(x, y)=300-2x2-3y2, donde x, y y f(x, y) se miden en metros. Una joven está en el agua en el punto (4, 9). Calcule la tasa o intensidad con la que cambia la profundidad bajo esa joven cuando nada en la dirección (a) del eje x; (b) del eje y. 3. El factor de enfriamiento W, es la temperatura que se percibe cuando la temperatura real es T y la velocidad del viento es v, de modo que W=f(T, v) . La tabla siguiente muestra algunos valores. 


Temperatura real (oC)

Velocidad del viento (km/h) 


T\v

20

30

40

50

60

70

-10

-18

-20

-21

-22

-23

-23

-15

-24

-26

-27

-29

-30

-30

-20

-30

-33

-34

-35

-36

-37

-25

-37

-39

-41

-42

-43

-44

a) Estime los valores de fT (-15, 30) y fv (-15, 30). ¿Cuáles son las interpretaciones prácticas de estos valores? b) En general, ¿qué puede decir con respecto al signo de

𝜕𝑊 𝜕𝑇

y

𝜕𝑊 ? 𝜕𝑣

Regla de la cadena 1. Los lados iguales y el ángulo entre ellos de un triángulo isósceles aumentan a razón de 0.1 m/h y 2o/h, respectivamente. Utilice la regla de la cadena para evaluar la tasa de crecimiento del área del triángulo en el momento en que la longitud de los lados iguales es de 20 m y el ángulo entre ellos es de 60o. 2. La presión P, el volumen V y la temperatura T de un gas encerrado están relacionadas por la ley del gas ideal PV=kT, donde k es una constante. Suponiendo que P y V varían con la rapidez dP/dt y dV/dt, respectivamente, encuentre una fórmula para evaluar dT/dt, usando la regla de la cadena.

4

3. La temperatura en un punto (x, y) es T (x, y), medida en grados Celsius. Un animalito se arrastra de tal 1

modo que su posición después de t segundos está definida por 𝑥 = √1 + 𝑡, 𝑦 = 2 + 3 𝑡, donde x y y se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con Tx (2, 3)=4 y Ty (2, 3)= 3. ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3 segundos? Gradiente y derivada direccional 1. La superficie de un lago está representada por una región D en el plano xy de manera que la profundidad (en metros) bajo el punto correspondiente a (x, y) es f(x, y)=300-2x2-3y2. Una niña está en el agua en el punto (4, 9). ¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad del agua bajo ella disminuya más rápidamente? ¿En qué dirección permanecerá constante la profundidad? 2. El potencial eléctrico V en un punto P(x, y, z) de un sistema de coordenadas rectangulares es V=x2+4y2+9z2. Calcule la tasa de cambio de V en P(2, -1, 3) en la dirección de P al origen. Encuentre la dirección que produce la máxima tasa de cambio de V en P. ¿Cuál es la tasa máxima de cambio en P? 3. Se muestran curvas de nivel para presión barométrica (en milibares), para las 6:00 A. M. del 10 de noviembre de 1998. Una zona con una presión de sólo 972 mb se mueve la región noreste de Iowa. La distancia a lo largo de la línea roja de K (Kearney, Nebraska) a S (Sioux City, Iowa) es 300 km. Estime el valor de la derivada direccional de la función de presión en Kearney en la dirección de Sioux City. ¿Cuáles son las unidades de la derivada direccional?

Volumen y área 1. Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo la gráfica de z=4x2+y2 y sobre la región rectangular R en el plano xy con vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 0, 0) y (2, 1, 0). 2. Calcule el volumen del sólido que se encuentra bajo la gráfica de z=x2+4y2 y sobre la región triangular R del plano xy cuyos vértices son (0, 0, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 0).

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