Guia Primer Parcial Control Inteligente

GUIA PRIMER PARCIAL CONTROL INTELIGENTE Temas a evaluar: 1. Obtención de la función de transferencia de un sistema dinámico. 2. Obtención de la función de transferencia simple de un sistema representado en bloques. 3. Representación de un sistema dinámico en espacio de estados.

Ejercicio 1. Obtenga la función de transferencia y su representación en espacios de estado para el siguiente sistema considerando: R1=100 kohms; R2= 33 kohms; R3= 47 kohms; C1= 270 nF; C2= 0.1uF

Analizando el circuito a través de impedancias el sistema se representa:

Zr1 y Zr2 están conectados paralelamente, y Zc2 con Zr3 en serie, simplificando: 𝑍𝑎 =

𝑅2 𝑅2𝐶1𝑠 + 1

𝑍𝑏 =

𝑅3 𝐶2𝑠 + 1 𝐶2𝑠

Quedando el circuito como sigue:

Simplificando nuevamente Za en serie con Zr1, obtenemos:

𝑍𝑐 =

𝑅1𝑅2𝐶1𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2 𝑅2𝐶1𝑠 + 1

La relación de la señal de salida sobre la señal de entrada se puede calcular a partir de un divisor de voltaje. 𝑉𝑜 𝑠 = 𝑉𝑖(𝑠)

𝑍𝑏 𝑍𝑏 + 𝑍𝑐

𝑅3𝐶2𝑠 + 1 𝑉𝑜(𝑠) 𝐶2𝑠 = 𝑅3𝐶2𝑠 + 1 𝑅1𝑅2𝐶1𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2 𝑉𝑖(𝑠) + 𝐶2𝑠 𝑅2𝐶1𝑠 + 1 𝑉𝑜(𝑠) 𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2𝑠 2 + 𝑅2𝐶1 + 𝑅3𝐶2 𝑠 + 1 = 𝑉𝑖(𝑠) 𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 𝐶1𝐶2𝑠 2 + 𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2 + 𝑅2𝐶1 + 𝑅3𝐶2 𝑆 + 1

Sustituyendo los valores: 𝑉𝑜(𝑠) 4.2𝑠 2 + 0.014𝑠 + 1 = 𝑉𝑖(𝑠) 0.13𝑥10−3 𝑠 2 + 0.027𝑠 + 1 𝑉𝑜(𝑠) 0.32𝑠 2 + 104𝑠 + 7635 = 2 𝑉𝑖(𝑠) 𝑠 + 205.5𝑠 + 7635 Identificando coeficientes: a0=1; a1=205.5; a2=7635; b0=0.32; b1=104; b2=7635; Calculando los valores de Beta para conformar la matriz. β0=0.32; β1=38.22; β2=-2.66x103; por tanto la representación en espacios de estado del sistema eléctrico es: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) 𝑥 1(𝑡) 0 = 𝑥 2(𝑡) −7635

𝑥1(𝑡) 1 38.22 + 𝑢(𝑡) −205.5 𝑥2(𝑡) 2.66𝑥103

𝑦(𝑡) = 1 0

𝑥1(𝑡) + 0.32 𝑢(𝑡) 𝑥2(𝑡)

Ejercicio 2. Obtenga la función de transferencia y su representación en espacios de estado para el siguiente sistema considerando:

R1=100 kohms; R2= 33 kohms; C1= 270 nF; C2= 0.1uF; C3=52uF.

Respuesta: 𝑉𝑜(𝑠) 𝑅2𝐶1𝐶2𝑠 2 + 𝐶1 + 𝐶2 𝑠 = 𝑉𝑖(𝑠) 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2𝐶3𝑠 3 + (𝑅1𝐶1𝐶3 + 𝑅1𝐶2𝐶3 + 𝑅2𝐶2𝐶3 + 𝑅2𝐶1𝐶2)𝑠 2 + 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑠 𝑉𝑜(𝑠) 8.9𝑥10−10 𝑠 2 + 3.7𝑥10−7 𝑠 = 𝑉𝑖(𝑠) 4.63𝑥10−9 𝑠 3 + 2.1𝑥10−6 𝑠 2 + 5.24𝑥10−5 𝑠 𝑉𝑜(𝑠) 0.2𝑠 2 + 79.9𝑠 = 3 𝑉𝑖(𝑠) 𝑠 + 452.5𝑠 2 + 1.13𝑥104 𝑠 Representación en espacios de estado: β0=0; β1=0.2; β2=-7.16; β3=1.066x103; 𝑥 1(𝑡) 𝑥1(𝑡) 0 1 0 0.2 𝑥2(𝑡) + 𝑥2 𝑡 = 0 𝑢(𝑡) 0 1 −7.16 0 −79.9 −452.5 𝑥3(𝑡) 1.066𝑥103 𝑥3 𝑡 𝑥1(𝑡) 𝑦(𝑡) = 1 0 0 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡) Ejercicio 3.

Obtenga la función de transferencia y su representación en espacios de estado para el siguiente sistema considerando: m= 55 kg; b = 0.75 kg/s; k1= 40 kg/s2; k2=35 kg/s2

Se obtienen las ecuaciones que definen el sistema: Para la masa m:

𝑚𝑦 𝑡 = −𝑏 𝑦 𝑡 − 𝑎 𝑡

− 𝑘2𝑦(𝑡)

Consideremos el punto de conexión de los componentes k1 y b como una masa M=0 que experimenta un desplazamiento a(t), por lo que: 𝑀𝑎 𝑡 = −𝑏 𝑎 𝑡 − 𝑦 𝑡

− 𝑘1(𝑎 𝑡 − 𝑢(𝑡))

𝑘1(𝑎 𝑡 − 𝑢(𝑡)) = −𝑏 𝑎 𝑡 − 𝑦 𝑡

Transformamos al dominio de la frecuencia y factorizamos las funciones Y(s) y A(s) 𝑌 𝑠 𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘2 = 𝑏𝑠𝐴(𝑠) 𝐴 𝑠 𝑏𝑠 + 𝑘1 = 𝑘1𝑈 𝑠 + 𝑏𝑠𝑌(𝑠)

Unificamos ambas ecuaciones despejando A(s) y sustituyendo en la otra ecuación. 𝑌 𝑠 𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘2 = 𝑏𝑠[

𝑘1𝑈 𝑠 + 𝑏𝑠𝑌(𝑠) ] 𝑏𝑠 + 𝑘1

𝑌 𝑠 𝑘1𝑏𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝑚𝑏𝑠 3 + 𝑘1𝑚𝑠 2 + (𝑘1 + 𝑘2)𝑏𝑠 + 𝑘1𝑘2 Sustituyendo valores: 𝑌(𝑠) 30𝑠 = 𝑈(𝑠) 41.25𝑠 3 + 2200𝑠 2 + 56.25𝑠 + 1400 𝑉𝑜(𝑠) 0.727𝑠 = 3 𝑉𝑖(𝑠) 𝑠 + 53.33𝑠 2 + 1.364𝑠 + 34 Representación en espacios de estado: β0=0; β1=0; β2=0.727; β3= -38.7879 𝑥 1(𝑡) 0 𝑥2 𝑡 = 0 −34 𝑥3 𝑡

𝑥1(𝑡) 1 0 0 𝑥2(𝑡) + 0.727 𝑢(𝑡) 0 1 −1.36 −53.33 𝑥3(𝑡) −38.78 𝑥1(𝑡) 𝑦(𝑡) = 1 0 0 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡)

Ejercicio 3.

Obtenga la función de transferencia y su representación en espacios de estado para el siguiente sistema considerando: m= 55 kg; b1 = 0.75 kg/s; b2= 0.5 kg/s;k= 40 kg/s2

Respuesta: 𝑌(𝑠) 0.375𝑠 2 + 50𝑠 = 𝑈(𝑠) 41.25𝑠 3 + 2200𝑠 2 + 50𝑠 𝑌(𝑠) 0.009𝑠 2 + 1.212𝑠 = 3 𝑈(𝑠) 𝑠 + 53.34𝑠 2 + 1.212𝑠

β0=0; β1=0.0091; β2=0.727; β3= -38.80 𝑥 1(𝑡) 0 𝑥2 𝑡 = 0 0 𝑥3 𝑡

𝑥1(𝑡) 1 0 0.0091 𝑥2(𝑡) + 0.727 𝑢(𝑡) 0 1 −1.212 −53.34 𝑥3(𝑡) −38.78 𝑥1(𝑡) 𝑦(𝑡) = 1 0 0 𝑥2(𝑡) 𝑥3(𝑡)