Guia Practica - Vectores, Rectas Y Planos_parte.pdf

Universidad de Oriente. Núcleo de Monagas Departamento de ciencias. Sección de matemáticas Matemáticas III. Código: 008-2814 GUIA PRÁCTICA DE VECTORES, RECTAS Y PLANOS (PARTE II)


 Ejercicio #1: Con los vectores A =< 3, −1, 6 > ; B =< −7,10, 2 > ;C =< 11, −4, −1 > ;


 D =< 2, 4,1 > ; E =< −1, 6, 1 >; F =< 1 ,9, 7 > Calcular: 3 6



 3 a) 4 A − 2B − 5C + 9 D




 b) F − 5 A + 2E + B + C



 c) 7 B + 2 A − 7 D + 8C 5 5



 1 4 d) A− D + 7C + 1 F 3 7 3

 2

 2 e) 5 A − 3B − C − 2 D





 f) C.D + A.B − F .E





 g) AxB + CxD − FxE







 h) A + B DxF + C.E A + F

(

)(

) ( )(

)

Adicional: Verifique sus resultados en MAPLE utilizando las operaciones (+, *, ^) y el comando DotProduct y CrossProduct para realizar el producto punto y el producto vectorial respectivamente entre vectores (para elevar un numero a una potencia apóyese en el panel izquierdo de herramientas de MAPLE). Utilice el comando arrow en MAPLE para graficar cada vector en el espacio Ejercicio #2: Verificar si los siguientes vectores forman una base de R 2


 a) A =< 1,3, 7 >, B =< 4, −2,5 >, C =< 1, −2,3 >


 b) A =< 1,5, 7 >, B =< 2, −1,3 >, C =< 8, 7, 23 >


 c) A =< 2, −3, 5 >, B =< 0, −4, 2 >, C =< 1, 7, 1 > 3


 d) A =< 0, −1, 4 >, B =< 2, −4, 2 >, C =< 1, 7, −6 >


 e) A =< 1 , 2,3 >, B =< 1, 2 , 2 >, C =< 5 , 22 ,8 > 3 5 3 5 Adicional: Realice una matriz de 3x3 colocando como fila los vectores del ejercicio y verifique si el determinante de esa matriz es diferente de cero para afirmar que el conjunto de vectores es una base. Verifique sus resultados en MAPLE utilizando el comando Determinant (recuerde abrir la librería de algebra antes de utilizar el comando) _________________________ Prof. Antonio J. Sabino


 Ejercicio #3: Escribir el vector A =< 5, 6, −1 > como combinación lineal de los vectores


 B =< 0, −1,1 > ;C =< 4, −2,5 >; D =< 1,1, −8 >
 Ejercicio #4: Escribir el vector A =< 1, −7, −3 > como combinación lineal de los vectores


 B =< 0, −2,7 > ;C =< 4, −1,3 >; D =< 5, −1, 0 > Adicional: Coloque en MAPLE el sistema de ecuaciones que se deriva del planteamiento de combinación de los vectores y resuelva el sistema con el comando solve


 Ejercicio #5: Halle la proyección escalar y el vector proyección de A =< 2, −6,1 > sobre el vector
 B =< 9, −3, −5 >
 Ejercicio #6: Halle la proyección escalar y el vector proyección de A =< −3, 7, −5 > sobre el
 vector B =< −1,3, −4 > Adicional: Coloque en MAPLE los comandos necesarios para verificar los resultados obtenidos en papel





 Ejercicio #7: Si A = 3 y B = 5 .¿Cual es el valor de A.B para que ( A + B) 2 = 7 ?





 Ejercicio #8: Si A = 1 y B = 6 .¿Cual es el valor de A.B para que ( A + B) 2 = 4 ?


 Ejercicio #9: Si A = 1, B = 3 y C = 9 y los vectores son ortogonales entre ellos ¿Cual es el


 valor de A + B + C 2 ?

(

)

Ejercicio #10: ¿Cual es el valor de ‘a’ para que el ángulo entre los vectores

v =< 3, a, 7 > y w =< 1,1,1 > sea 45°?
Ejercicio #11: Demuestre que el producto vectorial de los vectores v =< sen(α ), cos(α ), tg (α ) > 
4

w =< tg (α ), cos(α ), sen(α ) > es vxw =< cos(α )( sen(α ) − 1), sen (α ) 2 , cos(α )( sen(α ) − 1) > cos (α ) Ejercicio #12: Determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto P(-1,3,5) y su
vector director es v =< −2, −5,1 > Ejercicio #13: Determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto P(4,-2,7) y su
vector director es v =< 5 , −8, 6 > 3 Ejercicio #14: Determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por los punto P(-2,2,5) y Q(-1,6,-8) Ejercicio #15: Determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por los punto P(7,4,5) y Q(2,-7,11) _________________________ Prof. Antonio J. Sabino

Ejercicio #16: Demuestre que la ecuación de la recta que pasa por los punto P(1/2,0,-1) y z +1 Q(0,1/3,-3) es 1 − 2 x = 3 y = − 2 Adicional: Utilice el comando spacecurve para dibujar una recta en el espacio (debe colocar la ecuación paramétrica en MAPLE y abrir la librería de gráficos). Utilice las opciones thickness (colocar la línea mas gruesa), color (cambiar el color), axes (cambiar la visión de los ejes coordenados) dentro del comando para personalizar la gráfica Ejercicio #17: Determinar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(1,-3,-2) y su
vector normal es v =< 8, −6, −2 > Ejercicio #18: Determinar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(-5,4,9) y su  vector normal es v =< 3, −2, 6 > Ejercicio #19: Determinar la ecuación general del plano que pasa por los punto P(5,2,3), Q(3,-2,5) y R(1,4,0) Ejercicio #20: Determinar la ecuación general del plano que pasa por los punto P(1,7,3), Q(-1,3,0) y R(2,-4,10) Adicional: Utilice el comando implicitplot3d para dibujar un plano en el espacio (debe colocar la ecuación paramétrica en MAPLE y abrir la librería de gráficos). Utilice la opción axes para personalizar la gráfica x+2 z−2 = y −3 = 3 4 2 − x y −1 3 − z Ejercicio #22: Hallar la distancia desde el punto P(5,-6,2) hasta la recta = = 3 2 7 2x + 4 3 y −1 Ejercicio #23: Hallar la distancia desde el punto P(1,2,3) hasta la recta = = 3− z 5 3 Adicional: Para los ejercicios 21,22 y 23 hallar la ecuación del plano que contiene al punto y a la recta. Adicional: Utilice en MAPLE los comandos point y line para colocar en memoria el punto y la recta a calcular la distancia respectivamente (recuerde abrir la librería de geometría en 3d para utilizar los comandos). Luego calcule la distancia con el comando distance

Ejercicio #21: Hallar la distancia desde el punto P(-3,1,1) hasta la recta

Ejercicio #24: Hallar la distancia desde el punto P(-3,1,1) hasta el plano 2 x + 3 y − 4 z + 1 = 0 Ejercicio #25: Hallar la distancia desde el punto P(-2,-1,-7) hasta el plano 4 x − 3 y − 4 z + 11 = 0 Ejercicio #26: Hallar la distancia desde el punto P(1,5,7) hasta el plano 6 x − 5 y + 8 z − 2 = 0 Adicional: Utilice en MAPLE los comandos point y plane para colocar en memoria el punto y el plano a calcular la distancia respectivamente (recuerde abrir la librería de geometría en 3d para utilizar los comandos). Luego calcule la distancia con el comando distance

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Ejercicio #27: Encontrar la posición relativa de las siguientes rectas (si son paralelas u oblicuas hallar la distancia entre ellas, si son secantes encontrar el plano que las contiene y el ángulo entre las rectas): x y+2 x +1 y a) l1 ≡ = = z ; l2 ≡ = =z 3 1 6 −2 y+3 z x−7 y+3 z −2 b) l1 ≡ x = = ; l2 ≡ = = 2 4 2 4 8 x z−2 1− z c) l1 ≡ = y − 1 = ; l2 ≡ x − 2 = y = 2 2 2 z −1 x −3 z +1 d) l1 ≡ x − 1 = y − 2 = ; l2 ≡ = 3− y = −2 2 2 6− x y+3 z−2 x−7 y+3 z −4 e) l1 ≡ = = ; l2 ≡ = = 1 5 3 −2 10 6 x−2 y z f) l1 ≡ = = z − 1; l2 ≡ − x = y − 2 = − 3 2 2 Adicional: Utilice en MAPLE el comando line para colocar en memoria las rectas (recuerde abrir la librería de geometría en 3d para utilizar los comandos). Luego calcule la distancia con el comando distance o la intersección con el comando intersection Ejercicio #28: Con las rectas paralelas del ejercicio #27 encontrar el plano que las contiene Ejercicio #29: Encontrar la posición relativa de los siguientes planos (si son paralelos hallar la distancia entre los planos): a) π 1 ≡ 2 x − y − z − 1 = 0; π 2 ≡ x − y + z − 1 = 0 b) π 1 ≡ 6 x − 2 y + 4 z − 7 = 0; π 2 ≡ 3 x − y + 2 z + 4 = 0 c) π 1 ≡ 3 x + 5 y − 2 z + 1 = 0; π 2 ≡ −9 x + 15 y + 6 z − 3 = 0 d) π 1 ≡ 2 x − y − z − 1 = 0; π 2 ≡ x − y + z − 1 = 0 e) π 1 ≡ 3 x + 2 y − z − 8 = 0; π 2 ≡ 5 x − y + z − 10 = 0 Adicional: Utilice en MAPLE el comando plane para colocar en memoria los planos (recuerde abrir la librería de geometría en 3d para utilizar los comandos). Luego calcule la distancia con el comando distance o la intersección con el comando intersection Ejercicio #29: Encontrar la posición relativa de los siguientes planos y rectas (si son paralelos hallar la distancia entre el plano y la recta): x −1 y +1 a) π 1 ≡ 2 x + 4 y − 3 z − 2 = 0; l1 ≡ = =z 2 −3 x −1 y + 1 b) π 1 ≡ 5 x + 2 y + z − 1 = 0; l1 ≡ = =z 5 −2

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Revisión: Enero - 2014 _________________________ Prof. Antonio J. Sabino