Guia Maximos Y Minimos.docx

Sacarles a todos los ejercicios, los puntos críticos, concavidad, convexidad y hacer las gráficas 1. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4 2. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 12𝑥 + 𝜋 3. 𝑓 (𝑥 ) = 4. 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥 𝑥 2 +4 3𝑥+1 𝑥 2 +1

5. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 6. 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 4 + 𝑥 2 + 3 7. Encuentre el volumen Máximo que puede tener un cilindro circular recto, si está inscrito en una esfera de radio r. 8. ¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto, con mayor área de superficie, que puede inscribirse en una esfera de radio r?

SOLUCION

1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒 a) Dominio de la función 𝑫 = ℝ b) Intersecciones con los ejes:  Eje “y”, realizo x=0 𝑓(0) = (0)3 − 6(0)2 + 4, 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑠 (0,4)  Eje “x”, realiza y=0 0 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4 este punto es opcional y puede omitirse si la ecuación es difícil de resolver.

c) Intervalos de incremento y decremento 𝑓´(𝑥 ) = 3𝑥 2 − 12𝑥, por definición 3𝑥(𝑥 − 4) > 0, aplicamos ley del cementerio: 3x

----------------0+++++++++++++

x-4

--------------------------4+++++++

3x(x-4)

+++++++++0---------4+++++++

Es creciente de (−∞, 0) ∪ (4, ∞) y decreciente de (0,4) d) Valores de los máximos locales y los mínimos locales: 0 = 3𝑥 2 − 12𝑥 0 = 3𝑥 (𝑥 − 4), 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 4 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 Evaluando los puntos para 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 4 queda: 𝑓´´(0) = 6(0) − 12 = −12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 12 < 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜. Reemplazando 0 en la función es 4. El punto máximo es (0,4) 𝑓´´(4) = 6(4) − 12 = 12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 12 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜. Reemplazando 4 en la función es -28. El punto mínimo es (4,-28) e) Concavidad y puntos de inflexión: Para hallar los puntos de inflexión se realiza 𝑓´´(𝑥 ) = 0 y se encuentran los puntos. 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12, 6𝑥 − 12 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 2 El punto de inflexión es (2, -12)

Se debe calcular la segunda derivada, es cóncava hacia arriba si 𝑓´´(𝑥) > 0 y cóncava hacia abajo si 𝑓´´(𝑥 ) < 0 entonces tenemos: 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 6𝑥 − 12 > 0 𝑠𝑖 𝑥 > 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. 6𝑥 − 12 < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜. f) Grafica: Después de obtener puntos críticos, puntos de inflexión, intervalos crecientes, decrecientes, y concavidades la gráfica queda:

2. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝝅 a) Dominio de la función 𝑫 = ℝ b) Intersecciones con los ejes:  Eje “y”, realizo x=0 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟑 − 𝟏𝟐(𝟎) + 𝝅, 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑠 (0, 𝜋)  Eje “x”, realiza y=0 𝟎 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝝅 este punto es opcional y puede omitirse si la ecuación es difícil de resolver.

c) Intervalos de incremento y decremento 𝑓´(𝑥 ) = 3𝑥 2 − 12, por definición 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) > 0, aplicamos ley del cementerio: (x-2)

------------------------------2+++++++++++++

(x+2)

-------------(-2)++++++++++++++++++++++

(x+2)(x-2) ++++++++(-2)-----------2++++++++++++++ Es creciente de (−∞, −2) ∪ (2, ∞) y decreciente de (−2,2) d) Valores de los máximos locales y los mínimos locales: 0 = 3𝑥 2 − 12 0 = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2), 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 = −2 𝑜 𝑥 = 2 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 Evaluando los puntos para 𝑥 = −2 𝑜 𝑥 = 2 queda: 𝑓´´(−2) = 6(−2) = −12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 12 < 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜. Reemplazando -2 en la función es 16+𝜋. El punto máximo es

(-2,16+ 𝜋) 𝑓´´(2) = 6(2) = 12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 12 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜. Reemplazando 2 en la función es -16+ 𝜋. El punto mínimo es (2, -16+ 𝜋) e) Concavidad y puntos de inflexión: Para hallar los puntos de inflexión se realiza 𝑓´´(𝑥 ) = 0 y se encuentran los puntos. 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥, 6𝑥 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 0 El punto de inflexión es (0, 𝜋)

Se debe calcular la segunda derivada, es cóncava hacia arriba si 𝑓´´(𝑥) > 0 y cóncava hacia abajo si 𝑓´´(𝑥 ) < 0 entonces tenemos: 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 6𝑥 > 0 𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. 6𝑥 < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.

f) Grafica: Después de obtener puntos críticos, puntos de inflexión, intervalos crecientes, decrecientes, y concavidades la gráfica queda: