Guia Mat Iv . Ecuaciones Diferenciales

›

 
 
  
 
        

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00  00



  

             
  0 

0   Al culminar el desarrollo de las estrategias instruccionales correspondientes a la unidad curricular Matemáticas IV, el futuro ingeniero será capaz de resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado, o grado superior, mediante la aplicación de métodos elementales, así como la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando el método de la Transformada de Laplace. También se aplican estos conceptos, principios y técnicas básicas de las ecuaciones diferenciales ordinarias a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0  
 
  






 





cuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden








cuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior









Transformadas de Laplace y Sistema de cuaciones Diferenciales Lineales.

  

0 0 0  


  

 



 

 Ý

Clases teórico ± práctico

Ý

Clases específicas de ejercicios, donde el estudiante muestre en sí, el logro de los objetivos propuestos

Ý

Horas específicas para consultas individuales con los alumnos 0 0 0

0
0
  Ú BOYC ± DIPRIMA. cuaciones diferenciales elementales y problemas de contornos. Limusa 1977. Ú MAKAR KO. Problemas de cuaciones Diferenciales Ordinarias. ditorial MIR ± Moscú 1972. Ú RAI VILL ± BDI T. cuaciones Diferenciales. ditorial Interamericana 1977. Ú ROBRTS, CH. cuaciones Diferenciales. ditorial Interamericana 1977. Ú ROOS. Introducción a las cuaciones Diferenciale s. ditorial Interamericana 1985. ÚD. ZILL, cuaciones diferenciales con aplicaciones. Wadsworth Internationa l/ Iberoamérica 1982 ÚD. SÁ CHZ, Ordinary Differential 
uations and Stability Theory. W. H. Freeman and Company 1968 ÚC. DWARDS,Jr. and D. P Y. cuaciones diferenciales elementales con aplicaciones. PrinteceÚHall Hispanoamericana 1986 0 0
0

0

‰   0  0

    


   
 
 
    

 
 0
0




 
 
       !" #$%%!" &
'(!#)%%*'+,+"%)+%!'" -('%+,"  . -'%*'#)'+%)+%*' -('%+,  / ,+"-%+%*'#,+"%)+%!'" -('%+,"  0!,)%*'#)'+%)+%*' -('%+,  1 ")2' 3(%%!" 4 !(2+# %+(# !(2+#5"'%+6 '%#+# 7(%%!" 8 9!#!":+(+("!, (%)+%!'" -('%+,"# (2( (#'  8:+(+%*'#+(+,"  8(%%!" 8& +2!#+(+, 8&(%%!" 8.%)+%!'";!2!<9'+"  8.(%%!" 8/%)+%*' -('%+,5+%+ 8/(%%!" 80%)+%*' -('%+,'!5+%+ 80(%%!" %)+%*' '+,# (2( (#'  & 9!#!#, +%!(
'<(+'  .%)+%*'#0('!),, /(%%!" 0 :,%+%!'" !#,!"2+2$%!"  1(%%!" 




 

       
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0 0

&0(%%!" &0&%)+%!'" '+," ! ;!2!<9'+"%!' !-%'" !'"+'" &0& 9!#!# !-%'"'#(2'+#!"  &0&(%%!" &0&& 9!#!#+(+%*'# +($2(!"  &0&&(%%!"  &0.%)+%!'" '+,"%!' !-%'"+(+,"  &0. 9!#!# #)%%*'# (#'  &0.(%%!" &0/%)+%*'#),( = +)%>6 &0/(%%!" 



     
    
  
 
  
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' ("+#,+ (+'"-!(2+#+# +:,+%  ./ (!:#+## ":,+?+2'!  ./&(%%!" .0 )'%*'"%+,*''+(!  .0 (%%!" .1!' !,)%*' -'%*' (!:#+#"  .3:,%+%!'" (!,2+"#+,!(
'%+,  .3(%%!" .4 (+'"-!(2+#+#,+ ( +#+  .7
'<(+%*'# (+'"-!(2+#+"  .8"2+"#%)+%!'" -('%+," '+,"  .8(%%!"                

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 00 0‰
‰ 0   ‰
0 0   0  0                  0 0

 0

 

 Ad
uirir los conocimientos esenciales de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden,
ue permitan formular soluciones a problemas, tanto teóricos como aplicados, los cuales conducen a plantear modelos matemáticos, mediante el uso de tales ecuaciones.  &

 
   Hay problemas de la vida diaria
ue se pueden modelar por una ecuación en la
ue la incógnita es una función y entre las operaciones
ue se realizan se encuentra la derivada (ordinaria y parcial).

Por ejemplo; (1) Determinar el tamaño de la población en cada instante t suponiendo
ue la tasa de nacimiento es directamente proporcional a la población presente en cada instante t y la población inicial es p 0 ntonces

       

  ¬
 ¬
¬ ¬ }  j } (2) Sea 
 la posición de una partícula en el instante t. se conoce de la cinemática
ue si la aceleración es constante y el movimiento rectilíneo entonces la velocidad es




ntonces


    

 }  }

 . 


 

 
   -'%*' @A Una cuación Diferencial definida en una región una ecuación de la forma

G›

es

  Ú }  Ú    Ô } Para todo

 Ú › 


G › donde las funciones  à son algunas de las

derivadas parciales de algún orden de la función T con respecto a algunas (o todas) las variables  Ú › . Si › > 1 la ecuación diferencial se llama cuación Diferencial en Derivadas Parciales. -'%*' @&A ecuación en la
ue interviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o mas variables in dependientes. 0 0

2:,!

a)



   Õ ›


 b)

 

c)

 



 





 
  Ô

 ¯



‰ 

Ô}

/ 


 

 
   Las ecuaciones diferenciales se clasifican de distintas formas según sus propiedades, se clasifican de la siguiente manera: 


  Ô ›           Ô  ‰  b) 

a)

%)+%!'" -('%+," +(%+," @ A a
uellas donde la ecuación contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a mas de una variable independiente. 2:,!

a)











 

¯   b) Ô }    


Ô}

 
a)



   ›  Orden uno. 

0

0

b) c)

 






 

 





 } Orden dos. (Orden Superior)

¯ 

 
  



‰  Orden tres (orden Superior)



       ‰   º } Orden dos, ya
ue el mayor orden de d)       derivación es dos, sin importar el exponente (en este caso es 4) 

       ‰   0 } Orden uno. l término e)              } si  0 } . Y por lo tanto podemos escribirla como 

  ‰   0 } . ste ejemplo muestra
ue cuando tenemos una 

ecuación diferencial es importante saber en
ue intervalo estamos trabaja ndo.  
       ‰   º } Grado 4. a)        
Donde

› ›  Ú  }  ›  r } en dicho intervalo.

son funciones continuas en el intervalo y

A su vez, una ecuación diferencial lineal posee las siguientes propiedades: Ú o debe aparecer la variable dependiente como argumento de otra función. Ú o deben aparecer producto de la variable dependiente por si misma y por sus derivadas. Ú Debe haber una sola variable dependiente y una independiente.   2:,! a)



   ›  Lineal de orden uno.  0

0



       ‰   º } b)      

o lineal, el exponente 4 es lo
ue

hace
ue la ecuación no sea lineal. 0 


 
 

  -'%*' una función ú se llamará solución o solución particular de la DO Ú › ë  en el intervalo
si:

›  Ô   

a)


:
j ¥ es una función.

b)



 Ú


c)




›

›

existen.

    
 
  Ú


› 

 para todo  Œ
.

n otras palabras si la función satisface a la ecuación diferencial. Al conjunto de todas las soluciones de la DO en algún intervalo
se llama "!,)%*'<'(+, de la DO cuando aparece la constante de integración C sin ningún valor conocido, y si no aparece esa constante o se conoce su valor se le denomina "!,)%*' :+(%),+( . Decimos
ue una solución esta dada 5:,C%+2' si la variable dependiente esta despejada, en caso contrario decimos
ue esta escrita 2:,C%+2' . 2:,!

ú  Ô


ë 

, c es constante, es solución general de la DO  Ô ë en x. Pues, ú   Ô ë
 ë   Ô ë ú 
ue satisface a la DO. Observemos
ue dicha solución esta escrita explícitamente. Por otra parte si tenemos la solución escrita  ú  Ô
, decimos
ue esta escrita implícitamente.

a) La función

Cuando nos encontramos con problemas de valor inicial, es decir,
ue tengan condición inicial }   } , la solución de la DO es una solución particular.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos condición inicial
}   , la   solución será
  la cual es particular, ya
ue no aparece la constante de integración como incógnita. 1")2'  Una ecuación diferencial es una ecuación donde aparece la operación derivación y se tiene
ue encontrar las funciones
ue satisfacen dicha ecuación (si existen).

Las ecuaciones las clasificamos de acuerdo al siguiente es
uema: }0 0




 j
¬ › ¬  ¬  › › ¬  

 ›
 › Õ j   ¬ ¬  ¬ ¬  ›  Solución de una ecuación, es cual
uier función
ue satisface la ecuación diferencial y la clasificamos de acuerdo al cuadro siguiente:

 ›   j

 Õ
›



 d j

 3




1. Verifi
ue si la función o funciones son solución de la . D dada, y señale si las soluciones están escritas en forma explícita o implícita: a.


    


b.

  

c.

  

d.

 


e.

  Ô











 



     

        } 

 
      

       



     }



   

  
 




  





 Ô} 


C Ô C  ë C 

  
 
g. ú  Ô Õ ›    ú  Ô ‰   

f.

h.

C
 Ô

  Ô  ë

  Ô  ë  ›  

2. Determine los valores de m tales
ue a. 3.



       } a.

Demuestre

b.
ue



   Ô }

          Ô }



m

sea solución de cada . D:



  }     }

 Ô 

y

c.

Ô 


  } son

solución

de

   ë      Ô }. 0 0

9. S

t

9i

.

l

i

Ý

 Ý Ý£

l

Ý£ i

t

²

t

9it

i

.

?

ñ  

›


   l  i it t :  t l · ¿   9l   l ii il ti  l i ? · ¿   9l   l ii il q ti  l i , ti  l i  i ? 

2  

S ¥  i   tl  l l , fii à q ti l t
Ý
J   it i . Si

 à  à ½
à 

ÝJ   ti  ¥ , t   it  it l Ú  t Ý ú J q tif  l  } ti  ‰ ½9 ½  i  f i  9l   l ii il.


ÝJ
Ý Ý
J  Ý
P  t 

 Ú.

  i t    P   q l tii 

Ý J  ¥  fi it    ti  l it i  l     l i  l 9l  Ý Ô
Ý J jt  l i i  ii il Ý } J Ô Ý} , i
Ý
J t  l it i  ¥ . 0 0

0 0

0

 0 0 0 000000000000000000000000000000 0

0

 2 ,   ñ t i l i  l l  q  ti  l it i  l     l i   l   i  if  il 


Ý 


Ý ëÝ
0

0

!,)%*'

Tenemos
ue la función

   Ô

å 
G

el plano xy es

, donde se sabe
ue su dominio en ë

À  r , a su vez

  , también tiene como dominio  

  

å  Œ G

À  r , por lo


ue en todo el plano xy menos en donde x = y, se garantiza
ue existe al menos una solución de la ecuación diferencial   7


  1. Para cada problema de valor inicial halle un rectángulo  à  à
à à  en el cual se pueda garantizar la validez del Teorema de Picard.

b.

     

    Ô  ë ë Ô 

c.

 Ô 

a.

} Ô }

8 D    
 

  


  Tenemos: 8 

0 



   donde cada una de las     , o        dependen de una sola variable; se procede entonces

Sea la ecuación . D funciones    a separar variables. 

+"!"+"<)(

1.Ú Se separan variables





         ó                 

2.Ú Integrar ambos lados de la igualdad de la . D con respecto a la variable independiente



     

  
0

0


 de la primera integral 
Ô    
 . 4.Ú Integrar    ‰ 3.Ú Simplificar

C constante de integración de la integral indefinida.   función solución de la . D. 2:,!

Resolver la ecuación

  



  , es una ecuación separable.  



          




!,)%*' la ecuación toma la forma

ntonces resolviendo

n este caso se puede tener una forma explícita de estas solución general, ya
ue al despejar la variable dependiente (y) resulta

 

 

Π    8




1. Resuelva la DO por separación de variables:
 a.     } b.  

    }

 
         
e. Õ ›

  ‰
 
Ô } f.    ² 


g.         
     } 

 
  
 i. h.      

       


c.







 





 

d.

2. Resuelva la . D por separación de variables con valor inicial: a.

       








b.


ë  Ô
  ë 

Ô

8& 0

0 

Se define una nueva variable en términos de las variables dadas y luego se reescribe la . D en términos de una nueva variable independiente. Al final para dar la solución se debe devolver el cambio.  0 0

+"!"+"<)(



          







 Luego Ô   Ô 





 1.Ú Se aplica el cambio de variable



2.Ú Se procede con los métodos anteriores; primero se aplica separación de variable, segundo integración directa y por ultimo se devuelve el cambio de variable. 2:,!

Resolver la ecuación



   
 

!,)%*' se observa
ue por separación de variable no se puede resolver ya
ue la función involucrada en el ejercicio es de dos variables, por lo tanto aplicamos el cambio de variable,
uedando

 

              

  
    

Ahora aplicamos separación de variables

 

   

 

   
      


Ô
   
    
Ô
   
 scribiendo en forma explícita es

Ô
   
 ë  ë


8&




1. Resuelva la . D por Cambio de variable:



      

c.    
 a.



 ²›     

d.       b.

2. Resuelva la . D por Cambio de variable con valor inicial: a.



 ‰    

}  

b.




 

 
  

   0

0

8. 
;  D  Una función se dice homogénea de grado n si 

 Ô    , significa
ue las variables  se sustituyen por

respectivamente, sacando › luego el factor común

uedando la función original. 

+"!"+"<)(



    es homogénea. 

2.Ú Hacer el siguiente cambio de variable:      



     À             

1.Ú Probar
ue la función

luego

3.Ú Luego se aplican los dos primeros métodos, devolviendo el cambio. 2:,!

Resuelva la ecuación

Ô



ë 

!,)%*'probando
ue la función es homogénea tenemos,

   Ô 

 Ô

ë
 ë
 
 ë
  

 Ô Ô 



 


ë 





Ô

 

ë  

 Ô    

Cumple con la definición.

Ahora, se realiza el cambio y nos
ueda

    



Separando variables, resolviendo tenemos

   

    
      
     

   

 

            

   



  

s una solución general escrita de forma implícita. 

0 0

8.




1. Resuelva la . D aplicando el método para ecuaciones Homogéneas con la sustitución adecuada:

 
 ë 
Ô } 

d.     



      }    c.     a.

b.

2. Resuelva la . D aplicando el método para ecuaciones Homogéneas con la sustitución adecuada y valor inicial: a. b.

 




Ô
ë 



  



  

 Ô

 

 }

  }

 8/


  

  
        si .  



 
Ô } se le denomina exacta si y solo

La expresión



+"!"+"<)( 1.Ú La DO debe estar de la forma verificar si es exacta.

2.Ú Calcular

 Si  

Si





 
 ó

       } , para

 


 
 Ô    ú 

     
  3.Ú Se determina
  ó
 , dependiendo de lo calculado en (2) y se iguala a la función   ó    no usada en el paso anterior. jemplo: Si



Luego

   Ô    ú   

  
      
        

 
 Ô    ú  

4.Ú Se calcula

ú  ,
         ; es decir   ë   
 ú  Ô ‰

integrando ambos lados de

 ú  
Ô  ‰

5.Ú Se da la solución implícita

    ‰ 0

0

2:,!

Resolverla ecuación  › 

 !,)%*' verificamos si es exacta







    


    › 
       
          
    




       Observamos
ue es exacta  

 Ahora,



   

   





Ô }



 › 
    › 
 
 


     



   } 
 




Por lo tanto la solución general en forma implícita es  80


  

 › 




Ô


       } se le denomina no exacta si y       . solo si r 

 La expresión



+"!"+"<)( 1.Ú Verificar
ue la DO no es exacta.

2.Ú Buscar un factor integrante:           

 



ó

 

        







3.Ú Multiplicar el factor integrante por la . D no exacta para hacerla exacta. 4.Ú Resolver aplicando los pasos de la . D exacta.  2:,! Resolver la ecuación      
   !,)%*' Se verifica si es o no exacta

   
Ô }

   Ô         Ô   

           



  0 0

Observamos
ue no es exacta



     r 



Al no ser exacta hay
ue determinar un factor integrante
ue la haga exacta, entonces  ‰     ë   
 
› 
  

 Ô



 Ô

Ô

Ahora se multiplica la ecuación por el factor integrante calculado y se trabaja como en el caso de ecuación diferencial exacta.    Ô
Por lo
ue la solución es    



  80




1. Determine si la ecuación respectiva es xacta, de ser así resuélvala: a. c. d. e. g.

 ë 
 
  
Ô } b.  
       } Õ ›   Õ ›    ‰    ‰     } 

 

  

Õ ›
   }    ‰
        



 
   } f.          ›   ë Õ › Õ › 
  ‰ ‰ 
Ô }

2. Determine el valor de k para
ue la  DO sea xacta:

a.        
  }     }
b.    ‰        Õ ›  

}

3. Verifi
ue
ue la  DO no es xacta. Multipli
ue por el factor integrante indicado   y compruebe
ue la ecuación resultante es exacta: a.

  Õ ›    ‰    ‰   }

b.

   ë 
    ë  
Ô }

   

  Ô    ë

4. Resuelva la DO encontrando un factor integrante adecuado: a. c.


     } b.    
    
Ô } }   




    }

d.

‰      Õ ›   }



0 0




 
  
 



 j        diferencial   âj         }

La forma en
ue se presenta es

 ó en su forma

    } (1) se transforma en una . D con variables separables, llamándose . D lineal homogénea. n caso
ue    r } , se resuelve por el

Si la función

método llamado Factor Integrante.   D  
 

Sea

  âj        }

una . D lineal homogénea:

+"!"+"<)(

1.Ú Dividir por



toda la ecuación;
uedando



 j       . 

j      2.Ú Calcular el factor integrante: 3.Ú Determinar la solución general por medio de ë j  
  j  
 ó



Ô      


 





‰

     



2:,!

Resolver la ecuación


   Ô

 

!,)%*' Observamos
ue la ecuación esta escrita de forma lineal por lo tanto

podemos determinar a

j  Ô

 .y    
  

Ahora calculamos el factor integrante Calculamos la solución de la ecuación

 

  



› 



‰

   
     
 

 &
0
 Cuando se nos presenta el caso de una . D o Lineal para resolverla debemos hacerla Lineal, la clase mas importante de estas ecuaciones es de la

forma



 j       ,  ΠG . 

stas ecuaciones se conocen como cuación de Bernoulli, en honor a Jakob Bernoulli. i)

Si

Ô } , se obtiene una solución de la ecuación. }0

0

ii)

Si

r } , se debe:

1.Ú Dividir por toda la ecuación por

 :



 j          ë   2.Ú Hacer un cambio de variable  Ô

  



 Donde                     

 

3.Ú Sustituir la nueva variable en la ecuación
ue se obtuvo en el paso 1. Quedando

    j          

4.Ú Multiplicar esta nueva ecuación por

  .
   ë   j  Ô  ë   


5.Ú Resolver la ecuación lineal resultante por el método de factor integrante.  2:,!

Resolver la ecuación



    





     

   Aplicamos el método de bernoulli, donde Ô

ë
 ë ntonces    Ô 
  !,)%*' escribamos la ecuación de la forma

Hacemos el cambio de variable y nos
ueda

 



                                

   

Ahora, trabajamos como una ecuación lineal y nos
ueda la solución

Ô


 ë 

&


  1. Resuelva la . D Lineal, dando la solución general:

0 0

a.



 



b.



  

d.

     Ô 

e.

 Ô   




c.

 
   

f.





   Õ › 



 h.        }       


i. ‰    Õ ›  Ô  j. ‰ Õ ›
 ‰
 ë 
 Ô }
 



m.  k.         


    
   g.

   

2. Resuelva la . D Lineal con valor inicial: 

a.

   Ô

c.


  
 m  




 Ô

b.

} 



  



  › 

 m

  }

 constantes.

3. Resuelva la . D de Bernoulli dada empleando una sustitución adecuada:




 Ô




d.        

 a.



b.



  



  
   

e.
  
 
 
  



4. Resuelva la . D de Bernoulli con valor inicial:  

a.   b.

  
   



c.








   

}  

.

    
  s la relación estrecha
ue puede surgir en ciertos aspectos de la vida real
ue pueden ser asociados a . D. entre los cuales tenemos:

· · · ·

Ley de enfriamiento y calentamiento de ewton. Propagación de enfermedades. Crecimiento Biológico o Poblacional. Mezclas. Interés compuesto.

Hay expresiones del lenguaje colo
uial
ue tiene una traducción sencilla al lenguaje matemático. La siguiente tabla muestra la traducción de algunas de esas expresiones. 0 0

 
  
  Tasa, rapidez, velocidad, razón de cambio de variable y con respecto a la variable t A es directamente proporcional a B

A es inversamente proporcional a B

 
  








›



 Ô 
  Ô  

 




›



6#'-(+2'!6%+,'+2'!#E!' 

La relación es Temperatura con respecto al tiempo:


 Ô    ë  



Donde se involucra  Temperatura. m Temperatura del medio.  Constante
Tiempo. i) ii) iii) iv)

Si Si Si Si

 º } y
º
m , se va calentando.  º } y
0
m , se va enfriando.  0 } y
º
m , se va enfriando.  0 } y
0
m , se va calentando.

2:,!

Un pastel es retirado del horno a 210° F y dejado enfriarse a la temperatura ambiente, 70° F. Después de 30 minutos, la temperatura del pastel es de 140° F. Cuándo estará a 100° F  !,)%*'  Primero extraemos los datos del ejercicio

 Ô }

} Ô } 
}

 Ô } 
 Ô }} 
Ô ‰ 

  

m     
 } 



  
     
 ›
 }   


 }
 }
0 0

›
 } 

›
 }  
  
 }  
 
 
}  }   }  


 }

 } }

 ›

 
}

 } }





  }}   }}  }





 }  }    } 
 } 



}  }   }  }   } }

 }




 } 


} 



 


 }

}  
}   ›  }

 }

 } }



 } 

 } }






} }


}  
 

}

l pastel estará a 100°F después de 67 mint 

(!:+<+%*'#'-(2#+#"(%2'!0!,*<%! ! !,+%!'+,

La relación es población con respecto al tiempo:

  
 


Donde se involucran: C Población.  Constante
Tiempo. i) Si  º } la población crece con respecto al tiempo. ii) Si  0 } la población decrece.

 2:,! La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cual
uier momento t. Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. Cuál será la población en 30 años  !,)%*'

Primero extraemos los datos del ejercicio

 }} ²
 }²
   }}    ²
} ²
   ‰ }

0 0

    
          
     




› C  Ô  

  C Ô 
   C Ô 
 C} Ô }}  }} Ô  }    Ô }}  C Ô }} 
 C } Ô    Ô }}  }  } Ô }}  Ô } }  C Ô }} } }
C
} Ô ‰  C Ô }} } }
} Ô  La población dentro de 30 años será de 761 habitantes  ?%,+"

La relación es cantidad de concentración de la mezcla con respecto al tiempo:


¿ Ô  
 ë   ¿


 Donde se involucran: X(t) Cantidad de concentración. 
 Volumen de concentración.


 



    


 Volumen inicial.  ntrada de fluido.

 Salida de fluido.
 Concentración.  0

 0

2:,!

0 0

Un tan
ue contiene 100 litros (L) de una solución de agua y sal,
ue consta de 10 Kg de sal disueltos en agua. Se bombea dentro del tan
ue a razón de 6 L/min una solución
ue contiene ½ Kg de sal por cada litro de agua, se extrae a una razón de 4 L/min. Hallar la cantidad de sal
ue hay en el tan
ue en cada instante t !,)%*' Primero extraemos los datos del ejercicio


 Volumen de concentración.  Ô }}  Ô  À
  Ô  À

 Ô  À  À


  }}    
 }} 



¿
¿
¿  ¿  ¿ Ô  
 ë   ¿  Ô  À ë  Ô
ë 






}} 
}} 





¿
¿ ¿ ¿ Ô
ë   Ô




} 
} 





 

 } 





› } 


 › } 
  } 


‰

  } 
   
 } 
 
   } 
   } 


 
  } 
 
 } 
   }  }  } 
 }  }  }  } 
 }  
 }  }   
  } 
  }  }  } 
  La función resultante nos da la ecuación
ue permite calcular la cantidad de sal
ue hay en el tan
ue en cual
uier instante t.  
'(9"!2:)"! La relación es Cantidad de dinero con respecto al tiempo:

Õ  Õ
  tasa de interés 
2:,! Se deposita una suma de dinero Õ } en una cuenta bancaria
ue paga interés a una tasa anual r (con capitalización continua). Hallar el valor de r
ue produce una duplicación del capital inicial transcurrido 7 años. !,)%*'

0 0

Õ Õ Õ  Õ   
    
 › Õ   

 
Õ Õ Õ Ô  
Õ }  Õ } Ô   }   Ô Õ }
Ô  
  Õ } Ô Õ }   Ô }

 







Ô

 ›  Ô    Ô } }

 l interés será del 10% transcurrido 7 años al haber duplicado el capital inicial.  .




a. n cual
uier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa
ue hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especimenes. Cuál era la cantidad de bacterias inicial b. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es 5º F. Después de un minuto, el termómetro indica 55º F; 5 minutos después marca 30º F. Cuál era la temperatura del interior  c. Si una barra metálica pe
ueña, cuya temperatura inicial es de 20º C, se deja caer en un recipiente con agua hirviente con una temperatura de 120°C , Cuánto tiempo tardará en alcanzar 90º C si se sabe
ue su temperatura aumentó 2º C en un segundo Cuánto tiempo tardar á en llegar a 98º C d. Un cultivo bacterial se multiplica en cada instante t (medido en horas) con rapidez proporcional al número de bacterias presentes en dicho instante. Si al cabo de una hora el cultivo aumentó 50%, calcule el tiempo necesario para
ue el cultivo se
uintupli
ue. e. Se disuelve inicialmente 50 libras (lb) de sal en un gran tan
ue
ue contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tan
ue a razón de 3 gal/min; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tan
ue también a razón de 3 gal/min. Si la concentración de la solución
ue entra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal
ue hay en el tan
ue en un Cuanta después de instante cual
uiera. Cuánta sal hay después de 50 min un tiempo largo f. n una cuenta de ahorros se depositan 5000 Bsf a un interés compuesto,
ue se capitaliza continuamente, del 5 ¾% anual. Calcule la cantidad de dinero acumulada después de 5 años. n cuantos años se duplicará la suma depositada inicialmente  

0 0

                      


00 0‰
‰ 0 ‰
0
0 0 0  0                     

0 0

& 0

 

 Ad
uirir los conocimientos esenciales de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
ue permitan resolver tales ecuaciones.   &&


 
 ›0

La ecuación diferencial lineal de n Úésimo orden es una ecuación de la forma:

› 

2:,!
  
 a)   

b)

m









›

  › ë  

› ë

 Ú       }   Ô   

       }     
 


&.!,)%*'#)'+%)+%*'#-('%+,#!(#' › -'%*' La solución general de una . D de orden n, viene dada por el conjunto de todas las soluciones determinadas por la formula

   ‰ ‰ ‰
Ú ‰› 
ue contienen n constantes de integración,

tales
ue dadas las condiciones iniciales, se llegan a valores ² ² ²
Ú ²› de modo
ue la solución particular viene expresada de la forma

Ô     
Ú ›  . 2:,!

 1). Determine la solución general de la . D  ë   Ô } , siendo     y   , soluciones de la . D. ncuentre una solución particular
ue satisfaga las condiciones

 ‰   ‰    ‰

Solución general:

 ‰

} Ô


Luego;


Ô ‰

}

} 
}  .



 ‰ }

 ‰  }



   ‰   ‰ 

} Ô 

 ‰ Ô


 Ô


}

‰ 

 

 ‰ 



    }

 } }   ‰ Ô ë

  La solución particular
ue satisface es: Ô
 ë    &.%)+%!'";!2!<9'+"   A una ecuación diferencial lineal de orden › de la forma ²›  ›   ²›   ›   Ú  ²    ²} Se la llama ;!2!<9'+

  } 0

0

&.!,)%*' '(+,#)'+%)+%*' '+,;!2!<9'+  !(2+@ ('%:!#):(:!"%*'A  Sean     
 Ú  › el conjunto fundamental de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea ²›  ›   ²›   ›   Ú  ²    ²}   }

n un intervalo I. entonces, la solución general de la ecuación en I, se puede expresar de la siguiente manera:

n donde,

 Ô ‰    ‰     Ú  ‰›  ›  ‰ ‰ ‰
Ú ‰› son constantes de integración.

 &.&!,)%!'" '+,2'
'#:'#'"  
'#:'#'%+ '+, -'%*'      
  Ú    › funciones Dadas

en

I.

Definimos

el

{(!'"F+'! de

     
  Ú    › el cual denotamos por:      
  Ú    ›  como el determinante de dichas

funciones el cual nos indica si las funciones son Linealmente Independientes.

    
  Ú    ›  Ô

 









›  ›

 › ë

 › ë



 › ë ›

!(2+ Dados 

     
 Ú   › ; si:      
 Ú   ›  r } ,

     
  Ú    › i) son linealmente independientes. ii)      
 Ú   ›  Ô } ,      
  Ú    › son linealmente dependientes.  2:,! 1). Determine si el conjunto de funciones son linealmente independientes o dependientes: a.

   Ô 

b.  c.

  Ô 

 Ô





  Ô    Ô 

Ô




Ô





}0 0

Solución: a.

  

b.

   Ô





 







  }

Ô  ë  Ô  r } 



c.












 



 



d 























r }

d 

&.&%)+%!'"!;!2!<9'+" A una ecuación diferencial lineal de orden ›, de la forma ›  ›    › ë   › ë  Ú       }   Ô    n donde    r } no es idénticamente nula, recibe el nombre de ! ;!2!<9'+  &.&!,)%*' '(+,#)'+%)+%*' '+,!;!2!<9'+  La solución viene expresada como la suma de las soluciones generales de la ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea y la solución particular de la ecuación no homogénea; es decir, sean

   
  Ú   › n soluciones de la . D homogénea asociada

donde


Ô ‰    ‰    Ú  ‰›  › 

y

j

una solución

particular de la . D no homogénea, entonces la solución de la . D no homogénea en cual
uier intervalo I para constantes ‰ ‰ ‰
Ú ‰ ›  , será


 j . 0

 
›
mj m ›
²²  
› j²

² 0  &/


  1. Compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independiente sobre el eje real:

a. 

 Ô 

  Ô 


 Ô   ë


b. 

 Ô }

  Ô 


 Ô

c.

   Ô 

   Ô ‰ 

d. 

 Ô  ë 

e. 

 Ô





  Ô    Ô

ë






 Ô Õ ›  
 Ô  
 Ô Õ ›  
0

0

f. 

 Ô  

g. 

 Ô

  Ô      Ô ‰   Õ › 

2. Compruebe si los conjuntos de funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general:



 ë  ë  Ô }  Ô ë
  b.      }   ‰   a.



      }

c.

d.  e.


 



      }



‰  

  ‰ › 

                  }

f.





    }

Ô   ëS S

 Õ ›   S S

  





Õ ›  

 Õ › › 

 

    
 ‰ 

S S } S


   ›

  Õ ›

} S

S S

3. Verifi
ue
ue la función dada es solución general de le . D no homogénea en el intervalo indicado:

 a)  ë    } Ô  

Ô
  
     ë S 0  0 S

b)



  Ô  

Ô
‰  
Õ ›  Õ ›  ‰   › ‰  

ë À 0  0 À c) 



 ë     Ô

  ë 

Ô
  
    ë

ëS0 0S d)

           


   À 
  

      

}0 0S 4. Se da una . D no homogénea, una solución complementaria solución particular

j . ncuentre la solución 
 j




y una


ue satisfaga las

condiciones iniciales: a.



  


} 


 ‰‰   ‰ Õ ›

j 


}  
0

0

b.


 ‰  ‰   ‰   Õ ›

     



}  

j   

} 

&0 D    
 

 
  


La ecuación diferencial lineal de nÚésimo orden es una ecuación de la forma:

› 

Si

›

 › ë 

› ë

 Ú       }   Ô  



    } ; . D Lineal Homogénea

&0 
 

 
  ;  D   




Considere la . D lineal homogénea (1) donde

}  Ú ›

constantes y

› r } , entonces la

. D se denomina . D lineal homogénea con coeficiente constante; expresada de la siguiente forma:

› 

›

  › ë

› ë

 Ú     }  Ô }



2:,!

a.



     }

b.





   Ô}

Cuando se resuelve la ecuación




 ²



 ²  } , se obtiene como solución 

, por lo
ue se puede deducir
ue las soluciones de este tipo de ecuación pueden venir expresadas en forma exponencial. Ahora, suponiendo
ue la solución tiene la forma

Ô




ue ser m para
ue dicha función sea solución de la . D. Sustituyendo en (2): ²›  m ›  m   ²›  m ›  m   Ú  ² m ² › m ›  ²› m ›     ²m  ²}  ²› m ›  ² › m ›     ²m  ²}  }

‰

veamos como tiene › › 



Ô 

m m   ²}  m   } }


0

0

La ecuación (3), se denomina %)+%*'+(+%(C"%+ asociada a (2), siendo › › ë el !,'!2!+(+%(C"%! C  Ô ›   › ë      }  sea solución de (2), necesariamente debe ser Concluimos, para
ue Ô solución de (3). Comenzaremos considerando el caso particular de la ecuación de segundo  orden      
 Ô } , donde a, b, c constantes, si Ô  es una  Ô   y  Ô    . solución, entonces  La ecuación característica asociada a la . D será:   

 

 




Ô}

   
Ô } Para determinar el valor de m utilizamos:





Donde;

Ô

 


ë 


Ahora, si: i.
º } Raíces reales distintas ii.
 } Raíces reales iguales iii.
0 } Raíces complejas distintas.  +C%"(+,"#"'+"  Si la ecuación da 2 raíces reales distintas

m r m

, entonces las soluciones

  y

Ô   , las cuales son soluciones linealmente son  Ô independientes de la . D, por lo tanto la solución general es:


 m  
 m  +C%"(+,"<)+," Si la ecuación da 2 raíces reales iguales

 Ô 

, entonces las soluciones

  y son  Ô

Ô    , las cuales son soluciones linealmente independientes de la . D, por lo tanto la solución general es:

Ô
   
   +C%"%!2:,+"#"'+" Si la ecuación da 2 raíces complejas distintas  Ô     Ô  ë  , suponiendo
ue estas son las raíces obtenidas la solución asociada seria


0 0

²    ²    entonces las soluciones son   y  . Para poder resolver este caso se debe utilizar la formula de uler; { Ô ‰ {   Õ › {  . La solución general de la ecuación vendría por:

Ô
      
  ë     Ô
     
   ë  

Ô 
   
 ë   

Ô 
 ‰    Õ ›   
‰   ë Õ ›  

Ô 
 
‰    
  
Õ ›  

Ô  ‰    Õ ›     Ô   ‰   Ô   Õ ›   Donde las soluciones son linealmente independientes. 2:,!

1)



      Ô }

Asumimos la solución

} Ô } } Ô 

Ô



,

de a
uí

 Ô 



y



 Ô 



,

sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica m  m    } Resolviendo la ecuación nos
uedan las raíces  Ô ë
 Ô ë
ue son raíces reales distintas, por lo tanto la solución general va a ser


 
 
   . Ahora, la solución particular aplicando las condiciones 
 iniciales será     2)



       }

Asumimos la solución

Ô



,

de a
uí

 Ô 



y



 Ô 



,

sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica m   m    } Resolviendo la ecuación nos
uedan las raíces  Ô ë  Ô ë
ue son raíces reales iguales, por lo tanto la solución general va a ser

Ô
 ë  
 ë  . 3)



    Ô}

Asumimos la solución



m

,

de a
uí

  m

m

sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica

y



 m 

m

,

    Ô }


0 0

Resolviendo la ecuación nos dan raíces complejas distintas, donde

²







 






‰

,

por




lo

tanto

   Õ ›




la

solución

general

va

a

ser

 .

,'+,>!2!<9'+%!'%!-%'%!'"+'#!(#' 2+6!(G)&  Considere la . D lineal homogénea de orden > 2 con coeficiente constante ›  ›   › ë › ë  Ú     }  Ô } para hallar su solución se  debe considerar
ue también admite como solución la forma Ô ; para valores apropiados de la constante m se debe construir la ecuación m y sus derivadas en la . D y obtener; característica sustituyendo 

²› m ›  ² › m ›     ²m  ²}  } . Resolviendo esta ecuación o factorizando el polinomio característic o asociado a dicha ecuación, se determinan las raíces de la ecuación, obteniendose n soluciones cuya combinación lineal permite obtener la solución de la . D. +C%"(+,"#"'+"  Si las raíces son reales y distintas se obtiene la solución:

Ô
   
     
›  ›  +C%"(+,"(:#+" Si alguna raíz obtenida es real y repetida su solución viene expresada de la forma:

Ô
   
     
›  ›     +C%"%!2:,+"#"'+" Si la ecuación característica tiene raíces complejas, estas deben formar pares conjugados ²   ²   , su solución es similar a la de la ecuación de orden 2, siempre y cuando ninguna de las raíces estén repetidas, y tiene la forma:

 Ô    

  ‰

 

  Õ

›



 Ô  

 

‰



 

Õ ›



› Ô  ›   › 

› 

‰

›  

› 

Õ ›

› 


0 0

Si las raíces repetidas en algún caso, o sea, si ²   ²   son raíces de multiplicidad k, su solución viene dada por la combinación del método para raíces complejas,
uedando expresada de la siguiente manera:



²

      
        ‰              

        Õ ›   

Como parte de la solución general. ota: Si las raíces de la ecuación se combinan de los tres tipos la solución también se combina. 2:,!   ë    

1)

Ô}

Asumimos la solución  

Ô 

Ô



, de a
uí    

  Ô 

Ô 








Ô 



,

sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica 

 ë    Ô }

Resolviendo la ecuación nos
uedan las raíces  Ô   Ô 
Ô ë  Ô ë
ue son raíces reales distintas, por lo tanto la solución general va a ser

Ô
  
  

 ë  
  ë 

2)





      }

Asumimos la solución m 

 m



m

, de a
uí m   

  m 

 m


m





 m

m

,

sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica 

 ë    Ô }

Resolviendo la ecuación nos
uedan las raíces m  m  m
 m  
ue son raíces reales repetidas, por lo tanto la solución general va a ser

Ô
  
  

 ë  
  ë  3)





   ë    ë   Ô}

Asumimos la solución

Ô



, de a
uí
0

0

  m

m

  m 

m

    m


m





 m

m

,

sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica 


m  m  m  m   }

Resolviendo la ecuación nos
uedan las raíces

m Ô m Ô  m   Ô }  m
Ô  m Ô ë


ue son raíces repetidas y complejas distintas, por lo tanto la solución general va a ser

Ô
  
  

‰  
 Õ › 

reales

‰

4)

  

 
    }

Asumimos la solución



Ô

 Ô 



, de a
uí

  Ô 



   Ô 




sustituyendo en la . D tenemos la ecuación característica


m 
m    } m   m  m
 

Se encuentran las raíces
ue son raíces reales de las cuales dos son repetidas, por lo
ue la solución es

Ô
  
 ë  

 ë  &0


  1. ncuentre la solución general de cada . D dada, y la solución particular para los casos con condición inicial:    a.  b.     } 
  }  } c.        }

     ë     Ô } e.      Ô } f.  ë    
Ô }  g.     
 } }   }    h.        } } 
}            } j.     } k.     
    } i.  d.

   

     Ô } m.   ë   Ô } n.  ë

   } Ô ë o.      
  Ô } } Ô } } Ô   l.





     Ô}

} Ô   } Ô 

} Ô } Ô }  2. Las raíces de la ecuación característica son m   m  m
  , Cuál p.



   ë
 
 ë  Ô }

es la ecuación diferencial correspondiente  &0&


 
 ;  D  


 Consideremos

²› 

Si

›

 ²› 

› 

 Ú  ²   ²}     



  r } ; . D Lineal no Homogénea, donde   es continua.
0

0

La solución de dicha . D viene dada por




.

j

&0& 9!#!#%!-%' "'#(2'+#!" ste método se aplica siempre
ue la función    de la .D sea una combinación lineal de productos (finitos) de funciones de los tres tipos siguientes:

1. Un polinomio en

.

2. Una función exponencial 3. ‰    Õ ›  



Sabemos
ue la solución general de la .D (1) es de la forma donde la función complementaria ›  › ë › ë asociada › 





 j ,

es una solución de la .D homogénea

 Ú     }  Ô }

y

j

una solución particular simple de (1), la cual es nuestra tarea encontrar

j.




es

l método de coeficientes indeterminados es un modo directo de hacer esto cuando la función    dada en (1) es la bastante simple como para
ue podamos hacer una suposición bien fundamentada sobre la forma general de

j. Vamos a ilustrar el método con algunos ejemplos preliminares. 2:,!  1) ncuentre una solución particular de la ecuación  
    
   !,)%*' a
uí    Ô
  , un polinomio de grado 1, así
ue nuestra

suposición será ntonces,

j    

 j    j } por lo
ue j satisfará la .D una vez
ue } 
        Ô
 

sto sucede si y solo si,  


 , así
ue la   

solución particular es



j 
   

 ë  Ô 
 2) ncuentre una solución particular de la ecuación  
 !,)%*' a
uí   Ô  , cual
uier derivada de    es un múltiplo de

 , por lo
ue es razonable intentar j   .
0 0


 

 j  
 , por lo
ue la .D resultará satisfecha j 
 

ntonces, con tal
ue






  

sto sucede si y solo si

j Ô 












.

   , por lo
ue la solución particular es

.

 ë  Ô   3) ncuentre una solución particular de la ecuación   ste ejemplo si se
uiere es del mismo tipo del ejemplo anterior, pero nos indica
ue el método no siempre es tan simple como parece.   !,)%*'a
uí     , es razonable intentar j Ô  .   ntonces,  jÔ    , por lo
ue la .D resultará satisfecha j Ô   ë     Ô } r   . con tal
ue    n este caso, no importa el valor
ue fuera A,  no puede satisfacer a la .D no homogénea dada. n consecuencia debemos intentar con otra función  cuya derivada contenga a . Podemos asumir la solución particular es   

j   . Con          j   j     La sustitución produce        ë     Ô   Ô   , así Los términos
ue contienen  se cancelan y
ueda    .
ue    , por lo
ue la solución particular es j Ô    4) ncuentre una solución particular de la ecuación


   ë Ô ‰ 

!,)%*' nuestra primera suposición podría ser

j  ‰  ,

pero la

en el primer miembro indica
ue podemos necesitar un término
ue contenga Õ › también. Por lo tanto, trataremos con

presencia de

j  ‰   Õ ›  j   Õ ›  ‰   j  ‰   Õ ›

j  j  jen la .D dada produce
ë ‰  ë Õ ›   ë Õ ›  ‰   ë ‰   Õ ›  Ô ‰ 

ntonces, la sustitución de

sto sucede si y solo si,

    , así
ue la solución particular es    

 ‰    Õ ›

j   

}0

0

La siguiente tabla es una lista de las formas
ue puede asumir

j

en diversos

casos comunes.

  m

j

   ²}  ²   ²   Ú  ²m  m

}        Ú  m  m

C    ‰    Õ › 

}        Ú      ‰   Õ ›  





‰    Õ ›  C   ‰   Õ › 



‰   Õ › 

}        Ú  m  m ‰   }        Ú  m  m Õ › 

Hay casos
ue encontramos con
ue donde

    

la función

  Ô       

,

son funciones de géneros diferentes listados en la tabla.

n este caso, tomamos

j

como la suma de las funciones particulares

indicadas. 2:,!

  

   


1) ncuentre una solución particular de la ecuación !,)%*' tenemos las funciones

   
  

 

    , por lo tanto la

    ‰   

solución particular será la suma de



Siendo la solución complementaria



 
 



términos repetidos en la parte



  ‰  



, tenemos
ue hay

por lo tanto la multiplicamos por

 para eliminar las repeticiones. Quedando

j       ‰
   Derivando y sustituyendo en la .D produce 





  ‰   ‰         Ô


De donde se tiene

ncuentre



     
Ô

 

 
   ‰   
  


Por lo tanto la solución particular es 2)



una ë


j Ô

solución




   ë 

 
 

particular

de

la

ecuación

‰ 

0 0


 !,)%*'  tenemos las funciones         ‰   , por lo tanto la solución particular será el producto de ë
 ‰   Õ ›  , como primer intento esta bien, pero debemos tener cuidado con la solución complementaria de la .D homogénea ë
 asociada
Ô
‰   
Õ ›  , como podemos ver se repiten términos, por lo
ue debemos multiplicar por  , para evitar las repeticiones. Por lo tanto, tomaremos 


j  ‰    Õ ›   &0&


 1) n cada uno de los problemas encuentre una solución particular j de la

ecuación dada:


a.



   

d.



      Õ ›


e.



   
   

f.



    ‰
  
Õ ›


g.



     



h.

 

    
  



     




k.







    
  

b.

 

     Õ ›

i.

      



c.

 

j.



l.





    Õ › 





Õ › 

     



2) Resuelva los problemas con condiciones iniciales a.



    

}   } 



 
  Ô  } Ô } } Ô
 c.     Õ ›   }   }  }  d.   Ô ‰  } Ô  } Ô ë b.

e.

  

 ë    Ô  

f.

  

   Ô 

g.





ë



 ë   Ô





} Ô 

} Ô } Ô } 

} Ô 

} Ô  } Ô }  } Ô   } Ô ë

} Ô } Ô  

 } Ô   } ë Ô  } Ô } Ô  h.

  &0&& 9!#!# +(+%*'#:+($2(! "

Comencemos

con

Ô}

una

.D de segundo orden. Dada  ²    ²   ²}     donde ² r } , si  y son soluciones de la . D homogénea asociada a la no homogénea, entonces una solución particular de la . D no homogénea será j          , donde se presentan como:  0

0

    

  

           ² !   ² !  

Y la solución de la . D no homogénea sería:


 j  
  
      

2:,!

1) Hallar la solución general de a . D no homogénea Solución: scribimos la . D homogénea asociada



  Ô
   



  }

De a
uí, nos
ueda la ecuación característica m    } , sus raíces m   m   , las cuales son raíces complejas distintas. Por

lo

tanto,

la



‰  
Õ

solución de la . D homogénea asociada › , de donde,   ‰   Õ › .

es

Calculamos el Wronskiano;

 ‰  Õ › !       ‰   Õ ›    r } L. Independiente.  Õ › ‰   Ahora, determinamos la solución particular de la . D no homogénea

j      

Siendo, 

   

   


²›  Õ ›      › Õ
 
²›    Õ ›  


²› ‰     ‰  

j Ô âë › Õ
  ›   Õ ›   ‰    ë‰ Õ ›   Ô ë › Õ
   ›   ‰    Õ ›  ‰  ë ‰ Õ › 

j Ô ë › Õ
   ›   Por lo tanto, la solución general de la . D no homogénea es:

Ô
 j

Ô
‰   
Õ ›  ë › Õ
  ›   
0 0

   9!#! # +(+%*' # :+($2(!" :+(+   '! >!2!<9'+" %!' %!-%'%!'"+'#!(#'2+6!(G)&   Para obtener la solución general de una . D de orden mayor de 2 }  ›    › ë  Ú  › ë   ›  Ô  se necesita conocer la solución de la . D homogénea asociada  Ô
  
   
›  › , luego se expresa la solución particular de la . D no homogénea

j         ›  › .

Ahora, para determinar las incógnitas

  Ú ›

se genera el sistema

    › ›

      › ›

 ›  

› 

   ›

› 

 › 



Y se resuelve aplicando el wronskiano:

 Ú ›  Ô





 › ë









› ë 

›

›

› › ë

Para determinar cada una de las incógnitas, se sustituye la columna de la incógnita
ue se busca por la columna de los términos independientes (0, 0, « , b(x)), se calcula el determinante de la matriz resultante, se divide por el valor del wronskiano y luego se integra para conseguir el valor de la incógnita y por ende la solución general de la . D no homogénea será:

Ô   j  Ô
  
   
›  ›          ›  › 2:,! 

1)

  

 ë  ë   Ô



La . D homogénea asociada es,

  

      }

0 0

La ecuación característica

m
 m  m   } ,

 Ô   Ô ë 
Ô

Raíces

reales distintas.

La solución de la . D homogénea asociada  Donde     
 


















,

Ahora, la solución particular de la . D no homogénea

j          
  Hacemos el sistema de ecuación 













 




 }







 









 } 

Calculamos el Wronskiano

    



 



 



       

De a
uí las incógnitas  

 

 

Ô ë 

 

 }   }    

   



r } Linealmente Independiente




    

 
       

  
 
 Ô  ë

   Ô ë
  ½   


}






 



0 0

Por lo tanto,


     ë       
}       Ô ë    
}    Ô
}



j Ô ë

j

j

 

La solución general de la solución no homogénea es:




















}



&0&&


  1. n cada uno de los problemas use el método de variación de parámetro para encontrar la solución general y particular de las . D dadas:    
  Ô   b.  a.     Ô ‰
 c.    Ô Õ

     d.  ë     Ô ë  ë

Ô
ë  f.    Ô Õ ›
 e.    
   Ô À     h.      Ô ë   › g.        i.  ë  ë   Ô
 j.  ë   Ô  k.  ë Ô   } Ô  } Ô }

l.



       

}   }  }

           }   }  } m.   &0. 
 

 
     
½ 


0   La ecuación diferencial lineal de n Úésimo orden es una ecuación de la forma: ²› 

›

 ² ›   

› 

 Ú  ²     ²}      

donde ²}   ²  Ú ²›   funciones y ²› denomina . D lineal con coeficiente variable.

 r } ,

entonces la . D se

 &0. 9!#!#(#)%%*'#!(#' 

0 0



  j        Ô } , con una solución  conocida, se busca una segunda solución    . Consiste en  sustituir   , la . D lineal y
ueda en función de v de 2° orden, cuya , logrando una resolución viene dada por el cambio de variable ¯   Cuando se presenta una . D lineal

reducción de orden de la . D y se aplica cual
uiera de los métodos de . D de primer orden. !(2+ Si  es una solución de la . D



  j         } en un intervalo abierto I en donde las funciones j     son continuas y  no se anula, entonces una segunda solución linealmente independiente con  de la . D viene dada por:

 

  j  

‰ 



2:,!

1) Determine la segunda solución de la . D siendo Como

 Ô 

        }

una solución de dicha . D. mplear reducción de orden.

  

   , entonces              

Ahora, sustituyendo en la . D tenemos,

               

  }

 
     }      }  Aplicando el cambio de variable

 ¯ Ô   ¯ Ô 


¯   ¯  ¯ Ô }   ¯ Ô } 
  os
uedo una . D de primer orden, la cual se puede resolver por separación de variable.


¯

¯
¯
¯     ¯ Ô }  Ô ë ¯  Ô ë 
   Ô ë  ¯  ¯ 
 
  ë ë ë

› ¯  Ô ë ›   ¯ Ô    Ô    
 Ô  


0 0

     
 ‰
Por lo tanto,

 

   
 ‰        ‰ 



Así, la solución general es:




 
     ‰  
    




 
      ²    ë Ô

Ô
‰  Ô
 
, constantes.
Verificamos aplicando el teorema

          }         }   ecuación por

j  Ô



Ô 

 

dividimos

toda

la


uede sola, para determinar la función  buscando
ue 

.    

‰

 Ô 

 ›



 Ô 

 

 Ô 

 

  
    ‰         ‰ 



Se comprueba
ue la solución dada por el método de reducción de orden es correcta. n el caso
ue la .D sea no homogénea se emplea el método reducción de orden a la .D homogénea asociada y luego se aplica el método de variación de parámetros para hallar la solución particular de la no homogénea. &0.


  1. La función  es solución de la . D dada, use el método de reducción de

orden para encontrar una segunda solución . Luego verifi
ue el resultado aplicando el teorema:         }    a.  b.     }   ‰      ë Ô }  Ô ‰  d.   c.       }    0 0

e.

    
     }

f.

               }

g.

          }

h.

            }

  ‰ 

             }

   Õ ›

i.

   ‰   

    

  

2. Use el método de reducción de orden para obtener una solución de la ecuación no homogénea dada. La función  indicada es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea. a. c.



 ë  Ô

 Ô



 ë
  Ô 




ë 

 Ô 





 ë   
Ô 

 b.  

 Ô  d.

 Ô 

  &0/
 H;

La expresión general de esta ecuación es la siguiente: ²›  ›  ›  ² ›   ›   ›     ²   ²} 

 Ô



 } ² › r }

Donde se puede notar
ue el coeficiente de la derivada corresponde al mismo exponente de la variable x, Suponiendo,
ue una solución para este tipo de ecuación es

Ô 

Sustituyendola junto con sus n derivadas en la ecuación obtenemos la ecuación característica, la cual al resolverla obtenemos las raíces y de ahí las soluciones de la ecuación de euler ± cauchy. Solo vamos a estudiar al detalle la ecuación para n=2. La ecuación tiene la forma:

       
 Ô }

Asumiendo la solución     

  



   , sus derivadas correspondientes al caso son

        . Sustituyendo en la ecuación tenemos

²                 
   }

0 0

La ecuación característica ²   ²  
 } , cuando se resuelve esta ecuación se obtienen dos raíces, las cuales pueden ser reales distintas, reales repetidas y complejas distintas.




º }



 ²

 ²   ²

 ²

+C%" (+," #"'+" .

 r 

 ²   ²


por lo tanto las soluciones son

 Ô   Ô   siendo la solución general Ô
  
 


 }

+C%" (+," (:#+" .

  

por lo tanto una solución es

 Ô   luego la segunda solución se determina aplicando el teorema de reducción de orden. +C%"%!2:,+"#"'+" .  r    ²     ²   por lo     tanto las soluciones son  Ô   Ô  Ô   Ô   ë   aplicando ² ² un artificio matemático    ‰ ›    Õ › ›  siendo la

Ô
  ‰  ›  
  Õ ›  ›  solución general

Ô  
‰  ›  
Õ ›  › 


0 }

2:,!

1)

    ë   ë
 Ô }

Asumiendo la solución  ë   

Ô  



Ô   , sus derivadas correspondientes al caso son

Ô   ë    ë . Sustituyendo en la ecuación tenemos

    ë   ë  ë     ë  ë
  Ô } La ecuación característica

 

ë   
Ô } ,  Ô  Ô ë
Ô ë


  ë ë  ë
Ô }   ë  ë
Ô }

Ô
 Ô ë

reales distintas.
ë La solución general es: Ô
  
  Raíces 

2)

    ë    Ô}

La ecuación característica

 

ë   
Ô } , ²    
 

  ë ë    Ô }   ë    Ô } }0 0

Raíces  Ahora,

Ô  Ô

  

reales repetidas.

aplicando el teorema de reducción de orden, obtenemos la

 ›   general es: 
 
› 

segunda solución La solución 3)

    
   } Ô }

La ecuación característica

 

ë   
Ô } ,  Ô  Ô

Ô }

 
ë   } Ô }      } Ô }

 Ô ë  
  Ô ë 
 ²   
.

Raíces

Ahora,  



complejas

distintas,

siendo

  ‰
›    Õ ›
›  . La solución general es:


‰
›  
Õ ›
› 

n el caso
ue la .D sea no homogénea se emplea el método de euler Ú cauchy a la .D homogénea asociada y luego se aplica el método de variación de parámetros para hallar la solución particular de la no homogénea. &0/


  1. ncuentre la solución general y part icular según sea el caso de la ecuación de uler ± Cauchy dadas:

a.

         Ô } b.       ë  Ô } c.        ë
Ô }

d.

    ë    Ô}

e.

g.

  
  ë  Ô }

h.

i.

    
  Ô }

j.

    ë     Ô }

       Ô } f.          Ô }    
  ë        ë  Ô }

 Ô }  Ô 

 Ô
  Ô }

2. Apli
ue a las ecuaciones de euler ± cauchy el método de variación de parámetros para hallar la solución general a.

       Ô

b.

c.

    ë    Ô 
›

d.

         Ô ë     ë    Ô 

0 0

                 


00 0
  

00

‰00
0 0‰
‰ 0 ‰
0 
0                    

 0 0

. 0

 

 Ad
uirir los conocimientos esenciales de la transformada de Laplace, la inversa de la transformada de Laplace y aplicar dichos conocimientos para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, además de ad
uirir las nociones básicas para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales   .&      -'%*' Sea 
 una función real, definida en el intervalo } S . Si la integral converge, la cual es una función de S: S ë


‰

 Ô



 




} S

Donde,



ë


 S

 

Ô m

ë


 


Õ Œ G

} } s llamada la Transformada de Laplace de

å
    


 , la cual se denota por

 S



 Ô å
 Ô

ë


 




} 2:,! 1) Calcular la transformada de la siguiente función:

a)


 Ô 

å
 

S






 S

 
 m

} ntonces, b)


 Ô

S

}








ë




}

ntonces,


 m

 ¬ º}
¬ S à}

 å  º }

S

å
 Ô










å²









Ô   jS

}

ë ë  




Ô 

jS

ë

ë ë 

ë


 ¬
ë  ¬ S  

 º² ²

 


0 0

.&


  1. n los siguientes problemas apli
ue la definición para determinar halle el rango de convergencia:


a.


 Ô

e.


 Ô


h.


 Ô


b.




c. 



 Ô  

f.

å


,


 
‰
 d. 
 Ô ë
Õ ›
 g.


  ‰  
 siendo ‰  
 Ô


 Ô 
ë Õ ›

 


ë 





i. 
 Ô Õ ›
  2. Apli
ue la tabla para determinar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a.

 



 




c.


  ‰ 
  Õ ›


e.


   

g.


 


i.


 













  
 } Õ ›









b.


 

d.


 

f.


   











‰ 





h.


 

j.


 Ô  ë




Õ ›






ë 


‰ 


 ..!(2+# '+,#+# 

Si a y b son constantes, entonces:

å² 
  
  ²å
  å



Õ , tal
ue las transformadas

de Laplace de f y g existan a la vez. 2:,!

1) Calcular

å
 ë





å
  ë
  Ô
 å





 

åë




 

    å Ô
     Ô       ë


     ë     

0 0

./
' ("+#,+(+'"-!(2+#+# +:,+%   Si     
 , entonces 
 es la transformada inversa de laplace de

å

  y se expresa de la siguiente forma: 
 Ô ëå  2:,!


  encuentre 
   å   ë
        
 

 
 



  

  
 
   
  


1) Dada

 Ô

2) Dada

  

 ë encuentre 
 Ô å    


Cuando el denominador consta de factores lineales, entonces la transfrmada de laplace inversa de la descomposición en fracciones parciales es una aplicación de la transformada de la exponencial elemental.



å²




 ²

       
  
  
  



    


Linealidad

           
 

  
   
 
  
 

3) Dada

  




encuentre











 Ô ëå 



   
 
     

 

  ¬        
          ¬ 


0 0

Aplicando linealidad y la inversa nos
ueda: ë

ë





 

 ë
ë   
ë  




Ô   
 Ô ë ë         ë 




ë




Podemos observar
ue al
uedarnos

 
 ë 
ë
Ô
  ë      ë   Se puede aplicar la formula número (28)
ue esta en la tabla de transformada, siendo así, entonces



   

      


 
 




 




   
   





  




./ (!:#+###":,+?+2'!  Suponga
ue  Ô 
 existe para 
 
 Ô ë  
  entonces

å

å

2:,!

1) Calcule Como




. Si  es un número real,

å
‰



å‰





, entonces



å
‰



¬   ¬

ë
 ¬ ¬     ’     ¬ ë 
ë   ¬ 


ë
Ô Ô ¬ ¬     ’  ’    

   

2) Calcule

3) Calcule

ë 


‰ ’



   ë
     


    ¬ 
   ë ¬

ë
Ô
  ‰j

 ›


 ¬ ¬            0 0







 

    ¬ ë ¬ ¬ Ô

ë

¬ ¬       ¬        ¬ ¬ ë ¬
 ë
  
¬ ¬       ¬     ¬
 ë
¬       
   
 
    

¬   › 

     ¬  ¬  Ô   ¬  





¬ ¬  ë ¬   
  C j¯ ›
   ¬ ¬ ¬          
Õ ›  
 ‰  
  

  ./&


  1. Calcule la inversa de la Transformada:



ë ¬   a.


d. g.

j.




¬  ¬ 

¬     
        
  

   
    } 

    
         e. 
         h. 
    b.

k.

   
   
 

c.

   
   

 }  
       i. 
  
  ë  ¬ ë ¬ l.

 ¬ ¬      f.

  .0 )'%*'"%+,*''+(!   -'%*' La función "
 ²  se define como

} } à
0 ² "
 ² 

 ² 2:,!

a)


 Ô 
V }

b)

} } à
0  "
 



las graficas son:

0 0

0

0

0

0

0

Por definición, la transformada de la función unitaria es: S S ë
 


Ô ë


Ô  ë


Ô

å 
Ô jS }   ë  ë ë 





jS

å 
Ô



ë

Ô






}

ë 




}

Ahora, calculemos la transformada de las funciones del ejemplo. ë }  Ô
} a) å }
Ô



b)



å
Ô å
ë  Ô

ë




}

 } 
0 ¬ c) valuar 
 Ô
ë  
0
¬}
V


å
 Ô å  }
ë å

 å

ë }

Ô  å }
ë
 å
 å

Ô 

Luego, si



ë

ë


ë








ë

Ô



ë






} } à
0 ²  " ²



 ²

å" ²
 
 ²   å"
 ²  
 ²  

 ²

å
 

 ²

  º }

 

 0 0

ë




2:,!

} } à
0   
 


 

a) Sea la función

ë 

å
 
ë  Ô å
ë  
ë  Ô ë  å
Ô ë  Ô } } 
0  ¬ b) valuar 
 Ô
¬


V  ë


å
 
ë  Ô å
ë  
ë  Ô ë 

Ô ë   Ô  

å

 .0


  1. Halle la Transformada de Laplace de las funciones respectivas:

a.

c.

 } à
0

 


} } à
0  
 
Õ ›



} } 
0   ¬ 
 Ô
¬

V   } 
0   ¬ d. 
 Ô
}  
0  ¬ 
V  

b.

 .1!' !,)%*'  -'%*' sean  y

 dos funciones definidas en ‰} S . La convolución de  y  , denotada por    es una función en el intervalo, definida por


â  


   
     }

Para cada


Œ ‰} S

.



(!:#+#"#,+%!' !,)%*' 

   Ô    (Propiedad Conmutativa) (b)              (Propiedad Asociativa) (c)                 (Propiedad Distributiva) (d) Si   y  son dos funciones continuas a trozos de orden exponencial,

å   Ô å
  å
 Ô   o escrito en forma entonces (a)

e
uivalente 0 0

â  


  å 

 2:,!

Calcular

  å  å 

å
Õ ›


Por la propiedad (d) tenemos
ue



å
åÕ ›




å
Õ ›
Ô å
 åÕ ›


            

A veces la propiedad (d) de la convolución es útil para encontrar la transformada inversa de un producto de dos transformadas de Laplace. 2:,!

Determinar

   
     

Para resolver este ejercicio sería posible usar fracciones parciales, pero si

  

 y 


ntonces,  å   
  y Por lo tanto, podemos escribir, 
  




Ô




    
 

  å


  
           } } ë


ë



Ô }









 

 


 









 



}

ë 



ë 
   Ô ë  ë      

.3:,%+%!'" (!,2+"# +,!('%+, 

Suponga
ue las funciones por tramos para Siendo ›

å

 

       Ú 

› ë

son continuas y suaves

å ›
 existe.


V } , entonces 


  Õ › å
  Õ ›   }  Õ ›    }  Ú  

› 

}

Por lo tanto, tenemos


 Ô Õ  å
 ë Õ   } ë  } å 
  Õ å
   } , å  Puesto
ue

å ›
 Ô å ›
 ›
, depende de




 y sus nÚ1

derivadas calculadas en
 } , la transformada de Laplace es especialmente adecuada para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones }0 0

diferenciales lineales con coeficientes constantes. sta clase de . D puede ser reducida a una ecuación algebraica en la función transformada #  . Para ver esto, considere el problema inicial

²› 

›

› 

 ²› 

 Ú  ²   ²}   


}  } }  } Ú

› 

}  }

› 

Donde › › ë Ú } son constantes. Por la linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir

å ›
  ²› å › 
  Ú

² › 

 ²å 
  ²} å
  å


usando la derivada para transformada de Laplace, tenemos

‰

²›  Õ › #   Õ ›  }  Ú 

› 

‰

²›  Õ › #   Õ ›   }  Ú 

n

› 

}    ²} #  

#  Ô å
   Ô å


donde

encontramos   2:,!

} 

.

Despejando

 # 


 calculando la inversa
 Ô ëå# 

1) Resolver




ë
Ô








} Ô 

Primero aplicar la transformada a cada término de la ecuación


 


 ë
 å Ô



  å
   } y å
  #  Luego usamos å    
  å
   
 
Y calculamos  aplicando tabla     Por lo tanto, #    
#    #  
     #     


å

å

0 0

       
  
  
  ë     ë    
 Ô ë ë
#  Ô 
 ë  ë
  ë   ë


Mediante fracciones parciales:


 Ô ë






 .3


  1. Use la Transformada de Laplace para resolver los problemas de valor inicial: a.      
} 

 ë Ô Õ ›
} Ô }      } }   }   c.   d.    Ô ‰ 
} Ô } } Ô   e.       
}  } }   b.



         
}  } }  }  g.      
 } }  } }  
 h.   }     } }  }  }  i.       Ô } } Ô  } Ô } f.



 ë  Ô
‰
} Ô } } Ô }  k.    Ô  } Ô  } Ô j.

l.

   


} } à
0 

}  } donde 
 

 

m.



    


n.

   


 } à
0  

}  } }   donde 
 
}
   } à
0  

}  } donde 
 
 
 

.4(+'"-!(2+#+#,+( +#+   Corresponde a una multiplicación de !(2+Suponga
ue las funciones


 por
.

       Ú 

› 

son continuas

y suaves por tramos para
 } , y
ue cada una de ellas satisface la condición 
   

para
V   para los valores de ø y c. ntonces  › 


å

existe cuando

Õ º
y  0

0

å ›
 Ô Õ ›  å
 ë Õ › ë  } ë Õ › ë   } ë Ú



ë

› ë

}

 2:,!

1) Probar
ue

å ²



 ²


Si


 Ô


å
 
 




Por lo tanto,







 }  }

 ²

 
 Ô

²


 ²


²


å 


Ô å 
 Ô Õ  å
 Ô Õ 


å




2) ncuentre

²


å

 ²
  Õ  ²



Õ  ²  
 Õ  ²

å ²




 Õ  ²

 } Ô }

å
Õ › 



 
Õ › 
   
  Õ › 
   
‰ 
 Como   } Ô } , derivamos una segunda vez, obteniendo

Si


   ‰ 
   
Õ › 
  
  Õ å
  å  ‰ 
   å
Õ › 
  Õ å
Õ › 
 å    å‰ 
 ë   å
Õ › 
 Ô Õ  å
 › 
   å‰ 
 Ô Õ  å
Õ › 
    å
Õ › 


‰

  å‰ 
 Ô å
Õ › 
  Õ   Õ

      å
Õ › 
   Õ   å
Õ › 
 Ô

å
Õ › 
 Ô Õ   Õ   å
Õ › 
 

 Õ Õ  

  .7
'<(+%*'#(+'"-!(2+#+"   La integración corresponde a una división de 


 entre <.


0 0


 es parcialmente continua por tramos para
 } 
 ,
ue 
 satisface la condición dada en la expresión   y
ue
j}

   

para
j S , entonces, !(2+ Suponga
ue

S 
  


 Ô  { 
{




n forma e
uivalente,  2:,! 

ë


 Ô

Verificamos
ue el límite existe

S  ë ¬

¬ Õ  Ô

 { 
{  ¬ ¬  




m }

 







Õ ›
  m

} }

m





å

Õ º}

Õ ›
  


 


1) ncuentre

os
ueda,

cuando







 j
²

  . l límite existe.

ntonces, S

S   { ë    Õ ›
  S
{ 

Õ ë


Ô  ›    Ô  ›   Ô  åÕ › {  
{ Ô  Õ   
 {  

{



ë





.8"2+"#%)+%!'"-('%+," '+,"# (2((#'&5&   Se analizaran sistemas de 2 ecuaciones lineales de primer orden, con 2 incógnitas de la forma:

  ²
  
  
 ¬ ¬

¬  ²
 
  
 ¬




Siendo a, b y f funciones continuas en un cierto intervalo cerrado

 

‰²

. Si

son cero el sistema sería homogéneo, entonces una solución de (1)

sería un par de funciones




ue satisface a (1) 0

0

  




 !(2+@A si el sistema homogéneo tiene 2 soluciones 

 Ô 

 Ô 
 Sobre

‰²

entonces

y

 Ô 
 !
 Ô


 Ô ‰
  ‰ 
 "
 Ô ‰ 
  ‰ 




s también solución en el intervalo para toda constante ‰ ‰ . Formando con ambas soluciones una combinación lineal siendo (2) la solución del sistema homogéneo. Para verificar si (2) es solución del sistema homogéneo aplicamos el siguiente teorema. !(2+ @&A si el Wronskiano
 de las dos soluciones del sistema homogéneo no se anula en el intervalo, entonces (2) es la solución general.


 

  



 !(2+ @.A si las 2 soluciones del sistema homogéneo son linealmente y si independiente sobre 

‰

 ¬   j

¬  j


s cual
uier solución particular de (1) en el intervalo, entonces

 Ô ‰
  ‰ 
   j
 # ¬
¬  Ô ‰ 
  ‰ 
  j
 

s la solución general de (1) en

‰

.

Como se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales lineales: 1) Se despeja alguna de las funciones incógnitas,  ó , de algunas de las dos .D.O. 2) Se sustituye dicha función en la otra .D.O. 3) Se resuelve la .D.O lineal de segundo orden resultante. 4) Con este valor se obtiene la otra función.  

0 0

2:,!  1) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo

$ Ô    

 ¬
¬ Ô    
   Despejando






de la . D (1) obtenemos,

     







       






Sustituyendo estos valores en la . D (2), obtenemos


    


Al resolver esta .D de segundo orden, se obtiene

 

 

 Sustituyendo este valor en la expresión      

, se tiene
ue 


 Ô ë‰  ‰ 
  
ë 

  }  } Si además agregamos la condición


}  } 
  ‰  ‰ 






Obtendríamos el sistema de ecuaciones lineales

  ‰  ‰  ¬ ¬

¬ ‰  ‰   ¬
 
  Cuya solución es ‰   ‰ 




 
     

 

   ¬ ¬




 Así,
¬
   
   
    
 
¬  
 Los sistemas de ecuaciones con condición inicial, pueden ser resueltos por transformada de laplace. 2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo con condición inicial  }    }   }  }  } 0 0

       
     }Õ ›







Por la Transformada de Laplace tenemos
ue,


 Ô Õ  å
 ë Õ  } ë }  å Ô Õ  å

å

å
 Ô ¿   å Ô Õ  ¿  Así mismo,


 Ô Õ  å
 ë Õ  } ë }  å  Ô Õ  å

å 

å
 Ô #   å Ô Õ #  Por lo tanto, aplicando al sistema nos
ueda,

 ¬Õ    Ô ë    #  
¬Õ #  Ô    ë #   }åÕ ›





De la ecuación (1) despejamos Y(s),

#  Ô ¿  Õ 
 Luego, sustituimos Y(s) en la ecuación (2) y nos
ueda,

¿  Ô

 } Õ   Õ   Õ  




 Ô ëå¿ 

¬ %  } ¬ 
 Ô ë
 ¬  Õ   Õ   Õ   ¬ Aplicando fracciones parciales, tenemos
ue

¬ &  } ¬ 
 Ô ë
 ¬  Õ   Õ   Õ   ¬

&   ë & ë  ë &
 
 Ô ë
 

Õ    Õ    Õ   
 Ô Õ ›
 ë Õ ›
  Õ ›

 Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, obtenemos


 Ô }Õ ›
  Õ ›
 ë Õ ›

 0 0

3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo

  


 

 Despejando

 

de la . D (1) obtenemos, 

           

Sustituyendo estos valores en la . D (2), obtenemos

    ë  Ô     ë    ë   Ô}

Al resolver esta .D se obtiene


 Ô ‰ Sustituyendo este valor en la expresión


  ‰








‰ 

, se tiene
ue

Ô   ë 






‰ 

.8




1) Resuelva los siguientes sistemas homogéneos a.

   
     

b.

 ¯  
   ¯ ¯

c.

 
 
    

d.



 
  ¯ ¯

e.

   



    



f.



¯  
   ¯ ¯

g.

  



 



h.

    


   



2) Resuelva los siguientes sistemas no homogéneos, con condición inicial

 }  }  }

' Ô 
 ¬ a.
¬ Ô  
   
 

 c.
    



b.

( Ô   
  ¬
¬ Ô ë   ë  

d.

 
 
 ¬
¬     











0

 0 0