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Modalidad Presencial

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Versión: 3

Edición: 1 Año: 2017

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

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Misión de UTEPSA: “Lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia académica de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad, y habilidades emprendedoras durante su formación integral para satisfacer las demandas de un mercado globalizado.” Esto se sintetiza en:

“Educar para emprender y servir”

Visión de UTEPSA: “Ser una universidad referente y reconocida por su calidad académica, investigación y compromiso con la comunidad, en la formación de profesionales íntegros, emprendedores e innovadores, según parámetros y normativas nacionales e internacionales”.”

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¿Qué es la Guía MAAP? Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos, orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento. Esta herramienta, otorga autoestudio y autoaprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar diferentes competencias.

I.

Recordatorios y Recomendaciones

A su servicio Aunque las normas generales están claramente establecidas, si a usted se le presenta una situación particular o si tiene algún problema en el aula, o en otra instancia de la Universidad, el Gabinete Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para ayudarlo. Comportamiento en clases Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna circunstancia comen o beben dentro el aula y tampoco organizan festejos u otro tipo de agasajos en estos espacios, para este fin está el Patio de Comidas. Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los espacios identificados para fumadores.

Asistencia y puntualidad Su asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el Reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA ASIGNATURA. Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y al final de la clase. Si llega más de 10 minutos tarde o si se retira de la clase antes de que esta termine, no se considera que haya asistido a clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación.

También se debe evitar la desconcentración o interrupciones molestas por el uso indebido de equipos electrónicos como teléfonos y tablets. Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal administrativo, será sancionada de acuerdo al Reglamento de la Universidad. UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 3 3- VIGENTE: 19-05-2016 CODIGO: PO-PRE-002-1- VER: - VER: - VIGENTE: 19-05-2016

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II.

Orientaciones para el aprendizaje

La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con algunos símbolos. La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:

Símbolo

Actividad Preguntas

Prácticos y/o Laboratorios

A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas. Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.

Casos de Estudio y ABP

Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.

Investigación

Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.

Innovación y/o Emprendimiento

A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.

Aplicación

Ética Responsabilidad Social Formación Internacional Idioma Ingles

Descripción

Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.

Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.

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III. Datos Generales ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES SIGLA: MIN-303 PRERREQUISITO: APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL La Investigación Operativa desarrolla técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión. Sin lugar a dudas el amplio campo de conocimientos, que abarca la Investigación Operativa en la actualidad, incluye una gran variedad de herramientas. La presente asignatura revisa algunos de los modelos más difundidos, en particular se han seleccionado aquellos que presentan mayores posibilidades de aplicación en el contexto propio de la carrera Ingeniería Industrial y Comercial. A través de la planificación y diseño se optimizan procesos y sistemas de producción de bienes o servicios. Un profesional formado en este ámbito necesita conocer las características de las metodologías de modelación, comprender las posibilidades que éstas brindan y desarrollar el hábito de su utilización para la toma de decisiones.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA: Formular y aplicar modelos lineales a situaciones reales optimizando los recursos empleados en la organización usando las técnicas de programación lineal (P.L.) Identificar las posibilidades de cambios en los sistemas productivos con base a análisis de sensibilidad. Aprender y aplicar la metodología de solución de los problemas de transporte y asignación.

ESTRUCTURA TEMÁTICA Unidad 1 Tema: Introducción a la Investigación Operativa Contenido: 1.1 Historia de la Investigación Operativa 1.2 Concepto y alcance de la Investigación Operativa 1.3 Fases de la Investigación Operativa 1.4. Beneficios de la Investigación Operativa 1.5 Modelización matemática

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Unidad 2 Tema: Programación lineal. Contenido: 2.1 Que es Programación lineal 2.2 Modelo general de programación lineal 2.3 Elaboración de modelos matemáticos. 2.4 Método Grafico 2.5 Método Simplex 2.6 Soluciones especiales métodos simplex 2.7 Método M – Penalización 2.8 Teoría dual y precios sombra. 2.9 Análisis de sensibilidad Unidad 3 Tema: Modelos de Transporte Contenido: 3.1 Concepto 3.2 Métodos de solución del modelo de transporte 3.3 Forma estándar de tabular del modelo de transporte 3.4 Equilibrio de un problema de transporte 3.5 Interpretación de un modelo de transporte Unidad 4 Tema: Asignación Contenido: 4.1 Concepto. 4.2 Condición de un modelo de asignación. 4.3 Método de solución del modelo de asignación. 4.4 Interpretación de un modelo de asignación. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:  

Taha, H.A. (2012). Investigación de Operaciones. México: Alfaomega S.A. de C.V. Hillier F.S y Lieberman G. J. (2010). Introducción a la Investigación de Operaciones. México. McGraw-Hill/Interamericana.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:  

Mathur K., Solow D. (2009) Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones. Prentice Hall. Caro R. (2009). Investigación de Operaciones en Administración. Edición Pincu.

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5. Sistema de Evaluación A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura: NÚM.

TIPO DE EVALUACIÓN

UNIDADES A EVALUAR

PUNTOS SOBRE 100

1

PRUEBA PARCIAL

Unidades 1 a 2

15

2

PRUEBA PARCIAL

Unidades 3

15

3

TRABAJOS PRÁCTICOS Y ACTIVADES EN CLASE

Desarrollo de prácticas en aula y fuera de clases.

20

4

PROYECTO DE FIN DE MÓDULO.

Presentación de un trabajo de innovación teórico práctico.

20

5

EVALUACIÓN FINAL

Todos los temas de forma integral.

30

Descripción de las características generales de las evaluaciones: PRUEBA PARCIAL 1 PRUEBA PARCIAL 2 TRABAJOS PRÁCTICOS

Unidades 1,2 examen teórico-práctico. Unidad 3 examen teórico-práctico. Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje que los estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal. Evaluación Final: Es una prueba que evalúa todos los contenidos vistos en las diferentes unidades de la asignatura.

EVALUACIÓN FINAL

Proyecto Final: Este trabajo tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos aprendidos en clases. Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 4 estudiantes. Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la materia. Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20 del módulo. De los 50 puntos de la casilla Examen Final: 30 corresponden a la prueba escrita final y 20 a la entrega y defensa del Proyecto final.

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6. Guía para el Trabajo Final INSTRUCCIONES Para el desarrollo del trabajo final los integrantes de la materia deberán seguir los siguientes pasos: i. Formar un grupo de máximo de 4 estudiantes con carácter multidisciplinario y variedad de género. ii. Plantear al docente un trabajo enmarcado a la situación del avance de la materia. iii. Investigar los problemas que se tiene en una empresa en cuanto a optimización y aplicarlo en los temas de Programación Lineal, Transporte y Asignación. iv. La presentación debe ser de calidad, impresa en papel tamaño carta con todos los cálculos realizados utilizando editor de ecuaciones, los cuadros en procesador de texto o planilla electrónica.

De acuerdo a este procedimiento el trabajo final deberá concentrarse en lo siguiente. OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL: -

Aplicar los conocimientos obtenidos y los diferentes métodos de optimización.

-

Interpretar y validar los resultados obtenidos con los métodos aplicados

Una vez cumplidos los objetivos el proyecto deberá proseguir con la siguiente estructura para la presentación del trabajo final. ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL: CARÁTULA ÍNDICE RESULTADOS DEL TRABAJO 1. Plantear el modelo de optimización por tema avanzado. 2. Resolver el problema aplicando los todos los métodos conocidos por cada tema (Utilizar el programa informático adecuado) 3. Interpretar y validar los resultados. CONCLUSIONES - La EXPOSICIÓN y DEFENSA oral se realizará en la fecha mencionada al inicio de la materia.

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7. Objetivos y Actividades de cada Unidad Unidad 1 Introducción a la Investigación Operativa Objetivos de aprendizaje: 

Introducir al estudiante en las principales características de la Investigación Operativa (IO) y su campo de aplicación.

Investigación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Explique el origen y desarrollo de la Investigación Operativa. ¿Qué es la IO? Explique la metodología o fases de la IO. Resuma cada uno de sus pasos ¿Cuáles son las áreas de una empresa que se relacionan con la IO? ¿Cómo se plantea un modelo matemático? ¿Cuál es la técnica más importante para resolver un modelo matemático de IO? ¿Qué otras técnicas existen para resolver modelos matemáticos de IO?

Práctico No 1 Repaso de conceptos previos: 1. Determinar la pendiente y graficar la ecuación de la recta : 1)

4)

y

5 x3 2

y

3 x3 4

1

2) x  2 y  5

5)

3) 3

x  3y  2  0

y  x2

2. Hallar y graficar el punto de intersección de las siguientes rectas:  x  y  4 1)   x  y  6

 2 y  3x  0 2)   x  y  5

y   x  6  3)  1 x  10 y  2 

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Unidad 2 Programación Lineal Objetivos de aprendizaje: 

Formular los modelos de programación lineal utilizando las técnicas del método gráfico y método simplex para resolver problemas de programación lineal.



Aplicar los fundamentos teóricos del método dual simplex para resolver sistemas lineales de ecuaciones encontrando soluciones óptimas a problemas de programación lineal.

Investigación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Qué es la Programación Lineal? ¿Cuál es la finalidad de la Programación Lineal? ¿Qué métodos se utilizan para resolver problemas de PL? ¿Qué es un algoritmo matemático? ¿Cuáles son los casos especiales del método Simplex? ¿Qué software son útiles para resolver problemas de PL? ¿Qué son los precios sombra? ¿Para que realizamos el análisis de sensibilidad? 8. Explique en que consiste la teoría dual. ¿Cómo se construye un problema dual?

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ELABORACIÓN DE MODELOS (PLANTEAMIENTOS) En la elaboración de modelos se trata de transformar un problema real a un modelo matemático (formado por variables, restricciones y una función objetivo). EJEMPLO 1 Un fabricante produce tres tipos de juguetes: A, B y C. La capacidad de la planta está limitada a la capacidad de producción de las máquinas disponibles en los procesos de moldeado, ensamblado y pintado. Se dispone de un máximo de 120 horas semanales en departamento de moldeado, 100 horas en ensamblado y 40 horas en el departamento de pintura. La fábrica trabaja de lunes a viernes 24 horas al día. Los tiempos que se requieren en cada departamento para procesar una unidad de un juguete, así como las utilidades por unidad, vienen dados por: MOLDEADO

ENSAMBLE

PINTADO

UTILIDAD

A

0.4 [Hr/Unidad]

0.3 [Hr Unidad]

0.1 [Hr/ Unidad]

10 [$us/unidad]

B

0.2 [Hr/ Unidad]

0.4 [Hr/ Unidad]

0.2 [Hr/ Unidad]

8 [$us/unidad]

C

0.3 [Hr/ Unidad]

0.2 [Hr/ Unidad]

0.1 [Hr/ Unidad]

7 [$us/unidad]

Horas por Semana disponibles

120

100

40

Formule un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada juguete a producir por semana: 1. DEFINIR LAS VARIABLES X1 = Número de unidades del juguete tipo “A” a producir [Unidad]. X2 = Número de unidades del juguete tipo “B” a producir [Unidad]. X3 = Número de unidades del juguete tipo “C” a producir [Unidad]. 2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES DPTO. DE MOLDEADO: DPTO. DE ENSAMBLE: DPTO. DE PINTADO:

3.

0.4X1 + 0.2X2 + 0.3X3 0.3X1 + 0.4X2 + 0.2X3 0.1X1 + 0.2X2 +0.1X3 X1, X2, X3

   

120 100 40 0

DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIVO Maximizar Z = 10X1 + 8X2 + 7X3

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EJEMPLO 2 Una compañía carbonífera es propietaria de dos minas, la primera produce diariamente como máximo 1 Ton de carbón de alta calidad, 4 Ton de mediana calidad y 6 Ton de carbón de baja calidad; la segunda mina puede producir como máximo 4 Ton de carbón de alta calidad, 4 de mediana y 2 de baja calidad. Asimismo, a la compañía le cuesta 100 $us/Día la operación de la mina I y 150 $us/Día la mina II. La compañía tiene pedidos arriba de 80, 160 y 120 Ton de carbón de alta, mediana y baja calidad respectivamente. El problema consiste en determinar cuántos días debe trabajar cada mina para minimizar los costos de operación. 0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS Producción Mina I [Ton/Día]

Calidad Alta Mediana Baja Costo

Producción Mina II [Ton/Día]

Demanda [Ton]

1 4 4 4 6 2 100 [$US/Día] 150 [$US/Día]

80 160 120

1. DEFINIR LAS VARIABLES X1 = Número de días que debe trabajar la mina I [Días] X2 = Número de días que debe trabajar la mina II [Días] 2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES DEMANDA CARBON DE ALTA DEMANDA CARBON DE MEDIANA DEMANDA CARBON DE BAJA

3.

1X1 + 4x2 4X1 + 4x2 6X1 + 2x2 X1, X2

   

80 160 120 0

DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIVO Minimizar Z = 100X1 + 150X2

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MÉTODO SIMPLEX La mayoría de los problemas de PL tienen más de 2 variables y son, por ende, demasiado grandes para una solución gráfica. Un procedimiento llamado Método Simplex puede ser utilizado para encontrar la solución óptima El Método Simplex es en realidad un algoritmo (o un conjunto de instrucciones) con lo cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la mejor solución. Existen softwares que permiten resolver problemas de PL, pero es útil entender la mecánica del algoritmo. A continuación, definiremos algunos términos importantes: 1. VARIABLE DE HOLGURA Es aquella variable que permite convertir una desigualdad () en una igualdad (=) 2. SOLUCIÓN BÁSICA Es una solución de un sistema de sistema de ecuaciones lineales simultáneas. 3. SOLUCIÓN FACTIBLE Si todas las variables, de una solución básica, asumen valores no negativos, de lo contrario es no factible. 4. SOLUCION ÓPTIMA Es la mejor solución factible. 5. EL MÉTODO DE LA M Es un procedimiento que permite resolver problemas de programación lineal que incluyen restricciones “=” y “=>”.

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PROBLEMA ABP RESUELTO La empresa Concretec produce dos tipos de ladrillos: el tipo 1 y tipo 2 para el cual tienen que pasar por tres procesos para su terminación que son el de mezclado y moldeado, secado y horneado. La empresa toma en consideración 100 ladrillos para determinar las utilidades y los costos. El ladrillo del tipo 1 da una utilidad de Bs.10 y el del tipo 2 de Bs.12. El del tipo 1 necesita de 2 horas en mezclado y moldeado y de una hora en horneado, el del tipo 2 necesita de 3 horas en mezclado y moldeado, 2 horas en secado y de una hora en horneado. Cada proceso tiene limitaciones de horas para la manufacturación que son de 15, 6 y 6 horas respectivamente. Determinar una política optima de producción para Concretec. 0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS Ladrillo Tipo 1 Ladrillo Tipo 2 [Hr/Und] [Hr/Und] Mezcla y modelado Secado Horneado Utilidad [Bs/und]

Disponibilidad [Hr]

2

3

15

0 1

2 1

6 6

10

12

1. DEFINIR LAS VARIABLES X1 = Cantidad a producir Ladrillo tipo I [Und] X2 = Cantidad a producir Ladrilo tipo II [Und] 2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES MEZCLA Y MOLDEADO SECADO HORNEADO

3.

2X1 + 3X2 2X2 X1 + X 2 X1, X2

≤ ≤ ≤ 

15 6 6 0

DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIVO Maximizar Z = 10X1 + 12X2

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MÉTODO GRÁFICO Resuelva el siguiente problema: Max z = 10X1 + 12X2 2X1 +

3X2

X1 +

2X2 X2

  

15 6 6

Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo.

1. PASO: Llevar a la forma de igualdad las restricciones:  = 2X1 + 3X2 15

X1 +

2X2

=

6



X2

=

6



2. PASO: Nota: No olvide que el método Gráfico permite resolver únicamente problemas con 2 variables.

Despejar la variable Y, si es posible, de cada ecuación: 2 X  5 X 2 3 1 X 3 2 X  6-X 2 1

3. PASO:

Nota: La zona factible, se identifica fácilmente por ser la zona más rayada o sombreada del gráfico.

Graficar cada ecuación y sombrear el área que corresponda, hacia arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda…de cada recta. 4. PASO: Identificar el área o zona factible. Esta es el área común a todas las inecuaciones.

5. PASO: Identificar con letras mayúsculas, a través de una inspección visual, los vértices del área factible. En nuestro ejemplo estos son los puntos resaltados con un círculo negro.

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6. PASO: Encontrar las coordenadas de los vértices anteriores. En la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a solucionar un sistema de ecuaciones y en otros se podrá encontrar estos puntos por simple inspección visual. Por inspección visual, las coordenadas son: A (0,0) B (0,3) C (3,3) D (6,0)

7. PASO: Reemplazamos cada una de las coordenadas en la función objetivo y elegimos el mayor resultado porque estamos maximizando: Z =10X + 12Y A (0,0)…..Z = 10x0 + 12x0 = 0 B (0,3)…..Z = 10x0 + 12x3 = 36 C (3,3)…..Z = 10x3 + 12x3 = 66 D(6,0)…..Z =10x6 +12x0 = 60



Interpretación: Para maximizar las utilidades a 66 Bs se tendrá que producir 3 ladrillos Tipo I y 3 ladrillos Tipo II

17

METODO SIMPLEX Max z = 10X1 + 2X1 + X1 +

12X2 3X2 2X2 X2 X1, X2

Nota: Es bueno avisarle que, el método que se describe es solamente para maximizar y cuando todas las restricciones son  (menores iguales).

 15  6  6  0

1. PASO: Igualar la Función Objetivo (FO) a cero y llevar a la forma de igualdad a las restricciones: -10X1 2X1

-12X2 +3X2 2X2 +X2

X1 2. PASO:

+H3 +H4 +H5

= = = =

0 15 6 6

Nota: Para realiza este proceso, utilizaremos un teorema matemático que dice: “toda desigualdad se puede convertir en igualdad sumando un variable al lado izq. de la restricción”

TABLA INICIAL

Llevar los coeficientes de estas variables a una tabla, tal como se muestra abajo, donde la 1° fila es la FO y las demás filas son las igualdades del paso anterior: X1 -10 2 0 1

X2 -12 3 2 1

H3 0 1 0 0

H4 0 0 1 0

H5 0 0 0 1

LD 0 15 6 6

3. PASO: Ubicar, en la FO el valor más negativo, en nuestro caso este valor corresponde al 12, observe: X1 -10 2 0 1

X2 -12 3 2 1

H3 0 1 0 0

H4 0 0 1 0

H5 0 0 0 1

LD 0 15 6 6

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4. PASO:

ELEMENTO PIVOTE

Marcar la columna del valor anterior y determinar las razones para cada igualdad, para esto dividir el lado derecho LD entre los coeficientes de la columna marcada (columna X2 en este caso) de la siguiente manera: X2 -12 3 2 1

LD 0 15 6 6

15  3 = 5 62=3 61=6



5. PASO: Convertir el ELEMENTO PIVOTE en 1, dividiendo toda la fila por el mismo (dividiremos por 2 en este caso). Nota: X1 -10 2 0/2 1

X2 -12 3 2/2 1

H3 0 1 0/2 0

H4 0 0 1/2 0

H5 0 0 0/2 1

LD 0 15 6/2 6

H5 0 0 0 1

LD 0 15 3 6

Si no existiesen valores negativos en está fila el Método Simplex termina, interpretamos la tabla y determinamos la solución.

Entonces tendremos: X1 -10 2 0 1

X2 -12 3 1 1

H3 0 1 0 0

H4 0 0 1/2 0

6. PASO: Convertir todos los elementos de la COLUMNA PIVOTE en cero o positivos, a través de operaciones en fila. El resultado es: X1 -10 2 0 1

X2 0 0 1 0

H3 0 1 0 0

H4 6 -3/2 1/2 -1/2

H5 0 0 0 1

LD 36 6 3 3

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7. PASO:

¿ES LA SOLUCION OPTIMA?

Para determinar esto, debemos observar la fila de la FO, y preguntarnos si existen todavía valores negativos. Observemos la tabla anterior: X1 -10 2 0 1

X2 0 0 1 0

H3 0 1 0 0

H4 6 -3/2 1/2 -1/2

H5 0 0 0 1

LD 36 6 3 3

Como verá, existe un valor negativo todavía (el 10) y se deberán realizar todos los pasos, otra vez, a partir del 4° (el cual consiste en determinar el nuevo ELEMENTO PIVOTE) A continuación, se resume todo lo que hemos hecho, más el proceso completo: TABLA INICIAL: X1 X2 H3 H4 H5 LD 0 0 0 0 10 12 2 3 1 0 0 15 0 2 0 1 0 6 1 1 0 0 1 6 RESULTADO DE LA PRIMERA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 LD -10 0 0 6 0 36 2 0 1 -3/2 0 6 0 1 0 1/2 0 3 1 0 0 -1/2 1 3 RESULTADO DE LA SEGUNDA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 LD 0 0 5 -3/2 0 66 1 0 1/2 -3/4 0 3 0 1 0 1/2 0 3 0 0 -1/2 1/4 1 0 RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 LD 0 0 2 0 6 66 1 0 -1 0 3 3 0 1 1 0 -2 3 0 0 -2 1 4 0

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8. PASO FINAL: INTERPRETACION Para interpretar se ubican aquellas columnas en las que hubiera 1 y 0 solamente, observe: RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION: X1 X2 H3 H4 0 0 2 0 1 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 -2 1

H5 6 3 -2 4

LD 66 3 3 0

El valor de la FO corresponde al valor de la esquina superior derecha de la tabla anterior: Max Z = 66

X1 = 3

X2 = 3

H3 = 0

H4 = 0

H5 = 0

Para maximizar las utilidades a 66 Bs se tendrá que producir 3 ladrillos Tipo I y 3 ladrillos Tipo II, siendo los valores de las holguras del proceso de mezcla y modelado, secado y horneado recursos escasos. PRECIOS SOMBRA Observe: Los precios sombra en el renglón Z corresponden a: Y1 = 2 Bs/Hr Y2 = 0 Bs/Hr Y3 = 6 Bs/Hr

X1 0 1 0 0

X2 0 0 1 0

H3 2 -1 1 -2

H4 0 0 0 1

H5 6 3 -2 4

LD 66 3 3 0

También el precio sombra determina el valor marginal o la tasa a la cual aumentará la función objetivo si es que se incrementa el recurso:

Z'  Z  Yi  No de unidades Por ejemplo: Si el recurso mezcla y modelado se aumenta en 1 unidad (1hora), entonces la función objetivo aumentará en: Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 21= 68 Bs Si el recurso secado se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la función objetivo aumentará en: Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 01= 66 Bs Si el recurso horneado se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la función objetivo aumenta en: Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 +61=72 Bs Al realizar el análisis de sensibilidad si se desea aumentar una hora adicional de trabajo se recomienda el proceso de horneado donde se obtiene una mayor utilidad

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METODO SIMPLEX (CASO MINIMIZACIÓN) Directamente no se lo puede resolver un problema de minimización. No obstante, se lo convierte en una maximización y se resuelve como si fuera una maximización, después se cambia “-Z” a Min “Z”. Es decir: Min ( Z ) = Max ( - Z ) Para plantear una solución básica factible, tanto en una minimización como en una maximización se deben considerara el signo de cada restricción siguiendo la siguiente regla: Signo Variables Sumar una variable Artificial = Sumar una variable Artificial y restar ≥ una variable de Holgura. Sumar una variable de Holgura ≤ Restricciones =

Ecuaciones +A

FO Max FO Min - MA + MA



-H + A

- MA

+ MA



+H

--------

-------

MINIMIZACIÓN EJEMPLO 1 Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + X3 Restricciones: X1 + X2 3X1 + X2 + X3 X1, X2, X3

= ≥ ≥

7 10 0

La forma estándar de este modelo es: Nota: En los casos de minimización. En la Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + X3 función objetivo se asigna a las variables Artificiales un coeficiente positivo que representa un valor Maximizar ( - Z ) = - 3X1 - 2X2 - X3 - M A4 - MA6 muy grande (M). Llevar a la forma de igualdad: En casos de maximización se asigna a las Variables Artificiales un F.O => 3X1 + 2X2 + X3 + M A4 + MA6 coeficiente = 0 negativo (-M).

Restricciones

X1 3X1 X1 ,

+X2 +X2 + X3 X2 , X3 ,

+ A4 A4 ,

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- H5 H5,

+ A6 A6

= 7 = 10 ≥ 0

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Tabla Inicial: X1 3 1 3

X2 2 1 1

X3 1 0 1

A4 M 1 0

H5 0 0 -1

A6 M 0 1

LD 0 7 10

Eliminando las M de la función Objetivo de la tabla inicial se tiene: X1 X2 X3 A4 H5 A6 LD 3 – 4M 2 – 2M 1 - M 0 M 0 -17M 1 1 0 1 0 0 7 3 1 1 0 -1 1 10 Se asigna un valor muy grande para M, por ejemplo, si M=100, entonces se tiene: X1 X2 X3 A4 H5 A6 LD -397 -198 -99 0 100 0 -1700 1 1 0 1 0 0 7 3 1 1 0 -1 1 10 Se resuelve con el método Simplex caso maximizar, se tiene la siguiente tabla: Resultado de la Primera Iteración: X1 X2 X3 A4 0 -197/3 100/3 0 0 2/3 -1/3 1 1 1/3 1/3 0

H5 -97/3 1/3 -1/3

A6 397/3 -1/3 1/3

LD -1130/3 11/3 10/3

Resultado de la Segunda Iteración: X1 X2 X3 A4 0 0 1/2 197/1 0 1 -1/2 3/2 1 0 1/2 -1/2

H5 1/2 ½ -1/2

A6 597/2 -1/2 1/2

LD -31/2 11/2 3/2

SOLUCIÓN X1 = 3/2 X2 = 11/2 X3 = 0 A4 = 0 H5 = 0 A6 = 0 Min Z = 31/2

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Ejercicios Propuestos: Resuelva los siguientes problemas de minimización: a)

b)

Minimizar Z = 2X1 + 3X2 Restricciones: 2X1 + 2X2 ≤ 30 X1 + 2X2 ≥ 10 X1, X2 ≥ 0

Minimizar

Resp a)

X1 = 0 X2 = 5 H1 = 20 H2 = 0 A3 = 0 Z = 15

Z = 5X1 + 6X2

Restricciones:

2X1 + X2 ≥ 2 4X1 + X2 ≥ 4 X1, X2 ≥ 0 Resp b)

X1 = 1 X2 = 0 H3 = 0 A4 = 0 H5 = 4 A6 = 0 Z =5

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1.

PRÁCTICO No 1 Resuelva el siguiente programa lineal: Max z = x1 1x1 3x1

+ + +

x2 2x2 2x2 x1 , x2

  

6 12 0

A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? 2.

Considere el siguiente programa lineal: Min z = 4x1 4x1 6x1 8x1

+ + + +

5x2 4x2 3x2 5x2 x1 , x2

   

20 24 40 0

A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? 3.

Considere el siguiente programa lineal: Max z = 3x1 2x1 2x1 6x1

+ + + +

4x2 4x2 4x2 3x2 x1 , x2

   

16 24 48 0

A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? 4.

Considere el siguiente programa lineal: Min z = 4E E E 5E 3E

+

3F

+ + +

2F F 2F 6F E,F

     

F 2E 4 20 24 0

A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible?

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PRÁCTICO No 2 1.

Resuelva el siguiente problema a través del método simplex. Maximizar: Z=

-X1

+

X2

+

2X3

X1

+

2X2

-

X3

≤

10

-2X1 2X1

+ +

4X2 3X2

+ +

2X3 X3

≤ ≤

40 30



0

Sujeta a:

X1 , X2 , X3 2.

Resuelva el siguiente problema a través del método simplex. Maximizar Z=

30X1

+

12X2

+

15X3

9X1

+

3X2

+

5X3

≤

500

5X1 3X1

+ +

4X2

+ 2X3

≤ ≤

350 150



0

Sujeta a:

X1 , X2 , X3 3.

Resuelva el siguiente problema a través del método simplex. Maximizar Z=

3000X1

+

2000X2

X1 2X1 -X1

+ + +

2X2 X2 X2

≤ ≤ ≤

6 8 1

X2

≤

2

X1 , X2



0

Sujeta a:

4.

Resuelva el siguiente problema a través del Método Simplex. Minimizar Z=

2X1

+

2X2

X1 X1

+ +

1X2 2X2

-X1

+ X2 X1 , X2

Sujeta a:

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= ≥

10 8

≤

2 0



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PRÁCTICO No 3

Formule los siguientes problemas como un modelo matemático de programación lineal: 1. Una fábrica de artículos del hogar manufactura 2 artefactos A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden, que son: maquinado, armado y montaje. Las disponibilidades de minutos diarios de cada proceso son: 480, 600 y 540 respectivamente. El artefacto A deja un beneficio de 100 $/unidad, en tanto que el B proporciona 120 $/unidad. En el proceso de maquinado se utilizan 4 minutos por cada unidad de artefacto A y 8 minutos por cada unidad de artefacto B. En el proceso de armado se utilizan 5 y 6 minutos respectivamente. Y finalmente, en el proceso de montaje se utilizan 12 y 8 minutos respectivamente. 2. Una pequeña carpintería está planeando la producción el presente mes. Actualmente opera con solo dos productos puertas y ventanas. La mano de obra disponible para el presente mes es de 400 h-hom Cada puerta requiere 4 h-hom y tiene una contribución unitaria de 35 Bs., Una ventana requiere de 3 h-hom y tiene una contribución unitaria de 25 Bs. De acuerdo a sus ventas pasadas se tiene previsto vender hasta 70 puertas y 120 ventanas. 3. Una pequeña fábrica produce pinturas para interiores y exteriores de casas, para su distribución al mayoreo. Se utilizan 2 materias primas A y B para producir estas pinturas. Los requisitos diarios de materia prima por tonelada de pintura se resumen en la siguiente tabla: Toneladas de materia prima por tonelada de pintura Pintura Pintura Disponibilidad de de máxima por día exterior interior Materia prima A 1 2 6 Materia prima B 2 1 8 Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio también revela que la demanda de pintura para interiores esta limitada a menos de dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es de 300$ y 200$ para pintura de exteriores e interiores, respectivamente. 4. Una compañía, que opera 10 horas al día, fabrica cada uno de 2 productos en tres máquinas diferentes (En donde el proceso es secuencial). La tabla siguiente resume los datos del problema: Producto 1 2

Maquina 1 (Min/ unidad) 10 5

Maquina2 (Min/ unidad) 6 20

Maquina3 (Min/ unidad) 8 10

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Utilidad ($/unidad) 2 3

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5. INDUSTRIAS DEL CAMPO, tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: LECHE MANTEQUILLA QUESO DESCREMADA MAQUINA 1 2 min / litro 5 min / Kg 2 min / Kg MAQUINA 2 3 min / litro 7 min / Kg 2 min / Kg UTILIDAD: 3 Bs / litro 2 Bs / Kg 4 Bs / Kg Suponiendo que se dispone de 8 horas diarias en cada máquina, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias y produzca un mínimo de 300 litros de leche descremada, 200 Kg. de mantequilla y 100 Kg. de queso 6. Una institución educativa ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece son de dos tipos: prácticos, como los trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanísticos como historia, música y bellas artes. Para satisfacer la demanda de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. Se calcula que los ingresos por ofrecer estos cursos son aprox. 1500 y 1000 Bs. por curso, respectivamente. Formule un modelo para que la institución asigne los 30 cursos. 7. Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce 2 modelos de juguetes A y B. La tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo. MINUTOS POR UNIDAD ESTACION MODELO A MODELO B DE TRABAJO 1 6 4 2 5 5 3 4 6 COSTO: 20 25 BS/UNID

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%, 14% y 12%, respectivamente, del máximo de 480 minutos disponible para cada día. Se contrata a su persona para determinar la mezcla óptima de productos que minimice los costos de producción.

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8. Un fabricante produce 3 modelos I, II y II de cierto producto utilizando las materias primas A y B. la siguiente tabla proporciona los datos del problema: REQUERIMIENTOS POR UNIDAD I II III 2 3 5 4 2 7 200 200 150 30 20 50

Materia prima A B Demanda mínima Costo ($/ unidad )

DISPONIBILIDAD 400 600

9. BG BOLIVIA puede producir dos tipos de petróleo crudo: petróleo ligero a un costo de 25 $/barril y petróleo pesado a 22 $/barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, diesel y kerosén. La tabla siguiente indica las cantidades en barriles de gasolina, diesel y kerosén producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: Barril de gasolina/ barril de crudo

Barril de diesel/ barril de crudo

Barril de kerosén/ barril de crudo

0.45

0.18

0.30

0.35

0.36

0.20

Crudo ligero Crudo pesado

La refinería de BG se ha comprometido a entregar 1260 barriles de gasolina, 900 barriles de diesel y 300 barriles de kerosén. Como gerente de producción formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo a producir. 10. En Muebles Hurtado debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia decidió reorganizar la línea de producción. A partir de hoy se van a producir puertas y ventanas de mara. Después de hacer algunas investigaciones el departamento de IO determinó en un cuadro las capacidades y requerimientos de los productos, así como las utilidades unitarias: PRODUCTO VENTANA

PUERTA

CAPACIDAD DISPONIBLE

MADERA

2 m3/Unid

4 m3/Unid

24 m3

BARNIZ

--

2 litros/Unid

8 litros

HORA MAQUINA

1 hora/ unidad

1 hora/ unidad

10 horas

UTILIDAD[$U$/ Unid]

20

25

¿Qué cantidad de Ventanas y puertas deben producir para maximizar sus utilidades?

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11. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 $us cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. (Como se observa en la siguiente tabla) ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Paseo Montaña

Acero 1 2

Aluminio 3 2

12. Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran 4 componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios Producto P1 P2 Disponibilidad [kg] Componente A 1 3 15 B 2 1 10 C 2 2 12 D 1 1 10 Utilidad [$us/und] 4 3 13. Una fábrica pequeña de juguetes produce pelotas de basketball y de voleyball. Los recursos disponibles semanales son 20 pies cuadrados de cuero y 18 horas de máquina. Los requerimientos de recursos por cada unidad de los dos tipos de pelotas así como la ganancia se muestran en el siguiente cuadro: Prod1 Prod2 Pelota de Pelota de Disponibilidad Basketball Boleyball Hr – Maquina 3 2 18 No de pies cuadrados 2 1 20 de cuero Utilidad [$us/und] 200 150 ¿Qué cantidad de pelotas de basketball y boleyball debe producir la fábrica de juguetes?

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14. La CIA. REPCO tiene una pequeña planta que se limita a 2 productos industriales A y B. El departamento de producción ha calculado las utilidades unitarias de cada producto como así los requerimientos de tiempo de estos y el tiempo total disponible en cada departamento. Producto Industrial A 2 3 1 10

Dpto. [Hr/und] I II III Utilidad [Bs/und]

Producto Industrial B 3 2 1 12

Horas disponibles

150 150 60

15. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 secciones. En la sección A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la sección B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 600 $us. y de 300 $us. por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? 16. Una compañía camionera tiene tres tipos de camiones: I, II y III. Estos camiones están equipados para transportar dos tipos diferentes de máquinas en cada carga, de acuerdo a la siguiente tabla: MÁQUINA

TIPO I

TIPO II

TIPO III

A

1

1

1

B

2

1

1

Los camiones del tipo I,II y III cuestan 400$us, 600$us y 900$us, respectivamente. Se requiere determinar cuántos camiones de cada tipo se deben usar para transportar igual a 12 máquinas del tipo A, por lo menos 16 máquinas del tipo B. (M=1000) 17. Muebles Hurtado fabrica 2 clases de sillones cada una de ellas requiere una técnica diferente de fabricación. El sillón de lujo requiere 40 Hr de mano de obra, 20 Hr de maquinado y produce una utilidad de 50 $us; el sillón estándar requiere 30 Hr de mano de obra, 40 Hr de maquinado y produce una utilidad de 80$us; Se dispone 1800 Hr de mano de obra y 1500 Hr de maquinado cada mes. ¿Cuántos sillones de lujo y estándar tiene que fabricar?

Aplicación de lo aprendido En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando todos los temas aprendidos en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.

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Unidad 3 Modelos de Transporte Objetivos de aprendizaje: 

Reconocer la estructura de un problema de transporte.



Plantear un problema de transporte utilizando las técnicas de la programación lineal y obtener soluciones por los métodos de transporte.

Investigación 1. ¿Cómo definiría un modelo de transporte? 2. ¿Cuál es el algoritmo en que se basa un modelo de transporte? 3. 4. 5.

¿Qué se necesita aumentar para balancear un modelo de transporte? ¿Qué métodos se utilizan para resolver un modelo de transporte? Explica brevemente cada uno. ¿Qué software son útiles para resolver un modelo de transporte?

EJEMPLO 1 “La compañía de computación “Cruz SRL”, está distribuida en la red troncal del país. (Santa Cruz - Cochabamba - La Paz). La sucursal de Cochabamba, tiene una capacidad de producción anual de 2000 unidades. Cada una de las otras, pueden producir un máximo de 1700 unidades al año. Estas computadoras, se venden en cuatro tiendas detallistas del país, ubicados en el Beni, Oruro, Tarija y Pando respectivamente. Estas tiendas tienen anualmente los siguientes pedidos: Beni ==> 1700 Computadoras al año Oruro ==> 1000 Computadoras al año Tarija ==> 1500 Computadoras al año Pando ==> 1200 Computadoras al año Los costos de transporte de la empresa “Cruz SRL”, desde la planta de ensamblado hasta cada tienda detallista, por cada computadora, viene dada en el siguiente cuadro. Planta Ensambladora Santa Cruz

Tiendas detallistas ubicadas en Beni Oruro Tarija Pando 5 3 2 6

Cochabamba

4

7

8

10

La Paz

6

5

3

8

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Paso 1

Diagrama de redes de transporte

Orígen (Salida)

Destino (Llegada) Beni 5 D1 1700

x11 1700

O1

4 6

x12 x13

3

Santa x14 Cruz x21 x22 2000 O2 x23 x24 Cochabamx31 x32 ba x33 1700 O3 x34

7

Oruro D2

1000

5 2 8 3

Tarija D3

1500

6

1 08

La Paz

Pand D4 o 1200

Paso 2: (Identificación de Variables) Pueden ser: xST = x13 = Número de computadoras enviadas desde Santa Cruz hasta Tarija. Planta Ensambladora Santa Cruz

Tiendas detallistas ubicadas en Beni Oruro Tarija Pando x11 x12 X13 x14

Cochabamba

x21

x22

X23

x24

La Paz

x31

x32

X33

x34

Paso 3: (Identificación de la función objetivo) Forma verbal: “Minimizar los costos de transporte desde la planta ensambladora a cada una de las tiendas de venta”. Descomposición:  Costo de transporte   Costo de transporte   Costo de transporte      Minimizar    desde Cochabamba    desde LaPaz  desde Santa Cruz      

Paso 4: Identificación de las restricciones “La cantidad transportada no debe exceder la capacidad de la fábrica.” x11 + x12 + x13 + x14 ≤1700 (Santa Cruz) x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 2000 (Cochabamba) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 1700 (La Paz) “La cantidad transportada no debe satisfacer su demanda.”

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x11 + x21 + x31 = 1700 (Beni) x12 + x22 + x32 = 1000 (Oruro) x13 + x23 + x33 = 1500 (Tarija) x14 + x24 + x34 = 1200 (Pando) Paso 5: (Método de solución) Hay muchos métodos en la actualidad, entre los principales tenemos: a) Esquina Noroeste, b) Matriz mínima, c ) Método de Vogel Nota.- Los problemas de transporte no equilibrada, se verán más adelante. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba La Paz Demanda

5

3

2

6

4

7

8

1 0

6

5

3

8

1700

1000

1500

1700 2000 1700 Costo mínimo de transporte

1200

Hay que seguir los siguientes pasos: Paso 6A: Hallar el plan de transporte inicial a) Identifique la celda, donde el costo sea el más barato. Si hay más de uno, se elige al azar. Ej. Fila 1 y columna 3, costo de 2 $us./Unidad.

Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba La Paz

5

3

2

6

4

7

8

10

6

5

3

8

1700 200

1500

2000 1700

1500 Demanda

1700

1000

1200 0

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Costo mínimo de transporte

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b) Envíe cuantas unidades le sea posible en esa celda, siempre y cuando sea el número menor, entre el suministro y la demanda. b) Anule la fila o la columna donde el resultado, después de la resta, sea 0 (cero). c) Si en ambos lugares (suministro y demanda) dan cero, se convierte en un caso especial de DEGENERACIÓN, que se analizará por separada. (Pg. 14) Se repite el proceso hasta obtener: m + n -1 ---> Celdas no vacías y sin ciclo alguno 3 + 4 – 1 = 6 Celdas, no vacías. Luego se busca el siguiente de menor costo, celda 3, está en fila 1 columna 2. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba La Paz

5

3

2 200

6

200 0

1500

4

7

8

10

6

5

3

8

2000 1700

1000 Demanda

1700

1200

Costo mínimo de transporte

Pando

Suministro

0

800

El siguiente número mayor, es 4, es decir, Fila 1 y Columna 1: Llegada Beni

Oruro

Tarija

Salida Santa Cruz Cochabamba La Paz

5

3

2 200

4 1700 7 6

5 1700

Demanda 0

800

6

8

10

3

8

800 0

0

1500

0

300

2000 300

1700 900 Costo 1200 mínimo de transporte 900

El siguiente es el número 5, o sea, fila 3, columna 2; para luego seguir con el número 8, fila 3, columna 4 y finalmente, el sin valor, marcar el número 10, que está en la fila 2, columna 4. Luego de ello, como ya no quedan más filas y/o columnas por tachar, queda:

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Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida 5

Santa Cruz

4

Cochabamba

3

1700

6

La Paz Demanda

7 5

1700

2

200

800 1000

1500

6

8

10

3

8 1500

1700 300

2000

900

1700

1200

24600

Costo total de transporte. f(x) = 3*200 + 2*1300 + 4*1700 + 10+300 + 5*800 + 8*900 = 24600 $us. Veamos si estamos en lo correcto: Cumple con m + n – 1? Si hay 6 celdas no vacías, forman un ciclo? No. Paso 6B: Prueba de optimalidad. Se quiere comprobar, si verdaderamente ese es el costo mínimo de transporte, es decir, si está bien distribuido el envío. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5

+1

Demanda

-1 200

4 1700 7 6

La Paz

3

5 1700

2

1500

1000

1700

10 +1 300

8 800

6

3

8

2000

-1

1700

900 1500

1200

24600

Costo reducido a 5 – 3 + 5 – 8 + 10 - 4 = +5 y esto, qué significa? Pues que se quiere aumentar en el transporte desde Santa Cruz al Beni, ya que por cada unidad aumentada, el costo aumenta en 5 $us..

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36

Qué pasa si aumentamos en la otra celda vacía de la fila 1 columna 4? Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5

3

4 1700 7 6

La Paz

-1 200

Demanda

5 1700

2

+1

10 +1 300

8

+1800

6

1500

3

-1

8

900

1000

1500

1200

1700 2000 1700 24600

Costo reducido = 6 – 3 + 5 – 8 = 0 En este caso, no modifica en nada el proceso, así se resuelve para todas las celdas vacías, quedando el siguiente cuadro. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

Demanda

+5

3

+4 1700

2 200

4 1700 7 6

La Paz



5

5

+0 800

8 3

1000

1500

+2 -1 1500

6 10

1700 300

8 900 1200

2000 1700 24600

La prueba de optimabilidad, consiste en verificar si que no haya salido ningún número negativo en las celdas vacías. De no ser así (fila 3, columna 3) el plan no es óptimo, es decir, que existe otro plan que sale más barato que el actual (24600 $us.)

Paso 6C: Cambio hacia un plan de transporte mejorado Como ya se ha determinado, 24600 $us., no es el costo mínimo, entonces se procede de la siguiente manera. a) Identifique el ciclo donde existe el número negativo. 2 + 3 – 2 + 3 – 5 = -1

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

37

Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba La Paz

5

-1 6

3 +1 200 4 1700 7

2 8

10

6

3

8

5 1700

300

800

+1

900

1000

1500

1200

-1

Demanda

1700

1500

2000 1700 24600

Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

3 +1 2 1000 4 1700 7 8 6

La Paz

-1 6

5

Demanda

5 1700

1700

700 10

3

300

8

Vacía

800+1

900

1000

1500

1200

2000 1700 23800

Costo mínimo: 3*100 + 2*700 + 4*1700 + 10*300 + 3*800 + 8*900 = 23800 b) Calcule nuevamente el costo mínimo y vea que efectivamente, es más barato que el anterior. c) En función al cambio establecido, vea con los ciclos de las celdas vacías, si efectivamente es el más barato. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5 4

170 0

-1 6

2

700

1000

6

La Paz

3 7

8

5

10

3

1700

1000

300

8 800

900-1

1500

1200

+1

Demanda

+1

1700 2000 1700 23800

+ 6 – 2 + 3 – 8 = + 9 – 10 = -1 Nota.- Fíjese que salió negativo, lo que quiere decir, que existe un plan más barato que 23800.

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

38

d) Trasladar el valor más pequeño del ciclo (valor negativo) Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5

2

6

1000 4 6

La Paz

3

Demanda

170 0

7

8

5

1700

700

700 10

3

300

8

1000

1500

900

1500

1200

1700 2000 1700 23100

e) Calcular el costo nuevamente: 3*1000 + 6*700 + 4*1700 + 10*300 + 3*1500 + 8*200 = 23100 $us. b) Calcular nuevamente los ciclos de las celdas vacías, para ver si siguen saliendo celdas negativas. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5 4 6

+1 170 -1 0

3

1000

7

2 8

5

3 -1

1700

1000

700 -1 +1

10 +1

La Paz Demanda

6

-1

300

1700 2000

8 1500 1000

1700

+1

900 1200

23100

+ 5 – 6 + 10 – 4 = + 5 + 8 – 10 + 8 – 3 = + 3 c) Del mismo modo se busca para las demás celdas vacías, quedando:

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

39

Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida 5

Santa Cruz Cochabamba

4 6

La Paz Demanda

+5 170 0 +4

3

1000

7

+0

5

1700

+0

2 8 3

1000

6

+1 +3

10 8

1500 1500

700

1700

300

2000

200

1700

1200

23100

Nota.- Ya no hay valores negativos, lo que quiere decir que 23100 $us., es el costo de transporte más barato. ¿Hay otras alternativas o rutas que tengan el mismo costo? Si, son aquellos donde el ciclo da cero (celda vacía), en éste caso existen dos, y son: Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida 5

Santa Cruz

3

2

6

-11000

Cochabamba

4 6

170 0

7

+1 8

10

-1

+1 5

3

700

1700

300

2000

8

La Paz

1700

Demanda

1700

1000

1500

200

1500

1200

23100

+ 7 – 10 + 6 – 3 = 0 (No aumenta el costo) Entonces, si aumenta en uno, puedo hacerlo para 10, 100, etc., hasta llegar a mi número menor del ciclo, en este caso (300); quedando:

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

40

Nuevo plan de transporte/mismo costo Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5

3

2

6

8

10

3

8

700 4 6

7

170 0

300 5

100 0

1700

300

2000

La Paz

1700

Demanda

1700

1000

1500

200

1500

1200

23100

Costo: 4*1700 + 3*700 + 7*300 + 3*1500 + 6*100 + 8*200= 23100 Como podemos apreciar, cumple con la condición m + n - 1 ≤ al # de celdas no vacías. Asimismo, las celdas llenas no forman ciclos. Calculo de costos reducidos mediante el método MODI (Método de Distribución Modificada) Este método tiene la misma aplicación del ciclo. Para verificar si el costo encontrado efectivamente es el mínimo, se procede: a) Se le da una variable (ui) a cada celda de la columna. b) Se le da una variable (vj) a cada celda de la columna. c) Se hace un sistema de ecuaciones, utilizando la suma de ambos métodos, igualando con el número de la celda no vacía. d) Como el número de ecuaciones es menor al número de variables, se hace cero una de ellas, en forma arbitraria. Llegada Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida 5 Santa Cruz

Cochabamba La Paz Demanda

3 u1 + v2 = 3 2 u1 + v3 = 2 6 u1 + v1 = 5 700 1500 u1 + v4 = 6 5-0-0=5 6-0-6=0 3-0–3= 2-0-2= 0 0 4 7 8 10 1700 300 u2 + v2 = 7 u2 + v3 = 8 u2 + v1 = 4 u2 + v4 = 10 6 5 3 U3 + v3 = 8 800 900 U3 + v1 = 6 3 U3 + v2 = 5 U3 + v4 = 8 1700

1000

1500

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

1200

1700

2000 1700 24600

41

Plan de transporte inicial Ej. Fila 1 columna 1  u1 + v1 Fila 2 columna 3  u2 + v3 e) Armar las ecuaciones de las celdas llenas u1 + v2 = 3 u1 + v3 = 2 u2 + v1 = 4

u2 + v4 = 10 u3 + v2 = 5 u3 + v4 = 8

7 Variables y 6 ecuaciones f)

Hacer cero cualquiera de ellas. Ej. u1 = 0ll y encontrar todos los demás. u1 +0v2 = 3

==>

v2 = 3l

u1 +0v2 = 2

==>

v3 = 2l

u3 + v2 = 5

==>

U

u3 + 3 = 5

==>

u3 = 2l

u3 + v4 = 8

==>

V4 = 8 – 2 ==>

u2 + v4 = 10

==>

u 2 = 10 – 6 ==>

u2 + v1 = 4

==>

v1 = 4 – 4 ==>

v4 = 6l u2 = 4l v1 = 0l

Quedando como resultado: Llegada

Beni

Oruro

Tarija

Pando

Suministro

Salida Santa Cruz Cochabamba

5 4 6

La Paz Demanda

+5 1700 +4 1700

3 7 5

200 +0 800

2 8 3

1000

1500 +2 -1

6 10 8

1500

+0

1700

300

2000

900

1700

1200

24600

Nota.- Fíjese que queda ídem al anterior, es decir, sale un número negativo, por lo tanto 24600 $us., no es el costo mínimo, se busca usando el ciclo.

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

42

PRÁCTICO No 4

1.

Una compañía tiene 3 campos petroliferos y cinco refinerias regionales. En la siguiente tabla se indica los costos de transporte de 100 barriles/dia desde los campos hasta las refinerias. Las capacidades de las refinerias y la produccion de los tres campos. REFINERIAS PRODUCCION en CAMPOS A B C D E centena de barriles por dia 1 42 32 33 39 36 200 2 34 36 37 32 34 200 3 38 31 40 35 35 300 DEMANDA en centenada barriles 100. 120 140 160 180 por dia

2.

APOLO CONTRUCCIONES, realiza obras civiles dentro de la industria petrolera. Recientemente la empresa gano una licitación con 3 obras, una en Bulo-Bulo, otra en Yacuiba y la tercera en Camiri. Para realizar estas obras, la empresa debe enviar 3 tractores a Bulo-Bulo, 2 a Yacuiba y 3 a Camiri. Actualmente la empresa dispone de 4 tractores en las oficinas de Santa Cruz y 4 en la zona de Villamontes. La empresa ha contactado a diferentes empresas de transporte para realizar en traslado de las maquinarias desde su ubicación actual a las diferentes obras. Obteniendo la siguiente información de costos en Bs ( se han omitido 2 ceros) : Hacia

3.

Desde

BuloBulo

Yacuiba

Camiri

Santa Cruz

10

8

9

Villamontes

7

5

8

D.M.C. distribuidor mayorista de equipos y accesorios de computación, está distribuido en la red troncal del país. (Santa Cruz - Cochabamba - La Paz).Los costos de transporte de la empresa, desde las plantas de ensamblado hasta cada tienda detallista, por cada computadora en $U$, viene dados en el siguiente cuadro, así como las ofertas y demandas de computadoras de cada ciudad: Planta Ensambladora

Tiendas detallistas ubicadas en Beni Oruro Tarija Pando Oferta:

Santa Cruz

5

3

2

6

170

Cochabamba

4

7

8

10

200

La Paz

6

5

3

8

170

Demanda:

170

170

170

170

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

43

4.

La empresa D&P . distribuidor mayorista de productos de para cocina, debe transportar cierta mercadería. Los costos de transporte de la empresa, desde los almacenes hasta cada ciudad, vienen dados en el siguiente cuadro, así como las ofertas y las demandas de los mismos:

O1 O2 Demanda

D1 10 17 30

D2 8 15 20

D3 9 8 30

Oferta 40 50

a) Formule el planteamiento del problema b) Encuentre la solución óptima e indique el plan de envío optimo c) Encuentre el costo total mínimo, si los costos de transporte están expresados en $us/unidad y las demandas y ofertas representan unidades. 5. Una compañía tiene fábricas en Santa Cruz, Cochabamba y La Paz, las cuales proveen a los almacenes que están en Beni, Pando, Oruro y Tarija. Las capacidades mensuales de las fábricas son 70, 90 y 115 (unidades) respectivamente.

O1 O2 O3 Demanda

D1 17 15 15 50

D2 20 21 14 60

D3 23 26 15 70

D4 12 25 17 95

Oferta 70 90 115

a) Formule el planteamiento del problema b) Encuentre la solución óptima e indique el plan de envío optimo c) Encuentre el costo total mínimo, si los costos de transporte están expresados en $us/unidad y las demandas y ofertas representan unidades. 6. El ingenio Guabirá que tiene 3 almacenes reparte azúcar a 4 heladerías cuyas demandas son 6000, 4000, 2000 y 1500 (Tn) de azúcar mensual. La cantidad de azúcar que se tiene almacenada para cubrir esta demanda en cada uno de los almacenes es 5000,6000, 2500 (Tn). Encontrar el modelo de transporte que minimice el costo de transporte de esta materia prima. A continuación, se encuentran los costos (Bs/Tn) para trasladar el azúcar de los almacenes a las heladerías.

Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3

Heladería A 3 7 2

Heladería B 2 5 5

Heladería C 7 2 4

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

Heladería D 6 3 5

44

7. Industrias IOL tiene 3 zonas de producción de soya: Pailón, Guarayos y Okinawa además de 3 centros de acopio ubicados en Montero, Cotoca y Santa Cruz. Las demandas y las ofertas en toneladas se detallan a continuación, así como los costos de transporte en toneladas: Montero Cotoca Santa Cruz Oferta Pailón 5 1 2 200 Guarayos 5 6 7 330 Okinawa 3 7 6 200 Destino 200 300 500 Encontrar el modelo de transporte para distribuir la producción de soya al menor costo.

Aplicación de lo aprendido En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando todos los métodos aprendidos en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.

Unidad 4 Asignación Objetivos de aprendizaje: 

Aplicar el modelo matemático de respuesta a problemas de asignación.

Investigación 1. ¿En qué consiste un modelo de asignación? 2. ¿Cómo se resuelve un modelo de asignación? 3. ¿Qué software son útiles para resolver un modelo de transporte?

INICIO DEL PROCESO DE SOLUCION: C3

PASO1

C1

C2

A

48

48

50

44

56

60

60

68

B C D

96 42

94 44

90 54

C4

85

PASO1: Restar el elemento más pequeño de cada fila de los demás elementos de la misma a fila.

46

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

45

PASO2

C1

C2

C3

C4

4

4

6

0

B

0

4

4

12

C

11

9

5

0

D

0

2

12

4

PASO3

C1

C2

C3

C4

A

4

2

2

0

B

0

2

0

12

C

11

7

1

0

D

0

0

8

4

(Líneas horizontales y verticales)

C2

C3

C4

PASO4: PRUEBA Si el número de líneas es igual a n (N° de filas o N° de columnas) puede hacerse una asignación óptima.

A

C1

PASO4 A

4

2

2

0

B

0

2

0

12

C

11

7

1

0

D

0

0

8

4

Existen 3 líneas  4

PASO3: Verificar la optimalidad trazando el mínimo número de líneas que pueden pasar a través de todos los ceros de la última tabla.

Caso contrario se requiere continuar con el siguiente paso.

No cumple!

PASO5

C1

C2

C3

C4

A

4

2

2

0

B

0

0

12

C

11

7

1

0

D

0

0

8

4

2

PASO2: Restar el elemento más pequeño de cada columna de los demás elementos de la misma columna.

PASO5: Elegir el elemento mas pequeño que no este cruzado por una línea y: - Restar este elemento a todos los elementos no cruzados por una línea - Sumar a todos los elementos situados en las intersecciones de dos líneas.

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

46

PASO6

C1

C2

C3

C4

A

3

1

1

0

B

0

2

0

C

10

6

0

D

0

0

8

Existen 4 líneas = 4

PASO6: Realizar otra vez la prueba de las líneas que pasan por la mayor cantidad de ceros.

13 0 5

Cumple, Solución Óptima!

INTERPRETACION: El edificio A debe ser construido por la constructora C4 = El edificio B debe ser construido por la constructora C1 = El edificio C debe ser construido por la constructora C3 = El edificio D debe ser construido por la constructora C2 =

44 56 90 44 234mil$us.

Nota: Para realizar la interpretación, se ubican las celdas con ceros. Debe existir 1 asignación para cada uno.

PRÁCTICO No 5

1. Cuatro trabajadores requieren el uso de una cualesquiera de las maquinas A,B,C,D. los tiempos ( min) tomados por cada máquina para realizar cada trabajo son mostradas en la matriz siguiente: A 10 13 18 11

A B C D

b 5 19 9 6

c 9 6 12 14

d 18 12 17 19

Encontrar la asignación que minimice el tiempo total. 2. Se desea instalar cuatro fábricas: una de papel, otra de vidrio, fibra artificial y llantas. Se ha tomado la decisión de invertir en una fábrica para Montero, Cotoca, Camiri y El Torno es necesario conocer el tipo de fábrica en cada una de estas ciudades. La matriz que se muestra a continuación, muestra los costos (se han omitido 4 ceros):

Papel Vidrio Fibra Llantas

Montero 27 35 12 15

Cotoca 13 22 30 26

Camiri 26 10 40 14

El Torno 28 22 32 28

Haga la asignación óptima.

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

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3. Una compañía que vende carros tiene disponibles un Toyota, un Mitshubishi, un Chevrolet y un Suzuki. Cuatro oficinas de la compañía las solicitan. Se ha decidido enviar un solo modelo de automóvil a cada oficina de manera que el costo total sea mínimo. La matriz es la siguiente: Of.1 Of.2 Of.3 Of.4 Toyota 10 5 3 8 Mitshubishi 4 3 7 5 Chevrolet 13 10 12 14 Suzuki 7 8 4 6 ¿Cuál debe ser la asignación? 4.

El jefe de departamento de contabilidad tiene cuatro empleados nuevos a quienes debe asignar cuatro tareas que cumplirse esta semana. Cada empleado necesita el siguiente tiempo para hacer cada tarea. Cualquier empleado es capaz de realizar cualquier tarea y recíprocamente cualquier tarea puede ser asignada a cualquier empleado. La matriz de los tiempos en minutos es la siguiente:

A B C D

T1 8 13 38 39

T2 26 28 19 26

T3 17 4 18 24

T4 11 26 15 50

5. El jefe del departamento de contabilidad tiene 5 empleados nuevos a quienes debe asignar 5 tareas que deben cumplirse esta semana. Cada empleado necesita el siguiente tiempo para hacer cada tarea. Cualquier empleado es capaz de realizar cualquier tarea y recíprocamente cualquier tarea puede ser asignada a cualquier empleado como se muestra en la siguiente tabla TAREAS Empleados 1 2 3 4 5 1 5 3 7 3 4 2 5 6 12 7 8 3 2 8 3 4 5 4 9 6 10 5 6 5 3 2 1 4 5 Se pide determinar la asignación óptima.

Aplicación de lo aprendido En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando el método aprendido en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.

UTEPSA – Guía MAAP CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

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