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FACULTAD REGIONAL MULTIDICIPLINARIA DE CARAZO FAREM- CARAZO Unidad III: Límites y Continuidad Objetivos de Unidad Objetivos Conceptuales Explicar conceptos intuitivos y definiciones básicas y propiedades de límites Identificar las diferentes tipos de límites Explicar las definiciones de continuidad y asíntotas verticales y horizontales. Analizar las relaciones entre los gráficos de funciones y sus límites. Objetivos Procedimentales Aplicar definiciones básicas, y propiedades en ejercicios de límites unilaterales, bilaterales. Resolver problemas del entorno con gráficos utilizando continuidad y asíntotas. Objetivos Actitudinales Mostrar respeto por el pensamiento ajeno y seguridad en la defensa del propio con la flexibilidad para modificarlo. Ser consciente de la utilidad de los límites para resolver diferentes gráficos de funciones diversas. Contenidos CONTENIDOS CONCEPTUALES Definición y propiedades sobre límites. Limites unilaterales y bilaterales, infinitos y al infinito Definición de continuidad y asíntotas verticales y horizontales.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

CONTENIDOS ACTITUDINALES

Análisis de la definición de límite y su relación con la realidad Aplicación de las propiedades en la solución de ejercicios sobre límites.

Respeto por las ideas de sus compañeros. Interés por trabajar de manera colaborativa.

Constancia en la Resolución de gráficos búsqueda de solución aplicando las definiciones y a los problemas teoremas de continuidad y geométricos. asíntotas

MATEMÁTICA I Introducción los limites. Idea de límite de una función en un punto

Observa la gráfica de la siguiente función 1 𝑥 𝑓(𝑥) = ( ) 2 Al analizar la función y graficarla tenemos que x -1 y

2

-0.5

-0.1

-0.001

0

1

5

10

1.41421 1.071773 1.000693 1 0.5 0.03125 0.000976

En la gráfica de la función se observa que a medida que los valores de x están más próximos a cero los valores de la función se “aproximan” más a uno. Observa la gráfica de esta otra función: 𝑔(𝑥) =

MATEMÁTICA I

1 𝑥−1

DR. LEONEL MENDIETA

MATEMÁTICA I

Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a 1 los valores de 𝑔(𝑥) se hacen cada vez mayores. Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores: X

0

0.9 0.99 0.999

1

Y -1 -10 -100 -1000 NED

1.001 1.01 1.1 2 1000

100

10

1

Todos estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite de una función. Definición Informal de Límite Sea a en un intervalo abierto, y sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a, y L un número real. Entonces: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎

Significa que 𝑓(𝑥) puede acercarse arbitrariamente a L si x se exige suficientemente cercano a a (pero 𝑥 ≠ 𝑎) Sea la función 𝑦 = 𝑥 2 . Si x tiende a 2 a qué valor se aproxima y: x  2y

MATEMÁTICA I

1.8

1.9

1.99

1.999

3.24 3.61 3.9601 3.996001

DR. LEONEL MENDIETA

MATEMÁTICA I x  2+ y

2.2

2.1

2.01

2.001

4.84 4.41 4.0401 4.004001

Luego cuando x se aproxima a 2, tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4. Esta idea se suele expresar así: lim x 2  4

(Límite lateral por la izquierda)

lim x 2  4

(Límite lateral por la derecha)

x 2

x 2

Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es: lim x 2  4 x 2

Teorema Sea a un punto contenido en un intervalo abierto y f una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en a. Entonces lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 si y solo si 𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎−

𝑥→𝑎

3.2 Definición formal de límite Consideremos la función definida por 𝑥 2 − 𝑥 − 2 (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) f(𝑥) = = 𝑥−2 𝑥−2 f está definida en todos los valores de x, excepto en x=2. Si 𝑥 ≠ 2 el numerador y denominador puede ser dividido por (x-2) para obtener 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 2 Ahora estamos interesados en qué valores va tomando la imagen 𝑓(𝑥) cuando “x” va tomando valores cercanos a “2”.  Valores de x cada vez más cercanos a 2, pero menores que 2. X

0 1 1.25 1.50 1.75 1.90 1.99 1.999

𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 1 2 2.25 2.50 2.75 2.90 2.99 2.999

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I  Valores de x cada vez más cercanos a 2, pero mayores que 2. X

3 2.90 2.75 2.50 2.25 2.10 2.01 2.001

𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 4 3.90 3.75 3.50 3.25 3.10 3.01 3.001 De la tabla, podemos observar que cuando “x” va tomando valores cercanos a “2” ( x  2) las imágenes “f(x)” se acercan a “3” ( f ( x)  3) . Esto se escribe como:

lim

x 2

x2  x  2 3 x2

Se ve que podemos hacer que el valor de f(x) se aproxime a 2 tanto cuanto se quiera, tomando a x suficientemente cercano a 2. Esto es |𝑓(𝑥) − 3| se puede hacer tan pequeño como queramos haciendo a (x-2) suficientemente pequeño.

Definición formal de límite Sea f una función que está definida en todo punto de algún intervalo abierto I que contenga a “a” excepto posiblemente en el número “a” mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” es L. y se denota como 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 si para cualquier 𝑥→𝑎

𝜀 > 0 no importa que tan pequeño, existe un 𝜎 > 0, tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎.

La definición anterior establece que los valores de la función 𝑓(𝑥) se aproximan a un límite L a medida que x se aproxima a un número a, si el valor absoluto de la diferencia entre 𝑓(𝑥) y L se pueden hacer tan pequeño como queremos tomando x suficientemente cercano a “a”, pero no iguales a “a”. Es importante observar que no es necesario que la función este definida para 𝑥 = 𝑎 para que el lim 𝑓(𝑥) exista. 𝑥→𝑎

Ejemplo: Usando la definición de límite demostrar que: 𝒂) 𝐥𝐢𝐦(𝟐𝒙 + 𝟐) = 𝟒 𝒙→𝟏

𝐿 = 4 , 𝑎 = 1, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I Debemos demostrar que para todo 𝜀 > 0, existe 𝜎 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎. |(2𝑥 + 2) − 4| < 𝜀 |2𝑥 − 2| < 𝜀 2|𝑥 − 1| < 𝜀 |𝑥 − 1| < 1𝜀 2

Como 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎, hacemos: 1

𝜎 = 2𝜀 |𝑥 − 1| < 𝜎 Se satisface la parte derecha de la desigualdad por tanto lim (2𝑥 + 2) = 4 𝑥→1

𝒃) 𝐥𝐢𝐦(𝟐𝒙 − 𝟑) = 𝟏 𝒙→𝟐

𝐿 = 1 , 𝑎 = 2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 Debemos demostrar que para todo 𝜀 > 0, existe 𝜎 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎. |(2𝑥 − 3) − 1| < 𝜀 |2𝑥 − 4| < 𝜀 2|𝑥 − 2| < 𝜀 |𝑥 − 2| < 1𝜀 2

Como 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎, hacemos: 1

𝜎 = 2𝜀 |𝑥 − 2| < 𝜎 Se satisface la parte derecha de la desigualdad por tanto lim (2𝑥 − 3) = 1 𝑥→2

𝒄) 𝐥𝐢𝐦(𝟓𝒙 − 𝟑) = 𝟐 𝒙→𝟏

𝐿 = 2 , 𝑎 = 1, 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 Debemos demostrar que para todo 𝜀 > 0, existe 𝜎 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎. |(5𝑥 − 3) − 2| < 𝜀

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I |5𝑥 − 5| < 𝜀 5|𝑥 − 1| < 𝜀 |𝑥 − 1| < 1𝜀 5

Como 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝜎, hacemos: 1

𝜎 = 5𝜀 |𝑥 − 1| < 𝜎 Se satisface la parte derecha de la desigualdad por tanto lim(5𝑥 − 3) = 2 𝑥→1

A

utoevaluación

Demuestre que los siguientes limites existen utilizando la definicion formal de limite. 1. lim 3𝑥 = 12

6. lim(−4) = −20

2. lim(5𝑥 − 3) = 7

7. lim(8𝑥 − 15) = 17

3. lim (10 − 9𝑥) = 64

8. lim (9 − 6) = 8

𝑥→4

𝑥→5

𝑥→2

𝑥→4

𝑥

𝑥→−6

𝑥→6

4. lim 5 = 5

9. lim (𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏

𝑥→3

𝑥→𝑎

5. lim (2𝑥 + 1) = −5

10. lim 𝑥 = 𝑎

𝑥→−3

𝑥→𝑎

3.3. Teoremas de límites Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición formal de límite se establecen los siguientes teoremas.

Teorema de límite 1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces lim 𝑘 = 𝑘

𝑥→𝑎

Teorema de límite 2: Para cualquier número dado a, MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I lim 𝑥 = 𝑎

𝑥→𝑎

Teorema de límite 3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces lim (𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏

𝑥→𝑎

Teorema de límite 4: Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces 𝑥→𝑎

i. ii. iii. iv.

𝑥→𝑎

lim [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝑀

𝑥→𝑎

lim [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ∙ 𝑀

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝐿

lim [𝑔(𝑥)] = 𝑀 , 𝑀 ≠ 0

𝑥→𝑎

lim [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝐿, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑐

𝑥→𝑎

Teorema de límite 5: Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 y n es un entero positivo, entonces 𝑥→𝑎

𝑛

lim [𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)] = 𝐿𝑛

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Teorema de límite 6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

Teorema de límite 7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces lim 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑎)

𝑥→𝑎

Teorema de límite 8: Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 y n es un entero positivo, entonces 𝑥→𝑎

𝑛

𝑛

lim √𝑓(𝑥) = 𝑛√ lim 𝑓(𝑥) = √𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I Ejercicios Resueltos Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades de los límites: 1. lim 77 𝑥→3

De acuerdo con el Teorema de límite 1: Limite de una constante. lim 77 = 77

𝑥→3

2. lim(3𝑥 − 7) 𝑥→5

Como 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 7, tiene la forma ax+b se aplica el Teorema de límite de limite 3. lim(3𝑥 − 7) = 3(5) − 7 = 15 − 7 = 8

𝑥→5

3. lim(𝑥 2 + 2𝑥 − 1) 𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 es una función polinomial aplicamos el Teorema de limite 6. lim(𝑥 2 + 2𝑥 − 1) = (2)2 + 2(2) − 1 = 7

𝑥→2

4𝑥−5

4. lim (5𝑥−1) 𝑥→3

𝑓(𝑥) =

4𝑥 − 5 , es una funcion recional, ademas 3 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓. 5𝑥 − 1

Asi que aplicamos el 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐋𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞 𝟕. 4𝑥 − 5 4(3) − 5 7 1 lim ( )= = = 𝑥→3 5𝑥 − 1 5(3) − 1 14 2

8𝑥+1

5. lim √ 𝑥+3 𝑥→1

Aplicando consecutivamente los Teoremas de Limite 8, 7 y 4(iii) se obtiene: lim(8𝑥 + 1) 8𝑥 + 1 8𝑥 + 1 8(1) + 1 9 lim √ = √lim = √𝑥→1 =√ =√ 𝑥→1 𝑥→1 𝑥 + 3 𝑥+3 lim(𝑥 + 3) 1+3 4 𝑥→1

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I

8𝑥 + 1 3 lim √ = 𝑥→1 𝑥+3 2 4𝑥 2 −9

6. lim3 ( 2𝑥+3 ) 𝑥→−2

Si aplicamos el Teorema de Limite 7 tenemos: 2

4(−32) − 9 4(49) − 9 0 4𝑥 2 − 9 lim3 ( )= = = −3 + 3 0 𝑥→−2 2𝑥 + 3 2(−32) + 3 Obtenemos la forma indeterminada

0 0

Nota: Si al evaluar el límite en la función obtenemos la forma indeterminada

0 0

es

posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización o la racionalización. Factorizaremos y simplificaremos la expresión, para obtener facialmente el limite aplicando el Teorema de Limite 3. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) 4𝑥 2 − 9 3 lim3 ( ) = lim3 = lim3(2𝑥 − 3) = 2 (− ) − 3 = −3 − 3 (2𝑥 + 3) 2 𝑥→−2 2𝑥 + 3 𝑥→−2 𝑥→−2 4𝑥 2 − 9 ∴ lim3 ( ) = −6 𝑥→−2 2𝑥 + 3 3𝑥 2 −8𝑥−16

7. lim ( 2𝑥 2 −9𝑥+4 ) 𝑥→4

No es posible aplicar directamente el Teorema de Limite 7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el Teorema de Limite 7 o el Teorema de Limite 4 (III): (𝑥 − 4)(3𝑥 + 4) 3𝑥 2 − 8𝑥 − 16 3𝑥 + 4 3(4) + 4 12 + 4 lim ( 2 ) = lim = lim = = 𝑥→4 2𝑥 − 9𝑥 + 4 𝑥→4 (𝑥 − 4)(2𝑥 − 1) 𝑥→4 2𝑥 − 1 2(4) − 1 8−1 ∴ lim ( 𝑥→4

MATEMÁTICA I

3𝑥 2 − 8𝑥 − 16 16 )= 2 2𝑥 − 9𝑥 + 4 7 DR. LEONEL MENDIETA

MATEMÁTICA I

8. 𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟑 +𝟖

𝒙→−𝟐 𝒙+𝟐

Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del Teorema de Limite 7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del Teorema de Limite 6: (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) 𝑥3 + 8 lim = lim = lim (𝑥 2 − 2𝑥 + 4) = (−2)2 − 2(−2) + 4 𝑥→−2 𝑥 + 2 𝑥→−2 𝑥→−2 𝑥+2 𝑥3 + 8 lim = 4 + 4 + 4 = 12 𝑥→−2 𝑥 + 2 √𝒙+𝟐−√𝟐 𝒙 𝒙→𝟎

9. 𝐥𝐢𝐦

No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el Teorema de Limite 7 para hallar el límite: 2

(√𝑥 + 2) − (√2) √𝑥 + 2 − √2 √𝑥 + 2 − √2 √𝑥 + 2 + √2 lim = lim ∙ = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 √𝑥 + 2 + √2 𝑥→0 𝑥(√𝑥 + 2 + √2)

2

𝑥+2−2 𝑥 1 √𝑥 + 2 − √2 = lim = lim = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥(√𝑥 + 2 + √2) 𝑥→0 𝑥(√𝑥 + 2 + √2) 𝑥→0 (√𝑥 + 2 + √2) 𝑥 lim

= 10. lím x2

1 √0 + 2 + √2



=

1 √2 + √2



=

1

∙

√2

2√2 √2

=

√2 2√4

=

√2 4

x  2 x 2  2 x  4  lím x 2  2 x  4  12 x3 8  lím x2 x  2 x2 x2

MATEMÁTICA I





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MATEMÁTICA I

11. lím x 0

x  32  9  lím x 2  6 x  9  9  lím xx  6  límx  6  6

12. lím

x  5

lím

x  5

x

x 0

x 0

x

4 x 3  lím x  5 x5





x 0

x



4 x 3 4 x 3 4 x 9  lím  x  5  x  5  x  5 4  x  3 4 x 3









  x  5 1   x  5 4  x  3 6





2 13.Si f ( x)  2  x  x encontrar: lím h 0

f (4  h)  f (4) h

f (4  h)  2  4  h   4  h   2  4  h  16  8h  h 2  10  7h  h 2 ; 2

f (4)  2  4  16  10 lím h 0

f (4  h)  f (4)  10  7h  h 2  10  lím  lím 7  h   7 h 0 h 0 h h 𝑥 2 +4𝑥+4

lim

14. Determinar el valor del límite

𝑥→−2 𝑥 2 +8𝑥+12

Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función, porque al calcular directamente el límite resulta la indeterminación

lim

𝑥 2 +4𝑥+4

𝑥→−2 𝑥 2 +8𝑥+12

= lim

0 0

.

(𝑥+2)(𝑥+2)

𝑥→−2 (𝑥+6)(𝑥+2)

Simplificando (𝑥 + 2) 𝑥→−2 (𝑥 + 6)

= lim Aplicando los teoremas correspondientes: −2+2

=

−2+6

15. Calcular el valor del límite:

MATEMÁTICA I

lim

0

= =0 4

𝑥−1

𝑥→1 √𝑥−1

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MATEMÁTICA I La simplificación de una expresión que contiene radicales, se hace racionalizando. En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador que es: √𝑥+1.

lim

𝑥−1

𝑥→1 √𝑥

−1

= lim [ 𝑥→1

𝑥−1

√𝑥 + 1 ] √𝑥 − 1 √𝑥 + 1 ][

Efectuando la multiplicación, en el denominador se tienen dos binomios conjugados, cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados. =lim

(𝑥−1)(√𝑥+1) 2

𝑥→1 (√𝑥) −(1)2 (𝑥−1)(√𝑥+1) 𝑥−1 𝑥→1

= lim

Simplificando:

Aplicando los correspondientes teoremas de límites:=2

A

utoevaluación

Calcular los siguientes límites



x2  2  x



14) lim

x 3  6 x 2  5x x4  x3  x 1





15) lim

3 x  3 x

 x  2 x2  4    10) lim  2 x 2 x  2 x  4  

16) lim

x2 x  3 1

4)

11)

17)

5)

12)

18)





2 1) lim 3x  6x  1 x1

2) lim x 1

3)

x2  x  2 x 2  2x  1

x2  x  2 lim 2 x  1 x  2 x  1

8) lim x 5

3

2 9) lim 2 x  x  3 x1

13) lim x 5

6) x 4  81 x 3 x 2  x  6

7) lím

MATEMÁTICA I

x 2  25 x 2  5x

x 1

x0

x 0

x2  x  2 x  1 x 2  2 x  1

19) lim

2 20) Si f ( x)  x  9 encontrar: lím h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

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MATEMÁTICA I 3.4. Límites al Infinito Hasta el momento se han analizados límites de funciones cuando x tiende a un valor determinando, pero que pasa cuando x crece o decrece sin límite, ahora nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota), en este caso estamos tratando de límites al infinito.

Analicemos la siguiente función

Contestemos las siguientes interrogantes: a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente? b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente?

Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.

Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la gráfica: Cuando x se aproxima a +∞ x

10

100

1000

10000

100000

f(x)

3,125

2,091836

2,009018

2,0009

2,00009

A medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2. La expresión "x crece sin cota" se simboliza con 𝑥 → +∞ y se dice que x tiende a infinito. Esto se expresa de la siguiente manera: 2𝑥 − 5 =2 𝑥→+∞ 𝑥 − 2 lim

Ahora veamos qué pasa cuando x decrece sin límite

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I Cuando x se aproxima a − ∞ x

-10

-100

-1000

-10000

-100000

f(x)

1,25

1,911764

1,991017

1,9991

1,99991

Nuevamente, a partir de la tabla vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2. La expresión "x decrece sin cota" se simboliza con 𝑥 → −∞ y se dice que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe simbólicamente como 2𝑥 − 5 =2 𝑥→−∞ 𝑥 − 2 lim

𝑥

Considere la función 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥2 cuya gráfica se muestra en la siguiente figura

Hacemos esta pregunta: ¿qué le sucede a g(x) cuando x se hace cada vez más grande? En símbolos, preguntamos por el valor de lim 𝑔(𝑥). 𝑥→∞

Cuando escribimos 𝑥 → ∞, no queremos dar a entender que en un lugar muy, muy alejado a la derecha del eje x exista un número (más grande que todos los demás) al cual se aproxima x. En lugar de eso utilizamos 𝑥 → ∞como una forma breve de decir que x se hace cada vez más grande sin cota.

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I Podemos dar una definición informal para estas situaciones. Definición Límites al infinito a. Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L).

b. Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M. Simbólicamente

(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M).

El siguiente teorema nos sirve para calcular límites al infinito. Teorema de límite 9: Propiedades de los límites al infinito 1. Si k es una constante entonces

y

2. Si n es un número natural par entonces 3. Si n es un número natural impar entonces

y y

4. Si m es un número natural par entonces 5. Si m es un número natural impar entonces

y

6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario entonces

y

siempre que xk esté definido.

Ejemplos 1. MATEMÁTICA I

, por el punto 1 del teorema anterior tomando k=439. DR. LEONEL MENDIETA

MATEMÁTICA I

2.

y

3.

y

, por el punto 2 del teorema 9, tomando n=2 (par). , por el punto 3 del teorema 9, tomando n=5 (impar).

4.

, por el punto 4 del teorema 9, tomando m=2 (par).

5.

y

, por el punto 5 del teorema 9, tomando m=3

(impar). 6.

y

, por el punto 6 del teorema 9, tomando r=42 y k=4.

7. Calcular

8. Calcular

Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos casos del siguiente modo:

Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresión tomando como factor común el término de mayor exponente, por esta razón dentro del paréntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a depender del término de mayor exponente. Entonces, (¿por qué?) El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el cálculo de muchos de los límites al infinito. 9. Calcular MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I Solución: Procedemos del siguiente modo:

10. Calcular lim

𝑥

𝑥→∞ 1 + 𝑥2

Además del procedimiento anterior, existe un artificio común: dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el denominador, esto es, 𝑥 2 . lim

𝑥→∞

𝑥 𝑥2 𝑥2

1 + 𝑥2 𝑥2

= lim

1 𝑥

𝑥→∞ 1 +1 𝑥2

=

0 =0 0+1

Limites Infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuye sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo. Analicemos la siguiente función: 𝑓(𝑥) =

1 𝑥

Su gráfica es la siguiente

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I 1. ¿Qué pasa con los valores de la función cuando x se aproxima a 0? 2. ¿Cómo representaría esta situación de manera simbólica? 3. Complete la siguiente tabla de valores 𝒙 → 𝟎+ 𝒇(𝒙) =

1

𝟏 𝒙

0.01

0.001

0.0001

0.00001

1

Completar la tabla determinando a través de que valores la x se acerca a 0 por la izquierda 𝒙 → 𝟎− 𝒇(𝒙) =

𝟏 𝒙

Podemos concluir que 1 =∞ 𝑥→0 𝑥 lim

Teorema de limite 10: Limites infinitos Si r es cualquier entero positivo, entonces: 1 = +∞ 𝑥→0 𝑥 𝑟 1 −∞ 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 lim− 𝑟 = { +∞ 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑥→0 𝑥 1 lim 𝑟 = ∞ 𝑥→0 𝑥 lim+

Teorema de limite 11. Si a es cualquier número real, y si el lim 𝑓(𝑥) = 0 y lim 𝑔(𝑥) = 𝐶, donde, 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝐶 ≠ 0, entonces: i)

Si 𝐶 > 0 y 𝑓(𝑥) → 0 a través de valores positivos de f(x)

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MATEMÁTICA I 𝑔(𝑥) = +∞ 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim

ii)

Si 𝐶 > 0 y 𝑓(𝑥) → 0 a través de valores negativos de f(x) 𝑔(𝑥) = −∞ 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim

iii)

Si 𝐶 < 0 y 𝑓(𝑥) → 0 a través de valores positivos de f(x) 𝑔(𝑥) = −∞ 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim

iv)

Si 𝐶 < 0 y 𝑓(𝑥) → 0 a través de valores negativos de f(x) 𝑔(𝑥) = +∞ 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim

Ejemplo 𝑥 2 +𝑥+2

1. Encontrar lim+ 𝑥 2 −2𝑥−3 𝑥→3

lim+

𝑥→3

𝑥2 + 𝑥 + 2 14 = 2 𝑥 − 2𝑥 − 3 0

Tenemos que g(x) es 14 y f(x) tiende a cero a través de valores positivos, aplicando el teorema de límites infinitos tenemos 𝑥2 + 𝑥 + 2 lim = +∞ 𝑥→3+ 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 2. Evaluar lim

1−𝑥 2

𝑥→+∞ 𝑥+1

Dividimos entre la mayor potencia de x 1 𝑥2 1 2 − 𝑥2 2−1 −1 𝑥 𝑥 lim = lim = 𝑥 1 1 1 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 0 + 𝑥 + 𝑥2 𝑥2 𝑥2 Aquí g(x) es -1 y f(x) tiende a cero a través de valores positivos, aplicando el teorema de límites infinitos tenemos 𝑥2 = −∞ 𝑥→+∞ 𝑥 + 1 lim

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MATEMÁTICA I 3.5.

Aplicaciones de límites

Un límite es un concepto que describe la tendencia de una función a medida que los parámetros se acercan a determinado valor. Un límite puede ser un hueco o simplemente parte de una función, una característica de los límites es que nos indica si los términos de una sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a infinito.

Un ejemplo de cómo utilizar los limites en la administración y la economía es la elaboración de gráficas para saber el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible esto para generar una mayor ganancia para la misma empresa.

Un ejemplo de esto es cuando presenta una alza en los costos de la materia prima esto eventualmente generará un cambio en cuanto el costo que esta estableció anterior mente.

Ejemplos: 1. El costo (en córdobas) de eliminar x% de los desperdicios de materia prima en una fábrica esta dado por: 𝑐(𝑥) =

75000𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂 < 𝑥 < 100 100 − x

a) Encontrar el costo de eliminar la mitad del desperdicio. b) ¿qué porcentaje de desperdicio puede eliminarse con C$20,000? c) Evaluar

lim cx . Interpretar los resultados.

x100

Solución a) La mitad de la producción es de 50% es decir, evaluar la función en x=50% 𝑐(50) =

MATEMÁTICA I

75000(50) = 75,000 100 − 50

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MATEMÁTICA I por lo tanto el costo a eliminar es de 50% de desperdicio de materia prima es de C$75000. b) Conociendo a c (costo), encontramos x. Procedemos a resolver la ecuación. 20000 =

75000𝑥 100 − x

20000(100 − x) = 75000𝑥 2000000 − 20000𝑥 = 75000𝑥 2000000 = 75000𝑥 + 20000𝑥 𝑥=

2000000 95000

𝑥 = 21.05% Con C$ 20,000 se puede eliminar el 21.05% de los desperdicios de materia prima de la fábrica.

c) Al evaluar

lim cx resulta:

x100

75000𝑥 =∞ 𝑥→100 100 − x lim

Esto significa que para reducir el desperdicio en materia prima de la fábrica los costos serían infinitos. Es imposible reducir los desperdicios en un 100%.

100t  200 describe la utilidad de una empresa (en t 3 millones de dólares) en un tiempo t en años. Encontrar la utilidad de la empresa después de varias generaciones de administración.

1. La función W  t  

Solución Se busca encontrar la utilidad de la empresa conforme t   , por lo tanto,

Limt W  t   Limt 

100t  200  100 t 3

Entonces, conforme aumentan los años de la empresa de generación en generación de administración, su utilidad será de 100 millones de dólares. MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I

A

utoevaluación

I. Calcular los siguientes límites 1)

13)

7)

2)

𝑥2 𝑥2 + 1 − 𝑥→∞ 𝑥 − 1 𝑥−2

14) lim

8)

3)

15) lim

𝑥→∞

9)

7𝑥 − 1 3

√5𝑥 3 + 4𝑥 − 2

4

4)

√4𝑥 4 + 𝑥 2 + 1 16) lim 𝑥→∞ 𝑥2 + 1

10)

5)

(𝑥 2 + 1)2 − 3𝑥 2 + 3 𝑥→∞ 𝑥3 − 5

17) lim

11)

6) lim+ 𝑛→4

𝑛 𝑛−4

12) lim− 𝑡→2

𝑡+2 𝑡2 − 4

18) lim+ 𝑥→3

√𝑥 2 − 9 𝑥−3

II. Resolver 1. Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras más poderosos y compactos, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Suponer que dentro de x meses, el precio de cierto modelo será p x   40  dólares. a) ¿Cuál será el precio dentro de 5 meses? b) ¿En cuánto bajara el precio en el quinto mes? c) ¿Cuándo será US$43 el precio? d) ¿Qué le sucederá al precio a largo plazo  x    ?

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30 x 1

MATEMÁTICA I 2. Un estudio ambiental en cierta comunidad revela que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será Q p  

0.5 p  19.4 unidades cuando la

población sea p miles. Se estima que dentro de t año la población será pt   8  0.2t

2

miles. a) expresar el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono dentro de 3 años? c) ¿Cuándo llegara a 5 unidades el nivel de monóxido de carbono? 2. El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:

100 x 2 px   2 x  0.05  0.03 Donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera cuando se utilicen x unidades de droga. Dibujar la gráfica de p(x). ¿Qué le sucede a p(x) cuando

x 

?

3.

Los ingenieros industriales han estudiado un trabajo particular en una línea

de montaje. La función 𝑓(𝑡) = 120 − 80𝑒 −0.3𝑡 es la función de la curva de aprendizaje que describe el número de unidades terminadas por hora para un empleado normal de acuerdo al número de horas de experiencia t que él tiene en su trabajo. a) Determine el número de unidades que puede terminar un empleado en el momento que ingresa a esa empresa y luego de su primer hora de experiencia. b) ¿Cuántas unidades puede terminar un empleado cuando el número de horas de experiencia en la fábrica crece indefinidamente?

4.

Una institución está planeando una campaña para recaudar fondos. Por

experiencia se sabe que los aportes totales son función de la duración de la campaña. En una ciudad se ha determinado esta función respuesta que expresa el porcentaje de la población R (expresado en fracción decimal) que hará un donativo en función del número de días t de la campaña. La expresión de la misma es 𝑅 = 0.7(1 − 𝑒 −0.05𝑡 ) MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I a) ¿Qué porcentaje de la población hará un donativo a los 10 días de haberse iniciado la campaña y luego de 20 días? b) Calcule el porcentaje de la población que habrá contribuido con la institución si la campaña publicitaria continúa por tiempo indefinido.

5.

Un banco ofrece una tarjeta de crédito. Por datos obtenidos a lo largo del

tiempo, han determinado que el porcentaje de cobranza de las que se otorgan en un mes cualquiera es función del tiempo transcurrido después de concederlas. Esta función es 𝑃 = 0.9(1 − 3−0.08𝑡 ), donde P es el porcentaje de cuentas por cobrar t meses después de otorgar la tarjeta. a) ¿Qué porcentaje se espera cobrar luego de 2 y 5 meses? b) Si el número de meses transcurridos desde el otorgamiento de la tarjeta crece indefinidamente, determine el porcentaje de las mismas que se espera cobrar.

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MATEMÁTICA I 3.6.

Asíntotas de una función

La palabra asíntota, (antiguamente, "asímptota"), proviene del griego asumptotos, compuesto de "a" = "sin" y de "sumpipto" = "encontrarse"; por tanto, nuestro término viene a significar "sin encontrarse, sin tocarse". En el estudio de funciones llamamos así a una línea recta hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita.

Las asíntotas surgen de manera natural al estudiar el comportamiento de una función "en el infinito" de las variables.

3.6.1. Asíntotas Verticales Cuando una función f (x) no está definida en un punto "a" , pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, entonces diremos que la recta x  a es una asíntota vertical de f (x) . Se dice que en dicho punto la función "tiende a infinito".

Una asíntota vertical de una función es una recta paralela a y.

Definición: Asíntota Vertical Se dice que la recta "𝑥 = 𝑎" es una ASÍNTOTA VERTICAL de la función f(x) si el límite de la función en el punto "a" es infinito.

lim f ( x)    x  a es asíntotavertical por la izquierda

xa

lim f ( x)    x  a es asíntotavertical por la derecha

xa

lim f ( x)    x  a es asíntotavertical

xa

Ejemplo: Verificar que la recta x=2 es una asíntotas vertical de la siguiente función

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MATEMÁTICA I 𝟏 (𝒙 − 𝟐)𝟐 Debemos de comprobar que el límite de la función cuando x tiende a 2 es infinito, veamos: lim f ( x)     x2 lim f ( x)     x  2 es asíntotavertical x2 lim f ( x)     x2 Graficamos: 𝒇(𝒙) =

Observaciones: 1) Una función puede tener varias asíntotas verticales, incluso infinitas 2) La gráfica de una función nunca corta a una asíntota vertical. 3) La tendencia hacia infinito a ambos lados del punto de discontinuidad puede ser idéntica u opuesta.

3.6.2. Asíntotas horizontales Si estudiamos lo que ocurre con la gráfica de una función cuando los valores de la variable independiente "x" se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que ésta se vaya acercando cada vez más a un valor determinado ( MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I y  b ), sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y  b es una asíntota

horizontal de f (x) , dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".

Definición: Asíntotas Horizontales La recta "𝑦 = 𝑏" es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de la función f(x) si el límite de la función en el infinito es el número “b”.

lim f ( x)  b  y  b es asíntotahorizontalde f ( x)

x  

Ejemplo: Verificar que y=0 es una asíntota horizontal de la función 𝑥 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 +2 Comprobamos la condición para que y=0 sea asíntota horizontal

 lim f ( x)  0   x lim f ( x)  0   y  0 es asíntotahorizontalde f ( x) x f ( x)  0   xlim  Graficamos

La recta y=b es una ASÍNTOTA HORIZONTAL POR LA DERECHA de la función f (x) si el límite de la función en   es el número "b".

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MATEMÁTICA I lim f ( x)  b  y  b es asíntotahorizontalpor la derecha

x

La recta y=b es una ASÍNTOTA HORIZONTAL POR LA IZQUIERDA de la función f (x) si el límite de la función en

  es el número "b".

lim f ( x)  b  y  b es asíntotahorizontalpor la izquierda

x

Ejemplos 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 2−𝑥

lim f ( x)  0  y  0 es asíntotahorizontalpor la derecha

x

2𝑥

2. 𝑓(𝑥) = 1+|𝑥|

lim f ( x)  2  y  2 es asíntotahorizontalpor la derecha

x

lim f ( x)  2  y  2 es asíntotahorizontalpor la izquierda

x

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MATEMÁTICA I Observación: 1) Una función real de variable real puede tener como máximo 2 asíntotas horizontales (en este último caso, una de ellas es asíntota por la derecha y la otra lo es por la izquierda). Hay funciones que sólo tienen asíntota horizontal por la derecha o por la izquierda. 2) La gráfica de una función puede cortar a una asíntota horizontal. 3) Una función no tiene por qué tener los dos tipos de asíntotas que hemos visto (verticales y horizontales). Puede no tener ninguna (cualquier función polinómica), tener sólo asíntotas verticales (una o más) o sólo asíntotas horizontales (una o dos como mucho).

Ejemplo: Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de 1. 𝑓(𝑥) =

4 − 3𝑥 𝑥+1

Para encontrar las asíntotas horizontales consideramos primero 4 − 3𝑥 = −3 𝑥→+∞ 𝑥 + 1 4 − 3𝑥 lim = −3 𝑥→−∞ 𝑥 + 1 lim

La recta y=-3 es una asíntota horizontal Para asíntotas verticales consideramos que 𝑓(𝑥) no está definida para 𝑥 = −1, encontramos el límite de la función cuando x se aproxima a -1 4 − 3𝑥 = +∞ 𝑥→−1 𝑥 + 1 4 − 3𝑥 lim− = −∞ 𝑥→−1 𝑥 + 1 lim+

La recta x=-1 es una asíntota vertical Veamos la gráfica de la función

MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I

2. 𝑓(𝑥) =

4𝑥 2 𝑥2 − 9

Continuidad de una función Para encontrar las asíntotas horizontales consideramos primero 4𝑥 2 =4 𝑥→+∞ 𝑥 2 − 9 lim

4𝑥 2 =4 𝑥→−∞ 𝑥 2 − 9 lim

La recta 𝑦 = 4 es una asíntota horizontal Para asíntotas verticales consideramos que 𝑓(𝑥) no está definida para 𝑥 = ±3, encontramos el límite de la función cuando x se aproxima a 3 y a -3 Para x=-3 lim +

4𝑥 2 = +∞ 𝑥2 − 9

lim −

4𝑥 2 = −∞ 𝑥2 − 9

𝑥→−3

𝑥→−3

La recta x=-3 es una asíntota horizontal Para x=3 MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I 4𝑥 2 lim = +∞ 𝑥→3+ 𝑥 2 − 9 4𝑥 2 lim = −∞ 𝑥→3− 𝑥 2 − 9 La recta x=3 es una asíntota vertical

Veamos la gráfica de la función

3.7.

Continuidad de una Función

Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos. El concepto de continuidad debe de cumplir con algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición.

Definición: Continuidad de una función Se dice que una función real de variable real 𝑦 = 𝑓(𝑥), es continua en x = a, cuando cumple las tres condiciones siguientes i)

𝑓(𝑎) exista

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MATEMÁTICA I lim 𝑓(𝑥) exista

ii)

𝑥→→𝑎

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

iii)

𝑥→→𝑎

Cuando una de las tres condiciones de continuidad no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso, el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función.

Existen tres tipos de discontinuidad de una función: 1. Discontinuidad evitable o restringible. 2. Discontinuidad infinita o asintótica. 3. Discontinuidad de salto.

Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientes características: 1. Se presenta una discontinuidad evitable, cuando la función no está definida en el punto, pero el límite en ese punto si existe. 2. Se presenta una discontinuidad infinita, cuando la función no está definida en el punto y tampoco existe el límite en ese punto. 3. Se presenta una discontinuidad de salto, cuando la función está definida en el punto, pero el límite en ese punto no existe.

Ejemplo: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indicar a qué tipo de discontinuidad pertenece. 1. 𝑦 = 2𝑥 − 7 𝑒𝑛 𝑥 = 3 Analizando las condiciones de continuidad se tiene: a) 𝑓(3) = 2(3) − 7 = −1 . b) lim(2𝑥 − 7) = −1 𝑥→3

c) f (3) = lim (2𝑥 − 7) 𝑥→3

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MATEMÁTICA I Se cumple la condición de continuidad, entonces la función dada es continua en x=3. La gráfica se trata de una función lineal de primer grado. 3𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 2. 𝑦 = { 𝑒𝑛 𝑥 = 2 4 , 𝑠𝑖 𝑥 > 2 Analizando las condiciones de continuidad: a) Para evaluar f (2), se considera la parte de la función que está definida para x=2, esto es la función lineal. Entonces: 𝑓(2) = 3(2) − 1 = 5 b) lim 𝑓(𝑥) Aquì por tratarse de una funciòn definida en dos secciones, el límite 𝑥→2

se calcula mediante los límites laterales. El límite por la izquierda es: lim 𝑓(𝑥) = lim− 3𝑥 − 1 = 5

𝑥→2−

𝑥→2

El límite por la derecha es: lim 4 = 4

𝑥→2+

Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite de la función f(x) no existe, esto es: lim 𝑓(𝑥) = ∄

𝑥→2

Entonces c) f (2)≠ lim 𝑓(𝑥) 𝑥→2

por no existir límite.

Por lo tanto la función f(x) es discontinua en 𝑥 = 2 porque no se cumple la condición de continuidad.

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MATEMÁTICA I Graficamos

3.7.

Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales

En una función algebraica racional y 

f ( x) , donde f(x) y g(x) son funciones g ( x)

polinomiales, los puntos en los cuales la función g(x) es igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no está definida.

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.

Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función:

3𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥

Igualando con cero el denominador 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 Resolviendo la ecuación por factorización: 𝑥(𝑥 − 2) = 0 𝑥 =0 ∨ 𝑥−2=0 MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I 𝑥=2 Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=2.

Calculando el límite de la función en estos dos puntos a) Para x=0 3𝑥

3𝑥

3

3

lim 𝑥 2 −2𝑥 = lim 𝑥(𝑥−2) = lim 𝑥−2 =− 2

𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

3

La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-2) porque la función no esta definida en x=0, pero su límite en ese punto si existe.

b) Para el segundo valor x=2, se tiene 3𝑥

3

lim 𝑥 2 −2𝑥 = 0 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒.

𝑥→2

Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=2. La gráfica de la función es:

Observación: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presenta alguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua.

3.8.

Continuidad de una función en un intervalo

Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, es continua sobre el intervalo. Si una función no es continua en a, se dice que es discontinua o que tiene una discontinuidad en a.

Definición: Continuidad de una función en un intervalo abierto Una función real de variable real y = f (x) , es continua en el intervalo ( a, b ), sí y sólo sí es continua en todos los puntos con abscisa dada por los números MATEMÁTICA I

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MATEMÁTICA I comprendidos dentro del intervalo abierto ( a, b ) lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de los puntos que pertenecen a dicho intervalo.

Definición: Continuidad de una función en un intervalo cerrado La función f es continua por la derecha de “a” y por la izquierda de de “b” si se satisface las siguientes condiciones i) ii) iii)

𝑓(𝑎) exista lim 𝑓(𝑥) exista

𝑥→→𝑎+

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→→𝑎+

i) ii)

𝑓(𝑏) exista lim 𝑓(𝑥) exista

𝑥→→𝑏 −

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

𝑥→→𝑏 −

Ejemplo: Analice la continuidad de la función 𝑓(𝑥) = √25 − 𝑥 2

en el intervalo

[−5,5] y trace la gràfica.

Analizando las condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene: En el intervalo abierto (−5,5) la funciòn es continua, puesto que existe para todos los valores del intervalo, esto es, la función no presenta puntos de discontinuidad en el intervalo abierto (−5,5). Para 𝑥 = −5 i) 𝑓(−5) = √25 − (−5)2 ii)

lim √25 − 𝑥 2 = 0

𝑥→−5+

iii) lim + √25 − 𝑥 2 = 𝑓(−5) 𝑥→−5

Para x=5 i) 𝑓(5) = √25 − (5)2 = 0 ii) lim− √25 − 𝑥 2 =0 𝑥→5

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MATEMÁTICA I iii) lim− √25 − 𝑥 2 = 𝑓(5) 𝑥→5

Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado [−5,5].

Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, se dice que es continua sobre el intervalo.

A

utoevaluación

4. Encontrar las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones 2𝑥 + 1 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥−3 𝑥2 2. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2

𝑥 2 − 𝑥 − 12 3. 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 6𝑥 + 8 4 4. 𝑓(𝑥) = 3 𝑥

5. 𝑓(𝑥) =

2𝑥 4𝑥 + 8

6. 𝑓(𝑥) =

1 𝑥 2 + 5𝑥 − 6

5. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace la gráfica, en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad pertenece. 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1 1) 𝑦 = { 2, 𝑠𝑖 𝑥 = 1

3) 𝑦 = {

𝑥 + 6 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 𝑥2 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5) 𝑦 = {

𝑥 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 2) 𝑦 = { 3 − 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 1

4) 𝑦 = {

𝑥 + 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 3 − 𝑥 2 , 𝑠𝑖 𝑥 > 1

6)𝑦 = {

𝑥 2 − 4 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 2

𝑥 2 + 8 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑥 + 8, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

6. Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta. 1. 𝑓(𝑥) =

3𝑥 − 6 𝑥−2

2. 𝑓(𝑥) =

3𝑥 𝑥 2 + 5𝑥 + 6

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𝑥3 + 1 𝑥2 − 9 1 4. 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 −4 3. 𝑓(𝑥) =

5. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 𝑥 − 12 6. 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 + 3𝑥 − 4 𝑥+4

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MATEMÁTICA I 7. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace la gráfica. 1.- 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4 en [0,4] 2.- 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥 en [−2,2] 3.- 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2 en [−2,2]

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