Guia Lab Oratorio De Fisica 1

Laboratorio de F´ısica I Gu´ıa 1 Pedro Miranda.* and Fabi´an Ju´arez** Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de F´ısica (Fecha: 7 Abril 2006) La presente gu´ıa introduce conceptos y definiciones b´ asicas de la f´ısica experimental que se utilizar´ an en Laboratorio de F´ısica I. I.

´ INTRODUCCION

La F´ısica es una ciencia experimental, esto es, los f´enomenos que son objeto de an´alisis, se deben observar y medir. Adema´s de estudiar los procesos del mundo f´ısico, esta rama de la ciencias establece un cierto n´ umero de leyes con las cuales se pueden explicar la mayor parte de los fen´omenos observados, pudi´endose tambien predecir el resultado de experiencias nuevas. Como se mencion´o anteriormente, uno de los procesos fundamentales de la f´ısica es el proceso de medici´on durante el cual ocurren diversos tipos de incertezas a considerar con sus respectivas propagaciones. En las siguientes secciones presentaremos ciertos conceptos a ser considerados al llevar a cabo una medici´on experimental.

n´ umeros obtenidos mediante alg´ un proceso de medici´on, son aproximados. En cambio, otros son exactos pues provienen de alguna definici´on o proceso de conteo. De esta manera, es posible saber si un n´ umero es exacto o aproximado si se conoce como ha sido determinado. A.

Cifras significativas

Al escribir n´ umeros aproximados, frecuentemente se deben incluir algunos ceros de modo que el punto decimal est´e localizado de manera adecuada. No obstante, a excepci´on de estos ceros, todos los otros d´ıgitos son considerados d´ıgitos o cifras significativas. Los siguientes ejemplos ilustran como se determina este concepto. 34,7 tiene tres cifras significativas.

II.

UNIDADES DE MEDIDAS

Cuando nos enfrentamos a un problema experimental, la mayor´ıa de las veces esto implica el uso de operaciones aritm´eticas que involucran ciertas magnitudes f´ısicas. Una magnitud f´ısica consta de un n´ umero denominado y una unidad de medida asosiada a ´el. Para que el n´ umero o c´alculo sean significativos, se debe saber que unidades se estan ocupando. Por ejemplo, si deseamos medir la longitud de un objeto y ´esta resulta ser 25, se debe saber si se est´a midiendo en metros, cent´ımetros o en alguna otra unidad. Para ello, generalmente se utiliza el Sistema Internacional de Unidades, llamado SI, dentro del cual se aceptan siete unidades b´asicas que se usan para medir magnitudes fundamentales. Estas son: metro (longitud), kil´ogramo (masa), segundo (tiempo), amp´ere (corriente el´ectrica), Kelvin (temperatura termodin´amica), mol (cantidada de sustancia) y candela (intensidad luminosa). ´ NUMEROS APROXIMADOS Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

III.

8900 tiene dos cifras significativas, los ceros son para una adecuada localizaci´on del punto decimal. 706,1 tiene cuatro cifras significativas, el cero no se usa aqu´ı para la localizaci´on del punto decimal, indicando espec´ıficamente el n´ umero de las decenas. 6,78 tiene tres cifras significativas, el cero no es necesario para completar los lugares, y no se le debe escribir a menos que sea significativo. Para mayor comprensi´on, se muestran en la tabla I algunos n´ umeros aproximados con sus respectivas cifras significativas. Tabla I: Ejemplos de cifras significativas. N´ umero Cifras significativas N´ umero Cifras significativas 9600 dos 0,0709 tres 1,070 cuatro 30900 tres 6,000 cuatro 700,00 cinco 4,006 cuatro 0,0005 uno 20008 cinco 0,001020 cuatro

Al realizar c´alculos con n´ umeros se debe considerar la precisi´on y exactitud de los mismos. La mayor´ıa de los B. * Correo

electr´ onico: [email protected] electr´ onico: [email protected]

** Correo

Precisi´ on y exactitud

En las operaciones que incluyen n´ umeros aproximados, son importantes tanto la posici´on del n´ umero decimal

2 como el n´ umero de cifras significativas. Desde ´este punto de vista se puede entender los siguientes conceptos de una forma m´as t´ecnica. Precisi´ on : La precisi´on de un n´ umero se refiere especificamente a la posici´on decimal del u ´ltimo d´ıgito o cifra significativa. Exactitud : Se refiere al n´ umero de d´ıgitos o cifras significativas del n´ umero. Consideremos los siguientes ejemplos. Sup´ongase que se est´a midiendo una corriente el´ectrica con dos amper´ımetros. Uno de ellos indica 0,031 [A] y el otro 0,0312 [A]. La segunda lectura es m´as precisa pues el u ´ltimo d´ıgito significativo es el n´ umero de diezmil´esimos, mientras que la primera lectura est´a expresada solamente en mil´esimos. La segunda lectura es tambi´en m´as exacta pues tiene tres cifras significativas mientras que la primera tiene dos. La medici´on de una pieza de maquinaria indica una longitud de 2,5 [cm] y que se halla recubierta por una capa de 0,025 [cm] de grosor. Este grosor ha sido calculado con una mayor precisi´on, aunque las dos mediciones tienen la misma exactitud; dos cifras significativas. IV.

´ REDONDEO DE NUMEROS

Se sabe que la u ´ltima cifra significativa de un n´ umero aproximado no es completamente verdadero. Generalmente se determina por estimaci´on o redondeo. Sin embargo sabemos que tiene un error de a lo menos media unidad de su valor posicional. El principio de redondeo de un n´ umero es escribir la mayor aproximaci´ on, con la u ´ltima cifra significativa en una determinada posici´ on, con un n´ umero espec´ıfico de cifras significativas. De esta forma, si se desea un n´ umero determinado de cifras significativas, se examina el d´ıgito del siguiente lugar a la derecha, si es menor que cinco, se aumenta en uno el d´ıgito del u ´ltimo lugar y ´este se convierte en la cifra significativa final de la aproximaci´on. Si es necesario se usan ceros para ubicar la posici´on del punto decimal apropiadamente. A continuaci´on se muestran algunos ejemplos: 70360 redondeando a tres cifras significtivas es 70400 70430 redondeando a tres cifras significtivas es 70400 187,35 redondeando a tres cifras significtivas es 187,4 71500 redondeando a tres cifras significtivas es 72000

V.

´ OPERACIONES ARITMETICAS CON ´ NUMEROS APROXIMADOS

Al efectuar operaciones aritm´eticas con n´ umeros aproximados se debe evitar expresar el resultado con una precisi´on o exactitud no garantizada. Los siguientes ejemplos ilustran como puede obtenerse una falsa indicaci´on de la exactitud de un resultado al utilizar n´ umeros aproximados. Se puede hallar el ´area de un terreno rectangular multiplicando la longitud, 207,54 [m], por el ancho 81,4 [m], Efectuendo la multiplicaci´on se encuentra que el ´area es de 207,54[m]×81,4[m]=16893,756[m2 ]. Sin embargo, se sabe que tanto la longitud como el ancho de este terreno se determinaron a partir de una medici´on y que antes de redondear, los valores menores pueden haber sido 207,535 [m] y 81,35 [m]. Multiplicando estos valores se encuentra que el m´ınimo valor de esta ´area es de 16882,97225 [m2 ], De igual manera, el m´aximo valor posible es de 16904,54025 [m2 ]. N´otese que los valores m´ınimos y m´aximos posibles del ´area se igualan cuando son redondeados a tres d´ıgitos significativos (16900 [m2 ]) y que no hay concordancia entre los d´ıgitos si los dos valores son redondeados con una mayor exactitud. Otro ejemplo de lo anterior resulta al sumar los siguientes n´ umeros: 73,2, 8,0627, 93,54 y 66,296. El menos preciso de estos n´ umeros es 73,2. Por tanto, antes de efectuar la suma se pueden redondear los otros n´ umeros a cent´esimos. Despu´es de sumar se redondea el resultado a d´ecimos. Esto nos lleva a 73,2 + 8,06 + 93,54 + 66,30 = 241,1. Podemos encontrar reglas para efectuar operaciones aritm´eticas b´asicas con n´ umeros aproximados, las que se enumeran a continuaci´on: 1. Cuando se suman o se restan n´ umeros aproximados, el resultado se expresa con la precisi´on del n´ umero menos preciso. 2. Cuando se multiplican o se dividen n´ umeros aproximados, el resultado se expresa con la exactitud del n´ umero menos exacto. 3. Al calcular la ra´ız de un n´ umero aproximado, el resultado debe tener la exactitud del n´ umero. 4. Antes o durante el c´alculo todos los n´ umeros, excepto el menos preciso o exacto, se pueden redondear a un lugar m´as que el menos preciso o menos exacto. Este procedimiento resulta particularmente u ´til cuando no se dispone de una calculadora. VI.

´ DE ERRORES MEDICION

En el proceso de medici´on de una magnitud, ocurren generalmente varios tipos de errores o incertezas que alejan la magnitud f´ısica de un valor definido como ver-

3 dadero xv . Si excluimos las equivocaciones comunes en este proceso, podemos encontrar dos grandes grupos que aportan incerteza en la medida: los errores de escala, estad´ısticos y los errores sistem´aticos. A.

Errores de Escala

Este tipo de error est´a determinado por la precisi´on del aparato de medida. Es entendible que con una simple regla, cuya m´ınima divisi´on es un mil´ımetro , no es posible medir fracciones de esta cantidad con total certeza. No obstante, casi siempre podemos asegurar con toda confianza que el valor de la longitud del objeto medido con este instrumento estar´a entre dos multiplos consecutivos de esta unidad. B.

Errores estad´ısticos o aleatorios

La precisi´on es una indicaci´on de cu´an reproducibles son las mediciones. En otras palabras, es una medida de cu´an pr´oximas son las medidas entre s´ı en la distribuci´on de los valores xi , en torno a x ¯. La exactitud de un resultado es una indicaci´on de cu´an cercano o lejos esta el x ¯ del xv . As´ı para que el resultado de una medici´on sea exacto, la precisi´on debe ser buena y el error sistem´atico m´ınimo. Cabe se˜ nalar que el error sist´ematico est´a presente siempre en el resultado de un proceso de medici´on y que parte importante de nuestros esfuerzos deben dedicarse a disminuirlas al m´aximo y cuantificarlos adecuadamente. El resultado de un proceso de medici´on correcto en consecuencia es una estimaci´on cuantitativa x del valor verdardero xv y una estimaci´on cuantitativa de la incerteza del resultado x. Se expresa esto como: xv = x ¯ ± ∆x

En experimentos que utilizan instrumentos de alta precisi´on, es muy probable que al realizar medidas consecutivas de una cierta magnitud se obtengan valores diferentes debido a ceirtos factores que, de manera sutil pero perceptibles por el instrumento, pueden afectra la medida en forma aleatoria. Por ejemplo, cuando se acciona manualmente un cron´ometro para determinar un intervalo de tiempo, claramente nuestro tiempo de reacci´on ser´a mayor que la incertidumbre de este instrumento. Por lo tanto, para obtener una buena estimaci´on de la medida se debe realizar la medici´on varias veces, obteni´endose de esta manera una regi´on en donde es posible afirmar, con cierta confianza, que el valor verdadero se encuentra all´ı. En res´ umen, si consideramos un conjunto de n medidas similares de una magnitud x, con resultado xi , el error estad´ıstico es tal, que las n medidas xi se distribuyen de manera aleatoria en torno al valor medio x ¯ que tiende a xv , cuando el n´ umero de mediciones n tiende a infinito. C.

Error sistem´ atico

Contrariamente a los errores aleatorios existen otros factores que sistem´aticamente producen error en la medida, puesto que dependen del sistema o montaje experimental, de ah´ı el nombre de errores sistem´aticos. Dentro de este tipo de errores est´an se incluyen los producidos mediante un instrumento descalibrado y los inducidos por modelos te´oricos que se utilizan para deteminar medidas en forma indirecta. As´ı, en este caso este ser´a un error tal que las n medidas xi , siendo iguales, va a diferir del valor verdadero en una cantidad constante δ. De los errores anteriormente mencionados se desprenden los conceptos de precisi´on y exactitud. La palabra precisi´on se usa haciendo referencia solamente al error estad´ıstico, mientras que la palabra exactitud se refiere al error total, entendi´endose como la suma de los errores estad´ısticos y sistem´aticos y de escala.

Tabla II: Ejemplos de mediciones con sus respectivas incertezas. Objeto Largo de un l´ apiz Masa de una caja Tiempo

Medici´ on 84,8 ± 0,5 4,20 ± 0,05 15,2 ± 0,5

Unidad mm. gr. min.

Debe notarse que el error en la medici´on afecta a la u ´ltimo cifra significativa que es la que est´a sujeta a estimaci´on (la menos significativa). Otro hecho importante es que la precisi´on es del orden del error ∆x. D.

Error absoluto, relativo y porcentual

El error absoluto es el valor ∆x de una medida x. En el primer ejemplo de la Tabla II, el error absoluto es 0,5 [mm]. Se define como errro relativo ER al cuociente ∆x/x. Para este ejemplo se tiene: ER =

0, 5 = 0, 006 84, 8

Se define error porcentual al producto ER × 100. En el primer ejemplo, el error porcentual es 0,6 %. el cual se acostumbra a dar con uno o dos digitos. VII.

´ DE ERRORES PROPAGACION

Las leyes f´ısicas, se expresan a trav´es de ecuaciones que relacionan magnitudes, es por esto importante saber como se expresa la incertidumbre de una funci´on de magnitudes f´ısicas debido a las incertidumbres de estas.

4 Si suponemos que las incertidumbres relativas ∆x son peque˜ nas podemos expandir la funci´on f en Serie de Taylor, como sigue:

sµ ∆f =

df (¯ x) 1 d2 f (¯ x) f (¯ x ± ∆x) = f (¯ x) ± ∆x ± ∆x2 ± · · · 2 d¯ x 2! d¯ x Como las incertidumbres las consideramos peque˜ nas, los t´erminos de orden mayor que ∆x se hacen m´as peque˜ nos a´ un, por lo que es posible despreciarlos. De esta manera, se utiliza la siguiente aproximaci´on:

f (¯ x ± ∆x) ≈ f (¯ x) ±

df (¯ x) ∆x ≡ f¯ ± ∆f d¯ x

as´ı el valor medio de f y su incertidumbre son f¯ = f (¯ x)

y

¯ ¯ ¯ df (¯ x) ¯¯ ∆x ∆f = ¯¯ d¯ x ¯

An´alogamente podemos extender para funciones de n magnitudes obsevadas (x1 , x2 , . . . , xn ) con x1 = x ¯1 ± ∆x, x2 = x ¯2 ± ∆x2 , . . . , xn = x ¯n ± ∆xn y obtendremos f = f¯ ± ∆f con f¯ = f (¯ x1 , x ¯2 , . . . , x ¯n )

∂f ∆x1 ∂x ¯1

¶2

µ +

∂f ∆x2 ∂x ¯2

¶2

µ + ··· +

∂f ∆xn ∂x ¯n

¶2

Donde ∂f /∂ x ¯1 es la derivada parcial de f con respecto ax ¯1 que corresponde a una derivada manteniendo constante las dem´as magnitudes observables. Con las propiedades arriba enunciadas se pueden comprobar las siguientes ecuaciones:

∆(xn ) = |n|xn−1 ∆x p ∆(x ± y) = (∆x)2 + (∆y)2 sµ ¶2 µ ¶2 ∆y ∆x ∆(xy) = xy + x y s µ ¶ µ ¶2 µ ¶2 x x ∆x ∆y ∆ = + y y x y sµ ¶2 µ ¶2 ∆x ∆y n m n m ∆(x y ) = x y n + m x y

y

[1] J.H. Vuolo. Fundamentos de Teor´ıa de Errores. Ed. E. Blucher Ltda.1993 [2] P.R. Bevington. Data Reduction and Error Analysis for

the Physical Sciences. McGraw-Hill Book Company (1969)