Guia Explicativa Representación Gráfica De Funciones De Dos Variables.docx

GUIA EXPLICATIVA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

TABLA DE CONTENIDO

Página 1. Introducción…………………………………………………………....…..………….…...3 2. Objetivo General……..…………………………………....……………….....….….....…3 2.1 Objetivos Específicos………..…………………………………………………….........3 3. Conceptos...……………....………...……………………...……………………………...6 4. Representación gráfica en el entorno 3D de GeoGebra....…………….…………….11 4.1 Esfera con centro en el origen ……………..…………………………..………..........11 4.2 Elipsoide.…………………….………………………………………………..……….....12 4.3 Paraboloide elíptico……………..…………………………………………………….…16 6. Conclusiones…...……………….………………………………………………………....17 7. Bibliografía………….………….………………………………………………………......18

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1. INTRODUCCIÓN El presente proyecto es un instructivo orientado a conocer el manejo del programa GeoGebra el cual es un software matemático interactivo, enfocado en el aprendizaje de cálculo, álgebra y geometría, permitiendo un mejor aprendizaje representando gráficamente en el entorno 3D.

2. OBJETIVO GENERAL Este proyecto tiene como objetivo profundizar la representación gráfica de funciones de dos variables, utilizando el programa GeoGebra, analizando las trazas generadas a partir de cortes con planos a los planos xy, yz y xz.

2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS     

Utilizar el programa GeoGebra para afianzar conceptos y agilizar procesos. Representar gráficamente en el entorno 3D de GeoGebra una esfera con centro en el origen, un elipsoide y un paraboloide elíptico. Reconocer las principales superficies cuádricas utilizando el programa GeoGebra. Trazar planos paralelos a los planos xy, yz y xz y utilizando el comando intersección entre superficies., Identificar las trazas generadas por los planos xy, yz y xz.

3. CONCEPTOS

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3.1. Superficies cuadráticas: Además de los cilindros, existen otras formas geométricas en el espacio. Para ser precisos, hay seis superficies espaciales que describen fenómenos reales muy frecuentemente. Primero es necesario saber cómo distinguir la ecuación de una superficie cuadrática. Como primer indicador, siempre en una superficie cuadrática existen las tres variables espaciales x, y y z. De solo poseer una ecuación dos variables, se trataría de un cilindro. La siguiente señal es que al menos dos de esas variables están elevadas al cuadrado. En general, las superficies cuadráticas son de la forma:

Aunque son seis las superficies cuadráticas, es importante mencionar una superficie especial: la esfera. La esfera es una figura geométrica bastante conocida y común. Hasta los planetas son muy similares a esferas. Matemáticamente, las esferas poseen una representación algebraica como la siguiente: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟 2 La anterior es una ecuación reducida para una esfera de radio r y con centro en el punto C(a,b,c). Parece mucho a una circunferencia en un plano de dos dimensiones. De hecho, la abstracción al espacio tridimensional es inmediata. La definición forma de una esfera es un conjunto de todos los puntos (x,y,z) que son equidistantes a un punto fijo llamado centro.

Imagen 1. Ahora, habiendo explicado la anterior superficie, continúan las 6 superficies cuadráticas. Dichas formas espaciales son: el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono elíptico, el paraboloide y el paraboloide hiperbólico.

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3.1.1. Elipsoide: El elipsoide es una superficie cuadrática fácil de identificar. Las características de su forma algebraica es que las tres variables x, y, y z están elevadas al cuadrado y todas son positivas. Además, en su forma más simple, están igualadas a 1. La ecuación reducida de un elipsoide es:

Se puede observar que las tres variables son positivas y todo está igualado a 1. Las constantes a, b y c representan la máxima extensión del elipsoide en los ejes x, y y z respectivamente. El centro del elipsoide es C (𝑋0 , 𝑌0 , 𝑍0 ). Lo anterior cobra significado al graficar un elipsoide en el espacio:

Imagen 2. Como se puede apreciar, el elipsoide es una forma directa en tercera dimensión de una elipse común de dos variables. Posee un centro y tres ejes principales que designan el largo, ancho y alto de la superficie cuadrática. Se puede asimilar como un globo zeppelín.

3.1.2. Hiperboloide de una hoja: El hiperboloide de una hoja es una forma que parece familiar al verla pero que en realidad no es tan común en la naturaleza visible. El hiperboloide se puede entender como la

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revolución de una hipérbola sobre el eje que por el que no pasan los vértices, adquiriendo así volumen. La ecuación de un hiperboloide se identifica porque, en primer lugar, todas las variables están igualadas a 1. Sin embargo, una de ellas es negativa. De hecho, la variables que es negativa será la que indique hacia que eje abre el hiperboloide. La ecuación, pues, de un hiperboloide de una hoja es:

Las constantes a, b y c designan la extensión en los ejes de cada variable. En el caso anterior, el hiperboloide tiene su centro en el origen, sin embargo esto puede cambiar si se suman o restan valores a las variables lineales y el resultado se eleva al cuadrado.

Imagen 3. En este ejemplo, el hiperboloide abre hacia el eje z pues es esa la variable que es negativa. No en todas las superficies cuadráticas hay que guiarse por el signo de las variables sino en cuál es la que se diferencia del resto. A veces que sea negativa no es la señal que se busca.

3.1.3. Hiperboloide de dos hojas:

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El hiperboloide de dos hojas es la revolución de una hipérbola sobre el eje por el que sí pasan los vértices. El resultado es una figura segmentada. Por ejemplo, una hipérbola horizontal con centro en el origen.

Imagen 4. La ecuación algebraica de esta superficie cuadrática es igual a la anterior, pero en este caso son dos de las variables las que son negativas. Para identificar el eje hacia donde abre este hiperboloide hay que ubicar la variable que es positiva, aquella que se diferencia de las demás. Todo está igualado a 1.

El caso anterior es el de un hiperboloide de dos hojas con centro en el origen y que abre hacia el eje z. La variable z es positiva mientras que las x y y son negativas. La gráfica se ve así:

Imagen 5.

3.1.4. Cono:

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El cono o cono elíptico es una superficie cuadrática que es similar en cierta forma a un hiperboloide de una hoja. La diferencia es que su forma es más recta y existe un punto de convergencia del que emergen dos formas cónicas. La ecuación de un cono es similar también a la del hiperboloide de una hoja. Las tres variables están elevadas al cuadrado y solo una es negativa. Dicha variable señala hacia cual eje abre el cono. Sin embargo, todo está igualado a 0. Es por eso que es común encontrarse con la ecuación de esta forma:

Aparentemente, todas las variables son positivas. Pero las ecuaciones de las superficies vistas hasta ahora tienen a todas las variables de un lado de la ecuación y al 1 del otro lado. Ahora, como todo está igualado a 0, la variable negativa pasa del otro lado pero positiva. El centro del cono es el origen, sin embargo puede ser cualquier otro punto.

Imagen 6. Para conos, el centro puede entenderse como el punto de convergencia donde el volumen se termina. Como se ve en la figura, el centro está en el origen y de él parten los dos conos.

3.1.5. Paraboloide:

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El paraboloide es una forma más o menos común. No tanto en la naturaleza, pero si coincide con las antenas parabólicas de transmisión de señales que se usan en todo el mundo. El paraboloide resulta de rotar una parábola en dos dimensiones sobre un eje. La ecuación de paraboloide es similar a la del cono. Pero tiene otra peculiaridad. Todo está igualado a 0. Una variable es negativa, sin embargo, esa misma variable es lineal, es decir, no está elevada al cuadrado.

La variable z es negativa pero pasa al otro lado de la ecuación con el signo contrario. Además de ser negativa, es lineal. Otro detalle importante es que el denominador que pudiera presentarse dividiendo a z es lineal también. El paraboloide no tiene centro pero si vértice y se obtiene igual. En este caso es un paraboloide con centro en el origen.

Imagen 7. La variable z se distingue de las otras dos. No solo es negativa sino que es lineal y las otras son cuadráticas. Por ello, el paraboloide abre hacia el eje z positivo. A partir de aquí hay que aclarar algo muy importante. En este ejemplo, la variable lineal fue negativa. Si fuera positiva, pasaría al otro lado de la ecuación con el signo negativo. En tal caso, el paraboloide abriría hacia el eje z negativo.

3.1.6. Paraboloide hiperbólico:

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El paraboloide hiperbólico es sin duda la superficie cuadrática más compleja y así mismo, más difícil de graficar. Se considera que tiene la forma de una silla de montar. La ecuación algebraica tiene varios distintivos. Primero, todos los elementos están igualados a 0. Existe una variable lineal. Esta variable indica hacia que eje apunta el "asiento" de la silla. Esta variable puede ser negativa o positiva, y de ello depende que la silla apunte hacia el eje positivo o al negativo, respectivamente. La siguiente peculiaridad es que alguna de las variables cuadráticas es negativa. Dicha variable indica hacia donde apunta el costado de la "silla".

El caso anterior es de un paraboloide con centro en el origen. La variable z es lineal y positiva del otro lado de la ecuación. Originalmente era negativa, por lo que la "silla" apuntara hacia el eje z positivo. La variable x es negativa, por lo que la "silla" apunta de frente al eje y y su costado al eje x.

Imagen 8.

Pasos GeoGebra Elipsoide.

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1. Creamos deslizadores a, b y c con intervalos de 0 a 5 con un incremento de 0.1

Imagen 9.

Imagen 10.

2. Creamos deslizadores d, e y f con intervalos de -5 a 5 con un incremento de 0.1

Imagen 11.

Imagen 12.

3. Inicialmente colocamos los deslizadores en los siguientes valores: a=4

b=3

c=2

d=0

4. Escribimos la ecuación:  ((x+d)^2/a^2+(y+e)^2/b^2+(z+f)^2/c^2) = 1

e=0

f =0

12 Imagen 13.

Imagen 14.

5. Ahora vamos a localizar los puntos de intersección del elipsoide con los ejes coordenados. Utilizando la herramienta intersección así:

Imagen 15.

 Seleccionamos el elipsoide y el eje (X), nos dará los puntos en el plano.  Seleccionamos el elipsoide y el eje (Y), nos dará los puntos en el plano.  Seleccionamos el elipsoide y el eje (Z), nos dará los puntos en el plano.

Imagen 16.

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6. Dibujamos el punto en el origen como: O = (0, 0, 0) 7. Con la herramienta plano por tres puntos y las intersecciones en los Ejes Y y, Eje Z, dibujar los plano YZ.

Imagen 17.

 Se toca el punto F en el Eje Z

Imagen 18.  Se toca el punto O en el origen

Imagen 19.

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 Se toca el punto D en el Eje Y

Imagen 20.  Plano

Imagen 21.

8. Con la herramienta intersección de dos superficies encontramos la intersección, y la nombramos H.

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Imagen 22.

 Tocamos el plano G

Imagen 23.  Tocamos el elipsoide

Imagen 24.

 Ocultamos el plano

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Imagen 25.

Imagen 26.

 Seleccionamos H. le damos clic derecho y le damos en propiedades, para así ponerle el color que se pueda distinguir de la elipsoide.

Imagen 27.

Imagen 28.

9. Con la herramienta plano por tres puntos y las intersecciones en los Ejes X y, Eje Z, dibujar los plano XZ.

 Se toca el punto F en el Eje Z

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Imagen 29.  Se toca el punto O en el origen

Imagen 30.  Se toca el punto B en el Eje X

Imagen 31. 10. Con la herramienta intersección de dos superficies encontramos la intersección, y la nombramos K.

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 Tocamos el plano y la elipsoide

Imagen 32.  Ocultamos el plano y le damos el color a la intersección hallada

Imagen 33. 11. Con la herramienta intersección de dos superficies encontramos el plano XY que sale por defecto la intersección, y la nombramos P.

 Tocamos el plano XY y la elipsoide y le ponemos color para distinguirla

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Imagen 34.

Imagen 35.

12. Utilizando los deslizadores podemos variar:  Posición, tamaño y forma

Pasos GeoGebra par Paraboloide hiperbólico:

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1. Escribimos la ecuación X^2-Y^2=Z. le ponemos color a gusto y la ubicación más adecuada.

Imagen 36. Si trazamos plano paralelos al plano OXY escribiendo en entrada Z=K, para K=0 (el plano coincide con el plano OXY) la intersección con el paraboloide son dos rectas que se cortan en el origen de las coordenadas. 2. Escribimos en Entrada Z = K establecemos el deslizador respectivo para K desde -5 hasta 5 con un intervalo de 0.1, y los llevamos al valor K = 0. Y así establecemos el plano.

Imagen 37.

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3. Con la herramienta de intersección de dos superficies, tocamos el paraboloide y el plano o sus ecuaciones en la vista algebraica podemos ver la intersección, y para resaltarla le damos clic derecho en la vista algebraica o gráfica y le damos el color para diferenciarla.

Imagen 38.

Imagen 39.

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Imagen 40.

Imagen 41.

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4. Ocultamos el plano y el paraboloide hiperbólico dando clic izquierdo en el punto de la vista algebraica se puede ver la traza.

Imagen 42.

Imagen 43.

Si el valor de K es positivo, la intersección de ese plano con el paraboloide serán hipérbolas que tienen por eje principal el Eje X.

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5. Movemos el deslizador K hacia valores positivos, negativos y podemos observar las hipérbolas que forman como intersección y como se alejan sus rectas del Eje Z. si ocultamos el paraboloide serán más fáciles de observar.

Imagen 44.

Imagen 45.

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Imagen 46.

Imagen 47. Si trazamos planos paralelos en el plano OYZ escribimos en Entrada X = m, la intersección de este plano con el paraboloide serán parábolas.

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6. Ocultamos el plano y la intersección ya trazado y hacemos visible el paraboloide, ahora elegimos la herramienta plano y escribimos en Entrada X = m. establecemos el deslizador.

Imagen 48.

Imagen 49.

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Imagen 50.

7. Con la herramienta intersección de dos superficies tocamos el plano y el paraboloide. Damos color a la intersección. Y observamos las parábolas y la variación de sus posiciones.

Imagen 51.

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Imagen 52.

Imagen 53.

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Imagen 54.

8. Ocultamos el plano y el paraboloide para ver mejor el movimiento .

Imagen 55.

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Imagen 56.

Imagen 57. 9. Seleccionamos la herramienta planos para OXZ, y escribimos en Entrada Y = n la interseccion en este plano con el paraboloide seran parabolas que se abren en el sentido positivo del Eje Z.

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Imagen 58 . 10. Seleccionamos la herramienta interseccion de dos superficies y selecionamos el paraboloide y el plano OXZ para ver la trza.

Imagen 59.

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Imagen 60.

4. Representación gráfica en el entorno 3D de GeoGebra 4.1. Esfera con centro en el origen: A continuación se realizará un ejemplo de cómo graficar una esfera en 3D, con ayuda del Software GeoGebra. 4.1.1. Al abrir la aplicación, se encontrará con la pantalla inicial la cual se ilustra a continuación.

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Imagen 9. 4.1.2. Se debe seleccionar primero la opción de graficar en 3D, para ello se debe ingresar a vista y seleccionar la opción vista gráfica 3D. La pantalla principal ahora se verá así:

Imagen 10. 4.1.3. Para graficar la esfera, ingresar la ecuación la parte inferior donde dice Entrada y dar enter. La ecuación para este ejemplo es: 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑧 2 = 20

4.1.4. A continuación la aplicación le pondrá la ecuación en la vista algebraica.

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4.1.5. La aplicación le graficará la ecuación en el plano 3D, teniendo como resultado una esfera.

Imagen 11.

6. CONCLUSIONES

1. GeoGebra es un software didáctico y con diferentes herramientas que facilita al estudiante el aprendizaje de las derivadas. 2. GeoGebra es una nueva alternativa grafica para aprender, ya que ofrece una gran variedad de ecuaciones que sirven para comprobar procedimientos realizados a mano. 3. que el paraboloide hiperbólico no es simétrico con respecto al origen de las coordenadas. 4. el paraboloide es una superficie reglada, es decir, siendo una puperficie curvada, se puede contruir con líneas rectas.

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5. que dando 5 puntos en el espacio, que no estén en el mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por esos cuatro puntos.