Guia Espacios Vectoriales 2006

Universidad de Los Andes Facultad de Ingenier´ıa ´ Algebra Lineal 2006-2 Profesora: Carolina Prado B. Auxiliar: Rodolfo Carvajal V.

Gu´ıa Espacios Vectoriales P1. Sean V, W espacios vectoriales sobre R. En V × W se define la suma y ponderaci´ on por escalar como: (v, w) + (v ′ , w′ ) = λ(v, w) =

(v + v ′ , w + w′ ), ∀(v, w), (v ′ , w′ ) ∈ V × W (λv, λw), ∀(v, w) ∈ V × W, ∀λ ∈ R

Pruebe que V × W es un espacio vectorial sobre

R.

P2. Demostrar que V = R+ × R+ , con las operaciones: (v, w) + (v ′ , w′ ) = α(v, w) = es un e.v. sobre

(vv ′ , ww′ ), ∀(v, w), (v ′ , w′ ) ∈ V (v α , wα ), ∀(v, w) ∈ V, ∀α ∈ R

R.

P3. ¿Cu´al de los siguientes conjuntos son s.e.v. de los e.v. indicados? En caso de serlo, indique una base y la dimensi´ on de s.e.v a) S1 = {(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn | x1 = x2 , · · · , xn } de Rn  b) S2 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + 1 = x2 + 2 = x3 + 3 de R3  c) S3 = (x1 , x2 , · · · , x2n+1 ) ∈ R2n+1 | x1 = x3 = x5 = · · · = x2n+1 de

R2n+1

P4. Para α ∈ R, sea el conjunto Sα ⊆ Pn (R) definido por:

Sα = {p ∈ Pn (R) : p(0) = α}. Determine para qu´e valores de α, Sα no es s.e.v. de Pn (R). P5. Sean P2 el e.v. de los polinomios de grado menor o igual a 2 sobre los reales. Sean x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, y sean p1 , p2 , p3 ∈ P2 tales que: ( 1 si i = j ∀i, j ∈ {1, 2, 3} , pi (xj ) = . 0 si i 6= j a) Determinar expl´ıcitamente p1 , p2 , p3 b) Mostrar que {p1 , p2 , p3 } es una base de esta base.

P2 y determinar las coordenadas de 1 + x + x2 en

P6. Sea M2 (R), el espacio vectorial de las matrices cuadradas de 2 × 2 sobre ponderaci´ on por real est´ andar. Considere el siguiente subconjunto:

R con la suma y la

V = {M ∈ M2 (R) | (M )i,j = (M )3−i,3−j , i, j ∈ {1, 2}} . a) Demuestre que V es subespacio vectorial de M2 (R). b) Encuentre una base para V y de su dimensi´ on. 1

c) Sean W el espacio vectorial de las matrices sim´etricas de 2 × 2 y {v1 , v2 } una base para V . Encuentre w ∈ W tal que h {v1 , v2 , w} i = W . P7. Sean F y G s.e.v. de un e.v. E sobre un cuerpo K. Pruebe que F ∩ G es s.e.v. de E y d´e un contraejemplo para mostrar que, en general, F ∪ G no es un s.e.v. de E on}, espacio vectorial sobre P8. Sea F = {f : Z −→ R | f es funci´ ponderaci´ on por real est´ andar. Se consideran los conjuntos:

R con la suma de funciones y la

V1 = {f ∈ F | ∀k1 , k2 ∈ Z, (f (2k1 ) = f (2k2 )) ∧ (f (2k1 + 1) = f (2k2 + 1))} V2 = {f ∈ V1 | ∀k ∈ Z, f (2k) = 1 + f (2k + 1))} a) Demuestre que V2 no es subespacio vectorial de F . b) Demuestre que V1 es un subespacio vectorial de F . c) Encuentre una base para V1 . P9.

a) Sean a, b y c tres vectores en un espacio vectorial. Determine si el conjunto {a+b, b+c, c+a} es l.i. b) Determine α, β ∈ R de modo que los vectores    1 α  2   1     α , 2 1 3 sean l.d.

de R4 :  

 0   1  ,    β  0

c) Sean u1 , u2 , . . . , uk vectores l.i. en un espacio vectorial. Pruebe que para todo escalar α, los vectores: u1 + αu2 , u2 , . . . , uk son l.i. d ) Pruebe que el conjunto de polinomios reales: {1, (x − 1), (x − 1)(x − 2), (x − 1)(x − 2)(x − 3), . . . , (x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − k)} es l.i. P10. Sea V e.v., de dimensi´ on n. Se dice que {v1 , . . . , vm } ⊆ V es un conjunto casi independiente de vectores si m > n, y para todo j ∈ {1, · · · , m} se tiene que {v1 , . . . , vm } \ {vj } es l.i. a) Pruebe que si {v1 , . . . , vm } ⊆ V es casi independiente, entonces m = n + 1. b) D´e un ejemplo en V = R2 de un conjunto casi independiente. P11. Sean F y G s.e.v. de

Rn . Pruebe que

a) (F ⊥ )⊥ = F b) (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ c) (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ d ) Si F ⊥ ∩ G⊥ 6= {0}, entonces F + G 6= Rn P12. Sea A ∈ Mn×n (R). Sea ker(A) = {x ∈ Rn | Ax = 0}. Demuestre que ker(A) es un s.e.v. de Rn . P13. Sean E, F e.v. sobre una cuerpo K. Considere E × F con la suma y ponderaci´ on por escalar definido en el problema (1), de forma que E × F es e.v. sobre K. 2

a) Demuestre que E×{OF } y {OE }×F son s.e.v. de E×F y que E×{OF }⊕{OE }×F = E×F . Nota: OE y OF denotan el neutro aditivo de E y F respectivamente. b) Sea {e1 , . . . , en } base de E y {f1 , . . . , fn } base de F . Determine una base de E × F P14. Sean los conjuntos W1 = {p ∈ P4 | p tiene a 1 como ra´ız} , a) Demuestre que W1 y W2 son s.e.v. de

W2 = {p ∈ P4 | p tiene a 2 como ra´ız}

P4.

b) Encuentre bases de W1 y W2 y d´e las dimensiones respectivaas. c) Encuentre bases de W1 ∩ W2 y d´e su dimensi´ on. d ) Deduzca que W1 + W2 = P4. ¿Es suma directa? P15. Sea F(R, R) = {f : R → R | f es funci´ on}  a) Sea I = 1[n,n+1) | n ∈ Z , donde ∀x ∈ R,

1[n,n+1) (x) =

(

1 si x ∈ [n, n + 1) 0 si x ∈ / [n, n + 1)

Demuestre que I es un conjunto l.i. ¿Es base de F(R, R)? b) Si se considera ahora la funci´ on fk (x) = |x − k| , x ∈ R, k ∈ N. Demuestre que para todo n ∈ N, {f1 , . . . , fn } es un conjunto l.i. ¿Es base de F(R, R)? P16. Sea

RN , el conjunto de las funciones definidas sobre N, a valores en R, es decir: RN = {f : N −→ R|f es funci´on}

Sea F el subconjunto de elementos de N.

RN que contiene funciones que se anulan en un n´umero finito de

a) Demuestre que F es un s.e.v. de

RN , sobre R.

b) Demuestre que F no tiene dimensi´ on finita, es decir, que ∀n > 0, dim(F ) > n. P17. Sea m = 2n con n > 0 y considere el conjunto Pm (R) de los polinomios de grado menor igual que m con coeficientes reales p(x) = a0 + a1 x + . . . + am xm . Se define el conjunto V = {p ∈ Pm (R) | ∀i ∈ {0, . . . , m}, ai = am−i } a) Probar que V es un subespacio vectorial de Pm (R) sobre los reales. b) Encontrar una base de V y deduzca que su dimensi´ on es n + 1. c) Probar que Pm (R) = V ⊕ Pn−1 (R) d ) Se define

V ′ = {p ∈ Pm (R) | ∀i ∈ {0, . . . , m}, ai = −am−i }

Probar que Pm (R) = V ⊕ V ′ (asuma que V ′ es un subespacio vectorial de Pm (R)). P18. Considere (P3 [R], +, R, ·) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes reales. Sean W1 , W2 subconjuntos de P3 [R] definidos por: W1 = {p ∈ P3 [R]/

p(−2) = 0}

W2 = {p ∈ P3 [R]/

p(0) = −2}

3

(a) Demuestre que W1 es s.e.v. de P3 [R]. (b) Determine si W2 es o no es s.e.v. de P3 [R]. (c) Demuestre que B = {v1 , v2 , v3 } es base de W1 , con v1 (x) =

x3 + 4, 2

v2 (x) = x2 − 4,

v3 (x) = 3x + 6

(d) Sean V1 y V2 dos s.e.v. de P3 [R] definidos por: V1 = {q ∈ P3 [R]/

q(x) = αx3 + 8α,

α ∈ R}

V2 = {r ∈ P3 [R]/ r(x) = βx2 + γx − 4β + 2γ,

β, γ ∈ R}

Demuestre que W1 = V1 ⊕ V2 . P19. Sea E el espacio vectorial sobre

R de las funciones definidas sobre Z a valores reales:

E = {f | f : Z → R es funci´ on} Sean a1 , a2 ∈ R con a2 6= 0 y F el conjunto de las funciones f en E que verifican la condici´on: ∀n ∈ Z,

f (n) + a1 f (n − 1) + a2 f (n − 2) = 0

a) Mostrar que F es un s.e.v. de E. b) Sean a, b ∈ R. Mostrar que existe un u ´ nico elemento f ∈ F tal que f (1) = a y f (2) = b. c) ¿Cu´ al es la dimensi´ on de F? P20. Sea {a1 , . . . , an } una base de un e.v. E de dimensi´ on n sobre vectores n X αij aj i ∈ {1, . . . , p} xi =

K. Dado p ≤ n se definen los

j=1

en donde los escalares αij satisfacen: a) j < i ⇒ αij = 0 b) αii 6= 0 ∀i ∈ {1, . . . , p} Muestre que {x1 , . . . , xn } es un conjunto l.i. P21. Sea el s.e.v de

R3 :    2 5 *     1 2    V =  1 , 1    2 1

a) Encuentre una base de V .

 

  1 5   −1   −3 ,     2 , 7 −1 −3

b) D´e una base ortonormal de V . c) D´e una base de V ⊥ .

4

 2  +   3  ,    −1    3  