Guia Ejercicios Teorema Secante

Guía 3 ejercicios Geometría  Teorema de las Secantes: “ Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia son iguales”

A

xO B P

C D

Sea P : Punto de Intersección Exterior A, B, C y D puntos de intersección con la circunferencia Entonces : PA*PB = PC*PD Observación.La relación PA*PB = PC*PD señala que los segmentos de las secantes, medidos desde el punto exterior a la intersección con la circunferencia, son inversamente proporcionales a los segmentos medidos desde el punto exterior al punto más cercano de la intersección con la circunferencia. Ejemplo.1.- Consideremos la siguiente figura, donde se tiene que: PB = 12 cm PA = 36 cm PD = 9 cm Determinar la medida del segmento PC

B

P

A xO

Sea PC = x Entonces según el teorema

D

PC*PD = PA*PB C

2.- Calculemos las medidas de los segmentos PA y PC indicados en la figura, si: PA = (x + 9 )dm PB = (5 – x ) dm PC = (9 – x) dm PD = (x + 4) dm Segun el teorema

A B

xO

P D

PC*PD = PA*PB

 Teorema de la Tangente y la Secante:

C

“Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una secante, entonces el cuadrado de la medida de la distancia desde ese punto P al punto de tangencia, es igual al producto de la distancia que hay desde P a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia.”

A B x O P

T

Sea P punto exterior cualquiera T punto de tangencia A y B puntos de intersección de la secante con la circunferencia Entonces: PT2 = PA*PB Observación.La relación PT2 = PA*PB señala que la distancia desde un punto P al punto de tangencia, es la media proporcional geométrica, entre la distancia desde el punto P a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia. EJEMPLO: En la circunferencia de la figura, consideremos que AB = 30 cm y BP = 2 cm. Calculemos la medida de PT. Sea PT = x Por teorema de la Tangente y la Secante PT2 = PA*PB Remplazando x2 = 32*2 x2 = 64 x =8 Por lo tanto, PT mide 8 cm

T xO

A

B

P

EJERCICIOS.1.- En la figura, PA y PB son secantes trazadas desde un punto P exterior a la circunferencia. Calcula el valor de x si: i) PA = 24 m ; PB = 9 m ; PC = 18 m; PD = x ii) PA = (23 + x) cm; PB = 2x cm; PC = (18 + x) cm P B PC = (18 + x) cm; PD = (7 – x) cm iii) PC = 24 cm; AB = 10cm; PA = 16 cm; DC = x A x O D C

2.- En la circunferencia de la figura, la tangente PT y la secante BA se intersectan en el punto P. Calcula el valor de x, en cada caso. i) PA = 4 m; PB = 1 m; PT = x ii) PB = 5 m; AB = *PB; PT = x iii) PB = AB; PT = 6 2 m; PA =x

T

xO P B A