Guia Didactica Unidad Ii V5

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO

Guía Didáctica de la Unidad II. Funciones y su aplicación a la Economía. Jorge E. Hernandez H 13/08/2009

El contenido de esta guía corresponde a la segunda unidad del programa de la asignatura Matemática, dictada en el Decanato de Administración y Contaduría, en la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

Introducción El contenido de esta guía servirá para cubrir los objetivos propuestos en el programa de la asignatura Matemática dictada en el Decanato de Administración y Contaduría en la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

El diseño va de acuerdo a lograr los objetivos y usa el esquema de auto aprendizaje, es decir, el estudiante es el responsable de su aprendizaje, el docente y los materiales didácticos suministrados son una herramienta para lograr el aprendizaje.

La temática está organizada de la siguiente manera: un primer capítulo contiene la teoría básica respecto a funciones (su definición, sus propiedades, sus operaciones), el segundo capítulo describe dos tipos de funciones básicas, las lineales y las cuadráticas, sus propiedades y gráficas, el tercer y último capítulo versa sobre las aplicaciones de la teoría de funciones a la Economía.

Tabla de contenido Introducción............................................................................... .........................2 Capítulo I. Funciones..........................................................................................4 I.1 Introducción...............................................................................................4 I.2 Definición de Función..................................................................................4 I.3 Algunas funciones de uso frecuente...........................................................7 I.3.1 Función constante................................................................................7 I.3.2 Función Identidad: .............................................................................7 I.3.5 Función Racional ..................................................................................8 I.4 Operaciones con Funciones.........................................................................8 I.5 Gráficas de funciones................................................................................10 Capítulo II. Funciones lineales y Cuadráticas.....................................................14 II.1 Funciones Lineales..................................................................................14 II.1.1 Pendiente y ordenada en el origen...................................................14 II.1.2 Paralelismo y Perpendicularidad entre rectas. .................................15 II.2 Cuadráticas.............................................................................................21 Bibliografía........................................................................................ ................26

Capítulo I. Funciones. I.1 Introducción. Nuestro ambiente está rodeado de situaciones las cuales pueden ser representadas por diagramas de este tipo: Entrada

Proceso

Salida

Por ejemplo, un ser humano puede transformar el oxígeno que toma del aire en anhídrido carbónico por medio del proceso de la respiración. En este caso, la entrada es la cantidad de oxígeno, la salida es la cantidad de anhídrido carbónico y el proceso es la respiración. Otro ejemplo, esta vez de tipo financiero, es aquel que se nos presenta en una cuanta de ahorro; se abre una cuenta de ahorro con una cantidad inicial x y al cabo de 1 año, sin haber hecho retiros el saldo de la cuenta es mayor. En este caso, la entrada es la cantidad de dinero depositada inicialmente, la salida es la cantidad en el saldo al cabo de 1 año, y el proceso es el cálculo de intereses. Esta idea de representación diagramática fue llevada al campo de las matemáticas cuando se observó que un número puede ser transformado en otro por medio de operaciones fundamentales. Por ejemplo, cuando tenemos una regla para procesar o transformar un número de este tipo: x → x + 3, es decir, el número x es transformado sumándole 3, vemos que la entrada es cualquier número real x, la salida es el resultado de sumar x con 3, y el proceso es la suma. Veamos entonces a que llamamos función.

I.2 Definición de Función. Definición: Sean A y B conjuntos cualesquiera. Una función, denotada con la letra minúscula f, es una regla que asocia, a cada elemento del conjunto A, un único elemento del conjunto B. Esta es una definición general, ya que la naturaleza delos conjuntos A y B es arbitraria. Un ejemplo adicional es el siguiente: En un escritorio de una secretaria hay algunos sobres con cartas, carpetas con oficios y planillas de solicitud de empleo, adicionalmente, en la oficina hay un archivo para guardar documentos, la regla establecida es como sigue, en la

primera gaveta del archivo se guardan las cartas, en la segunda se guardan los oficios y en la tercera se guardan las solicitudes de empleo; entonces la secretaria podrá cambiar de posición (escritorio – archivo) a los documentos, según la regla indicada. Este ejemplo puede ser representado en el siguiente diagrama.

Definición: Una función real de variable real f es una función que actúa sobre conjuntos numéricos. Más precisamente, una función real de variable real es una regla que asocia a cada número de un conjunto A un único número de un conjunto B. Notación: La simbología f : A ⊂ R → B ⊂ R , o más brevemente f : A → B se lee: f es una función que actúa de un subconjunto A de los números reales en un subconjunto B de los números reales.

Ejemplos: a) La regla que asocia cada elemento x de R con el elemento x 2 es una función. b) La regla que asocia cada elemento

x > 0 en R por medio de la regla

x no es

una función, puesto que cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas. ( 4 = ±2. ) En vista de que estamos asociando pares de números por medio de una regla, y no arbitrariamente, llamaremos a la variable x variable independiente ó variable de entrada, y llamaremos variable dependiente o de salida, a la variable producto de haber transformado a x por medio de la regla dada, la denotaremos con la letra y o con el símbolo f ( x ), es decir y = f ( x ).

Es importante reconocer que el símbolo f ( x ) denota el valor que toma la función una vez que ha sido procesada la variable de entrada x por medio de la regla dada.

Ejemplo: Dada la regla x → 2 x + 1, si la variable de entrada toma el valor 2, es decir, si x = 2 , entonces el valor transformado es 2.2 + 1 = 5 , y podemos escribir, f (2) = 5. Otra observación la obtenemos al interpretar la simbología x → 2 x + 1; esta quiere decir que para cualquier valor que tome la variable x la variable de salida es calculada multiplicando por 2 la variable de entrada y luego sumándole 1 al resultado preliminar. Otros conceptos importantes son los correspondientes al conjunto que llamaremos Dominio de la función, y al conjunto Rango de la función. Veamos.

Definición: Dominio de una función. El conjunto valores numéricos que una función “puede procesar” es denominado Dominio de la función. Esta conjunto es denotado por Dom ( f ).

Esta definición es necesaria ya que existen funciones que no pueden procesar todos los valores numéricos; veamos un ejemplo: Ejemplo: Dada la regla

f ( x) =

1 , x−5

si intentamos asignar a la variable x el valor numérico 5, vemos que x − 5 = 5 − 5 = 0, y en consecuencia f (5) sería el resultado de dividir 1 entre cero, lo cual no puede hacerse ya que no existe un número que multiplicado por cero el resultado sea 1. Vemos entonces que la función f no puede procesar el valor x = 5. Por lo tanto el número 5 no pertenece al dominio de f.

Definición: Rango de una función. El conjunto de valores resultantes de haber procesado los elementos del dominio por medio de la función, se denomina Rango de la función, y se denota por Rang ( f ).

Ejemplo: Para el ejemplo anterior si x = 0 entonces al sustituir este valor en la regla, obtenemos:

f (0) =

1 1 1 = =− 0−5 −5 5

1 pertenece al rango de la función, ya que este es el resultado de 5 haber procesado al elemento x = 0 que pertenece al dominio. Decimos entonces que −

I.3 Algunas funciones de uso frecuente. I.3.1 Función constante La función f : R → R definida por f ( x ) = k , donde k es cualquier número fijo, se denomina función constante, y tiene como dominio al conjunto

Dom ( f ) = R . Un ejemplo de esta función es: f ( x) = 4 Notemos que:

R , es decir,

x = 0 ⇒ f ( 0) = 4 x = 1 ⇒ f (1) = 4

es decir, no importa el valor que tome la variable x, el resultado siempre es 4.

I.3.2 Función Identidad: La función f : R → R definida por f ( x ) = x se denomina función identidad, y tiene como dominio al conjunto R. Observemos que:

x = 1 ⇒ f (1) = 1 x = −5 ⇒ f (−5) = −5 Esta función no modifica el valor de entrada x. I.3.3. Función Potencial:

La función f : R → R definida por f ( x ) = ax n , con n en los enteros positivos y a un número real, se denomina función potencial. Tiene como dominio el conjunto de los números reales, es decir, Dom ( f ) = R . Ejemplos de funciones potenciales son:

f ( x) = x2

g ( x ) = 4x 3

h( x ) = −3x 5

I.3.4 Función Polinómica Una función cuya regla está definida de la siguiente forma

f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + .... + a1 x + a0 donde an , an − 1 ,...., a1 , a0 son números reales, se denomina función polinómica. En general, el dominio de este tipo de funciones es R . I.3.5 Función Racional Diremos que una función f es una función racional si la regla que la define es la división de dos polinomios

f ( x) =

p( x ) q( x )

donde el grado del polinomio del denominador es mayor que cero. El dominio de esta función es R − { x : q ( x ) = 0} , es decir, todos los reales menos aquellos números que anulan el denominador. Un ejemplo de este tipo de funciones es

cuyo dominio es R − { 7 } .

x2 − 3 f ( x) = x−7

I.4 Operaciones con Funciones. En vista de que los valores de las funciones que estamos estudiando son números reales, es natural definir las operaciones con funciones de manera similar a las operaciones con números.

Definición: Sean f y g funciones reales de variable real. Definimos: 1. Función Suma:

( f ± g )( x ) = f ( x ) ± g ( x ) , Dom ( f ± g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) 2. Función Producto

( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) , Dom ( f ⋅ g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) 3. Función Cociente:

( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x ), Dom ( f / g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) − { x : g ( x ) = 0} Ejemplo 1: Sean f ( x ) = 3 x + 1 y g ( x ) = x 2 − 2. Encuentre f + g y Respuesta: Según la definición, tenemos:

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 3 x + 1 + x 2 − 2 = x2 + 3 x − 1 ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = (3 x + 1)( x 2 − 2) = 3 x3 − 6 x2 + x2 − 2 = 3 x3 − 5 x2 − 2 Para cualquiera de estas funciones el dominio es R , ya que

Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) = R ∩ R = R . Ejemplo 2: Sean f ( x ) = 4 x − 2 y g ( x ) = 5 x + 1. Encuentre f / g. Respuesta: Usando la definición, tenemos:

f ⋅ g.

( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x ) =

4x − 2 5x + 1

El dominio de esta función lo conseguimos así: 1. Encontramos los números que anulan al denominador:

5 x + 1 = 0 ⇔ 5 x = −1 ⇔ x = −

1 5

2. El dominio buscado es

Dom ( f / g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) − {−1 / 5} = R ∩ R − {−1 / 5} = R − {−1 / 5} I.5 Gráficas de funciones. Así como hemos logrado la representación del conjunto de números reales sobre una recta (lugar geométrico), también podemos lograr otra representación, pero esta vez, de un nuevo conjunto denotado por R 2 , con un plano. Adicionalmente, daremos a conocer fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos en un plano y la pendiente que tiene el segmento de línea recta que los une. Plano Numérico. Comenzamos dando la definición de un nuevo conjunto numérico. Definición: El producto cartesiano del conjunto R con el mismo es un nuevo conjunto numérico denotado por R 2 , o por R × R, y está definido por:

R 2 = R × R = { ( a , b ) : a ∈ R, b ∈ R } A los elementos de este nuevo conjunto se les denomina pares ordenados y según vemos en la definición de reales.

R 2 son denotados por la forma (a, b) , donde a y b son números

Si recordamos, en las primeras clases, logramos la representación del conjunto de los números reales por medio de los puntos que configuran una recta, ahora en forma similar haremos la representación del conjunto

R 2 con un plano (lugar geométrico), esto es, a

cada punto del plano le haremos corresponder un único par ordenado (a , b) . Definición: Plano Numérico. Si trazamos dos rectas reales en forma perpendicular, una horizontal y la otra vertical, y tomamos como referencia al punto donde ambas se cortan, lograremos una representación de los puntos del plano, donde residen estas rectas, con los elementos del conjunto

R 2 en

forma única. A este plano se le denomina Plano Numérico.

La recta horizontal se denomina eje de las abscisas o simplemente eje x, y la recta vertical se denomina eje de las ordenadas o brevemente eje y. Un punto en el plano tiene a un único par ( x 1 , y 1 ) el cual es representado como en la figura anterior, es decir, la primera componente en la recta horizontal y la segunda en la recta vertical. Distancia entre dos puntos. Sean

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 )

dos puntos en el plano. La distancia entre ellos,

denotada por P1 P2 , está definida por el valor numérico resultante de la fórmula:

P1 P2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2

Veamos en la siguiente gráfica lo que significan los términos de la ecuación anterior.

En la ecuación anterior, los miembros ( x1 − x2 ) y ( y1 − y2 ) corresponden a las distancias signadas (con signo) entre esos números, los cuales, al ser elevados al cuadrado, serán positivos, con lo que estamos seguros de que la cantidad subradical es positiva. Podemos observar además que se ha formado un triángulo rectángulo entre los puntos indicados en la figura y que la distancia entre los puntos P1 y P2 , es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Pendiente entre dos puntos. Se denomina pendiente entre dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) , al número, denotado por m, y definido por la ecuación:

m=

y2 − y1 x2 − x1

Este número nos dará una indicación de la elevación del segmento de recta que une a los dos puntos. Veamos el gráfico.

Rigurosamente hablando la pendiente entre dos puntos no es más que el valor de la tangente del ángulo formado por el segmento de recta que une los puntos y la horizontal:

m = tag (θ ).

Capítulo II. Funciones lineales y Cuadráticas. II.1 Funciones Lineales Una de las ecuaciones preliminares que estudiaremos, es la ecuación lineal, la cual tiene como gráfica una línea recta. Toda ecuación que tiene la forma:

y = mx + b donde las variables son x, y , y recta. Por ejemplo, la ecuación:

m, b son números fijos, tiene como gráfica una línea y = 3x − 2

tiene como gráfica una línea recta; en la misma observamos que m = 3 y b = −2. Pero, necesitamos más información para poder graficar la recta asociada a este tipo de ecuación, es decir, si es horizontal o no, si es inclinada hacia arriba o hacia abajo. Bien, la misma forma de la ecuación nos brinda esa información. II.1.1 Pendiente y ordenada en el origen. Si la ecuación tiene la forma y = mx + b, llamaremos pendiente de la recta al número m, y diremos que:

m=0

⇒

m>0

⇒

la recta es inclinada hacia arriba

m<0

⇒

la recta es inclinada hacia abajo

la recta horizontal

Uno de los puntos del plano por donde pasa la recta es el punto (0, b). Este es el punto donde la recta corta al eje y. Es usual llamar al número b, ordenada en el origen. Aquí observamos algunas rectas que nos muestran lo anteriormente definido.

Nos queda un tipo de recta: la vertical; ésta no tiene una ecuación tipo y = mx + b. La ecuación que tiene como gráfica una recta vertical es:

x=a donde a es un número fijo. El punto (a ,0) es el punto donde la recta corta al eje x. Veamos un ejemplo de esta gráfica.

II.1.2 Paralelismo y Perpendicularidad entre rectas. La ecuación de la recta y = mx + b, contiene información que nos permite comparar rectas, unas con otras, según la posición geométrica que ocupan en el plano. Conocemos que dadas dos rectas L1 y L2 en el plano se pueden presentar tres casos geométricos: que sean paralelas, que sean secantes, es decir que se corten en algún punto, y que sean perpendiculares, es decir, que se corten en algún punto formando un ángulo recto. En la siguiente figura se muestran los tres casos.

El siguiente teorema nos mostrará lo que acabamos de decir. Teorema.

Sean las rectas

L1 con ecuación y = m1 x + b1 , y

L2 con ecuación

y = m 2 x + b2 . Entonces: a)

m1 = m 2

⇒

b)

m1m 2 = −1 ⇒

L1

L2

L1 ⊥ L2

c ) Si no se cumplen las anteriores condiciones las rectas son secantes. En el teorema anterior hemos usado los símbolos: “ || “ paralelismo y perpendicularidad, respectivamente.

y “ ⊥ “, los cuales denotan

Este teorema nos ayuda, sin necesidad de graficar las rectas, a determinar como son unas con otras: Si las pendientes de las ecuaciones son iguales decimos que las rectas son paralelas; si el producto de la multiplicación de las pendientes es − 1 decimos que las rectas son perpendiculares, y por último, si ninguna de las condiciones en a) y b) se cumplen, afirmamos que las rectas son secantes. Ejemplos 1: Sean las rectas L1 : y = 3 x − 2

m1 = 3

y L2 : y = 3 x + 7. Como las pendientes son: y m2 = 3

es obvio que ambas son iguales, y por tanto, concluimos que L1 son paralelas. Ejemplo 2:

L2 , es decir, las rectas

Sean las rectas

1 x−3 5 1 m1 = 5

L1 : y =

L2 : y = −5 x + 2. Aquí encontramos que:

y

m 2 = −5

y

en consecuencia:

1 m1m 2 = ⋅ ( −5) = −1 5 De acuerdo a este resultado, tenemos que L1 ⊥ L2 , es decir, las rectas son perpendiculares. Ejemplo 3: Sean las rectas L1 : y = − x + 3

L2 : y = −2 x + 1. Podemos notar que:

y

m1 = −1

m 2 = −2

y

y es evidente que no son iguales, además:

m1m 2 = (−1)(−2) = 2 ≠ −1 Entonces las rectas no son paralelas y tampoco son perpendiculares, es decir son secantes.

Ejercicio Resuelto: Dibujar la gráfica de la ecuación

y + 2 x = 1.

Respuesta: Al leer la ecuación dada notamos que la potencia de la variable x y de la variable y es 1, por lo tanto, si despejamos la variable y, podemos encontrar una ecuación equivalente:

y + 2x = 1

⇒

y = −2 x + 1

En esta segunda ecuación encontrada es fácil ver que tiene la forma de la ecuación de la recta, con pendiente m = −2 y b = 1. De acuerdo a esto, entonces conocemos que la recta es inclinada hacia abajo, ya que su pendiente es negativa, y pasa por el punto (0,1) localizado sobre el eje y. Necesitamos entonces solo un punto adicional para poder trazar la gráfica; con este fin escogemos un valor real para x, digamos: x = 1. Este valor de la variable x lo sustituimos en la ecuación donde despejamos y, obteniendo:

y = −2(1) + 1 = −2 + 1 = −1

Así, encontramos el punto buscado: (1,−1). Ahora procedemos a graficar, primero ubicando los puntos en el plano numérico, y luego trazando una línea recta que pase por ellos. Veamos la figura.

Como podemos ver, la recta es inclinada hacia abajo y pasa por el punto ( 0 ,1 ). Ecuación Punto – Pendiente de una recta. Anteriormente se nos han planteado problemas donde nos dan una ecuación de la forma

y = mx + b, la cual hemos reconocido como recta, y debemos graficarla. Ahora, se nos presenta el problema inverso, es decir, nos dan la gráfica de una recta, para encontrar su ecuación. Este problema tendrá solución cuando conozcamos otras dos formas de la ecuación de una recta. Una de ellas es llamada ecuación punto pendiente de la recta. Como la frase lo indica, necesitamos la pendiente de la recta y un punto del plano por donde esta pase. La ecuación mencionada es la siguiente:

y − y0 = m( x − x0 ) ecuación de la recta " punto − pendiente"

Es fácil ver que esta nueva ecuación no tiene diferencia con la anteriormente estudiada. 2 Veamos: el punto dado es ( x 0 , y 0 ) ∈ R , es decir, x 0 ∈ R

y

y 0 ∈ R, y por otra

parte, la pendiente m ∈ R. Entonces, en la ecuación dada despejemos la variable y :

y − y0 = m ( x − x 0 )

⇔

y − y0 = mx − mx 0

⇔ y = mx − mx 0 + y 0 Ahora, como m , x0 y y 0 son números reales fijos, tenemos que y 0 − mx 0 es un número real fijo, y si lo llamamos b, es decir, si hacemos: b = y 0 − mx 0 y lo sustituimos en la ecuación, tenemos:

y = mx − mx 0 + y 0 = mx + b y esta es la ecuación de la recta que ya conocemos.

Ejemplo: Dada la pendiente m = 3 de una recta que pasa por el punto ( 1 ,5 ) en el plano numérico, encontrar su ecuación. Respuesta: Este problema es de fácil solución. Solo necesitamos sustituir el valor de

m , x 0 y y 0 en la ecuación “punto pendiente”. Según los datos del problema tenemos: m =3

y

( x 0 , y 0 ) = (1,5)

Sustituyendo en: y − y0 = m ( x − x0 ), tenemos:

y − 5 = 3( x − 1) Esta es la solución buscada.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Otra ecuación de la recta es aquella en la cual solo aparecen las coordenadas de dos puntos dados, esta es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. La ecuación tiene esta forma:

 y − y1   ( x − x 1 ) y − y 1 =  2 x − x  2 1  ecuación de la recta que pasa por los puntos

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ). Veamos que esta ecuación tiene la forma de la ecuación de la recta conocida preliminarmente. Dados dos puntos ( x1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) en R 2 , entonces la cantidad

y 2 − y1 no es más x2 − x1

que la pendiente entre los puntos dados. Si la denotamos por m y hacemos el cambio en la ecuación dada tenemos:

 y − y1   ( x − x1 ) y − y1 =  2 x − x  2 1 

⇔

y − y1 = m ( x − x1 )

Esta última es la ecuación de la recta punto pendiente, que como anteriormente vimos es una ecuación equivalente a la ecuación de la recta. Ejemplo: Dados los puntos P1 ( 1 ,3 ) y P2 ( 0 ,−1 ) , encontrar la ecuación de la recta que pasa por ellos. Respuesta: Identificamos las coordenadas de los puntos dados con los de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, luego sustituimos en ella:

1. x1 = 1 , y1 = 3 , x 2 = 0 , y 2 = −1 2. Sustituyendo en la ecuación, tenemos:

y −3 =

−1− 3 ( x − 1) 0 −1

⇔ ⇔

y −3 =

−4 ( x − 1) −1

y − 3 = 4( x − 1)

Así, la ecuación de la recta buscada es:

y − 3 = 4( x − 1)

II.2 Cuadráticas Hasta el momento has estudiado las ecuaciones lineales y sus gráficas. Pasamos ahora a estudiar otro tipo de ecuación cuya variante principal es la presencia de un término que contiene a una de las variables cuya potencia es 2. Similar al caso anterior, veremos la forma general, y los datos que podemos extraer de ésta para poder obtener su gráfica.

Definición: Toda ecuación que tiene la forma y = ax + bx + c se denomina ecuación cuadrática. 2

La manera más sencilla de reconocer a este tipo de ecuación es, como mencionamos en la introducción, la presencia de solo una de las variables con potencia 2. En esta forma vemos que el término ax 2 es el referente de esta ecuación. La gráfica de cualquier ecuación de este tipo es una parábola cuya forma básica es como la del gráfico mostrado. Hay algunos elementos básicos en este gráfico que a continuación estudiaremos. Hemos dicho, que una ecuación cuadrática tiene la forma y = ax + bx + c , sin embargo, 2

podemos encontrar una ecuación equivalente por medio de la completación de cuadrados. Esto lo conseguimos escribiendo 2

 b2   b  y −  c −  =  a x +  . 4a   2 a  Afirmamos que esta última ecuación es equivalente a la original, en efecto, usando el desarrollo del cuadrado de una diferencia (producto notable) obtenemos que

 b2  b b2 2 y −  c −  = ax + 2 a x. + 4a  2 a 4a  b2  b2  y = ax + bx + +  c −  4a  4a  y = ax 2 + bx + c 2

Vértice, Eje de simetría, Raices y Ordenada Los elementos básicos para lograr el gráfico de una ecuación cuadrática (parábola) son: el vértice, el eje de simetría, sus raices (cortes con eje x ) y la ordenada en el origen (corte con el eje y ). Toda esta información la obtenemos a partir de los coeficientes de la ecuación cuadrática. Veamos.

el

2 Dada la forma general de una ecuación cuadrática y = ax + bx + c , la coordenada x

del vértice, denotada por x v , y la coordenada y , denotada por y v , la encontramos por medio de

xv = −

b 2a

y

yv =

4ac − b 2 4a

El eje de simetría es una recta vertical que pasa por el vértice, en consecuencia, la ecuación de este eje es

x=−

b 2a

Las raices son los cortes con el eje x . Ahora, todo corte con este eje implica que la variable dependiente y sea cero, lo cual nos dice que si resolvemos la ecuación

ax 2 + bx + c = 0 encontraremos las raices buscadas. Pero, conocemos que la solución de esta ecuación se consigue por medio de

x1, 2

− b ± b 2 − 4ac = 2a

Analicemos

entonces,

si

la

cantidad

subradical

b 2 − 4ac es positiva, encontraremos dos soluciones o raices reales y distintas, y por lo tanto la gráfica cortará el eje x en dos puntos, el punto ( x1 ,0) y el punto

( x 2 ,0) . Si es cero, encontramos solo una raíz real, lo cual nos indica que la gráfica toca en un punto al eje x , precisamente, el vértice. Si es negativa no existen soluciones o raices reales, lo cual nos dice que la gráfica no toca el eje x . La ordenada en el origen o corte con el eje y , lo obtenemos haciendo x = 0 en la ecuación. De esta manera, el punto de corte con este eje es de la forma (0, c ) .

Obtención de la gráfica de una parábola a partir de la ecuación. Dada una ecuación cuadrática, para obtener su gráfica, necesitamos seguir los siguientes pasos: 1. Determinar el vértice 2. Determinar sus raices 3. Determinar el punto de corte con el eje y 4. Encontrar puntos adicionales elaborando una tabla de valores Ejemplo: Elaborar el gráfico de la ecuación y = x − 5 x + 6 . 2

Respuesta: Conocemos que la gráfica de esta ecuación es una parábola. Sigamos los pasos dados. 1. Determinación del vértice: De la ecuación tenemos que a = 1, b = −5, c = 6 . Entonces

b −5 5 xv = − = − = 2a 2.1 2

4ac − b 2 4.1.6 − (−5) 2 − 1 yv = = = 4a 4.1 4

El vértice entonces es el punto (5 / 2,−1 / 4) .

2. Determinación de las raices: Resolvamos la ecuación x 2 − 5 x + 6 = 0 por medio de la resolvente cuadrática.

− ( −5) ± (−5) 2 − 4.1.6 5 ± 1 = = 2.1 2

x1, 2 Entonces,

x1 =

5+1 =3 2

y

x2 =

5 −1 =2 2

Los puntos de corte con el eje x son (3,0) y (2,0) .

3. Punto de corte con el eje

y.

Haciendo x = 0 en la ecuación dada encontramos que

y = 0 2 − 5.0 + 6 = 6 Es decir, el punto (0,6) es el punto de corte con el eje y.

4. Otros puntos: Damos algunos valores a la variable independiente en la ecuación dada y obtenemos los correspondientes valores de la variable dependiente.

x =1

⇒

y = 12 − 5.1 + 6 = 2

b. x = 4

⇒

y = 4 2 − 5.4 + 6 = 2

a.

Procedemos a graficar los puntos y unirlos con una linea parabólica.

Bibliografía 1. Saenz, Jorge. Cálculo para administración y Economía. 2007