Guia De Revision Tercer Parcial Con Solucion
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- Words: 1,701
- Pages: 5
GUIA DE REVISION TERCER PARCIAL.
1.1.-Resuleva las siguientes integrales por medio de integración por partes. .
a.- %/
&'
√)*& +
2
,-
6
c.- %/ 5 6 sin37 8 94 ,9
b.- %. 1 ) ln2 314 ,1
2.2.- Usando el método de integración por partes determine la siguiente igualdad A 8 1 >/2 BC2 < sin 314 ,1 sin 314 ,1 @ A /
>/2
<
/
3.3.- Demuestre que < 31 F G 2
4.4.- Demuestre que
2 4B
=
1 31 2 F G 2 4B 2AG 2 <31 2 F G 2 4BC. ,1 ,1 @ F 2A F 1 2A F 1
< sec B 314 ,1 @
tan314 sec BC2 1 A 8 2 < sec BC2 1 ,1 F A81 A81
5.5.- Si K 304 @ M304 @ 0 y K OO , MQQ son continuas, demuestre que R
AH8
1 2
AH1
R
< K 314M 314,1 @ K 3G 4M G4 8 K G 4M3G 4 F < K OO 31 4M314,1 /
O3
OO
O3
/
6.6.- Evalúe la integral por medio de identidades trigonométricas. a.- % cos3U4 cosV 3sin3U44 ,U
b.- % cot V 3W4 sin) 3X4 ,X
c.- % tanY 321 4 95Z V 3214 ,1
d.- %
e.- %
.C`a=+ 3^4 ]b[+ 3^4
,1
f.- %
.
[\]3^4C.
[\]3^4*]_=3^4 ]_=32^4
,1
g.- % 795Z 2 37 2 4 tan) 37 2 4 ,7
,1
7.7.- Determine la integral por medio de sustituciones trigonométricas. a.- %
√^ + CR + ^e
d.- % √6 +
.
,1
Ci6*.Y
b.- % ,7
fg
c.- %
^+
f.- % 1√1 8 1 ) ,1
g√VCg+
e.- % √)^C^+ ,1
.
' 33R^4+ Ch + 4+
,1
8.8.- Mediante el método de fracción simple resuelva las siguientes integrales. 2 )l + CmlC.2
a.- %.
l3l*243lCY4 ./
c.- % 3^C.43^+ e.- %
^*)
*o4
^ + *2^*V
g.- % 3^+
^+
,n
b.- % 3^*.4' ,1 ^ ' *^ + *2^*.
,1
d- % 3^+
,1
^CY
*2^*)4+
f.- %
*.43^ + *24
^ ' C2^ + *^*. ^ e *V^ + *)
,1
,1
,1
9.9.- Realice una sustitución racional y evalúe la integral. a.- %
.
^C√^*2 .
c.- %
√^C √^
e.- %
u +v *Yu v *2
'
.
,1
,1
u +v
b.- %/ 9qM: q @ √1
.
'
.* √^ .
d.- % '
s
,1
e
√^ * √^
,1
9qM: q @ √1 t+
,1
10.10.- Determine el valor de las siguientes integrales impropias y diga si converge o diverge. C.
a.- %Cy
.
√2Cw
,x
d.- %Cy32 8 z ) 4,z y
y
g.- %/ .
j.- %C.
.
{ + *Y{*2 uv
u v C.
,1
,|
y
b.- %/
^
3^ + *24+
C.
,1
c.- %Cy 5 C26 ,7
e.-%2> sin31 4 ,1 y
f.- %/ cos2 314 ,1 y
y
)
h.- %Cy 5 |^| ,1 2 ^CY
k.- %/
2^CY
i.- %/
,1
11.11.- La velocidad promedio de las moléculas en un gas ideal es 4
Y
.
^ + *^Ci
2 y Y C+ < z 5 2 ,z z @ √ 2 /
,1
1
Donde M es el peso molecular del gas, R es la constante de gases, T es la temperatura, y z es la velocidad de la molécula. Demuestre que z @
1
PROBLEMA APLICADO A LA QUIMICA.
8
12.12.- Una sustancia radioactiva decae de forma exponencial. La masa en un tiempo t es de la forma 374 @ 3045 6 , donde 304 es la masa inicial y k es una constante negativa. La vida promedio M de un átomo en la substancia es: y
@ 8 < 75 6 ,7 /
Para un isotopo radioactivo de carbono, .) , el valor de @ 80.000121. Determine la vida promedio del átomo .) . 2 13.13.- Si K374 es continua para 7 0, la Transformada de la Laplace 3 de K es la funcion F definida por y
394 @ < K374 5 C6 ,7 /
y el dominio de F es considerado todos los numeros s para los cuales la integral converge. Determine la Transformada de Laplace para las funciones.
3a4 3b4 3c4
K 37 4 @ 1 K 37 4 @ 5 6 K 37 4 @ 7
14.14.- Encuentre los valores de la constante C para que la integral 1 < ,1 – √1 2 F 4 1 F 2 / y
Converga. Evalue la integral para este Valor de C.
15.15.- Encuentre los valores de la constante C para que la integral y
< /
1 ,1 8 1 2 F 1 31 F 1
Converga. Evalue la integral para este valor de C.
2
PROBLEMA APLICADO A LA FISICA…. ¿TRANSFORMADA DE LA LAPLACE? ESTE ES UN TEMA QUE ESTARA EN SU CONTRA EN MATEMATICAS 7 “SI LA VE”. NOTE QUE RECURRE A INTEGRALES IMPROPIA (MATE 2) ALGO ATIPICO, PERO CUANDO LLEGUE A MATE 7 SE DARA CUENTA QUE NI SE ACUERDA DE NADA. POR ESO LE RECOMIENDO PRACTIQUE ESTE EJERCICIO 3
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS PREGUNTA 1. a.-
.i m 8 √5 Y Y
b.-
.
Y2 2 ln 324 V
c.- 2 35 6 8 cos374 sin3744
8
i) i2 ln324 F 2V .2V
^
d.- ln√7 2 8 67 F 13 F 7 8 3 F . )
sinB 314 @ sin=C. 314 sinB 314
PREGUNTA 3.
Utilice a la integral que surge después de integrar por partes. Y podrá realizar simplificaciones. PREGUNTA 4.
Tenga en cuenta la identidad
PREGUNTA 8. o
. V
.
. sec 23214 .)
8
. F sin)314 )
.
.
. sec V3214 ./
F
.
g.-
2
. tanV 37 2 4 F ./
PREGUNTA 7. a.-
' ^ + CR + +
YR+ ^ +
F
2
√V
ln
√VC√VCg+ g
. 23^*.4+ .
√2
F
^
.
^
arctan ¡ F √2
Y
e.- 2 ln31 2 F 21 F 54 F 2 arctan .
8 g.- 8
1
i
√3
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PREGUNTA 9
arctan ¤
8
1
√3
^*. ¡ 2
F
321 F 14¥ F
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F
Y
F
.
b.- q2 8 3q F 3 ln31 F q4 @ 3 ln324 8 ¡ 2 2 c.- 2√1 F 3 √1 F 6 √1 F 6 ln √1 8 1 F '
Y 2
+
d.- 1 ' 8
s
.2 ¦ 1 t+ m
s
F 2 √1 8
.2 § 1 t+ V
F 3 √1 8 4 e√1 F '
6 √1 8 12 √1 F 12 ln √1 F 1 F s
.
F
2
f.- csc314 F Z7M314 F
b-
Y ^*.
a.- Y 32 ln√1 F 2 8 2 F ln√1 F 2 8 1 F
d.- 2 lncsc314 8 Z7M314 F ln3sec314 F tan3144 F e.- sin314 F
.
d.- ln31 2 F 14 F
Y
F
8 12 F
c.- ln31 8 14 8 ln31 2 F 94 8 arctan ¡ F 2 Y Y
.
a.- sin3sin3144 8 sinY3sin3144 F sinV 3sin3144 F
c.-
^C2 √41 2
¢
a.- ln ¡ V Y
Aplíquelo después de integrar por partes.
b.- ln3sin3144 8 sin 314
. )
f.- £A31 8 14 8 ln31 2 F 1 F 14
tan2314 @ sec2314 8 1
2
8 4√41 8 1 2 8
b.- 1 8 3 ln31 F 14 8
1 2 @ 31 2 F G2 4 8 G2
2 Y
^C2 ¡ 2
f.- arcsin31 2 4 F 1 2 √1 8 1 ) F
Integre por parte, separe
PREGUNTA 6.
F
h + 3R^4+ Ch+
e.- 6 arcsin
PREGUNTA 2.
Tenga presente
c.- 8
e.- ln
t+
3u v *24+ u v *.
F
t+
PREGUNTA 10.
Debido a que ´ 0 los dos primeros términos son cero 3verifíquelo mediante L’Hopital4 por lo cual el
a.- ∞ DIVERGE b.-
lime es igual a
. CONVERGE )
d.- 8∞ DIVERGE
PREGUNTA 13.
e.- © NO EXISTE LIMITE DIVERGE .
f.- Note que «) sin 3274« ¬ ) pero 2 7 ∞ ®G-G 7 ∞ .
DIVERGE.
h.- 2 CONVERGE
Para 9 ¸ 1
k.- ∞ DIVERGE.
B
5 C6 ,7 @ lim ²8 ³ By 9 /
5 CB 1 1 @ lim ² F ³@ By 89 9 9
y
By
B 1 5 63.C4 189 /
1 5 3.C4B 1 @ lim ² 8 ³@ By 189 189 981
y
Z. 8 394 @ < 75 C6 ,7
PREGUNTA 11.
/
Integración por partes q @ 7 , ,z @ 5 C6 ,7 @¸
2
INTEGRE POR PARTES Y SEA
PREGUNTA 12.
/
/
j.- ∞ DIVERGE
Por lo cual
G. 8 394 @ < 5
C6
¹. 8 394 @ < 5 63.C4 ,7 @ lim
i.- 8∞ DIVERGE
La integral ° @
y
Para 9 ¸ 0
g.- ln 324 CONVERGE
Sea @
Se tiene que
1 1 1 @ 8° @ 8 2 @ 8 @ 8 80.000121 · 8264.5 n5G-9
c.- ∞ DIVERGE
.
. . +
X @ z 2 ; ,W @ z5 C
,q @ ,7 , z @ 8
+
.
2 +
8 q± @ 1 6 ° @ 2 37 8 145 /
1 1 1 @ lim ² 95 8 2 5 8 8 2 ³ y
u º»¼
394 @ lim 8
Para 9 ¸ 0
By
luego
A 1 1 1 @ 8 F 1 F 95 B 9 2 5 B 92 92
PREGUNTA 14.
@ 1 @¸ £½½75 @ 2
Argumente que pasa cuando Z ´ 1 ó Z ¸ 1 PREGUNTA 15.
@ 3 @¸ £½½75 @
1 3
Argumente que pasa cuando Z ´ 3 ó Z ¸ 3
1.1.-Resuleva las siguientes integrales por medio de integración por partes. .
a.- %/
&'
√)*& +
2
,-
6
c.- %/ 5 6 sin37 8 94 ,9
b.- %. 1 ) ln2 314 ,1
2.2.- Usando el método de integración por partes determine la siguiente igualdad A 8 1 >/2 BC2 < sin 314 ,1 sin 314 ,1 @ A /
>/2
<
/
3.3.- Demuestre que < 31 F G 2
4.4.- Demuestre que
2 4B
=
1 31 2 F G 2 4B 2AG 2 <31 2 F G 2 4BC. ,1 ,1 @ F 2A F 1 2A F 1
< sec B 314 ,1 @
tan314 sec BC2 1 A 8 2 < sec BC2 1 ,1 F A81 A81
5.5.- Si K 304 @ M304 @ 0 y K OO , MQQ son continuas, demuestre que R
AH8
1 2
AH1
R
< K 314M 314,1 @ K 3G 4M G4 8 K G 4M3G 4 F < K OO 31 4M314,1 /
O3
OO
O3
/
6.6.- Evalúe la integral por medio de identidades trigonométricas. a.- % cos3U4 cosV 3sin3U44 ,U
b.- % cot V 3W4 sin) 3X4 ,X
c.- % tanY 321 4 95Z V 3214 ,1
d.- %
e.- %
.C`a=+ 3^4 ]b[+ 3^4
,1
f.- %
.
[\]3^4C.
[\]3^4*]_=3^4 ]_=32^4
,1
g.- % 795Z 2 37 2 4 tan) 37 2 4 ,7
,1
7.7.- Determine la integral por medio de sustituciones trigonométricas. a.- %
√^ + CR + ^e
d.- % √6 +
.
,1
Ci6*.Y
b.- % ,7
fg
c.- %
^+
f.- % 1√1 8 1 ) ,1
g√VCg+
e.- % √)^C^+ ,1
.
' 33R^4+ Ch + 4+
,1
8.8.- Mediante el método de fracción simple resuelva las siguientes integrales. 2 )l + CmlC.2
a.- %.
l3l*243lCY4 ./
c.- % 3^C.43^+ e.- %
^*)
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b.- % 3^*.4' ,1 ^ ' *^ + *2^*.
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^CY
*2^*)4+
f.- %
*.43^ + *24
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,1
,1
,1
9.9.- Realice una sustitución racional y evalúe la integral. a.- %
.
^C√^*2 .
c.- %
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.
,1
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.
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,1
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10.10.- Determine el valor de las siguientes integrales impropias y diga si converge o diverge. C.
a.- %Cy
.
√2Cw
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d.- %Cy32 8 z ) 4,z y
y
g.- %/ .
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y
)
h.- %Cy 5 |^| ,1 2 ^CY
k.- %/
2^CY
i.- %/
,1
11.11.- La velocidad promedio de las moléculas en un gas ideal es 4
Y
.
^ + *^Ci
2 y Y C+ < z 5 2 ,z z @ √ 2 /
,1
1
Donde M es el peso molecular del gas, R es la constante de gases, T es la temperatura, y z es la velocidad de la molécula. Demuestre que z @
1
PROBLEMA APLICADO A LA QUIMICA.
8
12.12.- Una sustancia radioactiva decae de forma exponencial. La masa en un tiempo t es de la forma 374 @ 3045 6 , donde 304 es la masa inicial y k es una constante negativa. La vida promedio M de un átomo en la substancia es: y
@ 8 < 75 6 ,7 /
Para un isotopo radioactivo de carbono, .) , el valor de @ 80.000121. Determine la vida promedio del átomo .) . 2 13.13.- Si K374 es continua para 7 0, la Transformada de la Laplace 3 de K es la funcion F definida por y
394 @ < K374 5 C6 ,7 /
y el dominio de F es considerado todos los numeros s para los cuales la integral converge. Determine la Transformada de Laplace para las funciones.
3a4 3b4 3c4
K 37 4 @ 1 K 37 4 @ 5 6 K 37 4 @ 7
14.14.- Encuentre los valores de la constante C para que la integral 1 < ,1 – √1 2 F 4 1 F 2 / y
Converga. Evalue la integral para este Valor de C.
15.15.- Encuentre los valores de la constante C para que la integral y
< /
1 ,1 8 1 2 F 1 31 F 1
Converga. Evalue la integral para este valor de C.
2
PROBLEMA APLICADO A LA FISICA…. ¿TRANSFORMADA DE LA LAPLACE? ESTE ES UN TEMA QUE ESTARA EN SU CONTRA EN MATEMATICAS 7 “SI LA VE”. NOTE QUE RECURRE A INTEGRALES IMPROPIA (MATE 2) ALGO ATIPICO, PERO CUANDO LLEGUE A MATE 7 SE DARA CUENTA QUE NI SE ACUERDA DE NADA. POR ESO LE RECOMIENDO PRACTIQUE ESTE EJERCICIO 3
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS PREGUNTA 1. a.-
.i m 8 √5 Y Y
b.-
.
Y2 2 ln 324 V
c.- 2 35 6 8 cos374 sin3744
8
i) i2 ln324 F 2V .2V
^
d.- ln√7 2 8 67 F 13 F 7 8 3 F . )
sinB 314 @ sin=C. 314 sinB 314
PREGUNTA 3.
Utilice a la integral que surge después de integrar por partes. Y podrá realizar simplificaciones. PREGUNTA 4.
Tenga en cuenta la identidad
PREGUNTA 8. o
. V
.
. sec 23214 .)
8
. F sin)314 )
.
.
. sec V3214 ./
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2
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PREGUNTA 7. a.-
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.
d.- ln31 2 F 14 F
Y
F
8 12 F
c.- ln31 8 14 8 ln31 2 F 94 8 arctan ¡ F 2 Y Y
.
a.- sin3sin3144 8 sinY3sin3144 F sinV 3sin3144 F
c.-
^C2 √41 2
¢
a.- ln ¡ V Y
Aplíquelo después de integrar por partes.
b.- ln3sin3144 8 sin 314
. )
f.- £A31 8 14 8 ln31 2 F 1 F 14
tan2314 @ sec2314 8 1
2
8 4√41 8 1 2 8
b.- 1 8 3 ln31 F 14 8
1 2 @ 31 2 F G2 4 8 G2
2 Y
^C2 ¡ 2
f.- arcsin31 2 4 F 1 2 √1 8 1 ) F
Integre por parte, separe
PREGUNTA 6.
F
h + 3R^4+ Ch+
e.- 6 arcsin
PREGUNTA 2.
Tenga presente
c.- 8
e.- ln
t+
3u v *24+ u v *.
F
t+
PREGUNTA 10.
Debido a que ´ 0 los dos primeros términos son cero 3verifíquelo mediante L’Hopital4 por lo cual el
a.- ∞ DIVERGE b.-
lime es igual a
. CONVERGE )
d.- 8∞ DIVERGE
PREGUNTA 13.
e.- © NO EXISTE LIMITE DIVERGE .
f.- Note que «) sin 3274« ¬ ) pero 2 7 ∞ ®G-G 7 ∞ .
DIVERGE.
h.- 2 CONVERGE
Para 9 ¸ 1
k.- ∞ DIVERGE.
B
5 C6 ,7 @ lim ²8 ³ By 9 /
5 CB 1 1 @ lim ² F ³@ By 89 9 9
y
By
B 1 5 63.C4 189 /
1 5 3.C4B 1 @ lim ² 8 ³@ By 189 189 981
y
Z. 8 394 @ < 75 C6 ,7
PREGUNTA 11.
/
Integración por partes q @ 7 , ,z @ 5 C6 ,7 @¸
2
INTEGRE POR PARTES Y SEA
PREGUNTA 12.
/
/
j.- ∞ DIVERGE
Por lo cual
G. 8 394 @ < 5
C6
¹. 8 394 @ < 5 63.C4 ,7 @ lim
i.- 8∞ DIVERGE
La integral ° @
y
Para 9 ¸ 0
g.- ln 324 CONVERGE
Sea @
Se tiene que
1 1 1 @ 8° @ 8 2 @ 8 @ 8 80.000121 · 8264.5 n5G-9
c.- ∞ DIVERGE
.
. . +
X @ z 2 ; ,W @ z5 C
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.
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8 q± @ 1 6 ° @ 2 37 8 145 /
1 1 1 @ lim ² 95 8 2 5 8 8 2 ³ y
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394 @ lim 8
Para 9 ¸ 0
By
luego
A 1 1 1 @ 8 F 1 F 95 B 9 2 5 B 92 92
PREGUNTA 14.
@ 1 @¸ £½½75 @ 2
Argumente que pasa cuando Z ´ 1 ó Z ¸ 1 PREGUNTA 15.
@ 3 @¸ £½½75 @
1 3
Argumente que pasa cuando Z ´ 3 ó Z ¸ 3
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