Guia De Estudio Pnf Matematica

GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS PARA LOS ALUMNOS DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA, AGROALIMENTACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DEL POLITÉCNICO DE LOS LLANOS

Elaborado por: Prof. Esp. Freddy J. Alvarez P

FEBRERO 2009

OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.1→Los términos algebraicos son expresiones formadas por constantes y/o variables. Por ejemplo: 12, 6x, 89 x 3 y, – 4 w 2 Los coeficientes numéricos son 12, 6, 89 y –4 respectivamente. 1.2→Un polinomio es la suma de uno o más términos algebraicos cuyas variables tiene exponentes enteros. Un polinomio con un término se llama monomio: a b 3, 5/6 x, 3x 3yz Un polinomio con dos términos se llama binomio: – 5x 3 + 7y; 3/2 + 5x Un polinomio con tres términos se llama trinomio: 3mn + 6n – 8 m 2 n 1.3→Grado de un polinomio: es igual al grado del término que tenga el grado mayor en el polinomio: * 7 x 5 es un monomio de grado 5 * 4 x 2 w − w8 x es un binomio de grado 9 porque la suma de los exponentes de las variables es 9 * – 5 x3 y12 w2 es un monomio de grado 17 porque la suma de los exponentes de las variables es 17 * 2 x 8 y 2 −5 xy es un binomio de grado 10 porque el grado máximo del binomio es 10 * 12 x 2 y 4 −7 x7 y +2 x9 y 2 +1 es un polinomio de grado 11 A las expresiones como P(x) = 7 x 3 + 2 x − 5 x 2 − 5 se les llama: Funciones Polinomiales. donde la letra x dentro del paréntesis representa a la variable del polinomio. 1.4→SUMA DE POLINOMIOS Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes. El orden de los sumandos no altera la suma. 1.4.1→Términos semejantes: son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Al sumar y restar los términos semejantes, se suman (restan) sus coeficientes numéricos y se conservan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. 1.4.2→Suma de monomios: Ejemplos: 1. Sumar 8m, 7m, 17m = 8m + 7m + 17m = 32m 2. Sumar

1 3 a con a 2 2

=

3. Sumar –8x + 7xy con 9x –2 xy 4. Sumar 4 mb, – mb con 6 xz, –

1 3 4 a+ a= a =2a 2 2 2

= –8x + 9 x + 7xy –2xy = x + 5xy

3 3 mb = 4mb –mb – mb + 6xz 2 2 3 3 = 3mb – mb + 6xz = mb + 6 xz 2 2

1.4.3→Suma de polinomios: Se agrupan los términos semejantes. Ejemplos: Hallar la suma de: 1. (2s + 3b)+(7b – c)+( – 4s +8c) = 2s + 3 b + 7b –c – 4s + 8 c = 2s – 4 s + 3b + 7 b – c + 8 c = – 2 s + 10 b + 7 c 2. 5p + q + r,

3 r– 6 q – 2 p,

p–8r+5q

También se puede realizar así:

5p + q + r –2p – 6 q + 3 r p +5q – 8r ––––––––––––––––––––––– 4p + 0 q – 4 r

3.

4.

m 2 + 4m,

−5m + 6m 2

1 2 2 x + x y, 2 3

= m 2 + 6 m 2 + 4 m −5m =

7m2 −m

1 1 1 2 1 2 2 1 x y + y2 = x + y + xy + xy 2 4 2 4 3 2 1 2 1 2 4 +3 ) xy = x + y +( 2 4 6 1 2 1 2 7 = x + y + xy 2 4 6

1.5→RESTA DE POLINOMIOS: 1.5.1→Resta de monomios: Ejemplos: 1. 8 x 3 − 5 x 3 = 3 x 3 2. De 2b restar 7 b 3. De 15z

restar – 9z

4. De 9 x 2 w4 5. Restar

= 2 b – 7b = –5b

restar 6 xw

de

= 15z – ( – 9 z ) = 15 z + 9z = 24 z

−12 x 2 w4

9 xw

= 9x2w4 – ( – 12x2w4) = 9x2w4 + 12x2w4 = 21x2w4 = 9 xw – ( 6 xw ) = 3 xw

1.5.2→Resta de Polinomios Ejemplo: (4sw 3 +5s3w2 ) de (8s3w2 +2sw 3 −s7 ) 1. Re star = (4 sw 3 +5s3w2 ) − (8s3w2 + 2 sw 3 − s 7 ) = =

4 sw 3 +5s3w2 − 8s 3w2 −2 sw 3 + s 7 2 sw 3 − 3s 3w2 + s 7

Ejercicios : 1. 2.

( 5x + 6 y − 2 ) + ( − 2 y + 7 x + 9 ) (13 x + 8 y ) + 17 y

3. De

 5z   7y  + 4 y  Re sta  − − 5z    2   2 

4. 5.

( 5x + 6 y − 2 ) − ( − 2 y + 7 x + 9 ) ( 2a − 6 ) − ( 3a − 4a 3 − 10 )

6. Re sta 2 ym + 3 z

de

− 5 ym + 2 z

1.6→MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 1.6.1→Multiplicación de monomios: Se multiplican los factores numéricos y después se multiplica los factores variables. Ejemplos: Multiplicar

*. * *

(

8 x3 5 x 2 y ) = 7 xw 2 z 2 − 2 wz 4

(

40 x5 y = −14 xw 3 z 6 6a 7 z b3 ) = − 48 a11 b5 z

(2ab ) (−4a3b ) (

)

1.6.2→Multiplicación de un Polinomio por un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva y se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio y si hay términos semejantes se reúnen. Ejemplo: * 8 x 3 ( 4 x y + 2 z 4 x ) = 8 x 3 ( 4 x y) + 8 x 3 ( 2 z 4 x) = 32 x 4 y + 16 x 4 z 4 * − 3s 6 w (4 s 3 w 2 + 2rw 3 − 3s 7 ) = = − 3s 6 w (4 s 3 w 2 ) − 3s 6 w (2rw 3 ) − 3s 6 w (− 3s 7 ) =

−12 s 9 w3 − 6 s 6 w 4 r

+ 9 s13 w

1.6.3→Multiplicación de un Polinomio por un Polinomio: Se procede de igual forma al anterior. Ejemplo: * ( 5 x + 6 y ) (2 x 4 y + 3 x 4 w 4 −5 ) = = 10 x 5 y +15 x 5 w 4 − 25 x +12 x 4 y 2 +18 x 4 yw 4 −30 y

*

(x 2 + 4 x −5 ) (4 x 2 −4 x +1 ) = =

4 x 4 − 4 x 3 + x 2 +16 x 3 −16 x 2 + 4 x − 20 x 2 + 20 x −5 4 x 4 +12 x 3 −35 x 2 + 24 x −5

1  2b  2  a + b  a  2  3  3 2 2  2  1 1  2  = a ( a ) + a  − b  + b ( a ) + b − b  3 3  3  2 2  3  2 2 a 4 1 2 2 = − a. b + ab − b 3 9 2 6 2 2 1 1 2 = a + ab − b 3 18 3 4. Determinar el producto de: x n + 3 x ⋅ x n + 2 x −n ( x n + 3 x ) ( x n + 2 x −n ) = = x n+n + 2 x n−n + 3x1+n + 6 x1−n

3.

(

= x 2n + 2 x 0 + 3x1+n

)(

+ 6 x1−n

Ejercicios : 1.

(3x2t3 ) (5x4 z 2

)

2.

4m 2  2m 5 zxm − 2 6z  z

3.

( 4x − 8z )2

4.

]

5.

)

( 6b + 3 )

(2 xb 2 − 5b )

( x3 − 7 x 2 + 9 ) ( 4 x − 1 )

 5x x y 6.  − 2  3

)  7 xy + 

3 5y

)

1.7→DIVISIÓN DE POLINOMIOS: 1.7.1→División de monomios: Se debe tener en cuenta: a. Dividir los coeficientes, aplicando cuidadosamente la ley de los signos para la división. b. A la parte literal se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base. Ejemplos: Efectuar las siguientes divisiones:

*

−12 x 2 y a 3 b c 2 4 x y a 2b c 2

=

−12 2 −1 1 − 1 3 − 2 1 −1 2 − 2 x y a b c = − 3 x1 y 0 a1 b 0 c 0 = −3 x a 4

− 4 m4 n2 p5 2 4−3 2 −2 5−2 7 = (−4 ÷ )m n p = −4 × 2 3 2 2 7 2 m n p 7 1.7.2→División de un polinomio por un monomio:

*

Ejemplos : 21 x 6 − 9 x 4 + 24 1. = 3x 3 ( 5s + 2r ) + 5( 5s + 2r 2. 5s + 2r

− 28 m p 3 m1 n 0 p 3 = = −14 m p 3 2

21 x 6 9x 4 24 − + = 7 x 3 − 3x + 8 x −3 3 3 3x 3x 3x 3 ) = 5 s + 2 r + 5 ( 5s + 2 r ) = 1 + 5 = 6 5s + 2r 5s + 2r

1.7.3→División de un polinomio entero racional en x por un binomio de la forma x – a. 1.7.3.1→División Sintética o Regla de Ruffini: Esta se utiliza cuando el divisor es de la forma * x – a* . Por medio de este procedimiento, se obtiene más fácilmente los Coeficientes en una división de polinomios. Aplicando 4x 4

*

− 4x3

+ 2x 2

− 3

÷ x − 3

→4 x

− 4x 4

cociente

4 x3 +8 x 2 + 26 x + 78 residuo 231 Luego esta división no es exacta

Se puede hallar el residuo, sin hallar la división: * x 2 – 7 x + 6 entre x – 5

*

Se sustituye la x por 5, y se obtiene: 5 2 – 7 ( 5) + 6 = 25 – 35 + 6 = – 4 Residuo = – 4 x 3 + 2 x + 7 entre x +3 Se sustituye la x por ( – 3), y se obtiene: (- 3) 3 + 2 ( -3 ) + 7 = -27 - 6 + 7 = – 26 Residuo = – 26

* z 3 − 9 z + 2 entre 4 z − 3, se sustituye la x por

3 , entonces : 4

3 2 27 81 27 − 324 + 128 3 3 z 3 − 9 z 2 + 2 =   − 9  + 2 = − +2 = 64 16 64 4 4 − 169 Residuo = 64

=

− 169 64

Aplicando la Regla de Ruffini para calcular los cocientes sin realizar la división: Procedimiento:

a. Se escribe todos los coeficientes del dividendo, y en la parte inferior izquierda, sobre la horizontal se escribe 3 que aparece en el divisor, pero con signo cambiado, para evitar la resta que se da en la división: b. Los coeficientes del cociente se obtiene así: El primero es igual al primer coeficiente del dividendo: 4 y se escribe debajo de la línea c. Los coeficientes se obtienen así: El 12, es el producto de 3 x 4 El 24, es el producto de 3 x 8 El 78, es el producto de 3 x 26 El 234, es el producto de 3 x 78 x 4 x3 coeficientes

* 4 x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − 3 ÷ x − 3

x2 del

x 0x dividendo

4

−4 2 0 −3 12 + 24 + 78 + 234 * 3

4

8

+ 26 + 78 + 231

cociente 4 x3 + 8 x 2 + 26x + 78 residuo 231

1.7.3.2 → Teorema del Residuo: Si un polinomio P ( x ) se divide entre x – r, el residuo es P ( r ) Ejemplo: a.) P ( x ) = 2 x3 − 4 x 2 + 2 x −1 a ) Determinar P ( 1 ) P(1

)

= = =

3 2 2 1 ) −4 1 ) + 2(1   2 −4 + 2 −1 −1

) −1

b ) Luego usamos la división sintética para determinar el residuo cuando P ( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 + 2 x −1 se divide entre x – 1 2

–4

2

–1 1

2 –2 0 _______________________ 2 –2 0 –1

El residuo es – 1

Los resultados de la parte a) y de la parte b ) muestran que cuando P ( x) se divide entre x – 1, el residuo es P ( 1 ). 1.7.3.3. →Teorema del Factor: Este Teorema nos explica cómo determinar un factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero. Si P (x) = 0 si y sólo sí x – r es un factor de P( x ) Un cero de un polinomio en x, es todo valor de x que hace que el valor del polinomio sea igual a 0. Ejemplo:

* Sea

P (x) = x3 − 3x 2 + 5 x −15

Demostremos que: a) P ( 3) = 0 Se emplea el Teorema del Residuo para evaluar a P ( 3 ), dividiendo P ( x ) = x3 − 3x 2 + 5 x −15 entre x – 3 1

–3

5

–15 3

3 0 15 __________________________ 1 0 5 0 El residuo de esta división es 0. De acuerdo con el Teorema del Residuo, éste es igual a P ( 3 ). Por lo tanto, P ( 3 ) = 0 y 3 es un cero del polinomio b) x – 3 es un factor de P ( x ) El residuo es 0 y los números 1, y 5 de la división sintética en la parte a) representan los coeficientes del cociente: x 2 + 5. Luego: ( x −3 ) divisor

•

(x2 + 5 )

cociente

+

0 = residuo

x3 − 3 x 2 + 5 x −15 dividendo , P ( x)

Nota: No siempre es fácil factorizar los polinomios

Ejercicios: Realiza las siguientes divisiones:

1.

7 xyp 3 2 p7 14 x

4.

2.

(15 mnx + 18 m2 n − m )

3.

m4 + 4n − 48 − 5n3

÷ 3m

5.

÷ n +2

6.

8 x5 y8 + 6 xy 3 −12 y 4 − 2 xy 2 6 x5 + 4 x 4 + 7 x3 + 2 x 2 − 7 x 3 x −13 5 x + 2076 − 208 x 2 ÷ x − 5

* Utiliza la división sintética para realizar cada una de las siguientes divisiones: 1. 2.

(x2 + x − 2 ) (

( x −1 ). ) ÷ ( x −4 ) ÷

4 − 3x 2 + x

4. 5.

(2 x3 − 9 x2 +10 x − 3 ) ÷ ( x − 3 ) (5x2 + 6 x3 + 4 ) ÷ ( x +1 )

) * Emplea el Teorema del Factor y explica si la primera expresión es un factor de P ( x) 3.

1

x + x − 5x − 7 x + 8 5

x − 2;

2.

x +1;

3.

x + 2;

4

÷

3

x +3

6.

6 x 5 + 2 x 4 − 3x3 − x 2 + 3x + 3

÷ ( 3 x +1

x3 − 2 x 2 + x − 2 P( x) = x3 + 2 x 2 − 2 x −3 P ( x ) = 3 x 2 − 7 x + 4;

P( x) =

1.8→APLICACIONES Biología: El ancho del abdomen de cierto tipo de polilla hembra es útil para aproximar el número de huevos que puede cargar. El número promedio de huevos se aproxima en 14 x3 – 17 x2 – 16 x + 34, donde x es el ancho del abdomen en milímetros. Finanzas: 1. El pago mensual de una casa se puede determinar evaluando la expresión: P = A[

i 1 − 1 +i

(

)−n

]

P es el pago mensual, A es el precio de la casa menos el pago inicial, i es la tasa de interés n es el número

mensual

(tasa anual

÷

12 )

total de pagos.

2. Se puede calcular el pago mensual de un apartamento que tenga un precio de $120.000.000, con un 30% de cuota inicial a un interés anual de 25% por un período de 15 años. 3. El saldo actual de un préstamo de auto se puede calcular evaluando la expresión: P = Pago mensual 1 −  k −n  ) 1 + r    r = tasa de interés mensual P =   k = número de pagos abonados r       n = número total de pagos mensuales Se puede calcular el saldo actual de un préstamo con P = $450.000, r = 0.01 k= 24 y n = 60 Geometría Se puede hallar el área de un jardín de forma rectangular que mide (4x + 2) unidades de largo y 4x unidades de ancho. A de un rectángulo = base. altura PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

2.1→POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO En algunas situaciones es necesario elevar polinomios a una potencia determinada, procedimiento que resulta simple sabiendo que la potenciación es una simple multiplicación. OBSERVA: 2

2

OBSERVA: 22=2x2

es equivalente a 2 x 2

( a +b) 2 es

equivalente a (a + b).(a + b) (a +b) 2 = (a + b).(a + b) Como puedes ver la potenciación de un polinomio se convierte en multiplicación de polinomios: (a + b )2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 2.2→PRODUCTOS NOTABLES Se denominan productos notables a algunas potencias de polinomios o productos entre ellos que pueden resolverse rápidamente ya que cumplen algunas características o reglas fijas. Existen varios productos notables que son: 2.2.1→CUADRADO DE LA SUMA El cuadrado de una suma se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se suma el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se suma el cuadrado de la primera cantidad. Observa: (a + b) 2 a2 ⇒ el cuadrado de la primera cantidad 2ab ⇒ dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad b2 ⇒ el cuadrado de la segunda cantidad

(a + b)2

=

a2 + 2 ab + b2

Ejemplos:  ( x + 2y)2 = x2 + 2.(x).(2y) + (2y)2 = x 2 + 4 xy + 4 y 2  (2a2 + 3b3 )2 = ( 2a2 )2 + 2.(2.a2).(3b3) + ( 3b )2 = = 4a 4 + 12 a 2b3 + 9b 6 2.2.2→DIFERENCIA DE CUADRADOS El cuadrado de una diferencia se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se resta el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se resta el cuadrado de la primera cantidad. Observa: (a −b) 2 a2 ⇒ el cuadrado de la primera cantidad 2ab ⇒ dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad b2 ⇒ el cuadrado de la segunda cantidad (a − b)2

=

a 2 − 2ab + b 2

Ejemplos: * (2x – 4)2 = ( 2 x) 2 − 2(2 x) (4) + 42 = 4 x 2 −16 x +16 * (mn3 – 3 m4 x2 )2 = (mn 3 ) 2 − 2(mn 3 ) (3m 4 x 2 ) + (3m 4 x 2 ) 2 = m 2 n 6 − 6m 5 n 3 x 2 + 9 m 8 x 4 EJERCICIOS: Resolver los siguientes productos notables: 1. (3y+5z)2

6. 7.

( x − y) (5 − a ) x

y 2

2

  2.  x − y  1 3

2

8.



  3.  a + b  3 4

1 4 

(2 x

a +1

− 3 x a −2 )

2

1  9.  m 2 n 3 − m 3 n 2  2  2 10. ( a + b − c )

2

4. (3 – 4 a)2 5. (7 – 2x)2

2

2.2.3→SUMA POR DIFERENCIA Es un producto de la siguiente forma (a + b)(a – b) los mismos términos en un paréntesis separados con más y en el otro con menos. Se resuelve de la siguiente manera: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a 2 − b 2 ⇒ (a + b) (a – b) = a2 – b2 Ejemplos:  (2a – 3b)(2a + 3b) = 4 a2 – 9 b2 2 3

 2  3

 4  9

2 2   a + b  a − b  = a − b

EJERCICIOS 1. ( 3m − 5 y )( 3m + 5 y ) 2. ( a − 2b 3 )(a + 2b 3 ) 3. [ (a + b) + 2] [ (a + b) − 2] 1 3

3  1 2  3

3  2 

4.  + a  − a  5. (2m3 – n4)(2m3 + n4) 6. (a 2x – 3)(a 2x + 3)

7. (a + 2b + 2)(a +2b – 2) 8. (ab + c)(ab – c) 9. (3x2 – b) ( b + 3x 2) 10. ( a − x ) 3 − ( a + b ) ( ( a - x) 3 + (a + b) ) 11. (5x+2y)(2y–5x )

(

3 4

)

 3  4

 

3 2 3 3 2 3 12.  x − 2m y  x + 2m y 

2.2.4→CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS Cuando se presentan los siguientes binomios al cubo, se resuelven de la forma que se indica:

( a + b) 3

= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

( a +b) 3 = (a+b)2(a+b)

= (a2+2ab+b2) (a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3

( a − b )3 = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 que se demuestra de la misma manera que el anterior. EJEMPLOS  (m–2)3 = m3–3(2m2)+3m(2)2–23 = m3–6m2+12m – 8  (3 a2 + 2 b3)3 = (3 a2)3 + 3(3 a2)2 (2 b3) + 3(3 a2) (2 b3)2 + (2 b3)3 = 27 a6 + 54 a4 b3 + 36 a2 b6 +8 b9 EJERCICIOS: 3 11. (5 x − 5 y ) 3 1. (a – b) 3 12. ( x a +1 − x a −2 ) 2. (3y+5z)3

  3.  x − y  1 2

3

  13.  m 2 − n 2  1 2



  4.  a + b  3 4

1 4 

14. ( a + b − c )

3

5. (3a – 4 b)3 6. (7 – 2x)3 7. (2x2 – 5y 3 )3

16. ( a

3 4

3

5

3



+b

 18.  x 3 +

9.  3 x 2 y − 2 xy 2 

) )

2b 3 3

2 2 y  3 

3

19. (a – b – c)3 20. (–x – y)3



3

1 3

3b

17. (3a − 2b 4

3

2  8.  a + 4m  3  4



3

  15.  x − y 4  2 5 

3

 

10.  + m3 

2.2.5→POTENCIA DE BINOMIOS El binomio (a+b)n con n perteneciente al conjunto de los números naturales (1,2,3....), llamado BINOMIO DE NEWTON se resuelve utilizando el TRIANGULO DE PASCAL, de la siguiente manera: 1. los números que se encuentran en el triángulo de Pascal son los coeficientes numéricos de los términos del producto. 2. El primer número diferente de 1 es el exponente del binomio 3. El primer término inicia con el mismo exponente que el binomio y el segundo con exponente cero. 4. El primer término comienza a disminuir su exponente hasta que sea cero y el segundo a aumentarlo. 5. Los signos son positivos si el binomio es suma y se intercalan si el binomio es resta– se utiliza así: 6. 1 (a+b)1 = ab0 +a0 b = a + b (a+b)2 = a2+2ab+b2

1 2 1 1 1

3 4

3 6

(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a b2 – b3

1 4

1

(a + b )4 =a4+4 a3b + 6a2b2 +4 ab3+b4

EJEMPLOS  (a+2)6 = a6+6 a5(2)+15 a4 (2)2+20 a3(2)3+15 a2(2)4+6 a(2)5+26 = a6+12 a5+60 a4 + 160 a3 + 240 a2 +192 a + 64  (3x–

2 ) 3

4

= 16 81

2 2 2 3 2 ) + 6 (3x)2 ( )2 – 4(3x)( ) + ( )4 3 3 3 3 216 216 32 1 6 32 81 x4– x3 + x2 – x+ = 81x4 – 72x3 + 24x2 – x+ 3 9 9 81 9

=(3x)4– 4 (3x)3 (

EJERCICIOS 1. (a – 2b)6 2. (2 x2 – 3y 2) 4 3. (3 – a3) 5 x y 4.  −  2 2 

5.

(a

x

+ 2)

  7.  x − y 3  1 3

8.

4

3  6.  − m 2  4  



(2x − 3 y ) (5 − 3a )

2 6

3

2 9. 10. ( 2 − a ) 7

3

4

3

  11.  a 2 − b 3  1 2

5

2 3

4



2.3→COCIENTES NOTABLES De la misma manera que los productos notables, existen cocientes que pueden realizarse por simple inspección. Estos cocientes son: a2 − b2 a −b a2 − b2 2. a +b a 3 − b3 3. a −b a 3 + b3 4. a +b

1.

= a+b = a −b = a 2 + ab + b 2 = a 2 − ab + b 2

a4 − b4 = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 a −b a4 − b4 = a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3 6. a +b

5.

La misma estructura funciona para las demás

NOTA: Los cocientes cuya estructura es la siguiente, no son divisiones exactas a4 + b4 a −b

a4 + b4 a +b

EJEMPLOS: 

8 − a3 = 2 + 2a + a 2 2−a



1 − x 12 = 1 + x 4 + x8 1− x4

16 x 2 − y 2 = 4x − y  4x + y

EJERCICIOS: Resolver por simple inspección los siguientes cocientes 1.

a 4 −1 a +1

5.

2.

a6 − y6 a3 + b3

6.

3.

8 + a3 2 +a

4.

16 x 2 y 4 − 25 m6 4 xy 2 +5m3

36 a 10 − 25 5 + 6a 5

256 − m 8 2 −m (a + b) 2 − c 2 7. a +b −c

8.

32 x 5 + 243 y 5 2x +3y

2.4→FACTORIZACIÓN Factorizar un número natural es descomponerlo en sus factores primos así: 12 = 2 x 2 x 3= 22 x 3 donde 2 y 3 son números primos. Factorizar un polinomio significa descomponerlo hasta donde sea posible, en el producto de todos sus factores primos. La propiedad distributiva de la multiplicación de números reales respecto de la adición permite transformar las sumas indicadas en productos. Esta transformación es una FACTORIZACIÓN. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2.4.1. → FACTOR COMÚN Es el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio, tanto de la parte literal como de la numérica. El M.C.D de los coeficientes del polinomio, y el factor común literal está conformado por las variables que se repiten en todos los términos elevadas al menor exponente. El factor restante con el que se multiplica el factor común, está compuesto por los coeficientes de cada término sobre el mismo factor común. Ejemplo: Factoriza los siguientes polinomios: * 6 x3 – 12 x2 + 3 x El factor común de los términos es 3 x. Por la propiedad distributiva se puede escribir * 6 x3 – 12 x2 + 3 x = 3x ( 2 x2 – 4 x + 1) * 8 x w3 + 32 x3 w 2 = 8 x w 2 (w + 4 x2) * 5 y z4 – 12 y 6 = y ( 5 z4 – 12 y5 ) * 4 x ( x + 2) – ( x + 2)= ( x + 2) ( 4 x –1) 3 2  3  3 3 3 x −2   +7 x −2  = x −2   x −2   +7  *             Ejercicios: 1. 3 xy 3 + 27 x 4 y 2. 3.

5b +b 4 z − 25 b3w 2 x( n −1 ) −3 y ( n −1

)

2.4.2. → FACTOR COMÚN POR AGRUPÁCIÓN: Cuando el polinomio tiene más de tres términos, es necesario agrupar adecuadamente Se emplea inicialmente una asociación de términos por medio de los signos de agrupación, para hallar así los factores comunes de cada uno. Ejemplo: * 3x 2 − 6ax + 4 x − 8a 1. Agrupemos: (3x2 – 6 ax) + (4x – 8 a) 2. Factoricemos el factor común: 3x ( x – 2 a) + 4( x – 2 a) 3. Se factoriza de nuevo: (3x +4) (x – 2a) * x2 − a2 + x − a2 x 2 2 2 ) x −a x ) + x −a 1. Agrupemos:    2 ) x −a 2. factoricemos: x( x −a 2 ) +  2 x −a 3. Se factoriza de nuevo: (x +1 )  * 3a3 − 3a 2b + 9ab 2 − 3b 2 − a 2 + ab

)

1. (3a3 − 3a 2b + 9ab 2 ) − (3b 2 + a 2 − ab ) 2. 3a (a 2 − ab + 3b 2 ) − (a 2 − ab + 3b 2 ) 3. ( 3a −1 )(a 2 − ab + 3b 2 ) Ejercicios: 2.

3m −2n −2nx 4 +3mx 4 2 x 2 y +2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3

3.

3a 2 −7b 2 x +3ax −7 ab 2

1.

2.4.3→. DIFERENCIA DE CUADRADOS Es la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas: a 2 −b 2 = ( a +b Ejemplos

)( a −b )

:

(

(

2 2 −( 9 y ) 2 = 4 x 2 +9 y ) * 16 x 4 −81 y 2 =  4 x 2 −9 y 4 x     3 4 2 = (5 + x 3 z 4 ) (5 − y 3 z 4 * 25 − x 6 z 8 = 5 2 − x z     2 2  2  2  64 4x 4 2x 2  8   =  8 + 2 x  8 − 2 x  * − =   − 2       9 w 3 w 3 w 3   w     

)

)

Ejercicios:

361 x14 −1 b12 x 2. − 49 a10 n 81 3. a 2 m 4 n6 −144

1.

2.4.4→. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P ) Es el resultado de un Binomio al cuadrado. El primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y su signo es positivo, y el segundo término es el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término: a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b

Ejemplos: * x 2 – 2x + 1=

)2

( x – 1)2

Raíz cuadrada de x2 = x Raíz cuadrada de 1 = 1 Doble producto de estas raíces: 2 ( x ) ( 1) = 2 x * 36 + 12 m2 + m4 = ( 6 + m2 )2 Raíz cuadrada de 36 = 6 Raíz cuadrada de m4 = m2 2 ( 6) ( m2) = 12 m2 *

a2 a  − ab + b 2 =  − b  4 2 

2

Raíz cuadrada de

2 a a2 = 2 4

Raíz cuadrada de b2 = b Doble producto de esta raíces:

2(

a ) (b) = 2

2ab = ab 2

Ejercicios:

1 +14 x 2 y +49 x 4 y 2 2. 9 −6 x + x 2 n2 3. + 2mn +9m 2 9

1.

2.4.5→. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR COMPLETACIÓN Este caso se da cuando los trinomios no son exactos para ser T.C.P. Ejemplos: * 4a 4 + 3a 2b 2 + 9b4 1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de 4 a4 = 2 a2 La raíz cuadrada de 9 b4 = 3 b2 2 ( 2 a2 ) ( 3 b2 )= 12 a2 b2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 3a 2b 2 ≠ 12 a 2b 2 2. Luego hay que sumarle 9a2 b2 al segundo término para que sea igual a 12 a2 b2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así: 4a 4 + 3a 2b 2 + 9b 4 + 9a 2b 2

– 9a 2b 2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4a 4 +12 a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2 = (4a 4 +12 a 2b 2 + 9b 4 ) − 9a 2b 2 Factorizo el T.C.P = (2a 2 +3b 2 )2 − 9a 2b 2 Factorizo la Diferencia de Cuadrados = ( 2a 2 + 3b 2 − 3ab ) ( 2a 2 + 3b 2 + 3ab ) y por último lo ordeno = (2a 2 −3ab +3b2 )(2a 2 +3ab +3b2 )

*

c 4 − 45 c 2 +100

1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de c4 = c2 La raíz cuadrada de 100 = 100 2 ( c2 ) ( 10 ) = 20 c2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 45 c 2 ≠ 20 c 2 2. Luego hay que sumarle 25 c2 al segundo término para que sea igual a 45 c2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así: c 4 − 45 c 2 + 100 – 25 c 2 + 25 c 2

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4 2 c 4 −20 c 2 +100 −25 c 2 = c −20 c +100 

) −25 c 2

Factorizo el T.C.P = Factorizo la Diferencia de Cuadrados = y por ordeno último lo ordeno =

 c2 − 10  

2

)

− 25

c2

(c2 −10 −5c )(c2 −10 +5c ) (c2 −5c−10 )(c2 +5c−10 )

Ejercicios: 1. 2. 3.

25 a 4 +54 a 2b 2 +49 b 4 4 −108 x 2 +121 x 4 121 x 4 −133 x 2 y 4 +36 y8

2.4.6→. TRINOMIO DE LA FORMA X 2 + BX + C 1. Se organiza el trinomio 2. El coeficiente del primer término es 1 3. Se descompone en dos factores binomios y al comienzo de cada uno de ellos se escribe la raíz cuadrada del primer término. 4. Se buscan dos cantidades que al multiplicarse den el tercer término y al sumarse den el segundo término Ejemplos: * Factorar: m 2 −17 m −60 Se halla la raíz cuadrada del primer término m2 = m El trinomio se decompone en dos binomios: (m ) (m ) Se busca dos números cuya diferencia es 17 y cuyo producto es 60. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –17x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo positivo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da positivo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 60

↓ 2

30

↓ 2

15

↓ 3

5

↓ 5

1

↓

2 x 2 x 5 = 20 y 3 Rta :

(m – 20 ) (m + 3 )

* Factorar: 28 + a 2 −11 a Se organiza el trinomio: a 2 −11a + 28 Se halla la raíz cuadrada del primer término a2 = a El trinomio se descompone en dos binomios: (a ) (a

)

Se busca dos números cuya diferencia es 11 y cuyo producto es 28. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –11x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 28

↓ 2

14

↓ 2

7

↓ 7

2x2=4 y 7

1

Rta :

( a – 4 ) (a – 7 )

* Factorar: x 2 + 2ax −15 a 2 Se halla la raíz cuadrada del primer término x2 = x El trinomio se descompone en dos binomios: (x a ) (x

a )

Se busca dos números cuya diferencia es 2 y cuyo producto es 15. En el primer paréntesis se coloca el signo positivo ya que 2x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo. Se descompone en sus factores primos al tercer término: 15

↓ 3

5 1

↓ 5

Rta :

( x + 5a ) (x – 3a )

Ejercicios:

x 2 +6 x +8 2. x 2 −x −2 3. 15 +2 x −x 2

1.

2.4.7. → TRINOMIO DE LA FORMA

A X2 + B X+ C d o n d e A ≠ 1

Se multiplica y se divide al mismo tiempo por el valor de * a * En el numerador el valor de * a* sólo afecta al primer y tercer término Luego se factoriza de la forma X 2 + BX + C Por último se divide por * a * para no alterar el trinomio * Factorar: 6 x 2 + 7 x + 2

(

6 6x 2 + 7x + 2 6

)

=

( 6 x ) 2 + 7 ( 6 x ) + 6( 2 ) 6

36x 2 + 7( 6 x ) + 12 = 6 ( 6x + 4 )( 6x + 3 ) = 6

2 ( 3x + 2 ) ⋅ 3 ( 2 x + 1 ) 6 2x3 = ( 3x + 2 ) ( 2 x + 1 ) =

* Factorar: 5 x6 + 4 x3 −12

(

5 5 x 6 + 4 x 3 −12 5

)

3 2 + 45 x 3  − 5(12 ) 3 − 60 3 3   25 x 6 + 4 5 x     5 x   5 x +10   5 x − 6             = = = 5 5 5

=

(

3 3 5 x + 2  5x − 6   5

)

(

= x3 + 2

)

(5x 3 − 6 )

Ejercicios:

1. 3x 2 −18 x −165 2. 2ax 2 −8ax −24 a 3.

20 x 2 +7 x −6

2.4.8→. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS: a3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3 = ( a ± b

)3

Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Tener cuatro términos 2. Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos 3. Qué el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicando por la raíz cúbica del última. 4. Qué el tercer término sea más triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. * 8 −12 a 2 + 6a 4 − a 6 La raíz cúbica de 8 = 2 La raíz cúbica de a6 = a2 3 ( 2)2 ( a2 ) = 12 a2 3 ( 2 ) ( a 2 )2 = 6 a 4 Rta

segundo término tercer término

( 2 – a2 )3

* 125 a3 +150 a 2b + 60 ab + 8b3 La raíz cúbica de 125 a3 = 5 a La raíz cúbica de 8b3 = 2 b 3 ( 5 a )2 ( 2 b ) = 150 a2 b 3 ( 2 b )2 ( 5a ) = 60 a b2 Rta

segundo término tercer término

( 5a + 2 b )3

Ejercicios:

1. 8a3 −36 a 2b +54 ab 2 − 27 b3 2. 125 x3 +1 +75 x 2 +15 x 3.

x9 −9 x6 y 4 + 27 x3 y8 −27 y12

2.4.9. → SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: a 3 +b 3 =

(a +b ) a 2 −ab

+b 2     2 2 ) a 3 −b 3 = (a −b )  a + ab + b  

1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores x 3 − 27 = ( x − 3

) (x2

La raíz cúbica La raíz cúbica

+ 3.x + 3 2

de x = x de 27 = 3 3

) = ( x − 3)( x 2

+ 3. x + 9 )

8 x 3 + y 3 = ( 2 x +3 y ) [

*

La

raíz

cúbica

m − n  

) 3+ 27 =





de 8 x 3 = 2 x de y 3 = y

cúbica

La raíz

(2 x ) 2 −2 x ( y ) + y 2 ] = (2 x +3 y )4 x 2 −2 xy + y 2 

[ ( m − n ) + 3 ] [ ( m − n ) 2− ( m − n ) ( 3 ) + 3 2 ]

* La raíz cúbica de ( m − n )3 = m − n La raíz cúbica de 27 = 3

Ejercicios:

1. a3 + 27 2. x6 − y9 3. x6 − ( x + 2 )3

2.4.10. → SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES: Se debe tener en cuenta: 1. Ambos términos deben tener el mismo exponente 2. Se saca la raíz de cada término 3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a aumentar. *

a 7 +b7 = ( a +b

) a6 − a5b + a 4b 2 −a3b3 + a 2b 4 −ab 5 +b6 ) 

La

raíz

séptima

de

La

raíz

séptima

de

* 32 − m5 =

a7 b7

es

= a

es

= b

( 2 −m ) 24 + 23 m + 22 m 2 + 2m3 + m4 ) 

La

raíz

qu int a

de

La

raíz

qu int a

de

32 es = 2 m5 es = m

Ejercicios

1. 1 +243 w5 2. x6 −64 w6 3. a7 +2187

EXPRESIONES RACIONALES 3.1→MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplos: * Hallar el MCD de ab 2 c, a 2bc Las letras comunes son a b c. Se toma las letras a, b y c con su menor exponente por lo tanto su MCD es = a b c *Hallar el MCD entre 15 a 2b 3c, 24 ab 2 x, 36 b 4 x 2 15 a 2 b 3c = 5 • 3 a 2 b 3c 24 ab 2 x, = 2. •2. •2. •.3 36 b 4 x 2 = 2. •2. •3 •.3

ab 2 x b4 x2

Por lo tanto el MCD es = 3 b2 * Hallar el MCD entre 2a 2 + 2ab , 4a 2 − 4ab 2a 2 + 2ab = 2a ( a + b 4a − 4ab = 4a ( a − b 2

*Hallar el MCD entre 9 x 2 −1

=

9 x − 6 x +1 = 2

) )

Por lo tanto el MCD es= 2a

9 x 2 −1,

9 x 2 −6 x +1 |

( 3 x −1 ) ( 3 x + 1 ) Se factorizan ambos términos ( 3 x −1 ) ( 3 x −1 )

Por lo tanto el MCD es= 3x – 1 Ejercicios: Hallar el M.C.D 1. 2. 3.

x 2 −4, x 3 −8 3 x 3 +15 x 2 , ax 2 +5ax 2 2 2  x −1 ) , x −4 x −5, 

8 x 3 + y 3 , 4ax 2 −ay 2 5. 3 x 2 +3 x −60 , 6 x 2 −18 x −24

4.

x 4 −1

3.2→MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El m.c.m es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente. Ejemplos: * Hallar el m.c.m de ab 2c, a 2bc El m.c.m es= a2 b2 c * Hallar el m.c.m entre 15 a 2b3c, 24 ab 2 x, 36 b 4 x 2 15 a 2 b 3c = 5 • 3 a 2 b 3c 24 ab 2 x, = 2. •2. •2. •.3 36 b 4 x 2 = 2. •2. •3 •.3

ab 2 x b4 x2

Por lo tanto el m.c.m es = 23 32 5 a2 b4 c x2 = 360 a2 b4 c x2 * Hallar el m.c.m entre 2a 2 + 2ab , 4a 2 − 4ab 2a 2 + 2ab = 2a ( a + b 4a − 4ab = 4a ( a − b 2

) )

Por lo tanto el m.c.m es= 4 a (a + b) ( a–b) = 4 a ( a2 – b2 )

* Hallar el m.c.m entre 3a 2 x − 9a 2 , x 2 − 6 x + 9 | 3a 2 x − 9a 2

= 3a 2 ( x − 3 |

x − 6x + 9

=

2

)

( x −3 ) ( x −3 )

Se factorizan ambos términos

Por lo tanto el m.c.m es = 3a 2 ( x − 3 ) 2 Ejercicios: x 2 − 4, x3 − 8 2. 3 x3 + 15 x 2 , ax 2 + 5ax

1.

4. 8 x3 + y3 , 4ax 2 − ay 2 5. 3 x 2 + 3 x − 60 , 6 x 2 − 18 x − 24

( x − y )3 3.3→OPERACIONES CON FRACCIONES: Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si es posible, se factorizan los denominadores 2. Se llevan al m.c.m y se efectúan las operaciones indicadas 3. Se unen los términos semejantes 4. Si es posible se simplifica la respuesta. 3.3.1→Suma de fracciones Simplificar 3.

x 2 + 2 x,

x3 − 2 x 2 ,

x2 − 4

6.

x3 − y 3 ,

*

x − 2 3x + 2 + 4 6 3( x − 2 =

=

9x − 2 12

=

(

19 x3 + 30 x 2 − 18 x + 10 45 x3

1 x + x2

+

1 x − x2

+

se reducen a términos semjantes

x +3 1 − x2

1 1 x +3 + + x(1 + x ) x(1 − x ) (1 − x ) (1 + x mcm es x (1 + x ) (1 − x ) =

el

)

15 x3 + 30 x 2 + 9 x3 − 18 x + 10 − 5 x3 45 x3

=

*

es 12

x + 2 x 2 − 2 2 − x3 + + el mcm es 45 x 3 2 3 3x 5x 9x 2 15 x x + 2 ) + 9 x x 2 − 2 ) + 5 ( 2 − x3 = 45 x 3

(

:

mcm

) + 2( 3x + 2 )

12 3x − 6 + 6 x + 4 12

=

*

el

=

1 − x +1 + x + x ( x + 3 x (1 + x ) (1 − x )

x 2 + 3x + 2 x (1 − x ) (1 + x ) ( x + 2 ) ( x +1 ) = x (1 − x ) (1 + x )

=

3.3.2→Resta de fracciones: Simplificar

)

) = 1 − x +1 + x + x 2 + 3x x (1 + x ) (1 − x ) se simplifica

=

x+2 x (1 − x

)

*

a −3 4 − 3ab 2 − 5ab 3a 2 b 3 3ab 2 a − 3 =

el mcm es 15a 2 b 3

(

=

*

−5 15a 2 b 3 3a 2 b 2 + 6ab 2 − 20 15a 2 b 3

x − x −1 2

= = = =

)

x +1

(x −1 )

x ( x −1

( 4 − 3ab ) 2

el mcm es

2

(x

2

+ 2x + 1

( x +1 ) ( x −1 )

x −x − 2

3a 2 b 2 − 9ab 2 − 20 + 15ab 2 15a 2 b 3

( x +1 ) ( x −1 ) 2

)

( x +1 ) ( x −1 ) 2 x2 − x −

=

)

2

x 2 − 2x − 1

( x +1 ) ( x −1 ) 2 − 3x − 1

( x +1 ) ( x −1 ) 2

3.3.3→Multiplicación de fracciones: Se debe tener en cuenta lo siguiente: a. Se descomponen en factores los términos de las fracciones que se van a multiplicar. Se simplifica, quitando los factores comunes tanto en los numeradores como en los denominadores. b. Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y este resultado se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores

Ejemplos: Multiplicar:

*

*

*

2a 2 6b 2 12 a 2 b 2 • = = se simplifica 3b 4a 12 ab = ab 2x 2 + x 8 x (2 x + 1) 2 x2 x2 • = • 6 4x + 2 3x 2 2( 2 x + 1) 2x = 3 2 a − 5a + 6 6a a 2 − 25 • • 3a − 15 2a − 4 a 2 − a − 30 =

*

(a − 3) ( a − 2) 3( a − 5)

x2 + 2x x 2 − 16

•

•

6a (a − 6) ( a + 5)

x 2 − 2x − 8 x3 + x 2

=

x ( x + 2) ( x − 4) ( x + 4)

=

1 x +1

•

•

se

factoriza

(a − 5) ( a + 5) 2( a − 2)

•

a ( a − 3) a −6

x2 + 4x x2 + 4x + 4

( x − 4) ( x + 2) x 2 ( x + 1)

•

x( x + 4 ( x + 2) ( x + 2)

Ejercicios:

2x 2 + x 8 1 x 6 4x + 2 a 2 − ab + a − b 3 x a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab x 3 + 2 x 2 − 3x 2x 2 + 3x 3. x 4 x2 + 8x + 3 x2 − x 2.

4.

(x - y )3 x x3 − 1

5.

2a - 2 x 2 2a − 50

6.

(a +

3.3.4→ División de fracciones: Se debe tener en cuenta: a. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Ejemplos: Simplificar: x2 2x x2 y3 xy ÷ = ⋅ = * 2 3 2 6 3y y 3y 2x

=

x2 + x +1 ( x − y)2 a 2 − 4a − 5 3a + 3

a a ) (a ) b b +1

*

x3 − x 2x 2 + 6x

5x 2 − 5x 2x + 6

÷

x3 − x 2x 2 + 6x

= = = =

*

x 2 −6x +9 4 x 2 −1

2x + 6 5x 2 − 5x

x (x 2 −1 ) 2 (x + 3 ) • 2 x (x + 6 ) 5 x (x- 1 ) x (x- 1 ) (x +1 ) 2 ( x +3 ) • 2 x (x + 3 ) 5 x ( x- 1 ) x +1 5x

x 2 + 5 x − 24 = 2 x 3 +17 x + 8

÷

•

=

x 2 −6x +9 4 x 2 −1

⋅

2 x 2 +17 x + 8 x 2 + 5 x − 24

( x − 3)( x − 3) ⋅ ( x + 8)( 2 x +1) ( 2 x −1)( 2 x +1) ( x + 8)( x − 3)

=

x −3 2 x −1

Ejercicios: Simplificar: 1.

15m 2 19 ax 3

4.

x -1 2x - 2 ÷ 3 6

2.

3.

20y 2 38 a3 x 4

÷

15x 2 +7 x −2 25 x3 − x

5.

÷

6x 2 +13 x +6 25 x10 x +1

6.

ax 2 +5 a 3 x 2 +5a 2 ÷ 2a −1 4a 2 −1 x3 - 1 7x 2 +7 x +7 ÷ 2x 2 −2 x +2 7 x 3 +7

(x -

2 x ) ÷ (x ) x +1 x +1

Ejercicios: 1.

 3x 8y  z2   4y x 9x  ÷ 3x 2  

2.

a 2 −5a b +b 2

3.

 a 2 + 6a −55 ax +3 a ÷  x 2  b −1 ab 2 +11 b 2 

(a 2 −3a )2 x

27 - a 3 a + 3) 2 −3a

9 - a2  x 4 − 27 x 4.  x  x 2 + 7 x −30 

÷

   

a 4 −9 a 2 ( a 2 +3a ) 2

2 x 2 − 20 x +100   ÷ x −100 x −3 x3 +3 x 2 +9 x  

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

4.1→POTENCIACIÓN 4.1.1 →EL CONCEPTO DE POTENCIA Consideremos los siguientes productos 5 5×5 ×  × 5 , 4 factores

2 2 × 2×2 2× ×  ×  2 6 factores

11 ×11  ×1 ×11 11 1  ×  ,  5facto res

a ×a ×a ×...... × a  × a y   ; nfactores

Observemos que en cada producto todos los factores son iguales. Así como la multiplicación es una suma repetida, también el producto repetido lo podemos expresar de una manera simplificada por una nueva operación llamada potenciación. Multiplicación Potenciación 5+5+5+5=5x4 5 x 5 x 5 x 5 = 54 2+2+2+2+2+2=2x6

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26

11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 En general a + a + a + …….+ a = a x n veces a x a x a x ……..x a = an donde,

11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 115 n sumandos n factores

54 se lee “5 elevado a la cuarta potencia” o “5 a la cuarta” 26 se lee “2 elevado a la sexta potencia” o “2 a la sexta” 11 5 se lee “11 elevado a la quinta potencia” o “11 a la quinta”

y en general: a n se lee “a elevado a la enésima potencia” o “a a la enésima”

Definición: Se llama potencia enésima de un número entero a, al producto de n factores iguales a a. Al expresar esta definición de una manera simbólica, tenemos

donde:

a se llama base n se llama exponente el resultado a n se llama potencia la operación se llama potenciación

4.1.2. Propiedades de la potenciación

5.

1. 2. 3. 4.

9.

6. 7. 8.

Ejemplos: 1.

(

)(

)

75 × 42 × 33 × 7 × 44 75 × 7 42 × 44 × 33 75+1 + 42+4 × 33 76 × 46 × 33 = = = 73 × 3 × 45 73 × 3 × 45 73 × 3 × 45 73 × 3 × 45 = 76 −3 × 46 −5 × 33−1 = 73 × 4 × 32 = 343 × 4 × 9 = 12348

2.

3.

1 1 3 1 × ×b × c5 = 62 a 1 1 1 ×a× × 3 b c2 2

6 −2 a −1b 3c −5 = 2 −3 ab −1c −2

  1  a +b x     

2 a −ba     

a a −b   =    

b3

8b 4 c 2 = 36a 2 c 5

36ac 5 = a 8bc 2

a  b a2 − b 2 a −   a 1   a +b   x =             a +b 1  a +b    =x a +b  = x a +b =x    

  1  a +b x    

2b 4 9a 2 c 3

 a− b b  a +    × a  a a− b     

  

    

1 −1  1 − 4   4 1 −1 −1  a2  1  1 1 +1  4  1   4  2  −2 2 −3   2 ×a × 3    81a 2 2  3 b  4.  (16 ) a b  =  16 =  256 b  = 1  6   b3  1 1 3 −   256 b   × ×b −1 3   1  81   ( 81) a 2 b    1     2 a   81a 2 

−1  81a  4 = =   256b6 

1 1  81a  4    256b6 

1

=

6 4 256 × b 4

3 4b 2 = = 1 1 4 81 × a 4 3a 4

(

1 ( 81a ) 4 1 256b6 4

=

1 6× 1 256 4 × b 4

)

1 1 814 a 4

Ejercicios: Simplificar y expresar con exponentes positivos

1.

83 43

5  6 

2x 2 y 4 3. − 3x 4 y 3

 a −1b 2 c −2 5.  2 4 −3 a b c  a 2 n +1 7.  n +1 a

4

 a b +d 11.  b −d  a

2.   8m 5 4. 24 n 3    

−5

6.

(x

8.

3 n +4 − 6 × 3 n +1 3 n +2 × 7

1/ n

   

12.

a

y −b ) ( x 3 y 2 ) 3

−a

b

d  b b −d  a  ( a + d )  b  a

  

d

  

1/ b

2 n +3 − 2 n + 7 2 n +1 − 2 n + 1

(

2 n * 4 n +1 9 2 n 36 2 2 n + 4 n × × 13. 16 3 * 8n ( 81) n  a1−1 x 14.   1  x a +1 

    

)

−3

a 2 −1 a

4.2→EXPRESIONES RADICALES 4.2.1→Raíces cuadradas: El número y es una raíz cuadrada de x cuando y 2 = x Todos los números positivos tienen dos números reales que son sus raíces cuadradas: uno positivo y otro negativo. El único número con una sola raíz cuadrada es 0, cuya raíz cuadrada es 0. Signo radical al símbolo , y al número x que se encuentra bajo el signo radical lo llamaremos radicando. El grado de un radical es el índice de la raíz.

Ejemplo:

=1

*

1

*

144

=12

16 4 =− 81 3 0,0009 = 0,03

* − *

1600 = 40 La raíz cuadrada de todo cuadrado entero es un racional: 4 = 2 Las raíces cuadradas de muchos enteros positivos no son números racionales, por ejemplo: 13 ≈ 3,6055 Las raíces cuadradas de números negativos no son números reales. Ejemplo : − 4 no es un número real, ya que ningún número real elevado al cuadrado es igual a –4. Estas raíces cuadradas de números negativos originan el conjunto llamado Números Imaginarios. Simplificar un radical es llevarlo a su más simple expresión.

4.2.2→Propiedades de los Radicales: m 1. n a m = a n

8 4 8 2 = 2 4

⇒

2. n a b = n a n b

⇒ 3 (8

1 na a a n n 3. = = nb 1 b b n

⇒ 6

4. m

na

=

m•n

4

= 3 8 • 3 27 = 2 • 3 = 6

6 125 z 6 125 z 6 = 6 64 b 3 64 b 3

( (

=

) ( 27 )

= 22 =

a ⇒ 4

53 z 6

)

1

6

) 16

26 b3

3 216 b 9

= 12 6 3 b 9

=

6 3 5 6 z6 6 3 2 6b 6

1 5 2 Z = 1 2b 2

9 = 4 • 3 216 b = 3 9 = 6 12 b 12

3 1 = 6 4 •b 4

4.2.3→Raíces cuadradas de expresiones con variables: Ejemplo : w4 = w2

*

*

81 x6 = 9 x3

*

(x +6 )4 = (x +6 ) 2

4.2.4→Raíces cúbicas: La raíz cúbica de x es cualquier número cuyo cubo sea x, y se representa por 3 x=y si y3 = x Ejemplo : * 3 27 a 6 = 3 a3

*

3

(5 5 )

2

= 3 52

* 3

( 5)

2

8 z3 2z = 9 64 b 4 b3

= 3 52 ⋅ 5 = 3 53 = 5

4.2.5→Raíces enésimas: Ejemplo

*

7

:

−128 w14

=

7

7 −2 w 2  = −2 w2    

* 3

− 125 x3 = − 5 x

4.3→OPERACIONES CON RADICALES: 4.3.1→Suma y Resta de Expresiones Radicales: Se llaman radicales semejantes a las expresiones que tienen radicales con el mismo índice y el mismo radicando, y luego se escriben los radicales no semejantes con su propio signo. Ejemplo: 2 +4

* 12

2 −7 2 =

2 (12 + 4 − 7

= 9 *

)

factor común

2

6 3 16 − 7 3 24 = 6 3 8 • 2

−7 3 8 •3

= 6 3 2 3 • 2 − 7 3 2 3 •3 3 3 3 3 2 • 2 − 7 23 • 3 3 = 6 • 2 •3 2 −7 • 2 •3 3 = 6

32

= 12 *

4 48

− 4 243 − 4 768

=

−14 • 3 3 4 24 •3

−4 34 • 3 −

4 24 • 24 • 3

4 3 4 2 4 − 4 34 4 3 − 4 2 4 4 2 4 4 3 = 2 4 3 − 3 4 3 − 2 •2 3 =

43

= −5

4.3.2→Multiplicación de Expresiones con radicales: Se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, para multiplicar los coeficientes y las cantidades radicales entre sí, por último se simplifica el resultado. Ejemplo: 8 •5

*

6

*

5 3

*

(4

(2

3 = 30 +5 2

18 − 2 5

)

) (7

2 2 •2 • 3

8 • 3 = 30 = 10 5 +2

3

+

) = 28

25

2 = 10

9 •2 •5 + 8

28 •3

= 84

10 + 8 •3

10 +24

2 •3

3 + 25

18 •5 +8 18 −14

= 28 =

3

= 30 • 2

= 60

6

6

25 −4 5

Ley

distributv

a

9 •2 −14 •5 −4 5 2

− 70 −4

2 −70 − 4

5

5

4.3.3→División de Expresiones con radicales: Se dividen los coeficientes y las cantidades radicales entre sí, colocando el último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado. Ejemplo: Dividir 1. 2.

4 6 := 2 3

4 2

75 x 2 y 4

6 3

=

2

2

÷ 5 3 xy =

75 x 2 y 4 5

3 xy

=

1 5

75 x 2 y 4 1 = 3 xy 5

25 xy 3 =

1 • 5y 5

xy

= y xy

RACIONALIZACIÓN Para dividir expresiones con radicales debemos racionalizar el denominador de una fracción para reemplazarlo por un número racional, es decir desaparece todo signo radical. Para eliminar el radical en el denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por un número que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador. Ejemplo:

*

6 5

6

=

5 6

= *

7 8

5 25 7

=

5

•

8

se multipica

5 6

=

•

el numerador

y el denominado

r por

5

5 5

8 8

7 •8

=

82

2

56 = 8

=

14 = 8

14 4

Multiplicamos el numerador y el denominador por un número que de un cubo perfecto bajo el signo radical del denominador Racionalizar: *

8 33

= como el denominado r es una raíz cúbica, multiplica mos el numerador el denominado r por un número que nos dé un cubo perfecto bajo el signo radical.

8 33 *

35 3 12

Cómo 3 . 9 = 27 que es un cubo perfecto, ese número es 39 839 839 8 = • = = 33 39 3 27 3

39

= Como 216 es el mínimo cubo perfecto divisible entre 12 ( 216 ÷ 12 =18), al multiplica r el numerador y el denominado r 3 18 obtendremo s el mínimo cubo perfecto posible bajo el por radical

35 3 12

=

35 12

del denominado r. •

3 18 3 18

=

3 3 • 18 3 216

=

3 3 • 32 • 2 6

=

332 6

=

32 2

7 x 2 y3 2 x2 y4

*

7 2 y

=

7 2y

=

2y 2y

7 • 2y

=

14 y 4 y2

=

14 y 2 y

=

4.3.4→Binomios Conjugados a+ b , a− b ó Dos expresiones que contienen radicales de 2º grado como viceversa que sólo son diferentes en el signo que une sus términos se dicen que son Conjugados. El conjugado de a + b es a – b y viceversa. El producto de dos expresiones conjugadas es un número racional. 2

Racionalizar el denominador de 2 3 +2

=

(

)(

3 +2

x −4 x

)

3 −2 3 −2

)

3 +2

3 −4

(

el numerador y el denominado r

por el conjugado

(

=

3 +2

Se multiplica

)

9 −2

2

=

*

3 −2

2

(

x −4 ) x +4 x x +4 )

(

2

=

(

3 −2 3 −4

)

del denominado r. =

2

(

3 −2 −1

)

= −2

(

3 −2

)

)

=

x + 4 x − 4 x − 16 x+ 4 x

=

x − 16 x +4 x

Aún esta expresión final no está simplificada. Ejercicios: Simplificar 1.

xy 3

3.

 3  16 z 

5.

(5

9x2 y5

m +2

) (6 − x

)(

4z

)

m −7

)

x

2.

5ab

5ab

4.

y4

( x +y )

6.

[4 (3 −

x

( x +y )

5

) ]2

Racionalizar:

1. 2. 3.

3 xy 39 2 5

3 54

5.

5 5−3

6.

7− 3 3+ 7

7.

4+ z 3z

ECUACIONES LINEALES 5.1→ ECUACIÓN LINEAL: Una ecuación lineal con una variable ( x ) es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma a x + c = 0 donde a y c son números Reales y a es diferente a 0. Tanbién se les puede llamar de Primer Grado Ejemplos:

1.) 2 x + 8 = 10 entonces 2x = 10 – 8 luego 2 x = 2 entonces x = 1 2.)

x + 10 =

1 2

1 – 10 2

entonces x =

3.) 5 x + 3 = 2 x + 8

donde x = –

19 10

entonces 5 x – 2 x = 8 – 3

luego 3 x = 5

5 3

donde x =

Ejercicios: hallar el valor de x 1.) 6 – 4 x = 4 x + 7 2.) 5x + 4 – x = 19 3.)

2 + 8 x = 12 3 3 7

4.) – 9x + 12 = – 4x –

5.2→ECUACIONES CON UN RADICAL: Para eliminar el radical, se aplica la regla de potenciación, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. Ejemplo: * 5 − 3x + 1 = 0 ⇒ 52 ⇒ 25

=

(

3x +1

)2

elevando

al

cuadrado

= 3x + 1

⇒ 25 − 1 = 3 x ⇒8

*

9 x 2 − 5 − 3x

=

x

= −1 ⇒ 9 x 2 − 5

=

−1 + 3x

2  ⇒  9x2 − 5 ) =  ⇒ 9x 2 − 5 = 9x 2 ⇒ 9x 2 − 9x 2 + 6x ⇒ 6x ⇒x

aislando el radical

 3x − 1 ) 2 elevando al cuadrado  − 6 x + 1 Efectuando = 1+5

=6 = 1

Ejercicios: 1. 2. 3.

16 x 4 + 8 x 2 + 5 x x+

x +7

. x 2 − 2 x +1

=

= 7

= 9 −x

2 + 4x 2

4. 5. 6.

x −16 x +7

−

+

4 x −11

x +8 x −1

=

7

= −4

= 6 2 x − 29

5.3→ECUACIONES CUADRÁTICAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES

* (2 x −1) 2 + ( x + 3) ( x − 3)

= x(5 x − 5) + 2 2 2 4 x − 4 x +1 + x − 9 = 5 x 2 − 5 x + 2 se resuelve el cuadrado 5x 2 − 4 x − 8 = 5x 2 − 5x + 2 se unen los tér min os semejantes − 4x + 5x = 2 + 8

x

= 10

Ejercicios, Resuelva la ecuación 7( x −3) 2 = (7 x −3) ( x − 4) 2. ( x − 2) 2 + ( x +1) ( x −1) = 2 x ( x −3) +1

1.

3.

5 x −(3 x −9) −

[4 − 2 x −(6 x −3) ]

= 12