Guia De Estudio Limites

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No._1__ UNIDAD ACADÉMICA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD TEMÁTICA

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

COMPETENCIA Deducir resultados mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

 Calcula el límite para las diferentes clases de funciones.  Interpreta el límite de una función en un contexto determinado.  Determina la continuidad de funciones mediante los criterios de continuidad ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes del Profesor ACTIVIDAD No 1 Calcula los siguientes límites: 1. Si

si  4x + 1 f ( x) =   7 − 2 x si

2. Dada la función

x ≥ 3  calcule el valor de: x < 3

b. f (2) =

x→ 2

 ax − 3 g ( x) =  2  x +a

si si

 x+5  2 5. Sea la función f ( x) =  9 − x  5− x  x →− 3

6. Dada la función

b. f (3) =

si si si

c. f (0)=

x ≤1  g ( x) exista.  determine el valor de a tal que lim x →1 −1 < x 

 x 2 + 2 x − 1 si g ( x ) = 4. Dada la función  si  3x − b g (−b)

a. lim + f ( x) =

x→ 3

3 x + 2 si x < 2    f ( x) =  8 si x = 2  grafíquela y determine el valor de:  x + 6 si x > 2    a. lim f ( x) =

3. Sea la función

lim f ( x) + lim− f ( x)

x→3 +

x >2 g ( x) existe, calcule el valor de  si lim x→2 x ≤ 2

x < −3   −3 ≤ x ≤ 3  x > 3   c. f (− 3) =

g ( x) = x2 − 3 x , hallar lim x→ 0

determinar:

d . lim f ( x) = x →− 3

e. lim f ( x) = x→ 3

f ( x + h) − f ( x ) h

Versión: 1 Septiembre 2009

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 x + x +1    x   2

7. Calcule el valor de a ∈ℜ para que se cumpla lim  x→ ∞

8. Grafique la función

9.

Si lim x→ 1

f ( x) =4 1 − x2

10. Sea la función

g ( x) =

y

 g ( x) =  

x −x

x→ 1

3

x

si

x

si

Calcule el valor de lim

x→ 1

x < 0   hallar: ≥ 0 

f ( x) g ( x)

a. La gráfica de f(x)

b. 11.

= e2

g ( x) y calcule el xlim →0 +

g ( x) = −2 1 − x3

lim

a x 2 +1 x

lim g ( x) x→ 0

11. Mediante la gráfica de la función f(x):

a. Encuentre los siguientes valores:

• lim f ( x) = x→0

• lim− f ( x)=

• f (1)=

x →1

• lim+ f ( x) =

• f (0)=

x→2

b. ¿En que puntos la función es discontinua y diga la clase de discontinuidad?

ACTIVIDAD No 2 Resuelve los siguientes ejercicios teniendo en cuenta los tipos de límites indeterminados vistos en clase a.

lim+

x→ 2

x 2− x

b.

lim−

1 − x3 x 2 −1

lim

x −1 x −1

x →1

c.

lim x →1

3

d.

lim x→ 0

x

e.

x→ 0

f.

lim x →3

2 x3 + 3x 2 − 2 x − 3 x2 −1

6+ x −3 4 − x −1 Versión: 1 Septiembre 2009

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8 x3 − 1 lim g. x → 1 6 x 2 − 5 x + 1

h. lim

x x +8 −2

j.

x→ 0 3

m.

lim

p.

lim

x→ 0

( x − 4)

2

− 16

lim

5− x −2 x −1

x →1

lim

i.

8+ x + 4 3 8− x −4

x →1

4 x −4 3 x −1

x 2 − 5x + 6 l. lim x → 0 x 2 − 12 x + 20 o.

x 2 − 2x

lim q. x → 2

x2 + 3 − 2

x →1

− 27

k. lim x→ 0 n.

x 2 x − 3x + 2

3

x

x→ 0

2

lim

( 3 + x)

lim−

x→ 0

r. lim x →3

x2 + 5 − 3

x + x2 x x2 − 9 x 2 + x − 12

ACTIVIDAD No 3 Resuelve los siguientes límites 1. lim x + 5x + 6 3

( 4 x + 5) ( 5x − 7 ) 2

4. lim

2.

7 x − 20

x →∞

5. lim x →∞

3   1 − 3  x −1 1− x 

 7. lim x →1

 x + 2 10. xlim   →∞  x +3

x → −∞

3

2 x5 − 4 x 3 + 2

x →∞

lim

lim

8.

x →∞

x2 −2

11.

lim  Ln( x + 3) x − Ln( x + 2) x 13. x → ∞ 

3

(

6 x 2 −1 3x 2 + x + 2

3. lim x →∞

1 + 8 x2 x2 + 4 x +2 − x−2

lim ( 1 + x 2 )

)

1 x

14.

 1 3 lim  −  x→ 0 +  x x

3

8x3 + 7 x 2 −1

6. xlim →∞

2 x3 + 6 x 4 − 5x + 20

9. lim x →∞

( x−

12.

x→ ∞

4 x2 + 1 + x

lim

x2 + x x

x→ 0

)

1− 2x

 2+ x 15. lim   x→ 0  4− x

x

ACTIVIDAD No 4 1. Hallar y analizar los puntos de discontinuidad y trazar la gráfica:

a. g ( x) =

x2 − 3x ( x 2 − 1) ( x − 3)

b.

f ( x) =

x x −4 2

c. f ( x ) =

x +1 x −1

2. Para las siguientes funciones demuestre que son continuas o discontinuas en el valor de x=a. Clasifique la discontinuidad en evitable o esencial y redefina la función en el caso que la discontinuidad sea evitable.

x2 + 2 x − 8 a. g ( x) = 2 , en x = −4 x + 3x − 4

 4 − x2 b. f ( x ) =   2x + 3

si si

x < 1  , en x = 1 x ≥ 1

Versión: 1 Septiembre 2009

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c. g ( x) =

 −x − 6  d . f ( x) =  16 − x2  x−6 

2x − 3 3 , en x = 3 − 2x 2

 4−x si x e. f ( x) =  si x  −2  x2 − 4 x + 3 si  g . h( x ) =  x − 3  5 si 

≠ 4  , en x = 4 =4

grafique esta función.

si si si

si si

x < −4   −4 < x < 4  , en x = −4 y x = 4 x ≥ 4  

f . g ( x) =

2− x +4 , en x = 0 x

 x≠3  , en x = 3 x = 3 

3. Hallar a y b de modo que hagan continua a la función

 1  1  f ( x ) = 4. Sea   ax + b  −5b

si

si  2  f ( x) =  ax + b si  −2 si 

x ≤ −1   −1 < x < 3  x ≥ 3 

x≤ 0

   −0 < x < 1obtenga las constantes a y b de modo que f sea continua, y  x ≥ 1 

BIBLIOGRAFÍA •

APUNTES DEL DOCENTE

•

STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson - CODIGO 515,1S811c • PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice HallCODIGO 515,15P985C • LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill - CODIGO 515,15L334c

Versión: 1 Septiembre 2009