Guia De Ecuaciones Diferenciales

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Segundo Semestre 2006 MAT 1532 ∗ GUIA N◦ 6 1. Determine los puntos de equilibrio y su naturaleza para los sistemas: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n)

dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt

dy = x − 2y dt dy = 3x + y ; = 5x − y dt dy = x − 3y ; = 6x − 5y dt dy = x − 2y ; = 5x − y dt dy = 5x − 3y ; = 3x − y dt dy = 4x − y ; = 2x + y dt dy = x − 2y ; = 3x − 4y − 2 dt dy =x+y−7 ; = 3x − y − 5 dt dy = x − 2y + 1 ; = x + 3y − 9 dt dy = 4x − 5y + 3 ; = 5x − 4y + 6 dt dy = x − y + 2xy ; = 4x − 6y − xy dt dy = x + 4y − xy 2 ; = 2x − y + x2 y dt dy = 5x − 5y + x(x2 + y 2 ) ; = 5x − 3y + y(x2 + y 2 ) dt dy = x − y + x4 − y 2 ; = 2x − y + y 4 − x2 dt = −2x + y

;

2. Considere el sistema lineal dx = hx − 4y dt 1

;

dy = x + hy . dt

(a) Demuestre que (0, 0) es un centro si h = 0. (b) Demuestre que (0, 0) es espiral inestable si h < 0. (c) Demuestre que (0, 0) es espiral asint´oticamente estable si h < 0. 3. Considere el sistema depredador-presa dx = x(5 − x − y) ; dt

dy = y(y − 2) , dt

en donde el crecimiento natural de la presa est´a dado por una ecuaci´on log´ıstica. (a) Demuestre que los puntos de equilibrio son (0, 0), (5, 0) y (2, 3). (b) Pruebe que (0, 0) en un punto silla del sistema linelizado, con trayectorias que entran a lo largo del eje y y salen a lo largo del eje x. (c) Demuestre que (5, 0) en un punto silla del sistema linealizado, con trayectorias que entran a lo largo del eje x y salen a lo largo de la l´ınea por (5, 0) con pendiente −8/5. (d) Pruebe que (2, 3) es espiral asint´ticamente estable para el sistema linealizado. 4. Considere el sistema dx = −2xy dt

;

dy = x2 − y 2 . dt

(a) Demuestre que (0, 0) es punto de equilibrio aislado. (b) Determine valores de a, b, n, m de modo que E(x, y) = ax2n + by 2m sea funci´on de Lyapunov para el sistema en (0, 0). (c) Hallar la ecuaci´on de las trayectorias en el plano de fase correspondientes a la ecuaci´on d2 x − x + 2x3 = 0 . dt2 Localizar los puntos de equilibrio y determinar su naturaleza.

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