Guia Ad Limites Al Infinito

UNICIT Marco Andrade R.

Cálculo I Ingeniería

GUÍA DE EJERCICIOS CONTINUIDAD Y LIMITES AL INFINITO

CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función f es continua en a si cumple las siguientes condiciones: i) f (a ) Existe

f ( x) Existe ii) lim x→ a

f ( x) = f (a ) iii) lim x→a Si f no es continua en a , diremos que f es discontinua en a

1. En cada caso, diga si la función f es continua en los puntos indicados. a) f ( x ) = 2 − x

;

en x = 1

;

en x = −2

b) f ( x ) = x 2 − 4

;

en x = 0

;

en x = 2

c) f ( x ) = 1

en x = 2

;

;

2. Considere la función f definida por: ¿ f en continua en x = 0 ?

3. Considere la función f definida por: ¿ f en continua en x = 1 ?

en x = 5

x f ( x) =  2 x

; si x ≤ 0 ; si x > 0

; si x ≤ 1  2 f ( x) =   x − 1 ; si x > 1

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4. Considere la función f definida por:

¿ f en continua en x = 2 ?

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 2x2 − 4x ; si x < 2  x−2  f ( x) =  1 ; si x = 2  2x − 4 ; si x > 2   2x − 2

 x + a ; si x ≤ 0 ; si x > 0  5

5. Sea a un número real y f una función definida por: f ( x) = 

Determine el valor de a de modo que f sea continua en x = 0

6. Sean a y b números reales y f una función definida por: ; si x < −1  −x  f ( x) = ax + b ; si − 1 ≤ x ≤ 2  x ; si x > 2  Determine el valor de a y b de modo que f sea continua en x = −1 y

x=2

7. Suponga que una legislación estatal sobre impuestos establece que el impuesto exigible sobre x dólares de ingresos está dada por: si x ≤ 0 0  T ( x ) = 0,14x si 0 < x < 10.000 C + 0,21x si 10.000 ≤ x  Determine la constante C que hace que esta función sea continua para todo x.

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LIMITES AL INFINITO ELEMENTALES

C = 0 , si n > 0 y C es un número real x →∞ x n

i) lim

C =C , ii) xlim →∞

Si C es un número real

8. Calcule, en caso de existir en los reales, los siguientes límites al infinito.

1 x →∞ x 2

a) lim

1 y →∞ e y

d) lim

2 x →∞ x 5

e c) ulim →∞

b) lim

ln( x) e) xlim →∞

u

f) lim

x →∞

1 x

9. Calcule, en caso de existir en los reales, los siguientes límites al infinito.

x+2 a) lim x →∞ 2 x + 1 u +1 u →∞ u 2 + 6

x2 +1 b) lim 2 x →∞ x − 2

lim

c) lim

d)

2x 2 e) lim x→∞ 5 x 2 − 1

f) lim

y →∞ 3

x →∞

3

(

y y 3 + 10 x 2 + 5x + 6 − x

)

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10. Cuesta c( x ) = 4 x + 57 miles de dólares producir x unidades de un artículo. La función costo medio está dada por A( x ) =

c( x ) para x > 0 . x

a) Trazar la gráfica de c( x ) . b) ¿Qué le sucede a A( x ) cuando x → ∞ ?

11. El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:

100 ⋅ x 2 p( x ) = 2 x + 0,5 ⋅ x + 0,03 donde p( x ) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando se utilicen x unidades de droga. ¿Qué le sucede a p( x ) cuando x → ∞ ?

12. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis t días después del primer caso reportado, está dado por:

p( t ) =

100 ⋅ t 2 ⋅ t 2 + 32

¿Qué le sucede a p ( t ) cuando t → ∞ ?

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SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS CONTINUIDAD Y LÍMITES AL INFINITO 1. a) f es continua en x = 1 y x = 2 b) f es continua en x = 0 y x = 2 c) f es continua en x = 2 y x = 5 2. f es continua en x = 0

f ( x) ≠ lim+ f ( x) − 3. f es discontinua en x = 1 , xlim → x→ 1

1

f ( x) ≠ f (2) 4. f es discontinua en x = 2 , lim x →2 5. a = 5

6. a =

1 3

,

b=

4 3

7. C = −700

8. a) 0 d) 0

9. a)

1 2

d) 1

c) ∞ , no existe en los reales

b) 0

e) ∞ , no existe en los reales

b) 1

e)

c) 0

2 5

f) 5 2 5

f) 0

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10.

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a)

b)

A( x ) se acerca a 4.

11. p ( x ) se acerca a 100. 12. p ( t ) se acerca a 0.

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