Guia 7

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INGENIERÍA COMERCIAL

CALCULO II – GUÍA DE EJERCICIOS Nº 6 ________________________________________________________________________ 1.

Determine extremos relativos y puntos silla, si existen, de la función F, definida por:

F( x, y ) = 2 y 4 − x 2 − y 2 − 2 x 3 + 5 2.

Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange

para

determinar los extremos

relativos de la función F(x, y) = x 2 y , si los puntos deben estar en el plano x + 2 y = 2

3.

Determine las dimensiones que debe tener una caja rectangular para que su superficie sea mínima, sin que varíe su volumen que es de 729 cm3. (Vol. = x y z) NOTA: No use multiplicadores de Lagrange

4.

Aplique multiplicadores de Lagrange para determinar los extremos relativos de la función

F ( x , y ) = x 2 − y 2 + 3 sujeta a la condición: y = x 2 5.

Determine extremos relativos y puntos silla, si existen, de la función F definida por:

F ( x , y ) = x 3 − 3 xy + y 3 6.

Determine extremos relativos y puntos silla, si existen, de la función F definida por:

F( x,y ) = x 4 − y 3 − 2 x 2 + 3 y +1 . 7.

Aplique multiplicadores de Lagrange para determinar los extremos relativos de la función F definida por: F ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 xy si los puntos (x, y) deben verificar la condición

2x + y 2 = 6 8.

Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los extremos relativos de la función

F( x,y ) = x 3 + 3 y 2

si los pares (x, y) deben satisfacer la ecuación

x + y2 = 3 9.

Estudie los máximos y mínimos relativos y los puntos silla, si existen de la función F, definida por F ( x , y ) = x 3 + 3 xy 2 − 3 x 2 − 3 y 2 + 4

10. Determine extremos relativos y puntos silla, si existen, de la función F, definida por: F ( x , y ) = x 3 − 3 axy + y 3 , con a en IR y a ≠ 0 11. Determine

extremos relativos y puntos silla, si existen, de la función F definida por:

F ( x , y ) = 4 xy − x 4 − y 4 12. Dada la función F ( x , y ) = x 2 − 12 y 2 + 4 y 3 + 3 y 4 . Determine extremos relativos y puntos silla de la función, si existen.

13. Dada la función F ( x , y ) = x 3 − 2 x 2 − 4 xy 2 + 4 xy − 2 x 2 y . Determine extremos relativos y puntos silla de la función, si existen. (Resp.(0,0), (0,-1), (0,1/2), (2,0), (-6/5,4/5))

14. La función F ( x , y ) = Ax 2 + y 2 tiene un valor extremo condicionado en (2,1) para un valor de λ = 1, bajo la restricción ϕ ( x , y ) = ( x − B )3 − y 2 = 0 . Calcule los valores de las constantes A y B. Determine si el valor extremo condicionado corresponde a un máximo o un mínimo. Use el método de los multiplicadores de Lagrange.

15. Usando multiplicadores de Lagrange, calcule la distancia mínima desde el origen al plano Ax + By + Cz + D = 0 16. Obtenga los extremos relativos de la función

u = F ( x , y , z ) = xz + yz , sujeta a las

condiciones: x 2 + z 2 = 2 y z ⋅ y = 2

17. El plano x + y + z = 12 intercepta al paraboloide z = x 2 + y 2 en una elipse. Determine los puntos más altos y más bajos en esta elipse.

18. El departamento de carreteras planea construir un área de excursión para los automovilistas a lo largo de una vía principal. Será rectangular, tendrá un área de 5000 yardas cuadradas y se cercarán los tres lados no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la cantidad mínima de cercado que necesitará para completar el trabajo?

19. A un editor se le han asignado US$ 6000000 par invertir en desarrollo y promoción de un nuevo libro. Se estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo y se invierten y miles de dólares en promoción, se venderán aproximadamente

3 2

F ( x , y ) = 20 x y

ejemplares del libro. ¿Cuánto dinero debería asignar el editor a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas? (Ver Hoffmann – Capítulo 7)

C.B.B. Setiembre 29 del 2007