Guía 1-relaciones Metricas En Los Triangulos Rectangulos.doc

Kelaciones Metricas en los Trlangulos

Bectangulos Rene Descartes 1) Conocer relaciones

las principales entre las longitudes

de un triangulo, 2) Conocer las diferentes maneras de medir las longitudes de las proyecciones de segmentos.

Proyecci6n

Ortogonal

La proyecci6n ortogonal de un pun to viene a ser el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta.

P' ~

T :Eje PP'

B'

: Proyecci6n CO sobre

A

C Pro~ci6n AB sobre Be.

ortogonal

de

ortogonal

de

T.

@ioloflh'lBir.n(

_

: Proyectante

T.

estudio de las curvas: llegando a establecer la ecuaci6n de una curva y distinguiendo curvas geometricas y curvas mecanicas. Estudi6 s6lo las primeras, aquellas en las que las dos coordenadas, x e y, estan enlazadas pOI una ecuaci6n algebraica.

"L

D'

de proyecci6n.

A'B' : Proyecci6n AB sobre C'O'

C'

Naci6 en 1596, en el seno de una familia noble yacomodada. Se educ6 desde 1604 hasta 1612 en el colegio de los jesuftas de la Fledie. En 1617 se alist6 como voluntario en el ejercito de Mauricio de Nassau, en 1619 en el del elector de Baviera y en 1621 en el del conde de Bucquoy. Su moderada fortuna le permiti6 dedicar su vida al estudio, a la ciencia y a la filosofia. De 1628 a 1649 permaneci6 en Holanda. Este afio se traslad6 a Estocolmo, donde muri6 al afio siguiente. Descartes aplica los metodos algebraicos al

ortogonal

de

I

Xl

=

(AH) (HB)

PKOPIEDADES C

~

I¢ =. B

n

m

-----4

B

c

Teorema I:

Ib

2

= c.n

Teorema II:

Ia

2

= c.m

Teorema III: la.b=h.cl

A

C

Teorema IV: de AB sobre Ae.

Teorema V:

I#=~+#I

£=2..fRr

I

AH

: Proyecci6n

ortogonal

Demostraci6n: (Teorema IV) B 1)

Calcula "a".

~:.h'~m.n

CI)

Calcula "x".

A~C

I-n

x

ill

H

~

I--

4

m~C=m~ABH; m~A=m~HBC. II) .6.AHB ~ .6.BHC (Semejantes) r)

12----I

Resoluci6n:

='>

Aplicando el teorema I de R.M. ~ :

n

h

h

= -; ='>

n.m=h.h

o

a) 20 d) 13

b) 10

c) 12

e) 15

Calcula "x".

al=4(16) a=8 2)

Calcula "h".

/ \

1

---

1

8

Nivell

b) 18 e) 24

a) 16 d) 22

I

c) 20

---I

1 8

G

Resoluci6n:

CI)

Calcula "x".

Calcula "x". 5

Por el teorema IV de R.M.~ :

h =18(8) l

h=12 3)

Calcula "h".

~

1--9

B

a) 12 d) 15 ~ A

c

G

16----1

b) 13 e) 16

c) 14

a) 30 d) 23

fI)

Calcula "h".

b) 21 e) 24

c) 25

Calcula "h".

Resoluci6n: La hipotenusa AC= 25 (triangul o notable de 3r y 53°) por el teorema III de R.M. ~: 15.20=h.25 12=h 4)

Calcula "x",

~

1--12

a) 20 d) 19

27----1

b) 18 e) 13

c) 16

~ a) 4,67 d) 3,28

25 b) 5,18 e) 6,12

c) 6,72

0

x

En la figura se pide la proyecci6n de AB sobre la rectaT.

Calcula "x",

Resoluci6n:

A0 1

x

Por el Teorema de Pitagoras: (X-2)2+ (x-9)l= x2 X'-22x+85=0 x -17 x= 17 x -5 x=5(No cum

10 ~

ple)

d) 9

b) 11 e) 8

c) 10

B

J8

~

a) 12

7

~

~.~~. L---- -.-a) 12 b) 10 c) 15 _.~-r d) 16 e) 17

Calcula

el radio

circunferencia y "T" es punto

"x" de la

si "0" es centro de tangencia.

Calcula "x" si 0 y 0 son centros de las circunferencias punto de tangencia.

y

T

es

1

GI) b) 2

a) 1 d) 4 Calcula

e)

c) 3

a) 5 d) 6,3

5

"x" si ABCD

es

un

b) 5,6 e) 7

Calcula

Calcula

"h".

c) 6

"x",

a) 4 d) 5,4

rectangulo.

GD>

Calcula

c) 7,2

b) 6 e) 4,8 "x+y".

x

a) 9

d) 10 Calcula

a) 2 d) 3,6

c) 5

b) 4 e) 6

c) 2,4

b) 3 e) 5

La suma de los cuadrados de los lados de un triangulo rectangulo es 200 m-. Calcula la hipotenusa.

"x",

a) 20

d) 24 a) 5 m

b) 10 m

c)

10..nm d) 10../3m e) 5..nm a) 10

d) 7

b) 9 e) 6

c) 8

Calcula "x" si P y Q son puntos de tangencia yO es centro de la

o

Calcula

c) 21

b) 18 e) 25

Calcula ademas

"x" si AC= 8 y AO = 10, 0 es centro y C y B son

puntos

de tangencia.

a) 6 d) 11

b) 9 e) 12

"a".

semicircunferencia.

~I

1-----10

a) 5,1 d) 6,8

~

I--

7

----I

16

1-----

o

b) 5,3 e) 10,3

Q c) 6,4

e

a) 12 d) 14 Calcula

----I

b) 10 e) 13

c) 9

Halla "h" en la figura mostrada.

B

"x",

/1 \ I--

1----

a) 8 d) 6

c) 10

x

b) 10 e) 5

c) 9

4

----I

A

~ I-- 8

a) 8 d) 6

H

18 ------I

b) 12 e) 10

c) 18

C

e

e

Calculan,segunelgrafico. ~

~n

Calculahenlafiguramostrada.

~

4~

e

Calcula mostrada.

a)2

b)l

c) 2,5

~

1--2

x,

en

la

x

4

figura

a) 8 d) 10 _

b) 16 e) 12

c) 6

e

Halla m.

d) 1,5

e) 2,4 a)

Halla h, segun el

2-13

c) (4../3)/3

b) 2 e) 3

d) 5-13

grafico.

Halla h, mostrado.

se g un

el gr afi co

~ ~

I--

5

a) 10

b) 8

d) 5.[3 _

Calcula

I

/

a) 60/13 d) 4..fI

10

b) 4 e) 3..fI

c) 3 I-- 8 -+----18

c) 12 Calcula d si las circunferencias son tangentes exteriores.

e) 10..fI

a) 3.Jf3

b) 9 d) 36-v'i3 e) 9..fI

a.

IT 12

e a

a) 35

b) 40

d) 38

e) 37

----I

c) 8

13 Calcula

a,

en la figura mostrada.

c) 41

---I

---

b) 2M e) 8

a) 6 d) 9 _

Calcula

c) 5

~

3a

I-- a

Halla r, en la figura mostrada.

x. En la figura mostrada, calcula PQ si P y Q son puntos de tangencia.

~

o b) 150 e) 148

a) 160 d) 164

G

Calcula

a) 100 d) 132

c) 140

a) 4,5

b) 4

d) 3

e) 3.[2

c) 3.[3

L

a.

b) 120 e) 112

c) 144

a) 1 d) 3

b) 2 e) 4

312

c) 1,5

\

Los lados de un tr ian gulo

miden 6,7 y 8. lCuanto se [e debe disminuir a cada lado para que resulte un triangulo

rectangulo?

a) 8

d) 6..f3

b) 6 e) 5-{2

c) 10

e.

Halla AB, si A y B son puntos de tangencia.

e

Halla BQ si AQ= 18 y PQ= 16. B

Segun el grafico, halla la longitud del radio de la semicircunferencia menor si OB= R. A

~

c

A

b) 10

a) 9

e Halla centro. a) 25 h si 0 b) es 30..fi d) 20

e) 24

c)

c)

12

h, en la f B

d) 16

1 Halla

24..fi

e)

R!4

d)

igura.

En la siguiente figura, ABCD es b) R!2 c) R!3 a) R un cuadrado. Halla x.

c)

b) Jm(~-n)

d)4..fi

e)

a) 16 d) 20

b) 24 e) 13

c)

e

Calcula AB/ AD si EC/ AE = 7/5. B

~ A

15

Halla PH si BH=4, HC=16 CD=ll.

A

H a) 2..{5/3

y

c)

{I

D

d) 3

b) 2 e) 4

b) 13 e) 10

d)

2m/3 a) 2-12 d)..fi2

C

A

D

a) 11

c) 8..(j

d) 15

b) 16 e) 12

E

5..f5 d) 8..f5 a)

c) 4

e) 2{3/5 b) 3 e) 3-12

c) 6

En un triangulo ABC, se traza la altura BH. Si (AB)2-(BC)2=10, calcula (AH)2-(HC)2.

B

c) 15

b) 3 e) 6

En la figura, "P" es un punto interior cualquiera del triangulo ABC. Halla "x".

B

~

D

C

En la figura, si AF = 1 y DC= 8, calcula AC.

A

12

E

Calcula BC si AB=PQ=8u.

d) 12..f3

R

d) 20

2m/5 2..f5

a) 10

c) 5,5

Calcula R si AP= 1 y BQ=8.

a)

a) 2 d) 5

c) In(~-n)

b)

a) 1

A

3{3

Halla R si 0 es centro.

C

cz:SJ

n----l

m

5

B

c:E

d){T

a)mlT

b) 4

e)

B

A~C

a) 3..fi

R!5

3

b) 10 e) 20

c) 12

En el grafico, AB=6 y BC= 10. Calcula la distancia de "0" a AC. A

C

b)6..f5 e) 9.,f)

c) 7..f5

a)-ffi

b).ffi

d)..f39

e)

.fIT

c)m