Guia 1

Funciones Reales - 2019

Espacios y funciones medibles

Funciones Reales - A˜ no 2019 Trabajo Pr´actico N◦ 1 - Espacios y funciones medibles 1. Demostrar todos los resultados pendientes de la Unidad 1. 2. Probar que en la recta real R se verifica que:
T 1 1 a) [a, b] = ∞ n=1 a − n , b + n   S 1 1 b) (a, b) = ∞ n=1 a + n , b − n

c) (a, b] =

T∞

d) (a, +∞)

1 n=1 a, b + n S = ∞ n=1 a, b +




n




3. Sea (An )n≥1 una sucesi´ on de subconjuntos de un conjunto X. a) Si A consiste de todos los x ∈ X que pertenecen a infinitos conjuntos An , mostrar que: A=

∞ ∞ \ [ ( An ), m=1 n=m

A se llama l´ımite superior de (An )n≥1 , y se denota por l´ımn→∞ An . b) Si B consiste de todos los x ∈ X que pertenecen a todos salvo un n´ umero finito de los conjuntos An , mostrar que: ∞ ∞ [ \ B= ( An ), m=1 n=m

B se llama l´ımite inferior de (An )n≥1 , y se denota por l´ımn→∞ An . c) Si (An )n≥1 es mon´ otona creciente (A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ) o decreciente (A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ), mostrar que l´ımn→∞ An = l´ımn→∞ An . d) Probar que ∅ ⊂ l´ımn→∞ An ⊂ l´ımn→∞ An . 4. Una colecci´ on no vac´ıa M de subconjuntos de un conjunto X, es una clase mon´ otona si cumple: S Si (En )n∈N es una sucesi´ on creciente de conjuntos en M, entonces n∈N En ∈ M. T Si (En )n∈N es una sucesi´ on decreciente de conjuntos en M, entonces n∈N En ∈ M. Probar que una σ−´ algebra es una clase mon´otona. Una clase mon´otona ¿es una σ−´algebra? 5. Sea (X, X ) un espacio medible con X = {∅, X, A, Ac }. Determinar si las siguientes funciones son medibles. a) f = −χA + 23 χAc . b) g = 12 χA + 2χAc . c) h = χB con ∅ ⊆ B ⊆ X y B 6= A. 6. Sea (X, X ) un espacio medible y sea f : X → R una funci´on medible. Probar que {x ∈ X/a < f (x) < b} ∈ X . 7. Dadas las siguientes funciones: Departamento de matem´ atica - FCEyT - UNSE

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Funciones Reales - 2017

Espacios y funciones medibles

a) f = sen(x), x ∈ [−2π, 2π]

c) h = (x + 1)(x − 1)(x + 2), x ∈ [−3, 2]

b) g = cos(x), x ∈ [−2π, 2π]

c) i = x(x − 1)(x + 2), x ∈ [−3, 2]

Se pide: i) Su representaci´ on gr´ afica. ii) La parte positiva y negativa, con sus respectivas gr´aficas. 8. Considerar a B en R, la σ−´ algebra de Borel. a) Probar que B est´ a generada por la colecci´on de todos los intervalos (−∞, b] con b ∈ R. b) Sea A una σ−´ algebra en R. Probar que B ⊂ A si y s´olo si toda funci´on real continua es A−medible. Esto dice que B es la menor σ−´algebra en R que hace medibles a todas las funciones reales continuas. 9. Sean (X, X ) e (Y, Y) dos espacios medibles y f : X → Y una funci´on. a) Probar que {f −1 (E) : E ∈ Y} es una σ−´algebra en X. b) Probar que {E ⊂ Y : f −1 (E) ∈ X } es una σ−´algebra en Y . 10. Sea (X, X ) un espacio medible y sea f : X → R una funci´on. Probar que f es X −medible si y s´ olo si f es (X , B)−medible (esto es, f −1 (B) ∈ X , ∀B ∈ B). 11. Sea (X, X ) un espacio medible. Probar que una funci´on f : X → R es X −medible si y s´olo si el conjunto {x ∈ X : f (x) > α} ∈ X , ∀α ∈ Q. 12. Sea f : R → R una funci´ on derivable en todo x ∈ R y medible Borel. Demostrar que medible Borel.

Departamento de matem´ atica - FCEyT-UNSE

df dx

: R → R es

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