Grk Wyklady Z Itn

! $

!

!

!

&

!

&

! ! %()'

" ! %

! ! !' ! %*)'

!

# !

! !

! ! + # !

& -

,

&

&

.

" #

! +

!

# /

# / #

#

" &

+ .

!

! #

#

0

& +

&

"

&

# 1

!

.

% ! 34/

53) % & " "

. / !

&

! &

:

& !

&

&

622

2; *)

.

6222

"

#

!

!

!

;22

*) +

!

!

& &

&

"

! !

-

&

! ; 1

! &

6'

()

&

-

%26

62 -

89

22'

#

& &

&

1

&

" 7 -

222'

;22

0

-

"

;2

#

&

!

-

&

;222

. -

&

;26

< .

! &

!

!

!

"

! &

;62

: +

"

&

"

;6

+

"

&

:

!

! 0

&

& &

!

! + -

" +

:

!

+ !

" &

#

"

! &

"

# !

" "

"

#

!

!

!

%

"

"

&

# !'

"

+

!

! ! 1

& 2

& #

! !

! .

&

=

1

& &

2

! #

!

"

!

" #

$

!

$

! $

%

"

$

$

!

" &

!

%

!

%

" %

#

$

$

" !

%

"' ( !

%

%

)

*" +

! (

"

,

) *

(

" # " ! %

$

" #

!

)

" .

*" -

%

! )

*" / $

" 0 ! " '

"3

,

!

11"2

,

$

$

4

"

5

" 11"2 6

& *

*

$

%

$ $ " +

" 7 !

%

" )%

7

%

$" "*

$

$ "/

!

$

× " 8

! $" 9

$

(

! "

-

" 5

!

!

$

)

*

$

"' $

)

)

*

*"

7

:;; × <;; * =;;

* <;;

>

*

&

:;;?=;; @ A <
<;;?=;; @ AB @ D ;:

*

"

&

:;;?<;; @ 2 ==B @ = =E

<;;?<;; @ 2B @ A FD

"

$ $

" $

6

:;; × <;; "+

-

2FB &

! 2FA @

+ ! H @ =B" . "

@ 2AB

@ DH @ EB"

$

"

! @ D & ="

!

A

G A" @ =H" +

H :;;?2AB @ << <

/

I $

"

6

! ! )22 FA J

-

AD 2 DD JK*"

$ $ ! AD

?

" 6

:;; × <;; %

:;; ∗ <;; ∗ AD

$ AB × AB" /

! &

CA "-

*

(

2

?

*

$

!

%

!

&

!

&

$

=;; "

)A ∗ CA* ∗ )A ∗ CA* ∗ 2 @ A FEA K * )A ∗ =;;* ∗ )A ∗ =;;* ∗ AD @ 2 ;: JK

5

!

$ ,

" /

! $

$

! *

$" / "'

5

! 11"A

$

$

$

$"

" 11"A" /

+

$ $

$

" + 11"=

" ' $ !

$

5

" 11"=" /

$

$

$

$

I

"

$

7

$ $ % $ 2A

" '

$ " L

:

% !

2;

" " ' D & =

$" / 2;AD × C<: 2<;; × 2A;;" ' )2A:; × 2;AD*"


$ $

$

B B =A; × AD;I "

(

!

! 2;AD × C<:" J

!

"

+

! 2

" +

!

;F

! 2;;(A;; =;(F;

)

*

" )

$

"*" !

!

$

" . D;E< × =;CA"

/

=; !

$ $

F; 2 !"

"+ )2M*

!

"

α?A ≅ 2C°

# α ≅ =D°" +

! & =D ∗ <; @ A;D;

"

α?A @; =" . 2° @ <;M

# $

!

! "

"

"

# %

$

'' ( *

$

'' ) *

&

% '' ( '' )

#

%

+

%

,

+

, -

#

+

'' (, -

# '' ),

+

#

"

% ./0 " +

+

0/. '' 1,

, " "

-

# %

'' 2

#

$

'' 1 3

$

'' 2 3

#

./0 +

,

0/. +

%

,

%

" *

+ "

'' 4 " #

$

5

%5

+ +

%

+ #

%

" #

'

, -

# # " " %

#

'' 4 ,

'' 4 3

, 3

6 6

3 "

6

,

'' 7 '' 7

&

!

#

" #

" #

"

% # '' 4 ,

6

$

#

,

" &

'' 7

'' 7 3

-

& 86 96 #

6 * 86 96

"

" 6* &

: -<6

# "

8

3 9 ;

+ 6

" 89

"

, " :

= > +
> -< @ = 9 A +< ? =, 8

8

:

-0

"

#

6

>

-0 @ = * A +< ? =, 6

" :

% -< -06 &6 > & @ B -0 A +< ? B, -<

"

6

+

! "#$ !

% ,-

0%

-

1

& '()* +, .# 2

.# *

/

'

! #

#

$ "

%

#

&!

" #

# !"

!

! "

!

# " "

! "

#

"

#

%

(" %

%

%

)

% % -*.!

%

% 1

"

3

%! 4+! /! 05

! # #

#

#

2

% %

%

#

% %

" 6

666 7 6

666 7

%

'

#

#

"

# %

*+,

+/0 2

+

! " # !"

%

# '

"

" ! "

2 %

" ! "

!"

8 " "

#

%

%

!

"# $ (

#%

+

# * ( " '

."

&'

# ) , ' #%

/"# ' #

'

+

0

"-

(

(

&

,

&+ &'

1

222#3 # 4 , ' &

'+ #5

,

$

,

0

#

'

'

&

' & +

'

' #

(

222#6", # 788 × 988- :83; +

'

0 × <97

' # '

# 222#3# # 4 , '

,

& -(

#"

( '&+

0

#

# 222#6# %

+

,

'

& ## %

222#;# 1 &

(

& # % - (

' - (

&

# &

= = "

0

0

# 5

+ &

# % #

&

" '

, &

' " + '

'

& &

+ +

-

& -

-

+ &

&

# 222#;# * 1

0

(

+

,

&

#

0

0

(

0

(

>8 ? #

0 7> ? # % 3; ?

+

@

( +

:83;A<97

"# 5 # 4 &

38

-

0

- ( ( - ( -

(

0

#

4 +'( ? #% µ #1

- (

0 :83; × <97

(

0 &

0 + ::-<9> 0 <9<

(

7> ;8

#

7> ? 0

#

:83; × <97"

'

'

& :: <9> µ

(

;µ

0

B (

$

- (

-(

# 5

-( C

D :83; ∗ <97 ∗

E <9< ∗ ; µ

E ;8 µ

C ≈ ::

#

2 ,

, ,

$

(

1

&

0- ( ,

0 - . /#

# 1

-

&

!

&

F"

,

#

+

222#> ,

# 4 - ' 3; ' &

' +

# 0 &

#

0 7 7

# ' '

(

+

, - . /# * ( &'+ + + , ' # $

8 G # )

8-< G"-

' '

F

# 222#># $ H & '+ 3-<#

+

& &

2 # K

# 1 '

&'+

- ( ( 0 '+

I

J" J D * 2γ &

γ

+

* 3 !

!" #

$

%

!

# %

" !

) $ ! (

"

!

% !

!

%) $ ! $' "

#

% ! (

( !

# # # ) # * ! # ! ( " + ,* -* . "

$

# %

% !

$'

"

( * ' *

!

) $ ! " & ! (%

%

! (

$

) $ !

#

!

! "& ' (

! $'

!

!

!

!

!

(

#

% !

% #

/

*

$

'

(

# % $

,3

1 '

"2 444"5 "

"

$

+

#

!

$

!

( *

+

%

%

'

% %

' %

'

% 393

*

$ * 7 " 0

% !

$

* '

#

'

# /

"

$

/

"

$/

(% %

$

%

#

(

#

$'

"

#

*

# $# !

8

(

" ( "< %

$# +

$

"< #

( #

! ! ( "

%

% * ' + ( %

#

+ '

(

'

#

$

" $

;

9

*

+ #

*

$

7

* '

(

" & ! ' 3

$

(

%

" ! ( " :

; +

!$

#

(

3

,3 !

( *

*

"6

# $

'

"

#

# 7

#

$

$

8

/

"0

1 '

!

*

#

+

'

7#

%" &

%+

$

%

!

"

* $ (

# %

#

(% ! # (

"

( "

%* (

* ($!

# %* %

$' (

*

# !" ( $ 1 )

% *

+ %

%

,

, 0#1 × 234

%

!" %

*

, -' . 400 × 300

& ' & ' * , . * /*

! " # &

$

$ % (

( (

$ %

" + (

%

* $ (

(

(

-

!

&

( " ( .

"& %

$ .

(

.

&

! & ( " (

&

( ( !

" &!

&

" %

( (

(

!

(

+

( &

&"

%

(

, (

$

( /&

$

%

( (

%

(

"

( & & /

(

$

&

0

! +

&

$ " (

(

& $

! "

&

% $

( %

%

&

$ % %

$

$ $

$ %

( $ %

$ !

$ %

$ !

(

"

( )

( $ %

'

" !

* )

% & "

.

+ +

( 0

$ 1" % &

"

& (

% ( ( ! " % !

(

!

!

"

#$ ( '" ! !

'

!

!

% !

&

'"

* !,

!

!

% $ -

' * !

!

! ! *

'

!

$ + $ -

!$ ) "

' !

! !& !

. '

! *

/0$1

!

! *

! $

2! $ /0$1$ 3 ! %

*$ 4

&" '

*$ 5

'" ! % ! '" ! * ! * % %

! .

!

%

6 %

*

! ,

%

! % /0$;#$ <

! * ! ' "

2! $ /0$;$ 3 & -

% !

'

% !

*

"

9& :& +# %

, (

$ 8 " !

!

!

$ !

% !

'

$ 9

' = * & *

! ! ! !

! !

> ' #$

! !

3

! 2 !

! *

!#

'

%

&

! ! ' ! * %

=

'

$

! ' $ 8 " ! %$ 6 !#& @ ! !

( & *

! -

#$ *

! *$

'

%

! *

!

!

!

$ $ +

7

-

*& !

!

! '

! 7

'" ! * !

'"

' )

! #$ !&

/0$ $ ? > :2& :@ ! % ! " !& " ! ! !

:)$ +

! * %

*

! ! !

%& "

' ! *

'

%

&

!

/0$;$

2! $ /0$ $ :

!

', !

%& "

"

!,

! '" ! * $ A

!

6

!

!,

'"

> ' &

6

" !$

! ! !

+

"

!

! *

$B

"!

!

' !> ' "! ! ! !!

*

, ! *&

% > '

* ! ! *

! ,& "

'

*

$

" ' &

" ! !

" % ,& " , % " ! * * ! * 2& @ )$ ) % ! % ! *$ 3 ! ! ! '" #$ ! < ! #& : # C * * ! * ! ' ! ! $ " * * !$

!

! !

! '" ! *

$

! 3 ! ! "' !#$ 3 2

* !

! ,

&

" '

!

$ )

!

" !

"

# " %& ' (

!#

! " !

'(

)

'( *

+

),-

#

$%&

"

"

.

). ,

- #

.

" / '$ # " # 3# 4 !

)

'$ +

"

"

). ,. - + ).,.-.0.+.1

"

6

/ "

"

" /

24

2

" *

2 3

2 #

),- #

5

3

"

"

7

"

#

.

$8

.

" .

4 9 (&.:

$$8

. ;

. !

.

. "

.

+

0+1 .

),"

.

; "

0.+.1 + "

+

#

0+12. <

6

"

0. + 1

)

'= +

0+1

#

),-

0+1

.

0

.

" / ' 84. "

)

/ " >

'8

$%%4

"

"

/

6 6

(>>A4 3

4. .

>A4

4

" .

"

" B3 * ' 3

3

3

" 3

! 3

6

@

!

- 3

"

6 ?

). ,

.

#

; ?

3 "

.

B

4

B*' 3

6

>C

4

> '

4

3

4

( > 3

4 . "

!

'

' %4 # =&>C. * >A (>>A ( 3 4 # 2

)

'% +

B*'

2

B*'

"

#

" 6

B #

B. *

'

B

*

B*'

#

/

" '& #

)

'& +

B9*

"

B9* 9

3

9

4

B9*

? ),-

! " ?

B*' .

.

" # (D=( 0@E4

* +

2

?

" F. 1

.

30

@

E

.

5 3

4

"

H "

"

"

F. 1 5

.

.

3

G ' :4 5

/

.

)

': * "

5

. . J

0@E

"

1I "

"

. 2 #

0@E

/

" "

"

.

1.

"

.

"

/

#

)

"

I.

"

'7

'7 #

#

1

# ! #

"

#

# 1

2

"

.

0 "

"

1 5

" *

/ /

" ; ' D4.

! " . &%>> 2 E " I L 3I L >.=(>(. L >.=(&$4

&%>> " L >.=== "

3

"

-

' D4.

# " " K I L >.=($:.

-

0

" 3

"

M

0

L >.=$D:4 "

" "

) "

"

*

.

.

'D

. @

"

-

" M

M .

2

"

" # ' (> <

) +

0

0

' (> +

),),-

),. +

),- 3 .

),-4

! "

#

$ ! &

/0 0 0 1 !

%

/0 050 /0 0 0 * %#

'()/234

'() '()/674! "

/0 050 1 * *

*

%

%

%

8 %

0 9

% +,-.

/0 9

$:#

0 9

*

$ 1 ! $

* # *

4!

* %

* %! 1;

# #

$ %

%

%

9 #

*

* 9 !4

#

! #" $ ' ) .

"(

%

" +

,

!

' % "

/0/1

%

+

3

+

" 2 %

,

%

" *

!

(

#" & '

' %

+

"

%

.

" 4

+ 561

,

" 2 +

" %

%

"*

-

.

%

"

+

%

7,&829" 3 !

: !

/; 000

+ % "

%

*

+

,

.

%

& %

&

= > , ? %

' %

'

)

%

#

%

/0

@ "

'%

'% " ,

0

/0 A A+ A< A. A8 AB9" $ A A+< /0

" < 7

%' %

A<. A.8 A8B AB+" ( 7 " ="// %

'% " C /00

4 %

% %

' '

% "

'

" < "

' % 7

% /0?

9" D

="// 9"

" < #

" (

"

B

" ="//"

+

"

9 2 '

9

'

% "

/A00

&

&

& %

%

% "

E % <

# ! ,

" (

'

! # $ '#() # * !

!

% %

"

! !

" !

+# ,

"

&

# !#

+

-

" !

#

"

".

"

/

# '#()#

. .

!

.

!

#

-

!

+

, !

+# 0

% . %

1,2# 3

!

" 4

"

$

5 #

# 0

!

# 3 ,11 # + "

!

&

# 7

!# 6

"

"

% ".

-

"

" % +

+ 89 9 9

+# 6 #

"

!

-

- .

6

% " "

"

#

-

.

$

#

# 6

"! ! +!

#$ '(

&# .! ,!

#

% %) "*( %

-

% +,( - ! #

$ %!

%

!" # '

&

$ !" # (

$&

'

$

%

&

)

'

&

*

!" # "

+ ,' ' %

) .

' %

+ ,

% %

)

' &

'%

$ % % % %

*

%

&

/&

& $&

& %

/& %

%

'

0 % .

$

!" 1 )

!" 1 .

2

3

& 4

%

&

% $

& 5

% #

% %

' %

$& %

$ 6

'

%

3 %

& '%

/

( &

%

&

$&

' ' %

7

%

' %

7

$

007 %

' % 89: ) '% ?

' % =

>

' &

"

*

% ;<:

89:

&

!" @

!" @ (

89:

,

A

, (

' %

A

%

&

' '

007 (

B B

&

'

' % +

< C

C#,

% ' % 2 %

'

% % &' % %

6 + &

% %

%

% +

&

%

B #

& %

&

%

% '%

.

%

'

B

( +)

B +0# A 01, % &' %

$ !" 8, 2 %

)

!" 8 " &

%

!" 8 , )

& '%

*

89: /&

+

' ,

' ,

1 (

&

$ 6

$&

@ 0

'

.

C < $

%

$

$

%

$

D <

+

.

+

8 5

%

,

,

&

$

$&

$&

@

%

' %

%

5 +E'9,

'

&

B

/&

# .

+1'1,'

3

1 (

+1'1,

$ EA1DF

9A1D@

1∗@DF

F A #1 D AF

DFAFD< @ . ) D ) D ) D H

%

D <'

G

D < A F D AF

%

C <'

G

D AF G F D <

%

D <'

G

D < A F D AF

+@'@,

+8'@,

+9'8,

!" 9

*

!" 9 )

B

!

"

$

# "

%

$ &

+

&

() *

%

& %

"

-

$

$

'

"

'

3-

1

#

&

$ $

$ $

/

' $

.

!

"

$$ !

$ $

3,

$

$

"

$ $

-

$

!

&

$ $

. &

$

!

$

() 2 $ !

& $

$ $ 5 $ "

&

$

$

$

() 2

$ $

$

$

"

%

.

-

+

%

$ $

$ %

&

%

$

01

() *

%

&

$ $ $

$

'

"

,

$

4

$

& "

" $

! %

$ &

$

# $

# $

! ,$

&

() 6

+

() 6 )

$

$

-

!

&

$

! "

"

" "

"

#

$"

%

& '

"

%

"

&

)

%

'

*

" '

%

$"

(

"

&

&

$" $"

"

"

"

+, -

.

+, -

'

*

/

"

" *

'

"

"

0" "

" " * *

"

" "

$

"

"

"

"

% "

"

"

*

1 +, 23&

" " / $

"

" " *

"

" " !

* * 4

"

$" *

$ *

" 5 "

"

"$

"

$ $

"

"

"

*

.

+, 23 ,"

!

" " 2 '

7 0"

%

"

"

/

8 * "

&

)

*

6 3*

"

%

"

&

"

92 /

*

% "

92 : 7 ; /

"

2

"

< '

7 ;

'

" 6 23

$ "

"

&

! "

#$!%%

(

' +

,

)

! & '

' '

!*'

!

! #$!%%! -

'

.

) *! /

+

+

+ ! / *!

)

0

'

! / ! /

! " ' #$$!3*!

+

12

)

!

!

" #

"

'

+

() *

-

" !

$ () *

'

"

, & #

!

,! 0

! !

%

&

$ "&

#

"

$ &

!

! !

!

!

!

"

/

0 ! !

!

.

!

! $ #

$ "

$ !

#

!

!

!

0

1 () *2 # ! '*%*$ &$ ' %2$3&$ '2%4$5&

+

() *2

0

$

!

! 6

!

0 0$

"

$

"

0

+

#

, $

0$

0

!

! ! !

0 $

1

0

0

0

0

"

() *3

0

%

() *3&

0

! !

" !

'

! ! "

! ! #

$

/

!

!

!

!$ %

() *4

& 7

/#

0 8

0 +

!

" #

$ "

0$

!$ "

/

'

/#

!

" #

9 "

"

1

!

! 0

" !

!

!

! ' !

$ !

$

!

!

1

" 1

.

/ !

!

!

!

"& !!

! "

#

& : 8

" 1

0

() *4 ) ! $

0

$

" /

.

1 &

/

() *4

!

"

%

#

+

0

! 0

! ! ! " .

/

!

(' !" ' ) !' %' 1

* +

.

.

# $" +

!" /

0 +

'2

+

/ '

.

% &"' , &' ' /

!

"

! $" ! %

" "

"

#

" #

&

" "

!

&

" "

"

'

#

!

!% " "

" ! (

&! %

" "

"

" ) " ! %

"

*

! %

"

" ) ! $

)

" " "

) ! ' &

" "

! +

" "

!

,

" -

! # ( "

$% )

+

& '

" '

' ' "

-

( #

'

$

' "

% -

2

% .//%0% -

3

'

'+ "

%

' "

.//%0% 1 '

% *

" '

% ,

"

'

" % 2

'

!

#

'

! .//%4% '

"

$

'

+!

' '

% -

'

'

"

"'

"'

%

2

% .//%4% -

6

'

'

5 4% -

'

% 1 % 1

'

'

'

"

.//%4 .//%7 '

"

%

2

% .//%7% -

'

' 50

-

' % 1

'

#

" %

'

'

"'

6

$

.//%8

-

2

5 4% -

50

%

% .//%8% '

.//%9

"

'

%

2

% .//%9%

:

; '

' % %

' ' (

.//%<

2

% .//%<% -

'

! $

$

"#

! %

$ & %

#

"% (

$

'

$

#

#

$

!

$

*

&

& #

$

)' + #! " % % #

!

$

!

$

&

!#

'$ - ) .

# "

"% ) $ !

, %

#

/ $

0

"

# /

0

# ,

!#

#

$

!

$

#

, , 121

#

%

#

3

$

,$

, # % # "%

& !#

!

, 121' 0

%

%

#

!

,

#

/

#

! #

# /

0 /

0

%

121

#

!

#

0

/

$

"#

4 0

$

#

#

# &

# '/

$

#

# /

,

5

!

6

#

#

!

#

θ

0

/

/

#

/

(

$ %

# #

!

,

$

#

!

(

, %

#

"# # #

, &

#

, (

$

,

$ " ' !#

#

! %

# %

#

"

/

7 - 71 78 7) 09 - 7 0 (

# #

#! "

!

%

!

# "

! θ$

!

$

!

%

#

/

# !

$ !

! $

! #

%

:

#

"

% 7

θ

# !

#

$

# # ;

4

$

! %

! #

"%

-

! 0 #

! #

% #

# #

, #

#

! "

#

#

" # (

,

%

& '

(

+-

#

( #

$

) * (

+,

(

$#

' (

#

.

# ("

( ! $ # ( #

# /

$

$

#

122 3 !

0 "

" $ $

"

4

122 3 0

5 * (

#

# ,

(

( 6

122 7 '

2

#

$

! $

!

4

122 7

&0

$

#

# 8 &

5

$ :

# ( & ;

#

9

6 $

$

(

#

% #

& #

$ $

$

% $

(

#

% <

$

9

.

# 5

& 2

(

# =

#

#

(

=

*

!

$

: !

#

$

$

,

. *

6 9 >???

.

6 9 ????

*

122 7

$ #

(

( >??>

>??? 2

(

#

#

(

( >???

??>? 2

(

#

#

! $

#

!

0

(

# !

@

!

(

$ $

$

@

#

$

0

122 A

4

122 A 0

0

$#

(

$

4 !

122 >? $ (

$

<

$ &

$

&

( $

; (

@ $

&

$

& ( ! # 2

% $

122 >> 0

$ $

# $

: 122 >?

$

& <

4

$

<

@& ' 122 >> !

$

!

# #

(

$

!

, ' #

(

$

$

' # $ + $&

@

6

@

$

@

# $

$ $

( 0 $ $

! ;

$ 122 >B !

$

$ !

#

#

2

0 $

(

# $

%

-

$

( $

! ;

@

$ $ (

$ ;

$

@

$

$

4

122 >B *

$

5

" :

122 >C (

$ $

5

$ $

! $. 6

$

/

'

$

4

122 >C 6

0

4

$

122 >D 0

122 >D

$

$

&

!" # %

' ')

" #

$

% ( '

$ +

$

$

*

'

)

,--"./

"

* "

0 1

" ,--"./" 1 $

' " " 2

)

" 1 " 1

% $'

$ ' &

)

"

%

" 4

$

)

*

'

" 3 $

'

'

"

0

" 0 $

#

'

% ) $' )

.

(

"1

' 65.78

)

5 "

'

% %

)

) 9

'

" 3

% ,--".:" 4 $ )

#

$ $

0

! ! $

" ,--".:" 1

$ $' %

" 1 $

$ ) ( $

$ $ $ $

'

"

$

$ $

"

$ "#$%$&% '#(%)&% *#)%+& ) . ! '/ 1$#3%3&% 1)#(%)& ( *

! ! (+,

!

-

!

# %(&

4

4

! '/

" 0 12#$%$&% 1 #)%+&% )5

!

"

%" & &

,

" #$

& +

'(

&

&

)

$ $

*

$

! "

(

&

(

*

" -*

.

+" " (

* 1

/ +" ) " '

& / +" 2

* &

"

$ "

&'

& + *

*

" "

&

0 #

" " . "

,

1

*

& +

' *

$

*

)

$

&

*

(+

3

)"

" -&

+ ")

& & $

&

+

"

+

*

1& *

"

" +

4 " * "

( 2 3* +

5 &

/ +" 7

+

*

*

* +

2

&'

" 4 + 2 6 +" &

*

) $

+ (

*

&

#

2 8 &' / +

$

"&

* "

& 5&

2

& 8

. '

7*

" +

& $

" &

&'

+ &

" 3 2' & * ( 2

"

+ & *

8

)$ $

"

. ' $

4"

+

+

,

& )$ "

.

% *

*

5

2

"

5

,

&

"

$

+"

$

+" *

& $

$

"

&

"( &'

" $( & 9 +

# " & $

+ +

$ 2 (

&

:2

& $ * $ & (

) & "&

+

" &

*

4 + ; + " & " & / +

"

"

" *

"

+

$ +

)$

*

" "

2

<

*

" +

) &" +

"

"

/ +"

" "

" 2

+

,

$ 9

" & $

+

*

& "

" &

$

"

+

"

*

"

" "

+"

*

9 "

* + $

"

+"

$

"

& &

(

&

(

&

$

+"

2

"

< &

*

*

4

)

" 2 +"

*

+"

2

2 + & $ &

" & &

" + ( 2 > " ?-7-@ A 7

&

&

) "

)

= -

)

*

&

( +

" + & $ 6 +"

"

: & $" &

+ &

"

$ ;

" & (

! "

#

" %

'

$ $

" "

'

&

$

'

$ $

'

(

( ) +

,

'

' "

0

,

*

$

.

/

*

' $

' $

(

'

'

&

0

.

/ 1

0

1

'

"

$

$

, "

'

,

.

(

2

"

$

0

.

2 1

3

$

$

1 1

$

( 4

' $

"

'

"

&

"

$

' $

' '

"

" 4 '

$

$ 5

$

'

'

,

'"

$ ' '6 $

" "

'

$

78

' $ (

(

1 , ! "

$

(

" %

9

' '

# '

!

$

(

% 1

"

! "

0

.

: 1

"

7

,

.

' 8 ; # $ ? # $:#

$ > # $2#

%$

:

'

"

"

'

$ < # $ / # (

" $@#

= # '" (

$ ( '6

0

.

,

@ &

' .

(

@

'

$

'

$

$

7

# (

'

'

#

'

( "

'"

'

"

$

" '

,

(

'

) "

4

'

5

(

'

$

' 5 7

(

$

" (

( $

$

'

( )

' $ ' " ( # $ '

" ( "

6 "

'

"

4 " (

'

#

1 "

( '

'

5 7

' &

"

<* '

1

"

' ' '6

4

'

"

A.

+

$ $

( (

! #

"

#

#

#

"

$

#

#

"

!

%

& '

( "

# * +

!

" # !

# # !

)

# ,- . / &

0&

#

#

1

,- . +

#

/

# /

'

(

*

!

*

* "

) "

2 %

#

#

"

#

# * ( '%

!

# ! #

* '3

451'

4

,- 6

#

!

+ (

7

!

1

(

))

,- 6 +

#

)

8

"

)

*

)

* !

!

! # !

!

7

!

9

(

,

#

*

4 #

) )* # ,- 0

#

1

0& * ! 7 #

# !

"

< # (

# ! " #

#

#

#

# 4

: ; ( ) &

#* ( )

# #

" # *

( # ! #

(

#

'3

=

!

! # !

)

* ,- >

4

1

7

: ; (

*

,- 0 + #* ( ) "7

!

" # !

% ,

)

4

# #

) !

" 7

!

7 #

#

,- > / * #

!

# (

"

) 0&*

"7

" !

#

?

"

*

7

%

/

0&

"

! /

"

"7

$ # ! "

@.6

#

A

* ! 0

@.6 "7 !

* ! 7

"

6C

B 6

(

) D

! *!

7

!

5

*

*

!

!

E "

"

#

#

! *

7

!

! *

" 7

0&* #

7 /

! !

5

#

7

!

#

*

8

" # ? (F* * *.) /

# +

$

* !

! #

(

2

)8

#

8

% #

#

#

F8

A

#

8

A

#

8

/ !

! # #

2

F*

#

#

# !

A

* *

#

# !

#

# "

#

#

2

"

!

?7

#

!

#

+ *

# #

! * ,- @

*

! !

*

+

#

1

,- @ +

'

#

0&

# !

7

# $

G

7 # 7

*! #

#

7 +

# !

# * # #

# 7

#

D

#

* ! 7

#

2

$

8

" 7

# # * #

*

+

* 1

"

(

!

7

# &

*

"

!

7 +

#

7

" "

#

*

G

"

#

# # #

# "

* 4 #

* !

2

# " *

#

"

) * "

*

# ! #

! " #

" "

! &'!(!

"

+

"

,

"

! %

#

*

"

$

&'!(

$)

" -

"

" ! .

"

! / -

"! 0 "

"

-

"

"

!

%

-

"

" !

! 0

!/

-

1

-

"

-

"

"

" !

"

-

"

"

# $

-

"

"

,

#

$! 2 3 ,

-

"

"

"

" -

"

-

%

&'!4

"

"

!

" !% "

"

" ! -

"

" !

" !%

"

*

! &'!4! 5

"

-

6

"

"

" -

"

6 " ! 7

! /

,

! / 8

) "

!

!

' ! ) / *

" # #

(

( +, -

(

$

# (

& "

# $ $ .

% $

$" # &

& (

#

! "

"

# " $ !# #

$ &' (

!

"

! % )

"

*

&'

+ "

" "

$

"

"

,- .

-

!# /

' 0

1

#

%

" $

" "

.

/ #

% 3

#

3

# % 4

% " %

" # )

# # #

"

% 4

" %

#

#

+

%

#

#

25

"

"

% !" % &0

2

#

#

" %

!

" !" %

!

"

"

6 #

$ !#

6 "

%

*

&0

"

!

7

%

#

"

4

!

" ! + " !

"

"

"

%

!

!

#

!

# "

#

"

#

$

# 3

&2 %

! "

. +

&2 +

!

%

4 #

%

"

%

%

!

%

" %

*

"

"

!

#

!

"

# 3

"

"

" "

! $

"

!

%$# %

#

&

'

(%

)

& $

*

% & ,

+ & &

,

&

.

( !

%

+

% + #

&

$



%$& , ,

+ & %

/0

$

-

&

1

%

& #

%

/0

'

&#

)

$

$ &

&

&

% %

/0 #

!

.

$ ,"

&

& # ,

&

.

& &

$

#

$

&

$

%

2 %

&

1

"

/4 " % +

&

/4

&

$ ,

'

!



%$! !

! ! %

& #

$3

$ &

5

! %

#

' !

%

6

$

% $&

% $ , . &

+ & /7 # %

# %

'

$&

8 $

# #

&

/7

1

/7 $

, .

$

'

, "

&

! $

9

#

% $

#

&

5 % $

%

5 %

# 5 %

#

# %

5 %

# % $ ,

(

# % +

"

%

/:

& % $

!

&

+

$ /: ; 5 % # ! &

& $

'

$&

$ 5 %

#

&

%

#

#

5 %

#

&

$& 5 %

#

$ %

&

,

1

/:

"

&

$ $

5 ;

< % $ %

*

& % = '

!

$ $

% #

<

!

#

$

% ( <

%

$& &

!

$&

% ,>

&

)

#

+ $

%

%

!

=

# % #

#

$& 5 %

<

#

%

%

%

! #

& $&

$&

' $&

-

$

$ $ #

1 <

/? . !

/? " +

,

$

$

< ! '

$

$&

$& $&

& $&

, @

$

#

, #

# %$&

$

! "

#

$

$#

%

#

#

%

'

!

!&

#

$

(

#

)

*

#

*

+ $ # *

#

*

! 0!1!

"

#

#

#

*

*

%

#

. $

$

#

*

!"

*

$

# -

! "

$

!, #

! & # !

2

+

%*

$

!

/

0!1!

!2

3

3

% %

%*

-

%! ,

(

4

# #

56

"

# .$

*

/

57 !

#

#

* #

!)

5 6* #

# 3 . !

/

#

! 8 #

$

# # #

3

.

/! 2

0!96 #

2

! 0!96! 2

2

#

!2

3

#

%

*

!:0!99! )

$

(

! & .

2

3

#

/

#

. /

#

(

!

/

*

/

/

%

! "

! #

#

!

$ ' , (

$ & $

)

*

+

#

! " $

#

$

!%

!&

! '

(

$ !' $ )

$ $

*

$ !' ! + ,*!- .

$ (

(

(

)

$

$

$ )

$

/

$ !

! ,*!-! &

(

& $

$

(

$

( ( (

)

$

$ $

%! ' )

$

( $

$ $ $ ! '

)( 3

! ,*!2! 4

) $

)

)

$

$ !

$ $ !"

$

$ ,*!2

$

( 6 7 8

$ $

$

% '

% $

(

! 1

)

5

$

(

( - 2

$

!

$

$

)

$

( (

$

9

(

( )

/

! ' ! 0 # (

! '

$

$

$

. #

,*!5%! :

(

;

!' (

/ 0

! ,*!5! 0 #

$

!

$ ! %9

!

$

%

;

%

%

& $

$

)

! & $

$

#

%

$

#

$ 5<

=

5< %! &

! ' )

) $

*-

*2!

#

!

,*!6%! >

)

! & (

)(

*-

! 0

$

)(

*5

!&

3

! ,*!6! 9

0

#*

;

! %*

$

( *

%! 0

( ! 0 .

$

$

%

$

!

$

;

(

$

$ (

*

)( # )( ( $ ,*!6

! '

/

*-

)

! 0 ,*!6%

*2

$

! &

(

0

; ! <

!0

$

$

0

,*!5 ! > $

$

! & $

( ! 1

0

! &

(

$ $

)

/

$

$ #

! ,*!7! * )

!

,*!7%!

5
$

%

0

$ $

$ )

$

$

*

* ! > $

)

$

(

?

$

*

$ ! 0

$

$ * $

#

$

%!

' # '

. $

0

0

'

$ A

-! '

$

$

$

$

$

'

)

) (

$

$ (

$

$

( %! +

( $ $

$ ! ' / ; "!

$

!

$ 0

,*!7 %! (

(?

$ #

! @ @! ' !

$

(

!

" # $

!

# %

$

# &

'

( !

#

)

#

' !

&

!

$ $

/

+, -

*

+, - .

$

!

0

*

(

0

( * '

$ '

*

3

*

'

2

# #

& *

,

* +, 4

$ +, 1 ( *

&

+, 1 &

#

* $

/ (

'

# #

#

( # *

$

$

#

*

/

+, 4 & (

5

/

+, 6

+, 6 0

*

2

# #

# ! * $

! &

. +

! %

!

!

' !

! %

,

, ./

$, -

( )! $,

$, ,

0 $

"

!

! " # $

"

%

&

' " ( "

)

"

*

" + " /

,%%"-

.

.

( 0" +

.

,%%".

"/

1

0

" /

$

"

$"

*

" ,%%"-" /

/

) " +

$

$ "

,%%"-

(

$ " 2

$

$

" / "#

/

)

3 "

,%%"-

$

1 '

*

0 & (& "

.

,%%"4'"

" ,%%"4"

/ 3 3

" & "%

' ,%%"5"

*

" ,%%"5" /

6

! " 7 "

)

"%

8 $

)

$ $"

!

" *$$

#$%&'()* " -

+"

+

,

!

!

+

+ .

!

! +

+

! +

"

" +

!

+ ,

+

/ + 0

+

/ 1

3

!

+

+ +

+

+

4 !

+

!

6

"

+

+

5

!

7

" ! "

+

: !

+

! 2

" + +

5 933 &"

+

"

+ !

/

!

/

+ 8

+ +

!

933 & ;

1

2

0 + +

!

/

+ +

+ 4

+ "

<

.

"

"

# * $

! "

%

"

&' (

!

"

+ '

" (

(

"

)

!

"

! & '

$

#

"

$ # '

% (

'

)

' "

)

! %

' " ! )

" )

*

"

!

# '

$ #

"

"

' #

"' " )

+' ,

#

"

-

"

* . #

% /

#

' )

! "

)

"

'

"

"

)

0

!

1 ,

#

' " #

"

"

" 23

'"

"

#

4

' "

"

) ' "

" )

#

5

'" 6

"

.

!!

"

#"

% % #

&

(

#

'

)#

%

#

7 #

) ) ) % '

. )

8555 9

) &

) "

6

8555 9 ,

# :7

"

) (

! . ' :9 :;

!

)

& #

( . 8555 9

)

,

) % #

,

)

' 8555 2

"

)

"'

6

8555 2 ,

%

)

,

"

)

' )

)

#

'

!

#

#

# #"

# #

#

"

) "

.

'

)

$ '

" "

:9< :7<

# ' "

) % &

) " "

('

" '

#

:9

'

) +

) "

:2< # "

= "

# %

#

)

&

# (

'

#

)

# $

)

'

'

) "

#

+

"

)

! %

# &

"

)

(

"

)

' " "

%

'"

)

1

'

#

!

"

!

)

.

'

"

'

+ !

' "

) +' '

' "

!

+

) " "

+ 0

"

.

"

'

' !

'

!

"

# $

%

&'

#

(

! !

!

!

,

#(

!

)***#+#

# )***#+# (

$

"

-

#$

%

!

" # /

# . 1

)***#0

" #

,

# )***#0# (

!

* # 2

%

!

)***#3

!

+2 4 ( #

,

# )***#3# (

. 51 677

! # $

!%

# %

" '

! !# % #

+

$

#

# $ &"+ ",( - % #

%

&" '( )

# !#

!

$ .

!# / %

* #

#$ !

!

" # $ !

"

% "

#

&# '

( )

%

#

$ %

'

" &#

+

%

*

%

! %

"

#

! #

& %

%

"

)

"

#

# 2

!

&

)

# . / α %.

.

3 #

!

01°

!

% $

! ! !

"

$

!

#

" 01° !

!

6 3

01° !

-91° #

#

# !

. ! # *+, -

!

#

# & #

*+, :

#

# #

!

/

$

.

4

#

01° " $ " "

*+, 8 /

!

#

.

# !

# 5 " ! # 7$ *+, 8.

'

#

*+, .

$ # (

"

! !

; #

! #

! ! 7! !

"

/

#

! $

# 7!

# ;

! " !

! &

! #

!

" 7$

)

*+, : /

#

$

α

" $

#

#

#

! !7 !

7

! ; 4

! #

! "

!

#

$!

%&' (

)

%&' ( ! # $ "

! # $

* # $ " ! #+$

! # $

! # $

, "

"

"

+

"

"

-

. "

0

!

/ "

12

" /

!

"

123

/

-

-

"

"

" /

"

"

-

%&' ( 4

" / 0 5 6 277 8 5! 277 , ! :

" "

/+ 9 ! 0

%&' (

+

%&' 7 %&' 7

4

+

" "

/

* +

5 !

*

%&' (+ 4 "

5 !

+ "

/ !

+ "

"

4

8

"

#

%&' ( $

)

%&' 7 "

+

" !

" " %&' (+! $ +

"

0

" $;

!

" &

#!$ %

'

&

(

#!$ % ! +

3

.

) × ) * ",

+

/

&

0

0 1

&

"

&

+ ) × )1 2 × 2

0

1

"

'

0

",

"

1

0

&

4

1

& 0

0

8

+

0

7

1 & +

&

5 61 4

5 6 ",

61

"

1 "

& , 9

0 ' &

+

'

4×) (

8 0

. "

( .

" ,1 , #!$ : 0

#!$ :

0

3 /1 /

1 &

. +

+

0

0

0 ,

& , & *

/1

+

&

0

0

1

/

/

. " .9 &

/

'

0 *

#!$ ;

+

0 <

0 &

/1

&/

0

( 0

#!$ ;

3

0 < 1 /

/

1

&/

1

/

! " #

$ !

+

&'( )

",

%

"

# &'( )

# # *

$

*

!"

%

&

! ) '#

% ' &

#

( &

#

× ( ,-0 1 4 ( +

! " #$ % & ) ( (

5

(

'

2 7

(

1

(

-

(

(

2

' ( *

+

7

( 2

+ 2

(

(

9 (

9

>? "

+

( (

) )

, + A +

8

(

9:; '

(

'

0< 7 ( (

(

! )

(

( ( 9:; ! >? $0

7

9 -!

+

( -

2 7

2 + *

) ! '

2

'

C '

) 2

( (

(

(

) '

A + (

'

) 2 )

( 2

+

*5 0

)

) ( 9 + '! +

7 2 ) + '

!

( ! , + ' 8 )8 ) * 9

) 2

( ! 0

+

(

2 2

(

(

(

'

)

(! B )

+

! + ( (! ) = ) ( +

(

2

( B (

)

8 2 +

(

(

+ '! + (

0 @

)

2

( (

(

)

>? "

+

) 2

(

(

(

5 2

=

(

!

(

(

(

(

6

( 7

( 5

(

* ( ( >? " 5 ( '

( 5

(

(0

,

<

' 2

)

( )

,-! .!/. 2 ) ! + (

( (

( (

( 9:;

! +

( 3 +

(

(

) 2 !

2 )

! (

5 (

) '

)

) ( 3 '

3

3

(

( "!$$ ,-! #!. ( ( (

(!

( 8 2 +

(

' +

'

( 5

× " #$ #$ * 2 (

+ ! +

6 +

"# (

+ )

(

( 9 -

( * + ( 9!

'

! -0

>? #0 , + ! + )

9

>? # 5 2

7 2 )

6) 6

( 9:; ( (!

= =

'

(

0 D

!

0

2 ' )

+ (

(

1

(

3 ! + (

(

! +

# E "! . E " + ' + (

(

( 4 F 77

( :85 < (

! :85 (

+ F 77 ( <

2

)

(

A

( )

(

:8&&

*

0

( ( (

(

A ; B ( (

(

% (

(

8

2 )

8 ( 2 + ( )

)

2 +

'

+

>? .

>? . 4

( A ;

5

(

( 9 $ ( 2 G!C !C

( ! 2

( G

! +

2

( +

@

2

G $ +

+ :85 (

, 0

( )

+

7

(

(

(

9

! +

'

*

(

(

(

'

(

× 3

2

9 #$ 2

7 +

(

(

GC C

5

( GC C

! (

3 0 1

7

( )

5

7 (

'

!

" * (

( (

)

) 2 7 ( (! równe ½ gdy u,v = 0 i równe 1 w przeciwnym przypadku.

2 2

5

2

s¹

W kolejnym kroku wykonywana jest tak zwana kwantyzacja. Jej celem jest zamienienie mo liwie du ej liczby współczynników transformaty na zera. Generalnie chodzi o to, e w ród współczynników transformaty s takie, które nios du ilo informacji o obrazie i takie, które nios niewielk ilo informacji o obrazie. Te ostatnie mo na wyeliminowa bez wi kszej straty dla ogólnej jako ci obrazu - ich wpływ jest na tyle mały, e obserwator mo e nie zauwa y zmian w obrazie zwi zanych z ich usuni ciem. Kwantyzacj realizuje si w nast puj cy sposób. Korzystamy z pomocniczej tablicy 8× 8, zawieraj cej odpowiednio dobrane warto ci. Kolejno dzieli si przez siebie współczynniki z tablicy uzyskanej w wyniku transformacji przez odpowiednie współczynniki z pomocniczej tablicy (to znaczy pierwszy element tablicy współczynników transformacji dzielimy przez pierwszy element pomocniczej tablicy, potem to samo wykonujemy w stosunku do drugich współczynników itd.) i wyniki zaokr gla si w dół. Elementy pomocniczej tablicy s tak dobrane, eby w wynikowej tablicy pojawiała si du a liczba zer. S one z reguły zgrupowane w prawej dolnej cz ci wynikowej tablicy. Dzi ki operacji kwantyzacji uzyskuje si kompresj informacji, przy czym jest to operacja nieodwracalna. Tablica uzyskana w wyniku kwantyzacji jest w ostatnim kroku poddawana kodowaniu metod RLE i nast pnie metod Huffmana. Kodowaniu metod RLE poddawany jest ci g warto ci z wynikowej tablicy przegl dany w porz dku ZigZag jak na rysunku XV.4. Taki porz dek jest przyj ty ze wzgl du na to, e pozwala uzyska długi ci g zer zgrupowanych w prawej dolnej cz ci tablicy. Zauwa my, e do ci gu nie wchodzi element z lewego górnego rogu oznaczony jako DC. Jest on kodowany wspólnie z odpowiednimi elementami dla innych bloków obrazu 8x8, z których składa si cały obraz poddawany kompresji.

Rys. XV.4. Przegl danie elementów tablicy w porz dku ZigZag Przy dekompresji obrazu post puje si w odwrotnej kolejno ci jak przy kompresji. Najpierw ma miejsce odkodowanie ci gu wła ciwe dla metody Huffmana, a potem dla metody RLE. Odtworzona tablica jest poddawana odwrotnej operacji jak przy kwantyzacji (z wykorzystaniem tej samej pomocniczej tablicy), z tym, e oczywi cie nie mo na odtworzy wyzerowanych współczynników. Z kolei odzyskana tablica współczynników transformaty kosinusowej jest poddawana odwrotnej transformacji kosinusowej. Na ko cu nast puje konwersja z modelu YCrCb do modelu RGB. Kompresja metod JPEG pozwala uzyskiwa stopnie kompresji 20:1 - 30:1 przy praktycznie niezauwa alnych zniekształceniach obrazu odzyskiwanego po dekompresji. Przy wi kszych stopniach kompresji zmiany takie s ju zauwa alne. Na zako czenie dodajmy, e omówione wy ej metody kompresji s stosowane do kompresji pojedynczych obrazów. Przy kompresji sekwencji obrazów s stosowane inne metody, na przykład takie jak w standardach MPEG.

!

"

#

#

"

$

" $

%

# #

&

$

'

"

$

"

&

(

) "

$ #

# &

,

$ * +

$

+

#

#

& )

&

$ &

&

# "

"

$

" .

&

& 0

#

$

$ "

$ '

" #

# # & &

)

&

5

& .&

#

$

&

&

# $ $

#

$

&

# &

$ )

.

&

"

& $

& 7

#

$

"

& &

$

6/

$ "

$

#

&

$

)

#

&

# &

$

) 34# ( 4 9

& &

7

& 8

&

:288 .:

2

8

8

@*) .

<=

0

/

; #

'

/ 7

.!4># 1%?9# & #

" !@A# @*)# ( A4

7

428 .4 / 8

2

8

$ /

$ ) & $

$ 428# $#

" . / % . &

"

#

& ?1 1

$ $

#

"

"

# *

/

#

2 &

$

$ &

) &

3

34#

$

& &

" $

&

& "

# &

&

"

# " #

$

$

3

#

$

$

" /# 1 "

$

# "

$

"

" -

)

% $

$

/

$ &


.D

$ #

0

/

8

"

" 8

$

# 428

"

"

$

" $ 5

&

$

$ "

428

$ &

34 .

3

4

/ 8

$

$# &

$

"

428

,

D " EFG# DH# GD# GE# EF# EH#
I,122- EFG# $

) &

34

$ $ @*GG

$ &

& 34

@*GG# $

$ J && 8

# =D

7

& $

α

.

/

8

" $ EC'

E'# <'# ='# D'

34 !4> 9

D'

EC'

.

$

7 &

" !# 4# >/ )

&

.

$

/

)

"

A&

"

$

)

# K @ EC/

.D

" " "

(

K# " "

!4> K

!# 4# > # "

# )

K

K

>

$

.α > L .E ' α / ://

:. 5

K "

) &

34

"

$

)

&

" $ $

M $

8

$

&

K

& .

&

$ / )

$

# " #

&

"

34

γ

5 &

%34

)

&

#

&

34 (

"

$

" ) $

&

$ $

$ $ ( A4 8 .<= 0

"

&

, " ( 4#

& "

/#

&

!"

#

$

% % - %

# $

0

$ .

$ *++ × ,++ × * # /"

% ' (

) (

!

! "

#

!

$ %

"

%

%

" % % &

" '

$

%

%

# # %

!

%

"

(

" "

! % !

%

)

' %%

*+ "

"

%

"

! " "

"

"

" , %

" -

! %% %%

% )." - /

!

"

'

!

*

&

%%

,

01 ),

0

1% %

"

*

233 %

%

" &4567 !

8

" %%

%% 9

,

0

$

!

"

,

0

9

8

%%

8

#. % 8 8 >

8

:8

-

%% %

:8 ;< % *

, =#>

8

%%

0 %

.,$ )8

%%

8 )

"

"8 ,

7 > /

, :8 # "8

0 :8"

* 4

:8"

6%

8 "8

% "

#

!

"

%

!

" ?

%

0

%

%

%

!

5

<

"

% %

%

'"

' 7

"

%

! % % 0

% % %

"

%

%

%

@! !

" % %

)

% %

%

@

%

"

A

*

6

% "

! !

% "

"

% #

"

%

"

"

% , + . +

)

) +

,

/ +

8

!"# $ * + ) 0 +

% +%

& ,

+ .

+

+

%

!

% ,

' 6

)B"2*" )C"D* D

=

'

506" )BCC" BCC" BCC*

%

%

BE %

)

" %

*

%

23 % .>F ;G

%

% 1

(

)3" 3*" )2" 3*" )2" 2*" )3" 2* 21 H B" 2 H : )B" C*

% #

)C" E" :"2*

):" B*

1

)C" E" :* %

!

%

"

%

6I

'( $

%

!

! &

0 !

@

)

*