Green

Esbozo de demostración del Teorema de Green para una región suave.

 ∂M ∂L  Ñ ∫C L dx + M dy = ∫∫R  ∂x − ∂y  dx dy

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Proyectaremos la región R sobre el eje X

y C2

y2(x) R y1(x)

a

C1

b

Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región R. Se forma la curva C1, descrita por la función y1( x ); y la curva C2 descrita por la función y2( x ).

x

y C2

y2(x) R y1(x)

a

C1

b

C1 está definida por

{ y1 ( x); a ≤ x ≤ b}

C2 está definida por

{ y2 ( x); a ≤ x ≤ b}

x

y

Vamos a calcular la integral ∫∫

C2

R

y2(x)

∂L( x, y ) Ñ ∫C L dx = −∫∫R ∂y dx dy

R y1(x) a

∂L( x, y ) dx dy ∂y

C1

x

b

b b  y2 ( x )  ∂L( x, y ) ∂L( x, y ) dx dy = ∫ ∫ dy  dx = ∫ ( L( x, y2 ( x)) − L( x, y1 ( x)) ) dx ∫∫R ∂y   ∂y a a  y1 ( x ) 

a

b

= − ∫ L( x, y2 ( x)) dx − ∫ L( x, y1 ( x)) dx = − Ñ ∫ C L dx − Ñ ∫C L dx = − b

a

2

1

Ñ ∫ L dx C

Ahora proyectaremos la región R sobre el eje Y

y d

D1 x1(y)

c

x2(y)

R D2

x Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región R. Se forma la curva D1, descrita por la función x1( y ); y la curva D2 descrita por la función x2( y ).

y d

D1 x 1( y )

x 2( y )

R D2

c

D1 está definida por

{ x1 ( y ); c ≤ y ≤ d}

D2 está definida por { x2 ( y ); c ≤ y ≤ d }

x

y

∂M ( x, y ) dx dy Vamos a calcular la integral ∫∫ ∂x R

d

D1 x1(y)

x 2 (y )

R D2

c

∂M ( x, y ) Ñ ∫C M dy = ∫∫R ∂x dx dy

x d d  x2 ( x )  ∂M ( x, y ) ∂M ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ dx  dy= ∫ ( M ( x2 ( y ), y ) − M ( x1 ( y ), y )) dy ∫∫R ∂x   ∂x c c  x1 ( x ) 

d

c

= ∫ M ( x2 ( y ), y ) dy + ∫ M ( x1 ( y ), y ) dy = Ñ ∫ D M dy + Ñ ∫ D M dy = c

d

2

1

Ñ ∫ M dy C

y

∂L( x, y ) Ñ ∫C L dx = −∫∫R ∂y dx dy

C R

Ñ ∫ M dy = ∫∫ C

R

∂M ( x, y ) dx dy ∂x

x De este modo obtenemos el famoso teorema de Green

 ∂M ∂L  Ñ ∫C L dx + M dy = ∫∫R  ∂x − ∂y  dx dy