Granada 05

Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería 2005 Granada, 4 a 7 de Julio, 2005 © SEMNI, España 2005

INFLUÊNCIA DOS TURBILHÕES NAS INTERACÇÕES ENTRE GRANDES E PEQUENAS ESCALAS DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira, Instituto Superior Técnico, Pav. Mecânica I, 1º andar (LASEF), Avenida Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal e-mail: {csilva,jose}@navier.ist.utl.pt web: http://degas.lasef.ist.utl.pt

Palavras-chave: Escoamentos turbulentos, Simulação numérica, modelos sub-malha Resumo. Simulações numéricas directas de turbulência homogénea e isotrópica são usadas para analisar a relação entre os grandes turbilhões do escoamento e os processos de interacção entre escalas resolvidas e escalas residuais no contexto de simulações das grandes escalas (Large-Eddy Simulations – LES). Mais detalhes deste trabalho são descritos em da Silva e Métais[2], da Silva e Pereira[5],[8],[9].

1. INTRODUÇÃO A hipótese de equilíbrio local entre as grandes e pequenas escalas do movimento em escoamentos turbulento é uma das mais usadas no estudo da turbulência (teoria e modelação). No contexto de simulações das grandes escalas (Large-Eddy Simulations - LES), a hipótese de equilíbrio local é frequentemente usada para obter relações matemáticas e constantes de modelos sub-malha. Por exemplo, no modelo de Smagorinsky a constante Cs é obtida assumindo equilíbrio local entre escalas resolvidas e sub-malha como descrito na equação (1) em baixo (ver Piomelli e Chasnov [3]). Outro exemplo é o cálculo da energia cinética submalha em LES (Knaepen et al [4]). O equilíbrio local pode assumir duas formas. A forma mais comum é obtida quando se assume que toda a energia cinética transferida das escalas resolvidas para as escalas submalha é exactamente equilibrada pela dissipação viscosa,

Π =ε,

(1)

<

onde Π = τ ij ∂u i / ∂x j é a energia cinética transferida entre escalas resolvidas e escalas sub<

<

<

malha, τ ij = (u i u j ) < − u i u j é o tensor das tensões sub-malha e ∂u i / ∂x j é o gradiente da <

<

velocidade resolvida. ε = υ (∂u i / ∂x j )(∂u i / ∂x j ) é a taxa de dissipação viscosa de energia cinética. Localmente Π pode assumir valores positivos e negativos. Quando Π < 0 a energia

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

cinética é transferida das escalas resolvidas para as sub-malha (transferência directa- forward scatter). Transferência inversa (backward scatter) occorre sempre que Π > 0 . Para o campo de escalar passivo a expressão análoga a (1) é, Πθ = ε θ

(2)

onde Π θ = q j G <j é a transferência de variância de escalar passivo entre grandes e pequenas escalas, G <j = ∂θ / ∂x j é o gradiente do campo escalar passivo resolvido e q j = (θu j ) < − θ < u <j é o fluxo de escalar residual, e ε θ = κ (∂θ < / ∂x j )(∂θ < / ∂x j ) é a dissipação molecular de variância escalar. Outra forma de equilíbrio local obtém-se quando se considera a equação de transporte de energia cinética sub-malha τ ij (ver da Silva e Métais). Se nesta equação se considera que existe equilíbrio local entre os movimentos resolvidos e residuais então todos os termos de transporte são desprezáveis e a seguinte aproximação é verificada: ⎡⎛ ∂u ∂u ⎞ < ∂u < ∂u < ⎤ ∂u i< i ⎟ i ⎥ 2τ ij = −2υ ⎢⎜ i − i . ⎜ ⎟ ∂x j ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ⎢⎝ j j ⎠ j j ⎥ ⎣ ⎦

(3)

sgs O segundo termo na equação (3) ε visc , é sempre negativo e representa a dissipação final de energia cinética injectada em τ ii através de Π . Considerando agora a evolução de

qθ = (θ 2 ) < − θ < , a aproximação análoga à equação (3) é, 2

⎡⎛ ∂θ ∂θ ⎞ < ∂θ ∂θ ⎤ ⎟ − ⎥. 2q j G = −2κ ⎢⎜ ∂x j ∂x j ⎥ ⎢⎜⎝ ∂x j ∂x j ⎟⎠ ⎦ ⎣ < j

(4)

Globalmente, i.e. quando feita a média nos dois termos da equação, as aproximações expressas pelas equações (1) e (3) são razoavelmente verificadas em simulações numéricas de turbulência homogénea e isotrópica (de Borue e Orszag [1]) e em jactos planos (da Silva e Métais [2], da Silva e Pereira [5]). Contudo localmente as aproximações não funcionam muito bem. De Borue e Orszag [1] observaram uma correlação de 30-39% entre os dois lados da equação (1). De forma semelhante da Silva e Métais [2] observaram que a correlação existente entre os dois lados da equação (3) é de 39%. Uma vez que a hipótese de equilíbrio local é uma das mais importantes e frequentemente utilizadas em turbulência, não só em estudos teóricos mas também no desenvolvimento de modelos sub-malha, e uma vez que na prática acaba por se revelar uma hipótese que não é verdadeira é importante analisar este problema com mais profundidade. Neste trabalho estabelece-se a influencia do número de Reynolds, tamanho do filtro e tipo do filtro na hipótese de equilíbrio local como descrito pelas equações (1) e (3). Alem disso faz-se uma análise semelhante para o caso do escalar passivo (equações 2 e 4), bem como a influência do

2

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

número de Schmidt. 10

Reλ=39.4 Reλ=95.6 (-5/3) ∆/∆x=2 ∆/∆x=4 ∆/∆x=8 ∆/∆x=16

8

E(k)/(εν5)1/4

106

10

4

10

2

100

10

-2

10-4

10

-6

(filters:) Reλ=95.6 Reλ=39.4 0.5

1

1.5 2

kη Figura 1. Espectro de energia para todas as simulações com a localização dos filtros usados.

2. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS DE TURBULÊNCIA ISOTROPICA STATISTICAMENTE ESTACIONÁRIA

HOMOGÉNEA

E

O código de cálculo numérico usado no presente trabalho utiliza esquemas pseudoespectrais para discretização espacial e um esquema Runge-Kutta de 3ª ordem para avanço temporal. O domínio computacional consiste numa caixa de lados 2π . Três simulações numéricas directas (direct numerical simulations - DNS) de turbulência homogénea e isotrópica statisticamente estacionaria (forcada [6]) usando N=192 pontos de colocação em cada direcção foram realizadas. Os detalhes de cada simulação são descritos na tabela I. O presente estudo foi feito usando 10 campos instantâneos de cada simulação. A separação entre escalas resolvidas e escalas residuais foi feito usando um filtro do tipo “caixa”. A figura 1 mostra o espectro de energia com os vários filtros usados. Para a simulação com Re λ = 95.6 existe uma região inercial com cerca de uma década de extensão. O filtro com dimensão ∆ / ∆ x = 16 está sobre essa região. Re λ

υ

Sc

k maxη

k maxη B

L11

η (×10 −2 )

η B (×10 −2 )

39.4 95.6 95.6

0.02 0.006 0.006

3.0 0.7 0.2

4.3 1.8 1.8

2.5 2.1 4.1

1.11 1.24 1.24

6.8 2.8 2.8

3.9 3.3 6.2

Tabela 1. Parametros e quantidades estatisticas das simulações numéricas directas.

3

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Começamos por analisar a validade da hipótese de equilíbrio global i.e. vêr se Π = ε , onde

representa uma média feita em todo o domínio e com 10 campos instantâneos. Para

esse efeito a figura 2 mostra a evolução de Π / ε

para vários filtros e números de

Reynolds. Vemos que Π / ε tende para 1 quando o filtro se desloca da região dissipativa para a região inercial. Isto mostra que para elevados valores do número de Reynolds o equilíbrio global existe desde que o filtro esteja colocado na região inercial. Analogamente observa-se que Π θ = ε θ também tende para 1 para valores do número de Schmidt mais altos. O equilíbrio local pode ser apreciado analisando os coeficientes de correlação entre Π e ε e de Π θ e ε θ como indicado na figura 2. Observa-se que os coeficientes de correlação são altos quando o filtro é colocado na região dissipativa mas caem muito depressa assim que o filtro é colocado na região inercial. Note-se que o coeficiente de correlação para o campo escalar se mantêm alto desde que o número de Schmidt não seja baixo. Em conclusão, embora a hipótese de equilíbrio seja verificada em média, particularmente para números de Reynolds e de Schmidt elevados, acaba por falhar localmente precisamente para altos valores de Reynolds e de Schmidt. Para compreender a razão pela qual assim acontece estudam-se as funções densidade de probabilidade PDFs de Π , ε , Π θ e de ε θ condicionadas por regiões (1) dominadas pela taxa de deformação (Strain), (2) onde a vorticidade e a taxa de deformação são comparativamente altas (flat sheet) e (3) por regiões dominadas pela vorticidade (tube core), conforme definido por Horiuti [7].

10

1

0

Reλ=39.4 Reλ=95.6 Sc=0.2 Sc=0.7 Sc=3.0

1

Correlation (Π,ε) ; (Πθ,εθ)

<Π>/<ε> , <Πθ>/<εθ>

10

Reλ=39.4 Reλ=95.6 Sc=0.2 Sc=0.7 Sc=3.0

0.9

0.8

0.7

10-1

0.6

10-2

0.5

2

Figura 2. Π /

4

ε

6

∆/∆x e Πθ /

8

εθ

10

0.4

12 14 16

2

4

6

∆/∆x

8

10

12 14 16

e coeficientes de correlação entre Π e ε , e entre Π θ e ε θ para todas as

4

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

simulações em função do tamanho do filtro.

Conforme se pode observar na figura 3 quando o filtro está colocado na região dissipativa transferência directa ocorre sobretudo nas regiões de intensa vorticidade e taxa de deformação, mas quando está na região inercial é igualmente importante nessas regiões como nas dominadas pela taxa de deformação. Transferência inversa ocorre sobretudo no centro dos turbilhões ou seja, em regiões dominadas pela vorticidade.

0

∆/∆x=2

Reλ=95.6

10

Strain Flat sheet Tube core

0

10

-1

-2

10

-2

10

-3

10

-3

10

-4

10

-4

10

-5

10

-5

10

-6

10

-6

10

-7

10

-7

10

-8

10

-8

10

-1

10

PDF(Π)

PDF(Π)

10

0

Π

2

4

-4

∆/∆x=16

Reλ=95.6 Strain Flat sheet Tube core

-2

0

2

4

Π

6

8

10

12

Figura 3. PDFs de Π para a simulação a Re λ = 95.6 para diferentes tamanhos de filtro.

A dissipação viscosa de energia cinética ocorre preferencialmente no centro dos turbilhões como se observa na figura 4. Para o campo de escalar passivo a transferência directa ocorre sempre (i.e. para todas as simulações) com igual probabilidade nas regiões de elevada vorticidade e taxa de deformação como nas dominadas pela taxa de deformação (ver figura 5). É interessante notar que ao contrário do que se passa com o campo de velocidade a dissipação molecular de fluctuações do campo escalar dá-se nas mesmas regiões onde domina a transferência directa como indicado na figura 5. Este facto permite explicar porque razão o equilíbrio local parece funcionar melhor para o caso de um escalar passivo do que para o campo de velocidade.

5

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

PDF(ε)

10

Reλ=95.6

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

Strain Flat sheet Tube core

0

2

4

ε

6

8

10

Figura 4. PDFs de ε para a simulação a Re λ = 95.6 .

10

0

∆/∆x=16

Sc=0.7

10

Strain Flat sheet Tube core

-1

-2

10

-2

10

-3

10

-3

10

-4

10

-4

10

-5

10

-5

10

-6

10

-6

10

-7

10

-7

10

-8

10

-8

10

PDF(Πθ)

-1

PDF(εθ)

10

10

0

5

Πθ

10

15

20

Sc=0.7

0

Strain Flat sheet Tube core

0

2

4

6

8

10

εθ

12

14

16

18

20

Figura 5. PDFs de Π θ para a simulação a Re λ = 95.6 para diferentes tamanhos de filtro.

Uma explicação para a diminuição do coeficiente de correlação entre Π e ε , (e entre Π θ e ε θ ) pode ser dado se se apreciar as funções densidade de probabilidade conjuntas (JPDFs) entre Π e ε (e entre Π θ e ε θ ) condicionadas pelas regiões usadas anteriormente, como representado na figura 6. Nestas figuras pode ver-se que a correlação entre Π e ε é mais baixa nas regiões de forte vorticidade do que nas outras regiões. Coeficientes de correlação (não incluidos) mostram também que é nestas regiões a correlação entre Π e ε é mais baixa. Uma vez que as zonas dominadas pela vorticidade tendem a aumentar com o número de Reynolds compreende-se que a hipótese de equilíbrio local tenda a piorar com o aumento do número de Reynolds. Observou-se que as mesmas conclusões são válidas para o caso do campo escalar.

6

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

4. CONCLUSÕES

A influência dos números de Reynolds e de Schmidt e do tamanho do filtros na hipótese de equilíbrio local entre a energia e variância de escalar transferida para as escalas submalha e suas respectivas dissipações moleculares foi analisada através de simulações numéricas directas de turbulência homogénea e isotrópica estatisticamente estacionária (forçada). Foram identificadas as regiões onde têm lugar os mais frequentes e intensos eventos de transferência directa e inversa de energia cinética e de escalar passivo, além das suas respectivas dissipações moleculares. A hipótese de equilíbrio local é válida globalmente (i.e. em média), mas falha localmente à medida que as regiões dominadas pela vorticidade se tornam mais numerosas no domínio do escoamento, o que ocorre quando aumentam os números de Reynolds (para o campo de velocidades) e de Schmidt (para o campo de escalar passivo).

Strain -1

-2

ε

ε

-1

-3

-2

-3

∆/∆x=2 Reλ=39.4 0

∆/∆x=2 Reλ=39.4 0.05

Π

0.1

0.15

0

7

0.05

Π

0.1

0.15

Carlos Bettencourt da Silva e José Carlos Fernandes Pereira

Tube

Sheet -1

ε

ε

-1

-2

-2

-3

-3

∆/∆x=2 Reλ=39.4

∆/∆x=2 Reλ=39.4 0

0.05

Π

0.1

Figura 6. PDFs conjuntas de Π e

0

0.15

ε

0.05

Π

0.1

0.15

para a simulação a Re λ = 39.4 condicionadas por diferentes regiões do escoamento.

REFERÊNCIAS

[1] V. de Borue and Orszag, “Local energy flux and subgrid-scale statistics in three dimensional turbulence”, Journal of Fluid Mechanics. Vol. 366, pp. 1-31, (1998). [2] C. B. da Silva and O. Métais, “On the influence of coherent structures upon interscale interactions in turbulent plane jets”, Journal of Fluid Mechanics. Vol. 473, pp. 103145, (2002). [3] U. Piomelli and J. Chasnov. Large eddy Simulations: Theory and applications. In Turbulence and Transition modeling. Kluwer, Dordrecht, (1996). [4] B. Knaepen, O. Debiliquy, and D. Carati, “Subgrid-scale energy and pseudo-pressure in large-eddy simulation”, Phys. of Fluids, Vol. 12, pp. 4235-4241, (2002). [5] C. B. da Silva and J. C. F. Pereira, “The effect of subgrid-scale models on the vortices computed by large-eddy simulations”, Phys. of Fluids, Vol. 16, pp. 4506-4534, (2004). [6] K. Alvelius, “Random forcing of the three-dimensional homogeneous turbulence”, Phys. of Fluids, Vol. 11, pp. 1880-1889, (1999). [7] K. Horiuti, “A classification method for vortex sheet and tube structures in turbulent flows”, Phys. of Fluids, Vol. 13, pp. 3756-3774, (2001). [8] C. B. da Silva and J. C. F. Pereira, “On the local equilibrium of the subgrid-scales: the velocity and scalar fields”, Phys. of Fluids. (artigo submetido),(2005a). [9] C. B. da Silva and J. C. F. Pereira, “The relationship between energy and enstrophy subgrid-scale dissipation”, (em preparação), (2005b).

8